2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分．）1．（4分）下列圖標(biāo)是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a﹣3）（a+1）＝a2﹣2a﹣3 C．a(chǎn)b+bc+d＝b（a+c）+d D．6a2b＝3ab?2a3．（4分）如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分線AE交BC于E點(diǎn)，則EC的長為（）A．4 B．3 C．2 D．14．（4分）若關(guān)于x的方程x2+2x+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．05．（4分）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列關(guān)系式不成立的是（）A．a(chǎn)﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a(chǎn)﹣b＞06．（4分）如圖，在6×6方格中有兩個(gè)涂有陰影的圖形M、N，①中的圖形M平移后位置如②所示，以下對(duì)圖形M的平移方法敘述正確的是（）A．向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位 B．向右平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位 C．向右平移1個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位 D．向右平移2個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位7．（4分）下列說法正確的是（）A．三條邊相等的四邊形是菱形 B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 C．連接矩形各邊中點(diǎn)所得四邊形是正方形 D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形8．（4分）某口罩廠平均每天可生產(chǎn)20萬只口罩，廠家引進(jìn)新技術(shù)，經(jīng)過連續(xù)兩次增速后，平均每天可生產(chǎn)30萬只．若兩次的增長率都為x，則可得方程（）A．（20+x）2＝30 B．20（1+x）2＝30 C．20（1+2x）＝30 D．20（1+x）+20（1+x）2＝309．（4分）已知關(guān)于x的分式方程﹣＝1有增根，則k＝（）A．﹣3 B．1 C．2 D．310．（4分）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，2）則關(guān)于x的不等式kx+b＜2解集為（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜211．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，BC＝4，則DE的長是（）A．2 B．4 C．6 D．812．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，把線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段AQ，連接CQ，則線段CQ的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．二、填空題（每小題4分，共24分）13．（4分）因式分解：x3﹣4x2＝．14．（4分）正多邊形中，每一個(gè)內(nèi)角都是它相鄰?fù)饨堑?倍，則該正多邊形是正邊形．15．（4分）如圖，用圓規(guī)以直角頂點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)半徑畫一條弧交兩直角邊于A、B兩點(diǎn)，若再以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧，與弧AB交于點(diǎn)C，則∠BOC等于．16．（4分）某學(xué)習(xí)小組的成員互贈(zèng)新年賀卡，共用去72張賀卡，則該學(xué)習(xí)小組有名成員．17．（4分）如圖所示的網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠PAB+∠PBA＝°．18．（4分）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，將矩形紙片ABCD折疊，使C與點(diǎn)A重合，則折痕EF的長為．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（10分）（1）解不等式：﹣1＜，并在數(shù)軸上表示其解集．（2）解不等式組，并寫出該不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解．20．（11分）（1）化簡：﹣．（2）先化簡，再求值：（﹣）÷，再從﹣1，0，1，2四個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．21．（10分）解方程：（1）﹣1＝．（2）x2+2x﹣2＝0．22．（7分）已知：如圖，AC是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AB，交AC于點(diǎn)F．求證：DE＝BF．23．（6分）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問題：（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則B1的坐標(biāo)為．（2）△A1B1C1的面積為．（3）將△ABC繞某點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．24．（12分）為創(chuàng)建“書香校園”，學(xué)校圖書室計(jì)劃選購甲、乙兩種圖書．已知甲圖書每本價(jià)格是乙圖書每本價(jià)格的2.5倍，用800元單獨(dú)購買甲圖書比用800元單獨(dú)購買乙圖書要少24本．（1）甲、乙兩種圖書每本價(jià)格分別為多少元？（2）如果學(xué)校圖書室計(jì)劃購買乙圖書的本數(shù)比購買甲圖書本數(shù)的2倍多8本，且用于購買甲、乙兩種圖書的總經(jīng)費(fèi)不超過1060元，那么該圖書館最多可以購買多少本乙圖書？25．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CA邊以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜4），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上？（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．26．（12分）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)課上老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，等腰Rt△PBF的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD上，斜邊BF交CD于點(diǎn)Q，連接PQ．請(qǐng)?zhí)剿鱌Q、AP、CQ的數(shù)量關(guān)系．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過探索，交流了自己的想法：利用現(xiàn)在所學(xué)的旋轉(zhuǎn)知識(shí)，可將△ABP旋轉(zhuǎn)到△CBE位置，然后通過證明△BPQ≌△BEQ來探索數(shù)量關(guān)系．（1）（問題解決）請(qǐng)你根據(jù)他們的想法寫出PQ、AP、CQ的數(shù)量關(guān)系是．（2）（學(xué)以致用）如圖2，若等腰Rt△PBF的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的邊DA的延長線上，斜邊BF的延長線交CD的延長線于點(diǎn)Q，連接PQ，猜想線段PQ，AP，CQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（3）（思維拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若BC＝2．則AP+BP+CP的最小值＝．

