第一輪復習教學案：第二章圓錐曲線與方程

第二章圓錐曲線與方程

［課標研讀］

［課標要求］

1.圓錐曲線

①了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

②掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì).

③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質(zhì).

④了解圓錐曲線的簡單應用.

⑤理解數(shù)形結(jié)合的思想.

2.曲線與方程

了解方程的曲線與曲線的方程的對應關(guān)系.

［命題展望］

本章內(nèi)容是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是高考常見新穎題的板塊,各種解題方法在本章

得到了很好的體現(xiàn)和充分的展示，尤其是在最近幾年的高考試題中，平面向量與解析幾何的融

合,提高了題目的綜合性，形成了題目多變，解法靈活的特點，充分體現(xiàn)了高考中以能力立意的

命題方向。通過對近幾年的高考試卷的分析，可以發(fā)現(xiàn)選擇題、填空題與解答題均可涉及本

章的知識，分值高達30分左右。主要呈現(xiàn)以下幾個特點：

1.考查圓錐曲線的基本概念、標準方程及幾何性質(zhì)等知識及基本技能、基本方法，常以選

擇題與填空題的形式出現(xiàn)；

2.直線與二次曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的綜合問題常以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問題視

角新穎，常見的性質(zhì)、基本概念、基礎(chǔ)知識等被附以新的背景，以考查學生的應變能力和解

決問題的靈活程度；

3.在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注意對數(shù)學思想與方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查，強

調(diào)探究性、綜合性、應用性，注重試題的層次性，堅持多角度、多層次的考查，合理調(diào)控綜

合程度；

4.對稱問題、軌跡問題、多變量的范圍問題、位置問題及最值問題也是本章的幾個熱點問

題，但從最近幾年的高考試題本看，難度有所降低，有逐步趨向穩(wěn)定的趨勢。

第一講橢圓

［知識梳理］

［知識盤點］

一.橢圓的基本概念

1.橢圓的定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點《，工的距離的和等于常數(shù)(|F15F2|)

的點的軌跡叫做橢圓，用符號表示為。這兩個定點叫橢圓的,

兩個焦點之間的距離叫做橢圓的。

2.橢圓的第二定義：平面內(nèi)，到定點歹(c,0)的距離與到定直線/:的距離之比是

常數(shù)工(即)的動點的軌跡叫做橢圓，其中常數(shù)§叫做橢圓的o

aa

二.橢圓的標準方程

3.當橢圓的焦點在x軸上時，橢圓的標準方程為(a>b>0),其中焦點坐

標為K(c,0),耳(-c,0)，且a?=；

當橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的標準方程為(a>b>0),其中焦點坐

標為F[(0,c),K(0,-c),且/=.

當且僅當橢圓的中心在坐標原點，其焦點在坐標軸上時，橢圓的方程才是標準形式。

三.橢圓的簡單幾何性質(zhì)

焦點在X軸上焦點在y軸上

2222

標準方程j+鼻=1(?！?〉0)匕+j=1(?！?〉0)

a2b2a2b2

ik

iV____________

Bi

圖

一

4

AAFToF27A2彳

/L\B2X

形

VA2

焦點坐標Fi(______),F2(C,0)Fi(0,c),F2(______)

對稱性關(guān)于x,y軸成中心對稱

關(guān)于原點成中心對稱

頂點坐標Ai(—afi),人2(_____)Al(______),人2(。,〃)

Bi(______)，&(0/)Bi(—6,0),B2(_______)

