蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第9章平面向量知識(shí)點(diǎn)清單

蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第9章平面

向量知識(shí)點(diǎn)清單

目錄

第九章平面向量

9.1向量概念

9.2向量運(yùn)算

9.3向量基本定理及坐表示

9.4向量應(yīng)用

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第九章平面向量

9.1向量概念

一、平行向量、相等向量與相反向量

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，平行向量又稱(chēng)為共線向量.

規(guī)定：零向量與任一向量平行.

2.相等向量：所有長(zhǎng)度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它們的起點(diǎn)

位置如何.向量a與b是相同的向量，也稱(chēng)a與b相等，記作a二b.

3.相反向量：我們把與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，記作-

a,a與-a互為相反向量，即對(duì)任意一個(gè)向量a,總有-(-a)=a.

規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.

二、向量a與b的夾角

1.對(duì)于兩個(gè)非零向量a和b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作位=a,0B=b,乙A0B二。

(CTwewi80。)叫作向量a與b的夾角.

當(dāng)0二0。時(shí)，a與b同向；

當(dāng)0二180。時(shí)，a與b反向；

當(dāng)6二90。時(shí)，則稱(chēng)向量a與b垂直，記作a_Lb.

三、共線向量與相等向量

1.共線向量

⑴共線向量并不一定在同一條直線上，只要向量方向相同或相反就是共線向量.

⑵向量平行與直線平行是兩個(gè)不同的概念，向量平行包含向量在同一條直線上的情況,

但直線平行不包含直線重合的情況.

⑶非零共線向量包括四種情況：

①方向相同且模相等；

②方向相同但模不相等；

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③方向相反但模相等;

④方向相反且模不相等.

因此，共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量.

⑷非零向量a,b,c滿(mǎn)足：若@〃，b//c,則@〃0

2,相等向量

⑴模相等（或方向相同）是向量相等的必要條件，模相等且方向相同是向量相等的充要

條件.

⑵向量相等具有傳遞性，即若a=b,b=c,貝IJa二c.

3.在圖形中尋找共線向量、相等向量、相反向量、垂直向量的方法

⑴在平面圖形中尋找共線向量時(shí)，可先找在同一條直線上的共線向量，然后找在平行

直線上的共線向量，要注意一條線段對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量.

⑵相等向量一定是共線向量，因此在找相等向量時(shí)，可以從共線向量中篩選，找出長(zhǎng)

度相等且方向相同的共線向量即可.

⑶相反向量一定是共線向量，因此在找相反向量時(shí)，可以從共線向量中篩選，找出長(zhǎng)

度相等且方向相反的共線向量即可.

⑷對(duì)于垂直向量，先找與表示已知向量的有向線段垂直的線段，然后寫(xiě)出該線段對(duì)應(yīng)

的兩個(gè)向量.

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9.2向量運(yùn)算

9.2.1向量的加減法

一、向量的加法

1.向量加法的定義

已知向量a和b（如圖所示），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作近二a,AB=b,則向量而叫作

a與b的和，記作a+b.即a+b=就+跖二麗.求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫作向量的加法.

b/

2.向量的加法法則bb

⑴三角形法則。0a

根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，稱(chēng)為向量加法的三角形法則.

⑵平行四邊形法則

如圖所示，已知兩個(gè)不共線的非零向量a,b,分別作麗=a,0C=b,

以0A,0C為鄰邊作口0ABC,則以0為起點(diǎn)的對(duì)角線表示的向量而就是向量a與b

的和.我們把這種方法叫作向量加法的平行四邊形法則.

注：對(duì)于共線的兩個(gè)非零向量a,b的加法運(yùn)算，只有三角形法則適用.如圖①②，其

中AB=a,BC=b,AC=a+b.

bb

a+ba+b

ABCCAB

圖①圖②

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3.向量加法的運(yùn)算律

(1)交換律:a+b=b+a.對(duì)于零向量和任一向量a,我們規(guī)定a+0=0+a=a.

⑵結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).

