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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖南省張家界市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=3?4i,則z?對應(yīng)的點(diǎn)位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,m),向量b=(?1,3),若a/?/A.3 B.?3 C.3.某學(xué)校有高中學(xué)生3000人,其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)分別為1050,1000,950.為調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向,現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本,那么應(yīng)抽取高一年級學(xué)生的人數(shù)為(
)A.195 B.105 C.100 D.954.已知邊長為2的正方形ABCD中,E為AD中點(diǎn),連接BE,則BE?EA=A.?2 B.?1 C.1 D.25.甲、乙兩個人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲,兩人都隨機(jī)出拳,則一次游戲兩人平局的概率為(
)A.13 B.23 C.146.對于兩個平面α,β和兩條直線m,n,下列命題中真命題是(
)A.若m⊥α,m⊥n,則n//αB.若m//α,α⊥β,則m⊥β
C.若m//α,n//β,α⊥β,則m⊥nD.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥n7.科技是一個國家強(qiáng)盛之根,創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步之魂,科技創(chuàng)新鑄就國之重器,極目一號(如圖1)是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月,“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測,最高升空至9050米,超過珠穆朗瑪峰,創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄,彰顯了中國的實(shí)力.“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55米,高19米,若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體,正視圖如圖2所示,則極目一號體積約為(
)
(參考數(shù)據(jù):9.52≈90,9.53≈857,315×1005≈316600)A.9064m3 B.9004m3 C.8.隨著北京冬奧會的舉辦,中國冰雪運(yùn)動的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動,號召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動的主力軍”,開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動體驗課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí),設(shè)事件A=“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”,事件B=“甲乙兩人所選課程完全不同”,事件C=“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”,則(
)A.A與B為對立事件 B.A與C互斥 C.A與C相互獨(dú)立 D.B與C相互獨(dú)立二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。9.
某校1000名學(xué)生在高三一模測試中數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).分?jǐn)?shù)不低于X即為優(yōu)秀,已知優(yōu)秀學(xué)生有80人,則(
)A.a=0.008 B.X=120
C.70分以下的人數(shù)約為6人 D.本次考試的平均分約為93.610.如圖所示,為了測量A,B兩島的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛30海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則下列結(jié)論正確的是(
)A.∠CAD=45° B.A,D之間的距離為152海里
C.B,D之間的距離為303海里 D.A,11.正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長均相等,D是AA1的中點(diǎn),M,N是線段BB1,CC1上的動點(diǎn)(A.平面DMN⊥平面BCC1B1B.三棱錐A1?DMN的體積為定值
C.△DMN可能為直角三角形D.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.在9,10,11,13,15,16這六個數(shù)中,第50百分位數(shù)是______.13.已知復(fù)數(shù)z=(2+ai)(1+i3)(a∈R)為純虛數(shù),則|z+3|+z14.已知三棱錐P?ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上,PB=PC=25,AB=4,AC=4,PA=BC=2,則球O的表面積為______.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)
某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn),以下三個式子的值都等于同一個常數(shù).
①2+i1?2i②?4+3i3+4i③?1?i?1+i
(i是虛數(shù)單位)
(Ⅰ)從三個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);
(16.(本小題15分)
全國文明城市簡稱文明城市,是指在全面建設(shè)小康社會中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市.全國文明城市稱號是反映中國城市整體文明水平的最高榮譽(yù)稱號.為普及相關(guān)知識,爭創(chuàng)全國文明城市,張家界市組織了文明城市知識競賽,現(xiàn)隨機(jī)抽取了甲、乙兩個單位各5名職工的成績(單位:分)如表:甲單位8788919193乙單位8589919293(1)根據(jù)如表中的數(shù)據(jù),分別求出甲、乙兩個單位5名職工的成績的平均數(shù)和方差,并比較哪個單位的職工對文明城市知識掌握得更好;
(2)用簡單隨機(jī)抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人,求抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率.17.(本小題15分)
如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O為AC的中點(diǎn),PO⊥平面ABCD,PO=2,M為PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB/?/平面ACM;
(2)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.18.(本小題17分)
乒乓球臺面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分.如圖,甲上有兩個不相交的區(qū)域A、B,乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C、D.某次測試要求隊員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球,規(guī)定:回球一次,落點(diǎn)在C上記3分,在D上記1分,其它情況記0分.對落點(diǎn)在A上的來球,隊員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為12,在D上的概率為13;對落點(diǎn)在B上的來球,小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為15,在D上的概率為35.假設(shè)共有兩次來球且落在A、B上各一次,小明的兩次回球互不影響.求:
(1)小明對落點(diǎn)在A、B上的來球回球的得分為0分的概率;
(2)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率;
(3)19.(本小題17分)
已知G點(diǎn)為△ABC的重心,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.
(1)若OG=OA+λ(AB+AC),求實(shí)數(shù)λ的值;
(2)若AG⊥BG,且
(ⅰ)a2答案解析1.A
【解析】解:復(fù)數(shù)z=3?4i,則z?=3+4i對應(yīng)的點(diǎn)(3,4)位于第一象限,
故選:2.B
【解析】解:∵向量a=(1,m),向量b=(?1,3),若a/?/b,
則1×3.B
【解析】解:采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本,
則應(yīng)抽取高一年級學(xué)生的人數(shù)為:300×10503000=105.
故選:4.B
【解析】解:如圖,
BE=BA+AE=BA?EA,
∴BE?5.A
【解析】解:甲、乙兩個人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下:(甲,乙)錘剪子包袱錘(錘,錘)(錘,剪子)(錘,包袱)剪子(剪子,錘)(剪子,剪子)(剪子,包袱)包袱(包袱,錘)(包袱,剪子)(包袱,包袱)∵由表格可知,共有9種等可能情況.其中平局的有3種:(錘,錘)、(剪子,剪子)、(包袱,包袱).