范圍\x\<a,\y\<________區(qū)______,|y|<______

長軸短軸長軸4A2的長為______長軸A1A2的長為______

短軸B1B2的長為______短軸BIB2的長為______

離心率橢圓的焦距與長軸長的比e=______橢圓的焦距與長軸長的比e=______

準線方程X=___________產(chǎn)__________

［特別提醒］

1.本部分的重點是掌握橢圓的定義，離心率與。力,c之間的關(guān)系和橢圓方程的求法，定義和

性質(zhì)的應用是橢圓知識的重點。突破重點的關(guān)鍵，一是要掌握好定義的幾何條件，即橢圓=

{P||PF】\+\PF2\=2a,2a>\FXF2|}(2a是常數(shù))；二是要熟練掌握橢圓標準方程的求法

及其特點，運用定義時要注意隱含條件a>c,明確離心率e確定橢圓的形狀。

2.通過對橢圓的范圍、對稱性、特殊點(頂點、焦點、中心)、準線、對稱軸及其它特性的

討論從整體上把握橢圓的形狀、大小和位置，進而掌握橢圓的性質(zhì)。因此在復習中就注意圖

形與性質(zhì)對照，方程與性質(zhì)對照來理解，只有通過數(shù)形結(jié)合的方式才能牢固掌握橢圓的幾何

性質(zhì)。由橢圓的定義得到橢圓上任意一點到焦點的距離(即焦半徑)公式。土ex0(或。土ey0)

在解題中有著重要的作用。

3.涉及到直線與橢圓的位置關(guān)系問題時，可以通過討論橢圓方程與直線方程組的實數(shù)解的

個數(shù)來確定，通常來說消元后得到一個關(guān)于x或y的一元二次方程，要注意判別式△及韋達

定理的運用，特別是方程思想、整體思想在解題過程中的應用。

4.求橢圓標準方程的常用方法是待定系數(shù)法和軌跡方程法。直線與橢圓相交時的弦的中點

坐標或弦中點的軌跡方程則由韋達定理來解決，設(shè)點而不求點是解析幾何中的重要方法之

一。另外，利用直線、弦長、圓錐曲線三者間的關(guān)系組成各類試題是解析幾何中長盛不衰的

主題，其中利用直線方程、直線與橢圓相交后的弦求橢圓方程是各類試題中最難的試題，也

是高考的熱點題型之一。

［基礎(chǔ)闖關(guān)］

1.橢圓5/+外2=5的一個焦點是(0,2),那么左等于()

(A)-l(B)l(C)V5(D)-V5

2.已知八出是橢圓L+匕=1的兩個焦點，過尸2的直線交橢圓于A、B,若|A8|=5,則

169

|AFi|+|BFi|=()

(A)11(B)10(C)9(D)16

3.已知兩定點耳(-1,0)、,(1,0)且國詞是|尸國與|尸國的等差中項,則動點尸的軌跡方

程是()

22222222

(A)土+乙=1(B)±+J(C)二+匕=1(D)—+—=1

16916124334

4.(2006年全國卷II)已知△ABC的頂點8、C在橢圓了+丁=1上，頂點A是橢圓的一個

焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△A8C的周長是()

(A)2小(B)6(C)4^3(D)12

5.(2006年上海卷)已知橢圓中心在原點，一個焦點為F(-273,0),且長軸長是短

軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是.

6.短軸長為會，離心率e=2的橢圓的兩焦點為丹，尸2,過點凡作直線交橢圓于A、B

3

兩點，則AAB3的周長是.

［典例精析］

4r2v2

例1.設(shè)B，6是橢圓一+—=1的兩個焦點，尸是橢圓上的點，且|PB|：|PF2|=4：3,

496

求APFiB的面積。

［剖析］由橢圓方程可求出2a與2c,且由|PFi|：|P園=4：3知可求出|PR|,|尸￡|的長度,

從而可求三角形的面積。

［解］由于|尸胤+|P6|=7,且|尸四:|P￡1=4：3,得|P冏=4,|PF2|=3,又|RBI=2C

22

=21——6=5,顯然|PPi|2+|PF2|=|FIF2|,所以APR%是以尸人，「巳為直角

邊的直角三角形，從而所求APF1后的面積為S=!X|PFI|X|P&|=LX4X3=6.