2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分．）1．（4分）下列圖標(biāo)是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)A、B、D都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)C能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形，故選：C．2．（4分）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a﹣3）（a+1）＝a2﹣2a﹣3 C．a(chǎn)b+bc+d＝b（a+c）+d D．6a2b＝3ab?2a【解答】解：A、符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)符合題意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C、右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；D、左邊不是多項(xiàng)式，不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．3．（4分）如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分線AE交BC于E點(diǎn)，則EC的長為（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝7，DC＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝3，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，故選：C．4．（4分）若關(guān)于x的方程x2+2x+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝22﹣4a＞0，解得a＜1，所以a可以取0．故選：D．5．（4分）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列關(guān)系式不成立的是（）A．a(chǎn)﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a(chǎn)﹣b＞0【解答】解：由圖可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，∴關(guān)系式不成立的是選項(xiàng)C．故選：C．6．（4分）如圖，在6×6方格中有兩個(gè)涂有陰影的圖形M、N，①中的圖形M平移后位置如②所示，以下對(duì)圖形M的平移方法敘述正確的是（）A．向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位 B．向右平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位 C．向右平移1個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位 D．向右平移2個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位【解答】解：根據(jù)圖形M平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置變化可知，需要向右平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位．故選：B．7．（4分）下列說法正確的是（）A．三條邊相等的四邊形是菱形 B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 C．連接矩形各邊中點(diǎn)所得四邊形是正方形 D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形【解答】解：A、四條邊相等的四邊形是菱形，說法不正確，不符合題意；B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，說法正確，符合題意；C、連接矩形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形，說法不正確，不符合題意；D、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形也可能是等腰梯形，說法不正確，不符合題意．故選：B．8．（4分）某口罩廠平均每天可生產(chǎn)20萬只口罩，廠家引進(jìn)新技術(shù)，經(jīng)過連續(xù)兩次增速后，平均每天可生產(chǎn)30萬只．若兩次的增長率都為x，則可得方程（）A．（20+x）2＝30 B．20（1+x）2＝30 C．20（1+2x）＝30 D．20（1+x）+20（1+x）2＝30【解答】解：依題意得：20（1+x）2＝30．故選：B．9．（4分）已知關(guān)于x的分式方程﹣＝1有增根，則k＝（）A．﹣3 B．1 C．2 D．3【解答】解：去分母得：k+3＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2，解得：k＝﹣3，故選：A．10．（4分）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，2）則關(guān)于x的不等式kx+b＜2解集為（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2【解答】解：由圖中可以看出，當(dāng)x＞﹣3時(shí)，kx+b＜2，故選：A．11．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，BC＝4，則DE的長是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝AB，∵DE平分∠ADC，∴AE＝EC，∴ED是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝2，故選：A．12．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，把線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段AQ，連接CQ，則線段CQ的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：如圖，在AB上取一點(diǎn)E，使AE＝AC＝2，連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，由旋轉(zhuǎn)知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠EAC＝60°，∴∠PAQ＝∠EAC，∴∠CAQ＝∠EAP，∴△CAQ≌△EAP（SAS），∴CQ＝EP，要使CQ最小，則有EP最小，而點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)EF⊥BC（點(diǎn)P和點(diǎn)F重合）時(shí)，EP最小，即：點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，CQ最小，最小值為EP，在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，AC＝2，∴AB＝4，∵AE＝AC＝2，∴BE＝AB﹣AE＝2，在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝2，∴EF＝BE＝，故線段CQ長度最小值是，故選：D．二、填空題（每小題4分，共24分）13．（4分）因式分解：x3﹣4x2＝x2（x﹣4）．【解答】解：原式＝x2（x﹣4），故答案為：x2（x﹣4）．14．（4分）已知正多邊形中，每一個(gè)內(nèi)角都是它相鄰?fù)饨堑?倍，則該正多邊形是正十邊形．【解答】解：設(shè)多邊形的每個(gè)外角為n，則其內(nèi)角為：4n，n+4n＝180，解得：n＝36，即這個(gè)多邊形是：＝10．故答案為：十．15．（4分）如圖，用圓規(guī)以直角頂點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)半徑畫一條弧交兩直角邊于A、B兩點(diǎn)，若再以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧，與弧AB交于點(diǎn)C，則∠BOC等于30°．