2023-2024學(xué)年廣東省湛江市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省湛江市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.過(?2,0)和(0,2)兩點的直線的斜率是(

)A.1 B.?1 C.π4 D.2.用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)(x,y)(i=1,2,3,4,5,6)的線性回歸方程為y=2x+3，若i=16xiA.11 B.13 C.63 D.783.若圓C：(x?a)2+(y?4a)2=4被直線l：A.12 B.1 C.32 4.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖所示，以下命題正確的是(

)A.f(?1)是函數(shù)的最小值

B.f(?1)是函數(shù)的極值

C.y=f(x)在區(qū)間(?3,1)上不單調(diào)

D.y=f(x)在x=0處的切線的斜率大于05.某學(xué)校對本校學(xué)生的課外閱讀進行抽樣調(diào)查，抽取25名女生，25名男生調(diào)查，結(jié)果形成以下2×2列聯(lián)表，通過數(shù)據(jù)分析，認為喜歡課外閱讀與學(xué)生性別之間(

)喜歡課外閱讀不喜歡課外閱讀合計男生52025女生151025合計203050參考數(shù)據(jù)及公式如下：K2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.不能根據(jù)小概率的α=0.05的χ2獨立性檢驗認為兩者有關(guān)

B.根據(jù)小概率的α=0.01的χ2獨立性檢驗認為兩者有關(guān)

C.根據(jù)小概率的α=0.001的χ2獨立性檢驗認為兩者有關(guān)

D.根據(jù)小概率的α=0.05的6.學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙2名同學(xué)每人從中選一種或兩種，且兩人之間不會互相影響，則不同的選法種數(shù)為(

)A.20 B.25 C.225 D.4507.如圖，在三棱錐P?ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=90°，∠BPC=∠APC=60°，M為BC的中點，Q為AM的中點，則線段PQ的長度為(

)A.2

B.52

C.38.定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，a5=3，則數(shù)列{2A.322 B.3 C.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若a1+A.a1=14 B.q=3 C.10.已知甲口袋中裝有3個紅球，1個白球，乙口袋中裝有2個紅球，1個白球，這些球只有顏色不同.先從甲口袋中隨機取出1個球放入乙口袋，再從乙口袋中隨機取出1個球.記從甲口袋中取出的球是紅球、白球分別為事件A1、A2，從乙口袋中取出的球是紅球為事件B，則下列結(jié)論正確的是(

)A.P(A1)=34 B.P(B|A11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P是線段ADA.存在點E，使得A1E⊥平面AB1D1

B.當(dāng)點E為線段CC1的中點時，點B1到平面AED1的距離為2

C.點E到直線BD1的距離的最小值為22三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x?2x)613.已知f(x)=mex?x2，若f′(x)為奇函數(shù)，則14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記遞增的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S5=85，且a6=7a1．

(Ⅰ)求an和Sn；

(16.(本小題15分)

四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，點E是棱PC上一點．

(1)求證：平面PAC⊥平面BDE；

(2)當(dāng)E為PC中點時，求二面角A?BE?D的正弦值．17.(本小題15分)

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓W：x24+y2=1的左、右焦點，M為橢圓W上的一點．

(1)若點M的坐標為(1,m)(m>0)，求△F1MF218.(本小題17分)

為營造濃厚的全國文明城市創(chuàng)建?圍，積極響應(yīng)創(chuàng)建全國文明城市號召，提高對創(chuàng)城行動的責(zé)任感和參與度，學(xué)校號召師生利用周末參與創(chuàng)城志愿活動.高二(1)班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機選取2人作為志愿者參加活動．

(1)求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；

(2)記參加活動的女生人數(shù)為X，求X的分布列及期望E(X)；

(3)若志愿活動共有衛(wèi)生清潔員、交通文明監(jiān)督員、科普宣傳員三項可供選擇.每名女生至多從中選擇2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為12；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為12.每人每參加1項活動可獲得3個工時，記隨機選取的兩人所得工時之和為Y，求Y的期望19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(x?a)ex?x，(a∈R)．