22

［警示］本題運用了橢圓的定義來解題。橢圓定義是用橢圓上任意一點P到兩焦點的距離

之和來描述的，定義中|PE|+|P&|=2a>|人巳|.定義能夠?qū)σ恍┚嚯x進行相關(guān)的轉(zhuǎn)化，簡

化解題過程。因此在解題過程中，遇到涉及橢圓上的點到焦點的距離問題時，應先考慮是否

能夠使橢圓的定義來解決。

［變式訓練］:

1.已知點A(3,0),8(—2,1)是橢圓二+1-=1內(nèi)的點，M是橢圓上的一動點，試求

2516

|MA|+|MB|的最大值與最小值。

例2.已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為」-和」一，

33

過點尸作長軸的垂線，恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程。

［剖析］由題設(shè)條件設(shè)出橢圓的標準方程，求出焦距與長軸長是求解本題的關(guān)鍵。因橢圓的

焦點位置未明確在哪個坐標軸上，故應有兩種情況。

4行2亞

［解］設(shè)橢圓的兩個焦點分別為尸1，F(xiàn)2,|PQ|=*,|P￡I=*

33

由橢圓的定義知2a=|「為|+『3|=2逐,即。=J?,由|尸尸1|>|尸尸2|知2尸2垂直于長軸。所以

在RtAPF2耳中,4C2=|PFI|2—|P/2產(chǎn)=5,所以,于是廿二片一

又由于所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在j軸上，故所求的橢圓方程為

x23cy2io3x2y2,

—+^—=1或——+—=1.

510105

［警示］求橢圓的標準方程，需要一個定位條件和兩個定形條件，通常采用待定系數(shù)法解決。

橢圓中有“六點”(即兩個交點與四個頂點)“四線”(即兩條對稱軸與兩條準線)，因此在解

題時要注意它們對橢圓方程的影響，如在求橢圓的標準方程時，當遇到焦點位置不確定時，

應注意有兩種結(jié)果。

［變式訓練］

2.(2006年江蘇卷)已知三點尸(5,2)、F］(—6,0)、F2(6,0)。求以工、&為焦點

且過點尸的橢圓的標準方程。

例3.求滿足下列各條件的橢圓的標準方程.

(1)焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點P(g,g)、e(o,-1);

(2)經(jīng)過點(2,—3)且與橢圓9/+4y2=36具有共同的焦點.

［剖析］對于(1),由題設(shè)條件不能確定橢圓的焦點在哪一坐標軸上，因此應分別設(shè)出焦點

在x軸、y軸上的標準方程，進行討論求解；或采用橢圓方程的?+*2=］(僧且加。

直接求解，避免討論；對于(2)由于橢圓9爐+4丁2=36的焦點坐標為(0,土斯)，因而可

22

設(shè)所求的橢圓方程為L+一二=1(2>0)，只要由題設(shè)條件確定4的值即可.

22+5

22

［解］(1)［解法一］①當所求橢圓的焦點在X軸上時，設(shè)它的標準方程為=+A=1(?>^>0),

ab

依題意應有I//，解得?，因為。>8從而方程組無解;

Z1、2721

②當所求橢圓的焦點在y軸上時，設(shè)它的標準方程為4+0=1(“>6〉0),

依題意應有a2b2,解得4所以所求橢圓的標準方程為；+［=

(--)2b2=-11

7

2_1I545

故所求的橢圓的標準方程為千+十=1

45

［解法二］設(shè)所求橢圓的方程為32+町』（心0,九>0,且mw〃），

111

_TYlHYl—\'巾=522

依題意得<99,解得，-,從而所求橢圓的標準方程為=+1=i.

1“—1〃=411

-M-1I——

I445

（2）［解］因為橢圓9/+4/=36的焦點坐標為（0，土百），，從而可設(shè)所求的橢圓的方

X2V249

程為一+二—=1（丸>0）,將又因為經(jīng)過點（2,-3）,從而得一+-----=1,解得；1=10

22+522+5

22

或X=—2（舍去），故所求橢圓的標準方程為：—+—=1.

