2022-2023學(xué)年上海市晉元某中學(xué)高二年級上冊期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市晉元高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

I.如圖，在正方體A8CO-AMGA中，M是棱A8的中點(diǎn).令直線與A4所成的角為4,直線

與平面ABC"所成的角為。2,二面角R-AM-C的平面角為％，則（）

C.=仇<仇D.

B

【分析】取的中點(diǎn)N,再根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合線線角線面角與二面角的定義，分析知名?的正

切值大小結(jié)合正切的單調(diào)性判斷即可

【詳解】取4片的中點(diǎn)N,連接如圖.易得AA//MN,故直線與AA所成的角4=N"MN.又直

線〃。，平面4片GA，故RM與平面ABCQ所成的角又A3工平面心已。，故二面

角。-AM—C的平面角a=NRAD=45°.因為tanq=縝>繪=1，tan4=1,

MNMN

tane,=2^<9^=l,故tana>tana>tana,又如a?均為銳角，故

MDAD

2.若向量前滿足向=1,忖=2,辦M+q,則￡與萬的夾角為（）

27r5冗

A.-C.—D.

63~6

c

【分析】2，R+?n7（￡+9=0,求得小6由3〈部〉=冬告

同似即可求夾角.

【詳解】由題可知，|@|=i,|5|=2,a?（6+5）=同2+萬?5=0=萬石=—1,

?cos(a,b)==——=-—

,,同似1x22,

...向量行與5的夾角為等.

故選：C.

3.我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)知識，知道數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明與正整數(shù)〃相關(guān)的命題.下列三

個證明方法中，可以證明某個命題P（〃）對一切正整數(shù)”都成立的是（）

①P0）成立，且對任意正整數(shù)4，“當(dāng)”時，p（i）均成立”可以推出“P（￡+l）成立”

②p⑴，p（2）均成立，且對任意正整數(shù)A,“p（k）成立”可以推出“p（左+2）成立”

③p（2）成立，且對任意正整數(shù)4之2,“p（k）成立”可以推出“p（2k）成立且p（Z-l）成立"

A.②③B.①③C.①②D.①②③

D

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義逐一分析即可得出答案.

【詳解】解：對于①，對任意正整數(shù)鼠“當(dāng)”區(qū)人時，均成立，

則當(dāng)n=k時，P（n）成立,

故①可證明某個命題P（〃）對一切正整數(shù)n都成立;

對于②，因為P⑴，p（2）均成立，〃（々+2）成立,

則當(dāng)〃為奇數(shù)時，P（〃）成立,

當(dāng)"為偶數(shù)數(shù)時，P（〃）成立，

所以②可以證明某個命題p（〃）對一切正整數(shù)〃都成立；

對于③，因為。（2）成立，對任意正整數(shù)Z22,成立，所以「⑴也成立,

又p（Z）成立，0（24）成立，則尸（24-1）也成立，

所以③可以證明某個命題P（〃）對一切正整數(shù)n都成立.

故選：D.

4.已知球0的體積為學(xué)，高為I的圓錐內(nèi)接于球。，經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面a截球。和圓錐所得

O

25兀

的截面面積分別為若則邑=（）

O

A.2B.>/5C.瓜D.20

C

【分析】根據(jù)給定條件，求出球。半徑，平面a截球。所得截面小圓半徑，圓錐底面圓半徑，再求

出平面a截圓錐所得的截面等腰三角形底邊長及高即可計算作答.

【詳解】球。半徑為R,由47;r外=1學(xué),SIT得a=：S,平面a截球。所得截面小圓半徑（，由

362

225TI4s_5

因此，球心0到平面a的距離d=J爐一＜=★=心而球心。在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面

a所成的角為45,

3

因圓錐的高為1,則球心o到圓錐底面圓的距離為4=；,于是得圓錐底面圓半徑

r=jR-：=J（|）2-（|）2=2,

令平面a截圓錐所得截面為等腰線段AB為圓錐底面圓01的弦，點(diǎn)C為弦AB中點(diǎn)，如圖,

依題意，ZCPO,=45,CO'=PO『1,PC=0,弦AB=2/2-002=26,

所以S2=LA8PC=#.

故選：C

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)

求解.

二、填空題

5.用集合符號表示直線/在平面a上____

lua

【分析】直線/在平面a上，利用集合與集合的關(guān)系符合表示即可.

【詳解】直線/在平面a上，即直線/包含于平面“，利用集合與集合的關(guān)系表示為/ua.

故/ua

6.已知|B|=2,6-5=-4,則向量1在向量5方向上的數(shù)量投影為.

