2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若2∈{x|ax2+3x+a2?3>0}A.?3<a<?1 B.?3?a??1

C.a??3或a??1 D.a<?3或a>?12.若函數(shù)fx=1?x2A.xx>0 B.xx≤1 C.x0<x≤13.下列運(yùn)算中正確的是(

)A.log23=lg2lg3 B.4.函數(shù)fx=exA. B. C. D.5.已知fx=log12x2?ax+3aA.?∞,4 B.?4,4 C.0,2 D.0,46.已知A，B為同一次試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件，且PA>0，PB>0，命題甲：若PBA+PB=1，則事件A與B相互獨(dú)立；命題乙：“A.甲乙都是真命題 B.甲是真命題，乙是假命題

C.甲是假命題，乙是真命題 D.甲乙都是假命題7.已知a=log32，b=log43A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a8.已知函數(shù)fx=xex,x<0?x2+2x,x≥0，若關(guān)于xA.?∞,?1e B.?1e,0 二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在(x?1A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為32 B.各項(xiàng)系數(shù)之和為0

C.常數(shù)項(xiàng)為15 D.x?3的系數(shù)為10.已知不等式ax2+bx+c>0的解集為x∣2<x<3，則以下選項(xiàng)正確的有A.abc>0

B.a+b+c>0

C.函數(shù)f(x)=ax2+bx+c有兩個(gè)零點(diǎn)2和3

D.cx11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且?x∈R，都有f(?3+x)+f(?1?x)=0，f?32+x=f?12?x，f(?5)=?2，A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?2,0)對稱

B.f(1)=2

C.f(2023)+f(2024)+f(2025)=2

D.函數(shù)f(x)與函數(shù)y=|ln|x||的圖象有三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知x>3，則x+4x?3的最小值為_____．13.某地教育局準(zhǔn)備從本地區(qū)選聘6位教育家型教師到外地3所學(xué)校支教，要求每所學(xué)校至少去1位教師，每位教師只能去1所學(xué)校，且甲乙兩位教師必須去同一所學(xué)校，則不同的分配方案種數(shù)為_________．14.若對任意的x>0，不等式(x?a)ex+1+a≥0恒成立，則a四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=?x(Ⅰ)若不等式f(x)≤2對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；(Ⅱ)解關(guān)于x的不等式f(x)>0．16.(本小題12分)定義在0,+∞上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，且x>1時(shí)，f(x)>0．(1)求f(1)；(2)判斷f(x)在0,+∞上的單調(diào)性；(3)若f(x)+f(x?8)≤2，求x的取值范圍．17.(本小題12分)已知函數(shù)fx=a?3(1)求a的值；(2)若gx=9x18.(本小題12分)某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”.請完成以下2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系;性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(jì)(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題.以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X，求E(X)和D(X);(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：χ2=n(ad?bcα0.10.050.01x2.7063.8416.63519.(本小題12分)設(shè)函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的極值；(2)當(dāng)m=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(3)在(1)條件下，若對任意x∈?1,+∞，有l(wèi)nfx+2≤2e答案解析1.D

【解析】解：因?yàn)?∈{x|ax2+3x+a2?3>0}，

所以4a+6+a2?3>0，即a2+4a+3>02.C

【解析】解：由1?x2故選C．3.D

【解析】解：對于A，由換底公式可得：log23=對于B，4a3?對于C，a2=對于D，12log故選：D4.C

【解析】解：由題，fx的定義域?yàn)閤|x≠1且x≠?1，

因?yàn)閒(?x)=e?x?ex|1?x2|=?fx，所以f(x)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B；

當(dāng)x∈0,+∞5.B

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=log12t為(0,+∞)上的減函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：若函數(shù)則當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí)，x2?ax+3a>0且函數(shù)t=x2?ax+3a為增函數(shù)，