(1)若曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線為x軸，求a的值；

(2)在(1)的條件下，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(3)g(x)=(x2?ax+1)ex?(1答案和、解析1.A

【解析】解：由題意得：直線的斜率k=2?00?(?2)=1．

故選：2.D

【解析】解：∵i=16xi=30，∴x?=16×30=5，

∵線性回歸方程y=2x+3一定過點3.D

【解析】解：由題意得圓心(a,4a)在直線l：3x?y+2=0上，

則3a?4a+2=0，解得a=2．

故選：D．

4.D

【解析】解：由圖可知，當(dāng)x∈(?∞,?3)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(?3,+∞)時，f′(x)≥0，

故f(x)在(?∞,?3)上單調(diào)遞減，在(?3,+∞)上單調(diào)遞增，

故f(?3)是函數(shù)的最小值，也是函數(shù)的極小值，

y=f(x)在區(qū)間(?3,1)上單調(diào)遞增，

y=f(x)在x=0處的切線的斜率大于0，即A、B、C錯誤，D正確．

故選：D．

5.B

【解析】解：由數(shù)表知，χ2=50×(5×10?15×20)220×30×25×25=253，

而6.635<253<10.8286.C

【解析】解：甲和乙的選擇方法分別有C51+C52=15種方法，

所以甲和乙不同的選擇方法有7.C

【解析】解：由題意得PQ=12PA+12PM=12PA+14PB+8.D

【解析】解：依題意，an+12?an2=2，即{an2}是公差為2的等差數(shù)列，而a5=3，

于是an2=a52+2(n?5)=2n?19.BD

【解析】解：依題，a1(1+q2)=5a1q3(1+q2)=135，解得a1=12q=3，故A錯誤，10.ACD

【解析】解：對于A，由于甲口袋中裝有4個球，其中有3個紅球，所以P(A1)=34，故A正確；

對于B，若從甲口袋中取出的球是白球，則此時乙口袋中有2個紅球，2個白球，從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為P(B|A2)=24=12，故B錯誤；

對于C，若從甲口袋中取出的球是紅球，則此時乙口袋中有3個紅球，1個白球，從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為P(B|A1)=34，所以P(A1B)=P(A1)P(B|11.ABD

【解析】解：對A選項，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖：

則根據(jù)題意可得D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，A(2,0,0)，

設(shè)E(0,2,a)(0≤a≤2)，

所以AD1=(?2,0,2)，AB1=(0,2,2)，A1E=(?2,2,a?2)，

假設(shè)存在點E，使得A1E⊥平面AB1D1，

則AD1?A1E=4+2(a?2)=0，AB1?A1E=4+2(a?2)=0，解得a=0，

所以存在點E，使得A1E⊥平面AB1D1，此時點E與點C重合，故A正確；

對于B，點E為線段CC1的中點時，E(0,2,1)，AE=(?2,2,1)，AD1=(?2,0,2)，

設(shè)平面AED1的一個法向量為m=(x,y,z)，

則AD1?m=?2x+2z=0AE?m=?2x+2y+z=0，取x=2，則m=(2,1,2)，又AB1=(0,2,2)，

故點B1到平面AED1的距離為|AB1?m||m|=2+43=2，故B正確；

對C選項，E(0,2,a)(0≤a≤2)，BE=(?2,0,a),BD1=(?2,?2,2)，

則點E到直線BD1的距離為BE2?(BE?BD1|BD1|)2=4+a2?(4+2a23)212.30

【解析】解：(x?2x)6展開式的通項公式為Tr+1=(?1)rC6rx6?r(2x)r13.0

【解析】解：根據(jù)題意，f(x)=mex?x2，則f′(x)=mex?2x，

若f′(x)為奇函數(shù)，則me?x?2(?x)=?me14.2【解析】解：如圖，在ΔABF2中，2sin∠ABF2=3sin∠BAF2，設(shè)|AF2|=t，

