高斯小學(xué)奧數(shù)四年級(jí)下冊(cè)含答案第11講-分段計(jì)算的行程問題

第十一講分段計(jì)算的行程問題行程問題主要有三組共9個(gè)基本公式，它們分別是：（1），，；（2）相遇：，，；（3）追及：，，．對(duì)于運(yùn)動(dòng)過程較為復(fù)雜的行程問題，不僅要會(huì)靈活運(yùn)用公式，通過已知的條件求出未知的路程、速度或時(shí)間，還要學(xué)會(huì)分段、比較、從整體考慮等各種輔助手段．例題1小高上學(xué)時(shí)步行，回家時(shí)騎車，路上共用了24分鐘．如果往返都騎車，則全程需要14分鐘．求小高往返都步行所需要的時(shí)間．「分析」每往返都騎車用14分鐘，那么說明單程騎車用多長(zhǎng)時(shí)間？單程不行呢？

練習(xí)1萱萱每天都以固定的速度騎車去學(xué)校，需要10分鐘．一天，當(dāng)行進(jìn)到全程一半時(shí)，自行車壞了，萱萱便把車鎖在路邊，步行去學(xué)校，結(jié)果一共用了15分鐘．如果自行車沒辦法修好，萱萱每天都得步行，那么去學(xué)校需要多長(zhǎng)時(shí)間？

例題2甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲出發(fā)5分鐘后與乙相遇，這時(shí)乙走了500米．乙又走了400米時(shí)，甲剛好到達(dá)B地，這時(shí)乙距離A地多少「分析」要是能求出甲、乙兩人的速度就好辦了，你能求出他們的速度嗎？練習(xí)2甲、乙兩地相距60千米，快、慢兩輛汽車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，30分鐘后兩車相遇．相遇后兩車?yán)^續(xù)以原速度前進(jìn)，又經(jīng)過20通過上面幾道例題，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于復(fù)雜行程問題，我們一定要學(xué)會(huì)分段，學(xué)會(huì)根據(jù)分段畫行程圖．當(dāng)相遇時(shí)、追及時(shí)、不同時(shí)間出發(fā)時(shí)、轉(zhuǎn)向時(shí)都是很重要的分段時(shí)刻．在解題過程中，我們有時(shí)需要分段去考慮，有時(shí)需要從整體去考慮，所以一定要靈活解題．在路程、速度與時(shí)間這行程三要素中，有時(shí)我們只知道其中的一個(gè)量，這時(shí)我們就可以通過設(shè)份數(shù)來解決．此外，我們還經(jīng)常需要用到以下這三個(gè)基本倍數(shù)關(guān)系：當(dāng)運(yùn)動(dòng)的速度相同時(shí)，時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系等于路程的倍數(shù)關(guān)系；當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同時(shí)，速度的倍數(shù)關(guān)系等于路程的倍數(shù)關(guān)系；當(dāng)運(yùn)動(dòng)的路程相同時(shí)，時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系等于速度的反倍數(shù)關(guān)系：時(shí)間長(zhǎng)的速度慢，時(shí)間短的速度快．因此我們往往要仔細(xì)分析在同一段時(shí)間或者同一段路程中，不同運(yùn)動(dòng)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程及其聯(lián)系．接下來我們來看一下和倍數(shù)有關(guān)的分段行程問題．例題3早晨7:30，墨莫從家出發(fā)到離自己家4000米的表哥家去玩．同時(shí)表哥騎車從家出發(fā)接他，到墨莫家才發(fā)現(xiàn)他已經(jīng)走了，此時(shí)是7:50，表哥又立即返回去追．表哥騎車的速度是墨莫步行速度的5倍．那么，在幾點(diǎn)幾分時(shí)表哥追上墨莫？「分析」時(shí)間速度是5倍，那么路程也就是5倍了，畫出線段圖好好比較一下兩個(gè)人的路程吧！練習(xí)3早晨7:20阿呆從家步行去學(xué)校，7:40時(shí)阿瓜騎自行車出發(fā)去學(xué)校，在途中追上阿呆后發(fā)現(xiàn)自己沒拿書包，又立即返回去拿書包，然后再繼續(xù)去追阿呆．已知阿瓜騎車的速度是阿呆步行速度的3倍．那么，在幾點(diǎn)時(shí)阿瓜第二次追上阿呆？例題4大大和小小同時(shí)從家出發(fā)去學(xué)校，大大步行，小小騎車．小小到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)自己沒帶文具盒，便立刻騎車回家去取，到家取出文具盒后又馬上騎向?qū)W校，結(jié)果他和大大一起到校．如果大大每分鐘走54米，那么小小騎車每分鐘行進(jìn)多少米？「分析」兩個(gè)人同時(shí)從家出發(fā)，最后同時(shí)到學(xué)校，大家試著自己畫出線段圖，比較一下兩個(gè)人的路程，能找到什么關(guān)系嗎？