【解答】解：由作法得OA＝OC＝AC，∴△OAC為等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝30°．故答案為30°．16．（4分）某學(xué)習(xí)小組的成員互贈(zèng)新年賀卡，共用去72張賀卡，則該學(xué)習(xí)小組有9名成員．【解答】解：設(shè)這個(gè)小組有x名成員，則小組內(nèi)每名成員需送出（x﹣1）張賀卡，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝72，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合題意，舍去）．故答案為：9．17．（4分）如圖所示的網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠PAB+∠PBA＝45°．【解答】解：延長AP交格點(diǎn)于D，連接BD，則PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．故答案為：45．18．（4分）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，將矩形紙片ABCD折疊，使C與點(diǎn)A重合，則折痕EF的長為．【解答】解：如圖所示，過E作EH⊥AF于H，則EH＝AB＝4，設(shè)BE＝x，則CE＝8﹣x＝AE，Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AH＝BE＝3，AE＝5，由折疊可得，∠CEF＝∠AEF，∵AF∥CE，∴∠CEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE＝5，∴FH＝AF﹣AH＝5﹣3＝2，Rt△EFH中，EF＝，故答案為：．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（10分）（1）解不等式：﹣1＜，并在數(shù)軸上表示其解集．（2）解不等式組，并寫出該不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解．【解答】解：（1）去分母得：2（2x+1）﹣6＜3（x﹣1），〇〇〇去括號(hào)得：4x+2﹣6＜3x﹣3，移項(xiàng)得：4x﹣3x＜6﹣2﹣3，合并得：x＜1．該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，（2），解不等式①得：x≤3；解不等式②得：x＞﹣2．∴原不等式組的解集為：﹣2＜x≤3．∴原不等式組的非負(fù)整數(shù)解為：0，1，2，3．20．（11分）（1）化簡：﹣．（2）先化簡，再求值：（﹣）÷，再從﹣1，0，1，2四個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝＝＝．（2）原式＝÷＝?＝，由分式有意義的條件可知：a不能取0，±1，故a＝2，∴原式＝＝．21．（10分）解方程：（1）﹣1＝．（2）x2+2x﹣2＝0．【解答】解：（1）﹣1＝，x（x+2）﹣（x2﹣4）＝3，解得：x＝﹣，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣時(shí)，x2﹣4≠0，∴x＝﹣是原方程的根；（2）x2+2x﹣2＝0，x2+2x＝2，x2+2x+1＝2+1，（x+1）2＝3，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．22．（7分）已知：如圖，AC是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AB，交AC于點(diǎn)F．求證：DE＝BF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BAF，又∵DE⊥DC，BF⊥AB，∴∠CDE＝∠ABF＝90°，在△DCE與△BAF中，，∴△DCE≌△BAF（ASA）．∴DE＝BF．23．（6分）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問題：（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則B1的坐標(biāo)為（2，2）．（2）△A1B1C1的面積為2.5．（3）將△ABC繞某點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（0，﹣1）．【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣2），∴B1（2，2）．故答案為：（2，2）．（2）△A1B1C1的面積為：××＝2.5故答案為：2.5．（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)稱點(diǎn)的連線的垂直平分線上，所以兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心．所以旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為：（0，﹣1）．故答案為：（0，﹣1）．24．（12分）為創(chuàng)建“書香校園”，學(xué)校圖書室計(jì)劃選購甲、乙兩種圖書．已知甲圖書每本價(jià)格是乙圖書每本價(jià)格的2.5倍，用800元單獨(dú)購買甲圖書比用800元單獨(dú)購買乙圖書要少24本．（1）甲、乙兩種圖書每本價(jià)格分別為多少元？（2）如果學(xué)校圖書室計(jì)劃購買乙圖書的本數(shù)比購買甲圖書本數(shù)的2倍多8本，且用于購買甲、乙兩種圖書的總經(jīng)費(fèi)不超過1060元，那么該圖書館最多可以購買多少本乙圖書？【解答】解：（1）設(shè)乙圖書每本價(jià)格為x元，則甲圖書每本價(jià)格是2.5x元，根據(jù)題意可得：﹣＝24，解得：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)得：x＝20是原方程的根，則2.5x＝50，答：甲圖書每本價(jià)格是50元，乙圖書每本價(jià)格為20元；（2）設(shè)購買甲圖書本數(shù)為a，則購買乙圖書的本數(shù)為：2a+8，故50a+20（2a+8）≤1060，解得：a≤10，故2a+8≤28，答：該圖書館最多可以購買28本乙圖書．25．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CA邊以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜4），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上？（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）若點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，則AP＝AQ，∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，∴t＝12﹣3t，解得：t＝3，答：當(dāng)t＝3時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上；（2）①若∠APQ＝90°，則△APQ是直角三角形，∵∠A＝60°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP，∴12﹣3t＝2t，∴t＝，②若∠AQP＝90°，則△APQ是直角三角形，∵∠A＝60°，∴∠APQ＝30°，∴AP＝2AQ，∴t＝2（12﹣3t），∴t＝．∴當(dāng)t＝或時(shí)，△APQ是直角三角形．26．（12分）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)課上老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，等腰Rt△PBF的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD上，斜邊BF交CD于點(diǎn)Q，連接PQ．請(qǐng)?zhí)剿鱌Q、AP、CQ的數(shù)量關(guān)系．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過探索，交流了自己的想法：利用現(xiàn)在所學(xué)的旋轉(zhuǎn)知識(shí)，可將△ABP旋轉(zhuǎn)到△CBE位置，然后通過證明△BPQ≌△BEQ來探索數(shù)量關(guān)系．（1）（問題解決）請(qǐng)你根據(jù)他們的想法寫出PQ、AP、CQ的數(shù)