由正弦定理得|AF2|sin∠ABF2=|BF2|sin∠BAF2，則|BF2|=23t，

所以由雙曲線的定義可知|AF1|=t?2a，|BF1|=2a+15.解：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，

因為S5=5a3=85，所以a3=17，

由a6=7a1得，a3+3d=7(a3?2d)，

所以17+3d=7(17?2d)，解得d=6，

所以a1=a3【解析】(Ⅰ)結(jié)合等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)與通項公式，求出公差d與a1，再由等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，得解；

(Ⅱ)采用裂項求和法，即可得解．16.(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以PA⊥BD，

因為底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，

又PA∩AC=A，PA、AC?平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

因為BD?平面BDE，

所以平面PAC⊥平面BDE．

(2)解：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，E(1,1,1)，

所以BE=(?1,1,1)，AB=(2,0,0)，BD=(?2,2,0)，

設(shè)平面ABE的法向量為m=(x,y,z)，則m?BE=?x+y+z=0m?AB=2x=0，

取y=1，則x=0，z=?1，所以m=(0,1,?1)，

設(shè)平面BDE的法向量為n=(a,b,c)，則n?BE=?a+b+c=0n?BD=?2a+2b=0，

取a=1，則b=1，c=0，所以n=(1,1,0)，

所以cos【解析】(1)由PA⊥平面ABCD，知PA⊥BD，結(jié)合BD⊥AC，可證BD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理，即可得證；

(2)以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角，即可得解．

17.解：(1)因為點M(1,m)在橢圓上，

所以14+m2=1，

因為m>0，所以m=32，

因為a=2，b=1，所以c=a2?b2=3，所以F1(?3,0)，F(xiàn)2(3,0)，

所以S△F1MF2=【解析】(1)代入法求得m值，然后求出焦點坐標后可得三角形面積；

(2)由余弦定理可得．

18.解：(1)設(shè)“有女生參加活動”為事件A，“恰有一名女生參加活動為事件B，

則P(AB)=12C41CC62=815，P(A)=12C41C+C22C6X012P281所以E(X)=0×25+1×815+2×115=23；

(3)設(shè)一名女生參加活動可獲得工時數(shù)為X1，一名男生參加活動可獲得工時數(shù)為X2，

則X1的所有可能取值為3，6，X2的所有可能取值為6，9，

P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(【解析】(1)根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)超幾何分布概率公式可求出結(jié)果；

(3)先求出一名女生和一名男生參加活動可獲得工時的數(shù)學(xué)期望，再根據(jù)期望的性質(zhì)可求出結(jié)果．

19.解：(1)根據(jù)題意，由已知f′(x)=(x?a+1)ex?1，則f′(0)=(?a+1)e0?1=?a，

由于曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線為x軸，

所以?a=0，

所以a=0；

(2)當(dāng)a=0時，f′(x)=(x+1)ex?1，令?(x)=(x+1)ex?1，

則?′(x)=(x+2)ex，

當(dāng)x<?2時，?′(x)<0，f′(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>?2時，?′(x)>0，f′(x)單調(diào)遞增，

又當(dāng)x<?2時，f′(x)<0恒成立，f′(?2)=?e?2?1，f′(0)=e0?1=0，

所以當(dāng)x<0時f′(x)<0，x>0時，f′(x)>0，

所以f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(3)由已知g′(x)=(x2?ax+1+2x?a)ex?(x+1)=(x+1)[(x?a+1)ex?1]，

令v(x)=(x?a+1)ex?1，則v′(x)=(x?a+2)ex，

當(dāng)x<a?2時，v′(x)<0，v(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>a?2時，v′(x)>0，v(x)單調(diào)遞增，

又當(dāng)x<a?2時，v(x)<0恒成立，且v(a?2)=?ea?2?1<0，

當(dāng)x→+∞時，v(x)>0，即v(x)在(a?2,+∞)上有且只有一個零點，