-2

【分析】利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解向量。，5在方向上的數(shù)量投影即可.

【詳解】解：設(shè)向量力與5的夾角是6,則向量2在B方向上的數(shù)量投影為：團(tuán)cos"呼===-2.

|b|2

故-2

7.若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為1,圓心角為180。的半圓，則這個圓錐的軸截面面積等于.

旦

4

【分析】由展開圖的圓心角和半徑可求出圓錐底面圓的周長和半徑，從而求出圓錐的高，即可求得

軸截面的面積.

【詳解】因為圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為1,圓心角為180。的半圓，

所以扇形弧長/=%，即圓錐底面圓的周長為萬，

JT1

則圓錐底面圓半徑r=f=：,

2萬2

圓錐直觀圖如圖所示：

易知：cr)=i,PC=\,則〃==苧，

所以軸截面的面積S=lx且xL".

224

故在

4

8.己知無窮等比數(shù)列｛/｝的前〃項和為S“，且q=-l,則數(shù)列｛《,｝的各項和為.

-2

【分析】根據(jù)題意先求得等比數(shù)列的公比為4=；,進(jìn)而得5“=-21-W,再求極限即可.

【詳解】解：因為4=-1,

所以,等比數(shù)列的公比不等于1,故設(shè)等比數(shù)列｛0“｝的公比為q(qHl),

_-1(1-力_-1(1_力&=lz￡L]+q5=2

所以,5

Hl\-q4一l-qS5]-q32

所以,解得

所以,

2

因為數(shù)列｛q｝為無窮等比數(shù)列，

所以，數(shù)列｛q｝的各項和為加2$,=,J巴-2+g)=-2

故-2

9.如圖所示，在棱長為2的正方體ABC。-4B/GQ中，E是棱CG的中點(diǎn)，AF=AAD,若異面直

線D/E和A,F所成角的余弦值為逑，則A的值為.

3

【分析】由已知，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過異面直線。/七和

4F所成角的余弦值為逑，即可列式計算.

10

z

以。為原點(diǎn)，以。A,DC,力功分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

正方體的棱長為2,貝0,2),0/(0,0,2),￡(0,2,1),A(2,0,0).

所以庠=(0,2,-1),平=不+通=A^A+AAD=(0,0,-2)+〃-2,0,0)=(-2/1,0,-2),

所以即平，*卜奇稿=訴晟，

所以=噂，解得或2=（舍去）.

20"+11。33

故答案為4

10.在棱長為2的正方體ABC。-A￡GR中，直線8c到平面A〃C的距離為.

萬

【分析】根據(jù)gG〃平面ARC,將直線8/G到平面AAC的距離轉(zhuǎn)化為G到平面ARC的距離,

進(jìn)而解出答案.

【詳解】如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AAGA中，取CR的中點(diǎn)E,連接GE,則GELC2,

且C1E=0,

又AR1平面CDD￡,CtEu平面CDD、C\,所以AR1CtE,而gcCD尸D},

所以4片_1平面4。（7,

易知BCJ/平面ARC,則G到平面ARC的距離即為直線8/G到平面ARC的距離，

所以直線B/G到平面ARC的距離為④.

故答案為.0

11.已知公差不為。的等差數(shù)列{%}的前〃項和為s.,若出，S-57G{-5,0},則s“的最小值為

-6

【分析】時出的值進(jìn)行分類討論，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和最值的求法求得S”的最小值.

【詳解】S“取得最小值，則公差">0,%=-5或%=0,

⑴當(dāng)“4=0時，$7=7%=。，所以$5=-5,又55=5%,所以為=-1，

所以，4一。3="=1>°，故凡=〃-4,

令420,則“44,

所以S”的最小值為$=-6.

（2）當(dāng)久=-5,$=7%=-35,不合題意.

綜上所述：4=。，S5=-5,S7=0,S”的最小值為-6.

故-6.

12.斧頭的形狀叫楔形，在《算數(shù)書》中又稱之為“郛（），加）都”或“潮（qi加）堵”：其上底是一矩

形，下底是一線段.有一斧頭：上厚為三，下厚為六，高為五及袤<.mao}為二，問此斧頭的體積為

幾何？意思就是說有一斧頭形的幾何體，上底為矩形，下底為一線段，上底的長為3,下底線段長

為6,上下底間的距離高為5,上底矩形的寬為2,則此幾何體的體積是.

20

【分析】如圖所示：過A作垂足為連接過B作防，垂足為N,連接

CN,將所求幾何體分割成1個直三棱柱和2個全等的三棱錐，根據(jù)柱體、錐體的體積公式，代入數(shù)

據(jù)，即可得答案.

