2023-2024學(xué)年湖南省張家界市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖南省張家界市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=3?4i，則z?對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,m)，向量b=(?1,3)，若a/?/A.3 B.?3 C.3.某學(xué)校有高中學(xué)生3000人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)分別為1050，1000，950.為調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，那么應(yīng)抽取高一年級學(xué)生的人數(shù)為(

)A.195 B.105 C.100 D.954.已知邊長為2的正方形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，連接BE，則BE?EA=A.?2 B.?1 C.1 D.25.甲、乙兩個人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，兩人都隨機(jī)出拳，則一次游戲兩人平局的概率為(

)A.13 B.23 C.146.對于兩個平面α，β和兩條直線m，n，下列命題中真命題是(

)A.若m⊥α，m⊥n，則n//αB.若m//α，α⊥β，則m⊥β

C.若m//α，n//β，α⊥β，則m⊥nD.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n7.科技是一個國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號(如圖1)是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實(shí)力.“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則極目一號體積約為(

)

(參考數(shù)據(jù)：9.52≈90，9.53≈857，315×1005≈316600)A.9064m3 B.9004m3 C.8.隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運(yùn)動的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升．某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動體驗課程．甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件A=“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件B=“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件C=“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則(

)A.A與B為對立事件 B.A與C互斥 C.A與C相互獨(dú)立 D.B與C相互獨(dú)立二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.

某校1000名學(xué)生在高三一模測試中數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).分?jǐn)?shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，則(

)A.a=0.008 B.X=120

C.70分以下的人數(shù)約為6人 D.本次考試的平均分約為93.610.如圖所示，為了測量A，B兩島的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則下列結(jié)論正確的是(

)A.∠CAD=45° B.A，D之間的距離為152海里

C.B，D之間的距離為303海里 D.A，11.正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長均相等，D是AA1的中點(diǎn)，M，N是線段BB1，CC1上的動點(diǎn)(A.平面DMN⊥平面BCC1B1B.三棱錐A1?DMN的體積為定值

C.△DMN可能為直角三角形D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在9，10，11，13，15，16這六個數(shù)中，第50百分位數(shù)是______．13.已知復(fù)數(shù)z=(2+ai)(1+i3)(a∈R)為純虛數(shù)，則|z+3|+z14.已知三棱錐P?ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，PB=PC=25，AB=4，AC=4，PA=BC=2，則球O的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù)．

①2+i1?2i②?4+3i3+4i③?1?i?1+i

(i是虛數(shù)單位)

(Ⅰ)從三個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

(16.(本小題15分)

全國文明城市簡稱文明城市，是指在全面建設(shè)小康社會中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市.全國文明城市稱號是反映中國城市整體文明水平的最高榮譽(yù)稱號.為普及相關(guān)知識，爭創(chuàng)全國文明城市，張家界市組織了文明城市知識競賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取了甲、乙兩個單位各5名職工的成績(單位：分)如表：甲單位8788919193乙單位8589919293(1)根據(jù)如表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩個單位5名職工的成績的平均數(shù)和方差，并比較哪個單位的職工對文明城市知識掌握得更好；

(2)用簡單隨機(jī)抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點(diǎn)．

(1)證明：PB/?/平面ACM；

(2)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．18.(本小題17分)

乒乓球臺面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分.如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A、B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C、D.某次測試要求隊員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球，規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分.對落點(diǎn)在A上的來球，隊員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為12，在D上的概率為13；對落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為15，在D上的概率為35.假設(shè)共有兩次來球且落在A、B上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：

(1)小明對落點(diǎn)在A、B上的來球回球的得分為0分的概率；

(2)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；

(3)19.(本小題17分)

已知G點(diǎn)為△ABC的重心，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．

(1)若OG=OA+λ(AB+AC)，求實(shí)數(shù)λ的值；

(2)若AG⊥BG，且

(ⅰ)a2答案解析1.A

【解析】解：復(fù)數(shù)z=3?4i，則z?=3+4i對應(yīng)的點(diǎn)(3,4)位于第一象限，

故選：2.B

【解析】解：∵向量a=(1,m)，向量b=(?1,3)，若a/?/b，

則1×3.B

【解析】解：采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，

則應(yīng)抽取高一年級學(xué)生的人數(shù)為：300×10503000=105．

故選：4.B

【解析】解：如圖，

BE=BA+AE=BA?EA，

∴BE?5.A

【解析】解：甲、乙兩個人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：(甲，乙)錘剪子包袱錘(錘，錘)(錘，剪子)(錘，包袱)剪子(剪子，錘)(剪子，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，錘)(包袱，剪子)(包袱，包袱)∵由表格可知，共有9種等可能情況．其中平局的有3種：(錘，錘)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)．