練習(xí)4卡莉婭帶著寵物小山羊從家出發(fā)騎車去學(xué)校，當(dāng)走了一半路程時(shí)，卡莉婭發(fā)現(xiàn)忘帶午餐費(fèi)了，于是她讓小山羊飛回家取錢，然后再飛回學(xué)校給她．結(jié)果小山羊跟卡莉婭同時(shí)到達(dá)學(xué)校．已知卡莉婭騎車每分鐘行進(jìn)155米，那么小山羊每分鐘飛行多少米？龜兔賽跑第一次比賽：兔子中途睡覺，結(jié)果烏龜贏了．第二次比賽：兔子不服氣，要再賽一次，烏龜也答應(yīng)了．槍聲一響，兔子拼命往前跑．只差一步到終點(diǎn)時(shí)，兔子想回頭看烏龜?shù)侥牧?，它剛轉(zhuǎn)過身，就聽到烏龜在它后面笑著說：“老弟，我在這吶，你又輸了．”因?yàn)?，槍聲一響，烏龜就一口咬住了兔子的尾巴．第三次比賽：兔子更不服氣，還要再賽一次，烏龜同樣答應(yīng)了．槍聲一響，兔子拼命往前跑，當(dāng)它沖過終點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜已在終點(diǎn)等它了，原來烏龜這次叫了計(jì)程車．第四次比賽：兔子找到烏龜要再比一次，烏龜說：“好呀，地點(diǎn)我來定．”兔子快到終點(diǎn)時(shí)傻眼了，原來終點(diǎn)設(shè)在河心的小島上，它實(shí)在沒辦法上去．第五次比賽：再后來，兔子找烏龜雪恥，烏龜說：“線路我選．”兔子說：“可以，但全要選山路．”烏龜說；“沒問題，三天后比，全程跑完七座山．”比賽那天，兔子每跑到半山腰，都聽見烏龜在山頂上喊：“兔子加油，我就在你前面．”兔子拼盡全力滿懷希望跑到第七座山的山腰，還是那個(gè)聲音“兔子加油，我就在你前面．”原來烏龜找了7個(gè)同伴來幫忙了．例題5自行車隊(duì)出發(fā)12分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)點(diǎn)9千米處追上了自行車隊(duì)．然后通信員立即返回出發(fā)點(diǎn)；到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后通信員又馬上掉頭去追自行車隊(duì)，再次追上時(shí)恰好離出發(fā)點(diǎn)18千米「分析」大家試著自己畫出線段圖，并把關(guān)鍵時(shí)刻標(biāo)注在線段圖中，看看能不能算出自行車隊(duì)12分鐘經(jīng)過的路程？能不能找到相同時(shí)間內(nèi)，自行車隊(duì)與摩托車經(jīng)過的路程之間有什么關(guān)系？

例題6甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，12小時(shí)后在C地相遇．相遇后，兩車并不停頓，繼續(xù)前進(jìn)．甲車在相遇后繼續(xù)行駛4小時(shí)到達(dá)B地，然后立即掉頭以相同的速度返回A地．請(qǐng)問：