4.向量求和的多邊形法則

已知n個(gè)向量，依次把這n個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第n個(gè)向

量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫作這n個(gè)向量的和向量，即A1A2+A2A3+…+AnAn+i=AjAn+b，

這個(gè)法則叫作向量求和的多邊形法則.

二、向量的減法

1.向量減法的定義

若b+x=a,則向量x叫作a與b的差，記為a-b,求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫作向量的

減法.

2.向量的減法法則

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作市=a,0B=b,貝晌量a-b=嬴.如圖所示：

B

這就是說(shuō)，當(dāng)向量a,b起點(diǎn)相同時(shí)，從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量就是a-b.

3.向量減法的兩個(gè)重要結(jié)論

⑴如果把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被

減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

⑵一個(gè)向量嬴等于它的終點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)0的位置向量嬴減去它的起點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)0的位

置向量而，簡(jiǎn)記為“終點(diǎn)向量減起點(diǎn)向量”.

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三、向量的加、減法運(yùn)算及其應(yīng)用

1.在使用向量加法的三角形法則時(shí)，要注意“首尾相接”，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第

二個(gè)向量的起點(diǎn)重合，則以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向

量為兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則應(yīng)用的前提是“共起點(diǎn)”，即兩個(gè)向量

是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量.

2.如圖所示，向量AB二a,AD二b,以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則兩條對(duì)

角線對(duì)應(yīng)的向量分別為北二a+b,DB=a-b,這一結(jié)論的應(yīng)用非常廣泛.

四、向量的三角不等式

作前二a,AB=b,貝lja+b二面

1.當(dāng)向量a,b不共線時(shí)，如圖⑴所示.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,

有||aHb||<|a+b|<|a|+|b|.

2.當(dāng)a與b同向共線或a,b中至少有一個(gè)為零向量時(shí),如圖(2)所示，此時(shí)|a+b|=|a|+|b|.

3.當(dāng)a與b反向共線或a,b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，不妨設(shè)|a|N|b|,如圖⑶所

示，此時(shí)|a+b|=|a|-|b|

2b.鈾-------1——、

04M°aAbBbA

圖（1）圖（2）圖（3）

故對(duì)于任意向量a,b,總有||a|-|b||w|a+b|w|a|+|b|.①

由于|a-b|=|a+(-b)|,所于W|a-b|W|a|+|-b|,即W|a-b|W|a|+|b|.②

將①②兩式結(jié)合，可得||a|-|b||w|a士b|w|a|+|b|,我們稱(chēng)之為向量的三角不等式.

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9.2.2向量的數(shù)乘

一、向量的數(shù)乘

定義實(shí)數(shù)人與向量a相乘的運(yùn)算，叫作向量的數(shù)乘，記作入a

長(zhǎng)度|入a日入||a|

入a（a聲0）的方向:當(dāng)人＞0時(shí)，入a與a方向相同；

方向

當(dāng)入＜0時(shí)，入a與a方向相反

規(guī)定當(dāng)入=0時(shí),0a=0；當(dāng)a=0時(shí),入0=0

當(dāng)人＞0時(shí)，把向量a沿著a的相同方向放大或縮小；

幾何意義

當(dāng)入＜0時(shí)，把向量a沿著a的相反方向放大或縮小

設(shè)a,b為向量，入，口為實(shí)數(shù)，貝1J

（1）入3a）=（入⑴a；

運(yùn)算律

⑵（入+函=入a+國(guó)；

⑶入（a+b尸入a+入b

二、向量的共線定理

L設(shè)a為非零向量，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使b二入a,那么b與a是共線向量；

反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使b二入a.

三、常用結(jié)論

1.設(shè)a,b均為實(shí)數(shù)，若贏,麗不共線，點(diǎn)P滿(mǎn)足加=a嬴+b而，a+b=l,

則A,B,p三點(diǎn)共線.

2.在AABC中，若D是BC的中點(diǎn)，則心弓（前+屈）.

3.與魂同方向的單位向量為爵，與跖共線的單位向量為士爵p

4.0是4ABC的重心的充要條件是羸+麗+玩=0.