∴甲和乙平局的概率為：39=13．6.D

【解析】解：在A中：若m⊥α，m⊥n，則n//α或n?α，故A錯誤；

在B中：若m//α，α⊥β，則m與β相交、平行或m?β，故B錯誤；

在C中：若m//α，n//β，α⊥β，則m與n相交、平行或異面，故C錯誤；

在D中：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)得m⊥n，故D正確．

故選：D．7.A

【解析】解：由圖可知，半球的半徑R=9.5米，圓柱的底面半徑R=9.5米，高為14米，圓臺的下底面半徑為R=9.5米，上底面半徑為r=1米，高為?=31.5米．

則極目一號體積約為V=12×43π×9．53+π×9．52×14+8.C

【解析】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形：

①有1門相同，②2門都相同，③2門都不相同，

∴A與B互斥不對立，A與C不互斥，故A，B錯誤；

P(A)=C41C31C21C42C42=23，P(B)=C42C42C42=169.AD

【解析】解：對于A，(0.002×2+0.004+a+0.014+0.02)×20=1?a=0.008，A正確；

對于B，因為第六組有40人，第五組有160人，

所以130?X130?110=40160?X=125，B錯誤；

對于C，70分以下的人數(shù)為(0.002+0.004)×20×1000=120人，C錯誤；

對于D，平均成績X?=40×0.04+60×0.08+80×0.28+100×0.4+120×0.16+140×0.04=93.6，10.ABD

【解析】解：由題意可得∠ADC=15°+90°=105°，∠ACB=60°，

∴∠ACD=30°，∴∠CAD=180°?105°?30°=45°，故A正確；

在△ACD中，由正弦定理可得ADsin∠ACD=DCsin∠DAC，即ADsin30°=30sin45°，

解得AD=152，故B正確；

在Rt△BCD中，由∠BDC=45°，可得BC=CD=30，BD=302，故C錯誤；

11.ABD

【解析】解：如圖，

對于A：當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動時，若滿足BM=C1N，

則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，

∴平面DMN⊥平面BCC1B1，故A正確；

對于B：當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動時，△A1DM的面積不變，N到平面A1DM的距離不變，

∴棱錐N?A1DM的體積不變，

即三棱錐A1?DMN的體積為定值，故B正確；

對于C：若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，

但MN的最大值為BC1，而此時DM，DN的長大于BB1，

∴△DMN不可能為直角三角形，故C錯誤；

對于D：當(dāng)M、N分別為BB1，CC1中點(diǎn)時，

平面DMN與平面12.12

【解析】解：因為6×50%=3，

則第50百分位數(shù)為11+132=12．

故答案為：1213.5+4i

【解析】解：z=(2+ai)(1+i3)=2+a+(a?2)i，

∵復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，∴2+a=0a?2≠0，解得a=?2．

∴z=?4i，z?=4i．

則14.316π15【解析】解：∵三棱錐P?ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，PB=PC=25，AB=4，AC=4，PA=BC=2，

∴根據(jù)勾股定理易得PA⊥AC，PA⊥AB，又AC∩AB=A，

∴PA⊥平面ABC，

設(shè)底面三角形ABC的外接圓的半徑為r，球O的半徑為2R，

易知cos∠ABC=14，∴sin∠ABC=1?(14)2=154，

15.解：(Ⅰ)?1?i?1+i=(?1?i)(?1?i)2=i，

(Ⅱ)根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及(Ⅰ)的計算結(jié)果，可以得到：

a+bib?ai=i，【解析】(Ⅰ)由復(fù)數(shù)的運(yùn)算得：?1?i?1+i=(?1?i)(?1?i)2=i，

(Ⅱ16.解：(1)x?乙=85+89+91+92+935=90，

x?甲=87+88+91+91+935=90，s甲2=15[(87?90)2+(88?90)2+(91?90)2+(91?90)2+(93?90)2]=245，

s乙2=15[(85?90)2+(89?90)2+(91?90)2+(92?90)2+(93?90)2]=8，

顯然x?甲=【解析】(1)結(jié)合平均數(shù)、方差公式，即可求解；

(2)結(jié)合列舉法，即古典概型的概率公式，即可求解．

17.(1)證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，

∵O為AC的中點(diǎn)，∴O為BD的中點(diǎn)，

又∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，

∴PB/?/MO，

∵PB?平面ACM，MO?平面ACM，

∴PB/?/平面ACM．

(2)解：取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN，

∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，

∴MN/?/PO，且MN=12PO=1，

由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，

∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，

在Rt△DAO中，∵AD=1，AO=12，∠DAO=90°，∴DO=52，

∴AN=12DO=54，

在【解析】(1)連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，由O為AC的中點(diǎn)，知O為BD的中點(diǎn)，再由M為PD的中點(diǎn)，知PB//MO，由此能夠證明PB//平面ACM．

(2)取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN，由M為PD的中點(diǎn)，知MN//PO，且MN=12PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，故∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，由此能求出直線AM與平面18.解：(1)因為小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為12，在D上的概率為13；對落點(diǎn)在B上的來球，

小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為15，在D上的概率為35．

所以記Ai為事件“小明