即a2≤2，當(dāng)x=2時(shí)，解得?4<a≤4．故選B．6.B

【解析】解：因?yàn)?/p>

PBA所以

PBA所以

PABPA=PB

所以事件A與B相互獨(dú)立，命題甲正確；若A與B相互獨(dú)立，則

A

與

B

相互獨(dú)立，

A

與

B

相互獨(dú)立，PABPAB所以

PAB若

PAB=PAB

所以

PAB所以

P所以

PAB所以

PABPAB=PAPB

，故事件

A所以事件

A

與事件

B

相互獨(dú)立，所以“A與B相互獨(dú)立”是“

PAB所以命題乙為假命題，故選B．7.C

【解析】解：因?yàn)?3<32，所以又33>42，所以綜上，a<c<b．故選：C8.B

【解析】解：由f2(x)?(2+t)?f(x)?+2t=0得[f(x)?2][f(x)?t]=0，所以f(x)=2或f(x)=t，

因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，f(x)=xex，所以f′(x)=(1+x)ex，

所以當(dāng)x∈(?∞,?1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(?1,0)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)≥f(?1)=?1e，且f(x)<0，

又因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f(x)=?x2+2x=?(x?1)2+1，

所以f(x)在x∈(0,1)時(shí)單調(diào)遞增，在x∈(1,+∞)時(shí)單調(diào)遞減，且f(x)≤f(1)=1，

所以作出函數(shù)9.BCD

【解析】解：因?yàn)?x?1x)6，它的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C6r(x)6?r(?1x)r=(?1)rC6rx3?3r2(r=0,1,2,?,6)，

易知所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為210.ACD

【解析】解：∵不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3}，

∴根據(jù)一元二次不等式解法可知a<0，且?ba=5，ca=6>0，

∴b>0，c<0，則abc>0，A正確;

由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象知當(dāng)x=1時(shí)，y<0，故a+b+c<0，B錯(cuò)誤;C顯然正確;

由?ba=5，ca=6可知：將b=?5a，c=6a代入cx2+bx+a<0，

得6ax2?5ax+a<0，

由a<011.ABD

【解析】解：依題意，因?yàn)閒(?3+x)+f(?1?x)=0，即f(?2+x)+f(?2?x)=0，

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?2,0)對稱，所以A選項(xiàng)正確;

又?x∈R，f(?32+x)=f(?12?x)，即f(?1+x)=f(?1?x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=?1對稱，

也即f(?2+x)=f(?x)，又f(?4+x)+f(?x)=0，所以f(?2+x)=?f(?4+x)，

即f(x)=?f(?2+x)，則f(x+2)=?f(x)，所以f(x+4)=f(x)，所以4是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，

故f(?5)=f(?1)=?2，由f(x)=?f(?2+x)，令x=1，所以f(1)=?f(?1)=2，所以B選項(xiàng)正確;

因?yàn)閒(72)=f(4?12)=f(?12)=?34，f(?1)=?2，又當(dāng)x∈[?1,0]時(shí)，f(x)=ax2+bx，

所以a?b=?214a?b2=?34，解得a=?1b=1，即當(dāng)x∈[?1,0]時(shí)，f(x)=?x12.7

【解析】解：∵x>3，

∴x+4x?3=(x?3)+4x?3+3≥24+3=7(當(dāng)且僅當(dāng)x?3=4x?3，即x=5時(shí)取得“=”13.150

【解析】解：根據(jù)題意可分為三類：?①甲乙兩人一起去同一所學(xué)校，?②甲乙連同另一名老師一起去同一所學(xué)校，?③甲乙連同另外兩名老師一起去同一所學(xué)校，

?①甲乙兩人一起去同一所學(xué)校，則不同的分配方案種數(shù)為(C42A22+C41)A33=42，

?②甲乙連同另一名老師一起去同一所學(xué)校，則不同的分配方案種數(shù)為14.2

【解析】解：原不等式等價(jià)于

a≤xex+1ex令

ex=tt>1

，則上式化為

構(gòu)造函數(shù)

ft=則

f′t=令

gt=t?2?所以

gt

在

1,+∞

上單調(diào)遞增，而在

g(3)=1?ln故

?t0∈3,4

使得

gt0=0

，故

ft

在即

ft≥f所以

a≤t0又

t0∈3,4?t0?1∈2,3故答案為：2．15.解：(Ⅰ)由題意，不等式f(x)≤2對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，