【詳解】過A作AM垂足為M,連接MD,過B作8N_L￡F,垂足為M連接CM如圖所

示

則三棱柱AQM-BCN為直棱柱，三棱錐E-ADM與三棱錐F-BCN全等,

由題意得AB=3,BC=2,EF=6,ABCV底邊BC上的高為5,

所以S,BCN=Law=；x2x5=5

113

所以該幾何體的體積V=S，BCNXA8+2X§XS/CNXNF=5X3+2X3X5XH=20.

故20

13.如圖，在四棱錐中，底面ABC。為菱形，底面A8CD,4?？?>=0,若也>=2月,

JT

/PAD=NBAD=則三棱錐P-COD的外接球表面積為.

16兀

【分析】根據(jù)三角形COR尸CO均為直角三角形，且9，面48。。，可判斷球心的位置為PC中點(diǎn)，

進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系可求半徑.

【詳解】；尸。_1_平面ABC。，仞(=平面488,；./7)_1_仞，又尸3=2百，ZPAD=^：.AD=2

取PC,CD中點(diǎn)分別為M,N，連接DM,MN,BN,

由于MN//PD,PDJ_平面ABC。,所以MN_L平面ABCD,

因為底面ABC。為菱形，所以8=1,OC=y/3,5.0DL0C,所以M)=NC=N。，即N是三角形

COD外接圓的圓心，因此球心在直線MN上，

又P￡>_LC￡),所以MD=MC=MP,因此可得M為球心，

又|PC|2=P￡>2+。02+。。2=16,

A5=4rt/?2=7t|PC|2=167t.

故16兀

P

14.已知|集合A=｛xk=2〃-1,〃€N*｝,8=Hx=2","eN"｝,將AuB中的所有元素按從小到大的

順序排列構(gòu)成一個數(shù)列｛4｝,設(shè)數(shù)列｛%｝的前?項和為S,,,則使得S“>1000成立的最小的n的值為

36

【分析】由題可得2"為數(shù)列｛%｝的2"T+〃項，且利用分組求和可得S2”T,,,=4"T+2"M-2,通過計算

即得.

【詳解】由題意，對于數(shù)列｛4｝的項2"，其前面的項1，3,5,....2"-\GA，共有2"T項，

2,22,23,…,2"eB,共有"項，所以2"為數(shù)列｛4｝的2"一+〃項，

,,|2,,,,,n+1

^_Sv,i）i=［（2xl-l）+（2x2-l）+---+（2x2--l）］+（2+2+...+2）=4-+2-2.

可算得2鵬+6=38（項），“64,%=1150,

因為%=63,%6=61,?35=59>所以$37=1086,$36=1023,$35=962,

因此所求"的最小值為36.

故36.

15.如圖所示，在正方體ABCD—AB'C'D中，AB=3,M是側(cè)面BCC,B'內(nèi)的動點(diǎn)，滿足

若AM與平面BCC'B'所成的角。，則tan。的最大值為.

【分析】以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)加（蒼3,田卜,川［0,3］）,根據(jù)求得的

關(guān)系，再根據(jù)A8_Z平面BCC'B'，可得e=解RtVABM即可.

【詳解】解：如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（3,0,0）,3（3,3,0）,D（0,0,3）,

設(shè)M（x,3M（x,ye［0,可），

則麗7=（x-3,3,y）初=（-3,-3,3）,

因為，

所以麗.初=（x-3,3,y）-（-3,-3,3）=-3（x-3）-9+3y=0,

所以》=x,則M（x,3,x）,

因為431平面BCC'B'>

所以Z4A/即為AM與平面BCD所成角，即6=NAMB,

八A333

rniitan0=-----=/-----=.=

則BM&-3)2+￡"6x+9,

所以當(dāng)x=j時，tan。取得最大值0.

16.在UWC中，AC=2BC=4,NACB為鈍角，M,N是邊上的兩個動點(diǎn)，且MN=1,若西.西

3

的最小值為:，則cos/ACB=__________.

4

A

1-3亞

8

【分析】取MN的中點(diǎn)p得麗=-麗|麗|=|而卜;，再將兩.函用向量表示并

結(jié)合兩■?麗的最小值為g得CR而=1，即C到直線A8的距離為1,再根據(jù)幾何關(guān)系即可求得

4

cosZACB

【詳解】取MN的中點(diǎn)P,取麗=-麗，|夕叫=,而|=3，

CMCN=(CP+PMy(CP+PN)=(CP+PMy[cP-PM^=CP--,

因為西?標(biāo)的最小值=3，

4

所以C七,=1.