四、向量共線定理的應(yīng)用

1.判定兩向量共線

判斷a與b是否共線的方法：

①判斷a與b是不是0,若a=0或b=0,貝ija〃b.

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②若a與b均為非零向量，則判斷是否存在實(shí)數(shù)入，使a二入b,若存在，則a〃b；

若不存在，則a與b不共線.

2.判定三點(diǎn)共線：一般地，如果存在實(shí)數(shù)入，使得通二笳，那么跖與品平行且有公

共點(diǎn)A,從而A,B,C三點(diǎn)一定共線.

3.判定線線平行：一般地，如果存在實(shí)數(shù)入，使得跖二人而，且A,B,C,D四點(diǎn)不

共線，那么AB〃CD.

五、三點(diǎn)共線的推論

我們應(yīng)該熟悉如下結(jié)論：已知A,B,C,。為平面內(nèi)四點(diǎn)，則A,B,C三點(diǎn)在一條直

線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m,n,使玩二m麗+n箱，且m+n=1.

證明：對(duì)于平面上任意一點(diǎn)0及三點(diǎn)A,B,P,若A,B,P三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)

x,y,使得加=x5X+y5f,且x+y=］；若存在實(shí)數(shù)x,y,且x+y=l,使得加=x5X+y麗，

則A,B,P三點(diǎn)共線.這是一個(gè)非常重要的結(jié)論，利用它可以快速解決某些問(wèn)題，應(yīng)

熟練掌握.

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9.2.3向量的數(shù)量積

一、向量的數(shù)量積

L已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角是6,我們把數(shù)量|a||b|cos。叫作向量a和

b的數(shù)量積,記作a,b,即a-b=|a||b|cos6.

二、向量投影向量

L設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量，如圖，就表示向量a,而表示向量b,過(guò)點(diǎn)A作麗所

在直線的垂線，垂足為點(diǎn)A.我們將上述由向量a得到向量時(shí)的變換稱(chēng)為向量a向

向量b投影，向量。A1稱(chēng)為向量a在向量b上的投影向量

B

A}Ob

⑴(2)

2.向量數(shù)量積的幾何意義

向量a和b的數(shù)量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數(shù)量積.

三、向量數(shù)量積的運(yùn)算律

L設(shè)向量a,b,c和實(shí)數(shù)入，向量的數(shù)量積滿(mǎn)足下列運(yùn)算律：

(l)ab=ba；

(2)(Xa)-b=a■(入b)=X(a-b)=Xa-b；

(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

四、集向量數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)

1.兩個(gè)向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，其值可能為正(當(dāng)a聲0,b聲0,

0。這6<90。時(shí)),可能為負(fù)(當(dāng)a聲0,b聲0,90°<6W180°時(shí)),還可能為0(當(dāng)a=0或b=0

或0二90。時(shí))，其中。為a與b的夾角.

2.兩個(gè)向量a,b的夾角為銳角時(shí)，a,b>0且a,b不共線；兩個(gè)向量a,b的夾角為

鈍角時(shí)，a,b<0且a,b不共線.

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3.注意只有兩個(gè)非零向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是兩個(gè)向量的夾角.如圖，CA

與靠的夾角是乙BAD,而不是乙BAC.』9

___

兩個(gè)非零向量夾角的范圍是[0,n].

4.向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,b是非零向量，它們的夾角是ae是與b方向相同的單位向量，貝IJ

(l)a-e=e-a=|a|cos0；

(2)a_Lb=a?b=0；

(3)(a+b).(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2；

(4)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a-b+|b|2=a2±2a-b+b2；

(5)|a|=Va^=Va-a；

(6)cos0=^-；

|a||b|

⑺|a,b|W|a||b|,當(dāng)且僅當(dāng)向量a,b共線，即a〃b時(shí)，等號(hào)成立.

5.解題模板

求平面向量數(shù)量積的兩個(gè)方法

⑴定義法：若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式：a,b二|a||b|cos0求解，其中，

。為a與b的夾角.

運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的起點(diǎn)必須重

合，否則，要通過(guò)平移使兩向量符合此條件.