（1）當(dāng)甲車再次到達(dá)C地的時(shí)候，乙車還要再開幾小時(shí)才能到達(dá)A地？

（2）如果甲車從B地返回的時(shí)候不是原速返回，而是變慢了．而且當(dāng)它經(jīng)過C地的時(shí)候，乙車正好到達(dá)A地．甲車原來的速度是返回時(shí)速度的多少倍？「分析」我們既不知道兩車速度的關(guān)系，也不知道有關(guān)的路程，只知道時(shí)間．所以應(yīng)該搞清楚在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙各自的路程與速度之間的關(guān)系．我們知道，當(dāng)路程一定時(shí)，速度的倍數(shù)關(guān)系與時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系恰好相反．你能求出兩車速度的倍數(shù)關(guān)系嗎？課堂內(nèi)外分段實(shí)現(xiàn)大目標(biāo)1984年，在東京國(guó)際馬拉松邀請(qǐng)賽中，名不見經(jīng)傳的日本選手山田本一出人意料地奪得了世界冠軍．當(dāng)記者問他憑什么取得如此驚人的成績(jī)時(shí)，他說了這么一句話：憑智慧戰(zhàn)勝對(duì)手．當(dāng)時(shí)許多人都認(rèn)為這個(gè)偶然跑到前面的矮個(gè)子選手是在故弄玄虛．馬拉松賽是體力和耐力的運(yùn)動(dòng)，只要身體素質(zhì)好又有耐性就有望奪冠，爆發(fā)力和速度都還在其次，說用智慧取勝確實(shí)有點(diǎn)勉強(qiáng)．兩年后，意大利國(guó)際馬拉松邀請(qǐng)賽在意大利北部城市米蘭舉行，山田本一代表日本參加比賽．這一次，他又獲得了世界冠軍．記者又請(qǐng)他談?wù)劷?jīng)驗(yàn)．山田本一性情木訥，不善言談，回答的仍是上次那句話：用智慧戰(zhàn)勝對(duì)手．這回記者在報(bào)紙上沒再挖苦他，但對(duì)他所謂的智慧還是迷惑不解．10年后，這個(gè)謎終于被解開了，他在他的自傳中是這么說的：每次比賽之前，我都要乘車把比賽的線路仔細(xì)地看一遍，并把沿途比較醒目的標(biāo)志畫下來，比如第一個(gè)標(biāo)志是銀行；第二個(gè)標(biāo)志是一棵大樹；第三個(gè)標(biāo)志是一座紅房子……這樣一直畫到賽程的終點(diǎn)．比賽開始后，我就以百米的速度奮力地向第一個(gè)目標(biāo)沖去，等到達(dá)第一個(gè)目標(biāo)后，我又以同樣的速度向第二個(gè)目標(biāo)沖去．40多公里的賽程，就被我分解成這么幾個(gè)小目標(biāo)輕松地跑完了．其中這樣看似簡(jiǎn)單的小目標(biāo)卻可以實(shí)現(xiàn)大的目標(biāo)，甚至是理想！作業(yè)卡莉婭上學(xué)和回家過程中都步行，則路上共用32分鐘．如果往返都使用魔法飛行，則全程共用6分鐘．那么她上學(xué)時(shí)飛行，回家步行，路上共用多長(zhǎng)時(shí)間？

學(xué)校與家相距3500米，下午4:50，爸爸從家出發(fā)騎車去接小山羊回家．5:00時(shí)小山羊從學(xué)校出發(fā)往家走，路上遇到爸爸，爸爸騎車帶著他一塊回到家中．已知爸爸騎車每分鐘行150米，小山羊步行每分鐘走50米，請(qǐng)問他們什么時(shí)候到家？

甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行60千米．甲車從A地、乙車從B地同時(shí)出發(fā)相向而行，兩車相遇后9小時(shí)，甲車到達(dá)B地，那么A、B兩地相距多少千米？

墨莫和小高同時(shí)從學(xué)校出發(fā)前往少年宮參加科技比賽，墨莫步行，小高騎車．當(dāng)小高行進(jìn)一半路程時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己沒帶學(xué)生證，于是騎車回學(xué)校去拿，然后馬上以原來的速度騎車前往少年宮，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)．已知小高騎車每分鐘行進(jìn)174米，那么墨莫每分鐘步行多少米？

下午3點(diǎn)，小強(qiáng)放學(xué)了，從學(xué)校開始向家走．同時(shí)小強(qiáng)家的寵物狗大壯從家出發(fā)迎接小強(qiáng)．小強(qiáng)與大壯在距離小強(qiáng)家1500米的地方相遇，相遇后大壯立即調(diào)頭向家跑，跑到家之后再返回迎接小強(qiáng)，在距離小強(qiáng)家500米的地方再次與小強(qiáng)相遇．請(qǐng)問小強(qiáng)家到學(xué)校的距離為多少米？

第十一講分段計(jì)算的行程問題例題1答案：34分鐘詳解：騎車往返需要14分鐘，說明單程只需要7分鐘，步行單程就是分鐘，所以小高往返都步行所需要的時(shí)間是分鐘．

例題2答案：225米詳解：先畫出行程圖，乙從出發(fā)到相遇行駛的時(shí)間是5分鐘，行駛的路程是500米，所以速度是米/分；乙虛線所行駛的路程是400米，所以乙虛線行駛的時(shí)間是分鐘，甲用4分鐘的時(shí)間行駛的路程是500米，所以甲的速度是125米/分，甲實(shí)線所行駛的路程是米，所以乙距離A地還有米．AAB甲乙5分鐘5分鐘500米400米例題3答案：7點(diǎn)55分詳解：

方法一：表哥20分鐘行駛了4000米，所以表哥的速度是米/分鐘，墨莫的速度就是米/分鐘．表哥到達(dá)墨莫家的時(shí)候兩人相距米，兩人的速度差是160米/分鐘，所以追及時(shí)間是分鐘．此時(shí)是7點(diǎn)55分；

