2021高一數(shù)學知識點總結

2021高一數(shù)學知識點總結

（高一數(shù)學）怎么學?預習可以使自己對新課有一個基本理解，

但不等于上課可以放松留意力降低思維緊急度，相反而應對自己提出

更高的要求。今日我在這給大家整理了高一數(shù)學學問點（總結），接

下來隨著我一起來看看吧！

高一數(shù)學學問點總結（一）

一、集合有關概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其

中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

1.元素的確定性2元素的互異性;3.元素的無序性

說明：⑴對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一

個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

⑵任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同

的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

⑶集合中的元素是公平的，沒有先后挨次，因此判定兩個集合是

否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列挨次是否一樣。

（4）集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：｛...｝如｛我校的（籃球）隊員｝,｛太平洋大西洋印

度洋北冰洋｝

1.用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊員｝B=｛12345｝

1

2.集合的表示（方法）：列舉法與描述法。

留意?。撼Ｓ脭?shù)集及其記法：

非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N_或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

關于“屬于"的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如:a是集合A的元素，

就說a屬于集合A記作*A,相反，a不屬于集合A記作a:A

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表

示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

②數(shù)學式子描述法:例：不等式x-32的解集是｛x?R|x-32｝或｛x|x-32｝

4、集合的分類：

1.有限集含有有限個元素的集合

2.無限集含有無限個元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：｛x|x2=-5｝

二、集合間的基本關系

L"包含"關系子集

留意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A記作AB或

BA

2."相等”關系（525,且5W5,則5=5）

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實例：設A={x|x2J=O}B={；1}“元素相同〃

結論：對于兩個集合A與B,假如集合A的任何一個元素都是集

合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們

就說集合A等于集合B,即：A=B

①任何一個集合是它本身的子集。A?A

②真子集:假如A?B且A?B那就說集合A是集合B的真子集，記

作AB（或BA）

③假如A?BB?C那么A?C

④假如A?B同時B?A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為①

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1.交集的定義：一般地，由全部屬于A且屬于B的元素所組成的

集合叫做AB的交集.

記作ACB（讀作"A交B"）,即AnB={x|x0A,且X0B}.

2、并集的定義：一般地，由全部屬于集合A或?qū)儆诩螧的元

素所組成的集合，叫做AB的并集。記作：AI2B（讀作〃A并B"）,即

AElB={x|x[2A,或x回B}.

3、交集與并集的性質(zhì)：AnA=AAn（t）=4）AnB=BnA,A回A=A

A回4）=AA回B=B回A.

4、全集與補集

⑴補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即），由S中全部

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不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)

記作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}

(2)全集：假如集合S含有我們所要討論的各個集合的全部元素,

這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

⑶性質(zhì)：0CU(CUA)=A0(CUA)nA=<D0(CUA)0A=U

高一數(shù)學學問點總結(二)

函數(shù)的值域與最值

1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采納何種方法求

函數(shù)值域都應先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：

⑴直接法：亦稱觀看法，對于結構較為簡潔的函數(shù)，可由函數(shù)的

解析式應用不等式的性質(zhì)，直接觀看得出函數(shù)的值域.

⑵換元法:運用代數(shù)式或三角換元將所給的簡單函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一

種簡潔函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當根式里一次式時

用代數(shù)換元，當根式里是二次式時，用三角換元.

⑶反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-l(x)的定義域和值域間的

關系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a，0)的函數(shù)

值域可采納此法求得.

⑷配方法:對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關的函數(shù)的值域問題可考

慮用配方法.

⑸不等式法求值域：利用基本不等式a+b2[a,b團(0,+2]可以求

某些函數(shù)的值域，不過應留意條件"一正二定三相等"有時需用到平方

等技巧.

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⑹判別式法：把y=f（x）變形為關于x的一元二次方程，利用"能0〃

求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

⑺利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當能確定函數(shù)在其定義域上（或某

個定義域的子集上）的單調(diào)性，可采納單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.

⑻數(shù)形結合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助

于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結合求函數(shù)的值域.

2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)分和聯(lián)系

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事

實上，假如在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的

最?。ù螅┲?因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的

角度不同，因而答題的方式就有所相異.

如函數(shù)的值域是（0,16],最大值是16,無最小值.再如函數(shù)的值

域是（-8,-2旭[2,+8）,但此函數(shù)無最大值和最小值，只有在轉(zhuǎn)變函

數(shù)定義域后，如X0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域

或最值的影響.

3、函數(shù)的最值在實際問題中的應用

函數(shù)的最值的應用主要體現(xiàn)在用函數(shù)學問求解實際問題上，從文

字表述上經(jīng)常表現(xiàn)為“工程造價最低〃，“利潤最大"或"面積（體積）最大

（最?。钡戎T多現(xiàn)實問題上，求解時要特殊關注實際意義對自變量的制

約，以便能正確求得最值.