⑵幾何意義法：若已知一向量及另一向量在該向量上的投影向量，則可利用數(shù)量積的

幾何意義求ab

五、向量數(shù)量積的應(yīng)用

L依據(jù)向量數(shù)量積的有關(guān)知識(shí)判斷平面圖形形狀的關(guān)鍵是由已知條件建立向量的數(shù)

量積、模、夾角等之間的關(guān)系，其中移項(xiàng)、平方是常用手段，可以出現(xiàn)向量的數(shù)量積

及模等信息.

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利用向量的數(shù)量積判斷三角形的形狀時(shí)，一般從角的方面來(lái)判斷，即先利用兩個(gè)向量

的夾角公式求出夾角，再下結(jié)論.

2.a-a=a2二|a「或|a|二是求向量的模及用向量求解圖形中線段長(zhǎng)度的依據(jù).這種通

過(guò)求自身的數(shù)量積進(jìn)而求模的思想是解決向量的模的問(wèn)題的主要方法.此外，根據(jù)平

面圖形求向量的模時(shí)，注意利用圖形的特征對(duì)向量的數(shù)量積或夾角等進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

3.求兩個(gè)非零向量a,b的夾角6或其余弦值一般采用夾角公式cos。二晶，根據(jù)題

中條件分別求出|a|,|b|和ab確定e時(shí)要注意ee[0,n],當(dāng)cose>o時(shí),ee[o,??；

當(dāng)cose<o時(shí)，eeQ,n]；當(dāng)cose二。時(shí)，e^.

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9.3向量基本定理及坐表示

9.3.1平面向量基本定理

一、平面向量基本定理

1.平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有

且只有一對(duì)實(shí)數(shù)人入2,使a二入口+入2e2.我們把兩個(gè)不共線的向量e】，e2叫作這個(gè)平

面的一組基底.

基底具備兩個(gè)主要特征：

⑴基底是兩個(gè)不共線向量；

(2)基底的選擇是不唯一的，平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所

有向量的一組基底的條件.

2.正交分解

由平面向量基本定理知，平面內(nèi)任一向量a可以用一組基底e?｝表示成a=入e+入262

的形式.我們稱(chēng)入】當(dāng)+入2e2為向量a的分解.當(dāng)e和e?所在直線互相垂直時(shí)，這種分解

也稱(chēng)為向量a的正交分解.

二、平面向量基本定理的應(yīng)用

1.對(duì)平面向量基本定理的理解

⑴平面向量基本定理包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是存在性，即存在一對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2,使

a=入日+法2；二是唯一性,即對(duì)任意向量a,存在唯——對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2,使a=入e+入262.

⑵平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向

量的方向分解成兩個(gè)向量入入202,且分解是唯一的.

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2.平面向量基本定理的應(yīng)用

⑴求參數(shù)

利用平面向量基本定理求參數(shù)的實(shí)質(zhì)就是利用基底表示向量的唯一性，列出關(guān)于參數(shù)

的方程（組），進(jìn)而求解.

⑵在平面幾何中的應(yīng)用

在平面幾何中，當(dāng)選擇了適當(dāng)?shù)幕紫蛄亢?，平面圖形中線段對(duì)應(yīng)的向量可用基底向

量表示出來(lái)，這樣就把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，利用向量的共線、模、線性運(yùn)

算等達(dá)到解決平面幾何問(wèn)題的目的.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找合適的基底向量，充分利

用好平面圖形的性質(zhì).

3.用向量求解平面幾何問(wèn)題的步驟

⑴選取適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)不共線向量作為基底；

⑵將相關(guān)向量用基底表示；

⑶通過(guò)向量運(yùn)算得到新的向量關(guān)系式；

⑷將新的向量關(guān)系式“翻譯”成幾何關(guān)系.