方法二：表哥的速度是墨莫速度的5倍，所以相同時(shí)間內(nèi)，表哥行駛的路程是墨莫的5倍，設(shè)墨莫虛線行駛的路程是“1”，表哥虛線行駛的路程就是“5”，那么墨莫實(shí)線行駛的路程就是“4”，墨莫“4”用了20分鐘，所以“1”用5分鐘，此時(shí)是7點(diǎn)55分．墨莫家墨莫家表哥家墨莫表哥20分鐘4000米20分鐘例題4答案：每分鐘行進(jìn)162米詳解：在相同時(shí)間內(nèi)，小小騎車行駛的路程是大大步行路程的3倍，所以小小騎車的速度是大大步行速度的3倍，所以小小騎車每分鐘行進(jìn)米．例題5答案：自行車隊(duì)每分鐘行0.5千米，摩托車每分鐘行1.5千米詳解：自行車隊(duì)第一次被通信員追上到第二次被追上，所行駛的路程是千米，其中通信員所行駛的路程是千米．在相同時(shí)間內(nèi)所行駛的路程是3倍，所以通信員的速度是自行車隊(duì)速度的3倍．設(shè)自行車實(shí)線行駛“1”，通信員就行駛“3”．自行車12分鐘行駛了“2”是6千米，則自行車的速度是0.5千米／分．摩托車每分鐘行駛千米．自行車自行車通信員12分鐘18千米9千米例題6答案：28小時(shí)；8倍詳解：（1）甲虛線行駛的路程和乙實(shí)線行駛的路程一樣，甲用4小時(shí)，乙用12小時(shí)，所以甲的速度是乙速度的3倍．甲行駛?cè)绦枰?6小時(shí)，所以乙需要小時(shí)．乙已經(jīng)行駛了小時(shí)，所以還要行駛小時(shí)．甲甲乙ABC12小時(shí)12小時(shí)4小時(shí)4小時(shí)4小時(shí)4小時(shí)（2）乙點(diǎn)狀線所行駛的時(shí)間是小時(shí)，所以甲虛線和點(diǎn)狀線行駛路程一樣，時(shí)倍=速倍，所以原來的速度是返回速度的8倍．甲甲乙ABC12小時(shí)12小時(shí)4小時(shí)4小時(shí)32小時(shí)32小時(shí)練習(xí)1答案：20分鐘詳解：騎車全程需要10分鐘，說明半程只需要5分鐘，步行半程就是分鐘，所以小高全程都步行所需要的時(shí)間是分鐘．

練習(xí)2答案：20千米詳解：畫出行程圖，快車50分鐘行駛60千米，所以速度是千米/分；快虛線所行駛的路程是24千米，所以慢車30分鐘路程是24千米，速度為千米/分，慢車20分鐘的時(shí)間行駛的路程是16米，所以慢車的總路程是千米，所以距離甲地還有千米．甲甲乙快慢30分30分60千米20分20分練習(xí)3答案：8點(diǎn)20分簡(jiǎn)答：阿瓜速度是阿呆的3倍，阿呆提前20分鐘出發(fā)，所以阿瓜從出發(fā)到追上阿呆，兩人走這段路程所用時(shí)間也是3倍關(guān)系，即阿瓜出發(fā)后10分鐘追上阿呆．又過10分鐘，阿瓜回到家，此時(shí)，阿呆一共走了40分鐘，那么記下來阿瓜需要20分鐘才能再次追上阿呆．所以是在8:20阿瓜第二次追上阿呆．練習(xí)4答案：每分鐘飛行465米簡(jiǎn)答：在相同時(shí)間內(nèi)，小山羊飛行的路程是卡莉婭騎車路程的2倍，所以小山羊飛行的速度是卡莉婭騎車速度的2倍，所以小山羊飛行每分鐘行進(jìn)米．學(xué)校學(xué)校家大大小小作業(yè)1答案：19分鐘簡(jiǎn)答：卡莉婭步行單程16分鐘，飛行單程3分鐘，所以路上共用分鐘．作業(yè)2答案：5:30簡(jiǎn)答：爸爸提前出發(fā)了10分鐘，爸爸的速度是150米/分，所以爸爸提前出發(fā)行駛的路程是1500米，此時(shí)小山羊才開始出發(fā)，兩人相距米，其中速度和是米/分，所以相遇時(shí)間是分鐘．即5點(diǎn)10分兩個(gè)人相遇．爸爸還要帶著小山羊原路返回繼續(xù)行駛20分鐘，所以兩個(gè)人5點(diǎn)30分到家．作業(yè)3答案：600千米簡(jiǎn)答：甲車又行駛了9小時(shí)到達(dá)B地，甲速度是40千米/時(shí)，所以甲車又行駛了360千米，這段路程也是乙從