函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f（x）,假如對于函數(shù)定義域內(nèi)

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的任意一個X,都有f(-x)=-f岡(或f(-x)=f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函

數(shù)(或偶函數(shù)).

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要留意兩點：⑴定義域在數(shù)軸

上關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條

件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域

上的整體性質(zhì)).

2、奇偶函數(shù)的定義是推斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于推

斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應用定義的等價形式。

高一數(shù)學學問點總結(三)

立體幾何初步

N0.1柱、錐、臺、球的結構特征

棱柱

定義：有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個

四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、

五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱

柱。

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都

是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多

邊形。

棱錐

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定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角

形，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、

五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底（面

相）似，其相像比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

棱臺

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間

的部分。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、

五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺

幾何特征：①上下底面是相像的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)

棱交于原棱錐的頂點

圓柱

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的

曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓

的半徑垂直;④側(cè)面綻開圖是一個矩形。

圓錐

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲

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面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側(cè)面綻

開圖是一個扇形。

圓臺

定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間

的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂

點;③側(cè)面綻開圖是一個弓形。

球體

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的

幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等

于半徑。

高一數(shù)學學問點總結（四）

集合的分類

⑴按元素屬性分類，如點集，數(shù)集。

⑵按元素的個數(shù)多少，分為有/無限集

關于集合的概念：

⑴確定性：作為一個集合的元素，必需是確定的，這就是說，不

能確定的對象就不能構成集合，也就是說，給定一個集合，任何一個

對象是不是這個集合的元素也就確定了。

（2）互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素肯定是不同的（或

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說是互異的），這就是說，集合中的任何兩個元素都是不同的對象，

相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素。

⑶無序性：推斷一些對象時候構成集合，關鍵在于看這些對象是

否有明確的標準。

集合可以依據(jù)它含有的元素的個數(shù)分為兩類：

含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做

無限集。

非負整數(shù)全體構成的集合，叫做自然數(shù)集，記作N;

在自然數(shù)集內(nèi)排解。的集合叫做正整數(shù)集，記作N+或N_;

整數(shù)全體構成的集合，叫做整數(shù)集，記作Z;

有理數(shù)全體構成的集合，叫做有理數(shù)集，記作Q；（有理數(shù)是整數(shù)

和分數(shù)的統(tǒng)稱，一切有理數(shù)都可以化成分數(shù)的形式。）

實數(shù)全體構成的集合，叫做實數(shù)集，記作R。（包括有理數(shù)和無理

數(shù)。其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)就包括整數(shù)和分數(shù)。數(shù)

學上，實數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點一一對應的數(shù)。）

1.列舉法：假如一個集合是有限集，元素又不太多，經(jīng)常把集合

的全部元素都列舉出來，寫在花括號“｛卜'內(nèi)表示這個集合，例如，由

兩個元素0,1構成的集合可表示為｛0,1｝.

有些集合的元素較多，元素的排列又呈現(xiàn)肯定的規(guī)律，在不致于

發(fā)生誤會的狀況下，也可以列出幾個元素作為代表，其他元素用省略

號表示。

例如：不大于100的自然數(shù)的全體構成的集合，可表示為｛0,1,

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2,3,100).

無限集有時也用上述的列舉法表示，例如，自然數(shù)集N可表示為

{1,2,3,…，n,.

2.描述法：一種更有效地描述集合的方法，是用集合中元素的特

征性質(zhì)來描述。

例如：正偶數(shù)構成的集合，它的每一個元素都具有性質(zhì)："能被

2整除，且大于0〃

而這個集合外的其他元素都不具有這種性質(zhì)，因此，我們可以用

上述性質(zhì)把正偶數(shù)集合表示為

“回R|x能被2整除，且大于0}或{x!3R|x=2n,n0N+},

大括號內(nèi)豎線左邊的X表示這個集合的任意一個元素，元素X從

實數(shù)集合中取值，在豎線右邊寫出只有集合內(nèi)的元素x才具有的性質(zhì)。

一般地，假如在集合I中，屬于集合A的任意一個元素x都具有

性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的元素都不具有的性質(zhì)p(x),則性質(zhì)p(x)叫

做集合A的一個特征性質(zhì)。于是，集合A可以用它的性質(zhì)p(x)描述為

{X0IIp(x)}

它表示集合A是由集合I中具有性質(zhì)p(x)的全部元素構成的，這

種表示集合的方法，叫做特征性質(zhì)描述法，簡稱描述法。

例如：集合A={xl3R|x2-l=0}的特征是X2-l=0

高一數(shù)學學問點總結(五)

高一下冊數(shù)學?？紝W問點

定義：

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X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特殊地,

當直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。

范圍：