作C"_LA3,垂足為H,如圖,

則C”=l,又BC=2,所以N8=30。，

因為AC=4,

所以由正弦定理得：sinA=l,cosA=姮，

44

^cosAlsinA

所以cosNACB=cos(15()o—A)=+

22

=￡叵占二且

24248

故答案為上夢

8

本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中檔題.

三、解答題

17.已知：平面aJ?平面夕，a[\p=my直線/在平面a內(nèi)，且求證：直線//平面夕.

【分析】根據(jù)得到再利用線面垂直的判定定理證明即可.

設(shè)直線/與直線機(jī)的交點(diǎn)為A,在平面廠內(nèi)過點(diǎn)A作直線6_Lm,

因為/，〃?，bLm,lua，bu/3,a[}/3=tn,a，/3,所以直線/,〃所成角為直角，即

又bn”?=A,buB,mu。,所以

18.設(shè)向量a=（cosx,J^sinx）,B=（l,旬，其中xe.

⑴若R+到〃?求實(shí)數(shù)x的值;

⑵己知"=（加T）且"1B，若〃x）=7",求"X）的值域.

,八71

⑴x=Z

⑵N，2]

【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示結(jié)合三角函數(shù)即可得解；

（2）由"1小可得/"=0,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】（1）解：￡+B=（cosx+l,及sinx+百），

因為（￡+可〃石，

所以血（cosx+1）-0sinx-0=O,即tanx=l,

一「兀兀

又X十H

所以x=9；

（2）解：因為"二（根,一1）且

所以萬?c=加一＞/2=0?所以m=,

則2=（及,-1）,

f^x）=a-c=V2cosx-5/2sinx=2cos^x+^1,

,i.7t71...7T7t3兀

因為xe一7,7'所以X+--7^—,

L22J444_

所以cos（x+：）￡J,

所以“X）的值域為[-3,2].

19.已知，正三棱柱ABC?AgG中，AAl=2AC=2f延長CB至。，使CB=BD.

(1)求證：CALDA,.

(2)求二面角與-AO-C的大小，(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(I)見解析；(2)arccos'五

17

【分析】(1)通過底面的邊角關(guān)系可得ND4c=90，，DAA.CA,進(jìn)而可證得C4_L平面，從而

得證；

(2)取AO中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)BE，可證得為二面角A-AO-C的平面角，從而得解.

【詳解】(1)因為是正三棱柱ABC-ABC，

所以A4,_LC4

AB=BC,S.ZBAC=ZBCA=60

從而/￡>84=120,

又CB=BD

所以=ZDAB=30

ZDAC=ZDAB+ABAC=90

即D4_LC4

.??C4,平面AA。

CA1DAt

(2)取AD中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)及邑所以8E〃AC,

又/M_LC4,故A4_L3E

因為J.平面4BC

從而D4_L平面nDAlB^E

所以ZBEq為二面角崗-AO-C的平面角.

因為BE=gAC=g,8g=2所以tanNBEg=器=4,

二面角q-AD-C的大小為arctan4

解法二：以直線AD為x軸，直線AC為y軸，直線4A為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系.

則A（0,0,0）,與￥，；，2,0（%/3,0,0）

\7

而=（6,0,0）,硒=傍,g,2

7

設(shè)平面A8Q的一個法向量用=(“,匕w)

AD-萬?=-J3u=0

則AB「4=^-u+^v+2w=0

令卬=1,則p=T,所以用=(O,T,l)

又平面ACB的一個方向量用=(0,0,1)

設(shè)二面角4-AO-C的大小為a

…n,-n.,-1V17

則二三==--

cosa=17

同Ml后

所以二面角片-AD-C的大小為arccos姮

17

本題主要考查了線面垂直的證明及性質(zhì)的應(yīng)用，二面角的求解，考查了空間想象力及計算能力，屬

于中檔題.

TT

20.如圖，在正四棱錐產(chǎn)一ABCD中，AB=2,側(cè)面物O與底面ABCD的夾角為

(1)求正四棱錐P-ABCD的體積；

(2)若點(diǎn)M是正四棱錐P-ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到平面ABCD,平面PAB,平面PBC,平面PCD,

平面PDA的距離分別為4，d2,q,d4,證明：24+4+4+4+4=26；

(3)若球。是正四棱錐P-48CD的內(nèi)切球，點(diǎn)。是正方形ABC。內(nèi)一動點(diǎn)，且0。=。2，當(dāng)點(diǎn)。沿

著它所在的軌跡運(yùn)動一周時，求線段0Q所形成的曲面與底面ABC。所圍成的幾何體的表面積.