∴甲和乙平局的概率為:39=13.6.D
【解析】解:在A中:若m⊥α,m⊥n,則n//α或n?α,故A錯誤;
在B中:若m//α,α⊥β,則m與β相交、平行或m?β,故B錯誤;
在C中:若m//α,n//β,α⊥β,則m與n相交、平行或異面,故C錯誤;
在D中:若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)得m⊥n,故D正確.
故選:D.7.A
【解析】解:由圖可知,半球的半徑R=9.5米,圓柱的底面半徑R=9.5米,高為14米,圓臺的下底面半徑為R=9.5米,上底面半徑為r=1米,高為?=31.5米.
則極目一號體積約為V=12×43π×9.53+π×9.52×14+8.C
【解析】解:依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形:
①有1門相同,②2門都相同,③2門都不相同,
∴A與B互斥不對立,A與C不互斥,故A,B錯誤;
P(A)=C41C31C21C42C42=23,P(B)=C42C42C42=169.AD
【解析】解:對于A,(0.002×2+0.004+a+0.014+0.02)×20=1?a=0.008,A正確;
對于B,因為第六組有40人,第五組有160人,
所以130?X130?110=40160?X=125,B錯誤;
對于C,70分以下的人數(shù)為(0.002+0.004)×20×1000=120人,C錯誤;
對于D,平均成績X?=40×0.04+60×0.08+80×0.28+100×0.4+120×0.16+140×0.04=93.6,10.ABD
【解析】解:由題意可得∠ADC=15°+90°=105°,∠ACB=60°,
∴∠ACD=30°,∴∠CAD=180°?105°?30°=45°,故A正確;
在△ACD中,由正弦定理可得ADsin∠ACD=DCsin∠DAC,即ADsin30°=30sin45°,
解得AD=152,故B正確;
在Rt△BCD中,由∠BDC=45°,可得BC=CD=30,BD=302,故C錯誤;
11.ABD
【解析】解:如圖,
對于A:當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動時,若滿足BM=C1N,
則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,而DO⊥平面BCC1B1,
∴平面DMN⊥平面BCC1B1,故A正確;
對于B:當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動時,△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,
∴棱錐N?A1DM的體積不變,
即三棱錐A1?DMN的體積為定值,故B正確;
對于C:若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,
但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于BB1,
∴△DMN不可能為直角三角形,故C錯誤;
對于D:當(dāng)M、N分別為BB1,CC1中點(diǎn)時,
平面DMN與平面12.12
【解析】解:因為6×50%=3,
則第50百分位數(shù)為11+132=12.
故答案為:1213.5+4i
【解析】解:z=(2+ai)(1+i3)=2+a+(a?2)i,
∵復(fù)數(shù)z為純虛數(shù),∴2+a=0a?2≠0,解得a=?2.
∴z=?4i,z?=4i.
則14.316π15【解析】解:∵三棱錐P?ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上,PB=PC=25,AB=4,AC=4,PA=BC=2,
∴根據(jù)勾股定理易得PA⊥AC,PA⊥AB,又AC∩AB=A,
∴PA⊥平面ABC,
設(shè)底面三角形ABC的外接圓的半徑為r,球O的半徑為2R,
易知cos∠ABC=14,∴sin∠ABC=1?(14)2=154,
15.解:(Ⅰ)?1?i?1+i=(?1?i)(?1?i)2=i,
(Ⅱ)根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及(Ⅰ)的計算結(jié)果,可以得到:
a+bib?ai=i,【解析】(Ⅰ)由復(fù)數(shù)的運(yùn)算得:?1?i?1+i=(?1?i)(?1?i)2=i,
(Ⅱ16.解:(1)x?乙=85+89+91+92+935=90,
x?甲=87+88+91+91+935=90,s甲2=15[(87?90)2+(88?90)2+(91?90)2+(91?90)2+(93?90)2]=245,
s乙2=15[(85?90)2+(89?90)2+(91?90)2+(92?90)2+(93?90)2]=8,
顯然x?甲=【解析】(1)結(jié)合平均數(shù)、方差公式,即可求解;
(2)結(jié)合列舉法,即古典概型的概率公式,即可求解.
17.(1)證明:連接BD,MO,在平行四邊形ABCD中,
∵O為AC的中點(diǎn),∴O為BD的中點(diǎn),
又∵M(jìn)為PD的中點(diǎn),
∴PB/?/MO,
∵PB?平面ACM,MO?平面ACM,
∴PB/?/平面ACM.
(2)解:取DO中點(diǎn)N,連接MN,AN,
∵M(jìn)為PD的中點(diǎn),
∴MN/?/PO,且MN=12PO=1,
由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,
∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角,
在Rt△DAO中,∵AD=1,AO=12,∠DAO=90°,∴DO=52,
∴AN=12DO=54,
在【解析】(1)連接BD,MO,在平行四邊形ABCD中,由O為AC的中點(diǎn),知O為BD的中點(diǎn),再由M為PD的中點(diǎn),知PB//MO,由此能夠證明PB//平面ACM.
(2)取DO中點(diǎn)N,連接MN,AN,由M為PD的中點(diǎn),知MN//PO,且MN=12PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,故∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角,由此能求出直線AM與平面18.解:(1)因為小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為12,在D上的概率為13;對落點(diǎn)在B上的來球,
小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為15,在D上的概率為35.
所以記Ai為事件“小明
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