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9.3.2向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算9.3.3向量平行的坐標(biāo)表示

一、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

文字?jǐn)⑹龇?hào)表示

若a=(xi,yi),b=(x,y),

加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量坐標(biāo)的和22

貝ija+b=(X1+X2,yi+y2)

若a=(xi,yi),b=(xy),

減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量坐標(biāo)的差2)2

貝Ua-b=(Xi-X2,yi-y2)

向量的實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原若a=(x,y),入ER,

數(shù)乘來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)則Xa=(Xx,Ay)

向量的一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去若A(xi,yi),B(X2,y2),

坐標(biāo)起點(diǎn)的坐標(biāo)JjiljAB=(x2-Xi,y2-yi)

二、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1.向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

若兩個(gè)向量a=(xi,yi),b=(x2,y2),則@心=*詼+洌2,即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)

應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.

2.向量的模

⑴向量模的公式：設(shè)a=(x,y),則冏=&2+y2.

x-x22

(2)兩點(diǎn)間的距離公式：若A%,y)B(X2,y2),JJ1IJ|AB|=7(i2)+(Yi-Yz).

3.向量的夾角公式

設(shè)兩個(gè)非零向量a=(xi,y)b=(x2,y2),它們的夾角為6,

mu___ca-b_*或2+%丫2

貝IJCOS9=^-=?---------?——二

aJxi+yiJx2+y2

4.兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示

設(shè)兩個(gè)非零向量a=(xi,yi),b=(x2,y2),Ijjija±b<=>XiX2+yiy2=0.

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5.向量平行的坐標(biāo)表示

一般地，設(shè)向量a：%,yi),b=(x2,y?Xa/0),貝lja〃b=x</2-X2y尸0.

特別地，當(dāng)a〃b且XzyzXO時(shí)，有包二左，即兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例.

x2Y2

三、向量的坐標(biāo)表示的重要結(jié)論

1.中點(diǎn)向量坐標(biāo)：若A(xi,y】),B(X2,y2),p為AB的中點(diǎn),

則而二叵警二(詈，左產(chǎn))(O為坐標(biāo)原點(diǎn))

2.三角形的重心向量坐標(biāo)

在AABC中，A(xi,y0,B(x2,y2),C(x3,y3),AABC的重心為G,

則前二四*二(世詈，左?(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

四、利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決有關(guān)幾何問(wèn)題

1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算一般是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)

的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外解題過(guò)程中要注意

方程思想的運(yùn)用.

2.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題,主要根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則,通過(guò)列方程(組)

進(jìn)行求解.

五、向量平行的坐標(biāo)表示的應(yīng)用

1.判斷向量共線

向量共線的判定方法主要有以下三種：

⑴利用向量共線定理，由b二入a(aWO)推出a〃b.

⑵利用向量平行的坐標(biāo)公式，若a=(xi,y)b=(x2,y2)(a^0),貝lja〃b=x?2-X2y尸0

直接求解.

⑶若a=(xi,y)b=(x,y),當(dāng)x?y2聲0時(shí),可用包二左進(jìn)行判斷.

22x2丫2

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2.利用向量平行的坐標(biāo)表示求點(diǎn)的坐標(biāo)

利用向量平行的坐標(biāo)表示求點(diǎn)M的坐標(biāo)的步驟：

T1尋找共線向量）

9利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)求出共線向

量的坐標(biāo)

3設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（*,y）,用的y表示以

'M為起點(diǎn)或終點(diǎn)鬲向量而坐標(biāo)

4利用共線向量的坐標(biāo)表示列方程（組）

5解方程（組）求出點(diǎn)M的坐標(biāo)

對(duì)于利用共線向量的坐標(biāo)表示求點(diǎn)的坐標(biāo)的問(wèn)題，還可以利用向量共線定理求解.

3.利用向量平行的坐標(biāo)表示求參數(shù)

在已知兩向量平行求參數(shù)的問(wèn)題中，參數(shù)一般設(shè)置在兩個(gè)位置：

一是向量的坐標(biāo)含有參數(shù)；

二是相關(guān)向量用已知兩個(gè)向量的含參關(guān)系式表示.

解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)選擇向量共線的表示形式，建立方程（組）求解.

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9.4向量應(yīng)用

一、向量在幾何中的應(yīng)用

L證明線線平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，常用向量平行(共線)的條件：若a=(a]，a)

b=(bi,bzXbXO),則a〃bQaib2