⑴竺

3

(2)見解析

【分析】⑴連接AC，叨交于點(diǎn)歹，取A3的中點(diǎn)E,連接EF,尸尸，證明PE，AB,EF1AB,則〃￡萬

即為面布。與底面ABC。所成角的平面角，從而可求得底面邊長及高，再根據(jù)棱錐的體積公式即可

得解；

⑵根據(jù)匕，-小=3""+3加應(yīng)+支.4+,皿/4+；5"4,利用等體積法即可得證；

(3)由(2)可得4=4=4=4=4=rS為內(nèi)切球的半徑)，從而可求得內(nèi)切球半徑，利用勾股

定理求得Q尸，從而可得點(diǎn)。在以尸為圓心的圓上，進(jìn)而可得出線段。。形成的曲面與底面ABCO所

圍成的幾何體為圓錐，再根據(jù)圓錐的表面積公式即可得解.

【詳解】(1)解：連接AC,8Z)交于點(diǎn)F,取A。的中點(diǎn)E,連接EF,刊"

由正四棱錐的幾何特征可得下為AC,3。的中點(diǎn)，尸尸，底面ABCD,

AF=DF=壺,AFLDF,PA=PD,

因為E為AO的中點(diǎn)，

所以PEJ.AO,EF_LAO,

所以NPEF即為面PAD與底面ABCD所成角的平面角，即NPEF=(,

EF=\,則PE=2,PF=Ji,

所以％TBCO=gx2x2x6=^^；

(2)證明：SQABCD=2x2=4,S=S肝人口=S弁BC=S.PCD=]x2x2=2,

因為％-AB。=gx44+gx2(4+4+4+4)=華,

所以+&+4+&+4=;

(3)解：因為球。是正四棱錐p-ABC。的內(nèi)切球，

由(2)可知點(diǎn)。為點(diǎn)M的一種情況，

所以4=出=4=&)=痣=r(r為內(nèi)切球的半徑)，

所以故OF=3,OP=^^=OQ,

333

在RtA。/7。中，QF=JOQ2_0尸2=1,

所以點(diǎn)。在以尸為圓心1為半徑的圓上，

所以點(diǎn)。沿它所在的軌跡運(yùn)動一周時，線段既形成的曲面與底面A8CO所圍成的幾何體為圓錐，

所以線段0Q所形成的曲面與底面A8CO所圍成的幾何體的表面積為

,21c(2g3

Ttxl+—X27TX-^—=-^—4-1兀.

c

21.對于無窮數(shù)列｛%｝,若存在正整數(shù)7,使得％”=4,對一切正整數(shù)〃都成立，則稱無窮數(shù)列｛%｝

是周期為T的周期數(shù)列.

(1)已知無窮數(shù)列｛%｝是周期為2的周期數(shù)列，且4=3,%=1,S“是數(shù)列｛可｝的前〃項和，若

對一切正整數(shù)〃恒成立，求常數(shù)/的取值范圍；

(2)若無窮數(shù)列｛叫和也｝滿足〃=〃川-4,求證：“｛q｝是周期為T的周期數(shù)歹『，的充要條件是“也｝

是周期為T的周期數(shù)列，且￡々=0”;

仇=1也=CI

(3)若無窮數(shù)列｛a｝和他｝滿足么=4M〃“，且<%d>1是否存在非零常數(shù).，使得

nh

n+2--1,〃￡1、J

｛4｝是周期數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的常數(shù)〃；若不存在，請說明理由.

(l)[3,+oo)

(2)證明見解析；

(3)不存在非零常數(shù)。，使得｛a,J是周期數(shù)列，理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意，分〃為偶數(shù)和〃為奇數(shù)時兩種情況討論求解即可；

(2)根據(jù)周期性，結(jié)合累加法分別證明充分性與必要性即可；

(3)由題知數(shù)列也,｝是周期為7=6,再結(jié)合(2)的結(jié)論求解即可.

【詳解】(1)解：因為無窮數(shù)列｛4｝是周期為2的周期數(shù)列，且《=3,%=1，

所以，當(dāng)〃為偶數(shù)時，S"二萬(4+生)=2〃；

〃一1

當(dāng)〃為奇數(shù)時，+w)+4=2〃+1,

q

因為一"對一切正整數(shù)〃恒成立，

n

所以，當(dāng)〃為偶數(shù)時，?=2,故只需年2即可；

n

當(dāng)〃為奇數(shù)時，2=2+上43恒成立，故只需噂3即可；

nn

c

綜上，字金對一切正整數(shù)〃恒成立，常數(shù)r的取值范圍為[3,物