等價(jià)于x2?(a?1)x+a≥0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立．

所以(Ⅱ)不等式f(x)>0等價(jià)于x2當(dāng)a?2>1即a>3時(shí)，不等式可化為1<x<a?2，不等式的解集為x1<x<a?2當(dāng)a?2=1即a=3時(shí)，不等式可化為(x?1)2<0當(dāng)a?2<1即a<3時(shí)，不等式可化為a?2<x<1，此時(shí)xa?2<x<1綜上所述：當(dāng)a<3時(shí)，不等式的解集為xa?2<x<1當(dāng)a=3時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a>3時(shí)，不等式的解集為x1<x<a?2

【解析】(Ⅰ)由題意，得x2?(a?1)x+a≥0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，利用Δ?0即可求解；

(Ⅱ)不等式f(x)>0等價(jià)于[x?(a?2)](x?1)<0，然后對16.解：(1)

∵

f(x)

滿足

f(xy)=f(x)+f(y)

，令

y=1

，

∴f(x)=f(x)+f(1)

，

∴f(1)=0

．(2)設(shè)

0<x1f(x2∵0<x1<x2

，

∴x2x1>1

，又

x>1

故

f(x2)?f(x1)>0∴y=f(x)

在

0,+∞

上單調(diào)遞增．(3)由

f(3)=1

，且

f(xy)=f(x)+f(y)

，得

2=f(3)+f(3)=f(9)

，則

f(x)+f(x?8)≤2

可化為

fx(x?8)≤f(9)由

(2)

知

y=f(x)

在

0,+∞

上單調(diào)遞增，∴x>0,x?8>0,x(x?8)≤9,

解得

故

x

的取值范圍為

8,9

．

【解析】(1)利用賦值法，令

y=1

，代入

f(xy)=f(x)+f(y)

即可求解；(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，設(shè)

0<x1<x2

，把

x2

用

x2x1?x1

表示，再根據(jù)函數(shù)

f(x)

滿足

f(xy)=f(x)+f(y)

進(jìn)行計(jì)算即可判斷(3)由

2=f(3)+f(3)=f(9)

，將

f(x)+f(x?8)≤2

化為

fx(x?8)≤f(9)17.解：(1)由偶函數(shù)定義知f(?x)=f(x)，即a?3?x+13?x?1=a?3?x+3?3x=a?3x+3?3?x，

所以(a?3)(3x?3?x)=0對?x∈R成立，所以a=3．

(2)由題意知g(x)=9x+9?x+mf(x)+m2?1=32x+3?2x+m(3?3x+13x?1)+m2?1，

令u=3【解析】(1)由題函數(shù)fx為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義計(jì)算求得a的值即可；

(2)因?yàn)間(x)=9x+9?x+mf(x)+m18.解：（1）2×2列聯(lián)表

零假設(shè)為H0:性別與鍛煉情況獨(dú)立,即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)，

根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算

χ?2=60(7×16?23×14)221×39×30×30=60×(7×30)221×39×30×30=14039≈3.590>2.706=χ0.1，

根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,

即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1；

(2)因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù),故X近似服從二項(xiàng)分布,

隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率p=560=112，

X~B(20,112)，

故E(X)=20×112=53，

D(X)=20×112×1112=5536；

(3)10名“運(yùn)動愛好者”有7名男生,3名女生,Y服從超幾何分布:

P(Y=0)=C70C33C103=1120,P(Y=1)=C71C32C103【解析】（1）列出列聯(lián)表，計(jì)算卡方，與臨界值比較得出結(jié)論；

（2）因?qū)W校總學(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù),故X近似服從二項(xiàng)分布,利用二項(xiàng)分布的期望與方差得出結(jié)論；

（3）10名“運(yùn)動愛好者”有7名男生,3名女生,Y服從超幾何分布，求出概率，考查分布列與期望.19.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=m(x?1)ex，則f′(x)=mxex，m>0，

令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0．

故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(?∞,0