［警示］由于題（1）中的橢圓是唯一存在的，為了運算方便，可設(shè)其方程為

"M+R髭IS〉。,”〉。,且相?！ǎ?，而不必考慮焦點的位置，求接求得橢圓的方程；題（2）中

22

橢圓9/+4/=36變形為二+工-=1,其焦點坐標為工（0,、萬），F(xiàn)2（0-V5）,所設(shè)

-49

22_

的方程二+上一=1（4〉0）是具有共同焦點的4（0,、后），居（0,-石）的橢圓系方程。

22+5

遇到與本題類似的問題，我們可以采用類似的方法來求解橢圓的方程。另外本題還可以設(shè)方

2222

程式+匕=1（力〉5）,—+^=1（2>-4）等解決。一般說來，與橢圓

Z-522+42+9

2222

二+2=13>b>0）具有相同焦點的橢圓方程可設(shè)為+工=1（2>-min（m,?））,其

ab2+mA+n

中〃|=。2。本題實質(zhì)上運用的也是待定系數(shù)法。

［變式訓練］

3.求滿足下列各條件的橢圓的標準方程.

⑴焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點2）、A（-2V3,1）；

⑵經(jīng)過點M（2,、后），且與橢圓9x2+5/=45具有共同的焦點.

例4.在AA5C中，BC=24,AC.AB邊上的中線長之和等于39,求AA3C的重心的軌跡

方程。

［剖析］:有一定長線段BC,兩邊上的中線長也均與定點以C和AA5C的重心有關(guān)，因此

需考慮以BC的中點為坐標原點建立直角坐標系。但需注意點A不能在BC的所在的直線上。

［解］如圖所示，以線段8c所在直線為x軸、線段8c的中垂線為y

軸建立直角坐標系。

設(shè)M為AA5C的重心，BD是AC邊上的中線，CE是AB邊上的中線，

22

由重心的性質(zhì)知|8河|=耳|3。|,\CM\=-\CE\,于是

2222

\MB\+\MC\=-\BD\+-\CE\=-(\BD\+\CE\)=-x39=26.

根據(jù)橢圓的定義知，點"的軌跡是以8、C為焦點的橢圓.

2a=\MB\+\MC\=26,.'.a=13,又2c=|_BC|=24,c=12,

:.b~a1-c2=132—122=25,故所求的橢圓方程為

22

工+上=1("0).

16925

［警示］在求點的軌跡時，要特點注意所求點軌跡的幾何意義，在本題中，所求的橢圓方

22

程為焉+喜=1(丁wO),應考慮若y=0時，A、B、C三點在同一條直線上，不可能構(gòu)

成三角形，所以應將y=0去掉。另外，平面內(nèi)一動點與兩定點Fi，巳的距離之和為常數(shù)

2a,當2a>|時,動點的軌跡是橢圓；當2a=|外冏時動點的軌跡是線段當2a<\丹碼

時，動點的軌跡不存在。

［變式訓練］

歷

4.在MAABC中，ZCAB=90°,AB=2,AC=—,曲線E過C點，動點P在曲線E

2

上運動，且保持|巳4|+|23|的值不變，求曲線E的方程。

例5.設(shè)尸的軌跡是曲線C,滿足：點尸到廠(-2,0)的距離與它到直線/:九=—的距離之

比是常數(shù)，又點"(2,-J5)在曲線C上，點N(-1,1)在曲線C的內(nèi)部.

⑴求曲線C的方程；

(2)|PN|+J5|PF|的最小值，并求此時點P的坐標.

［剖析］:由已知條件通過列方程，不難得出曲線。的方程，但要注意計算準確。

IPFI

［解］⑴設(shè)P(x,y)是曲線C上任一點，則^——^=加(加為常數(shù))，

|x+4|

即J(x+2)2+。2=力|%+4|,又點"(2,—J5)在曲線。上，所以742+2=7刈2+4］,

所以m=等，所以曲線。的方程是J(X+2)2+J?=個^，即:+；=1?

⑵F是橢圓C的左焦點，夜|依|實際上是點P到左準線的距離.所以當PN與左準線垂

直時，|川|+夜|「/|的值最小，此時點P的坐標為（-標,1）.

72

［警示］由本例可知，點尸到廠（-2,0）的距離與它到直線/:x=T的距離之比弓是一

個在（0,1）的常數(shù)，事實上，平面內(nèi)到一定點廠的距離和一條直線/（/不在直線上）的距離之

比是常數(shù)e（0<e<l）的動點的軌跡就是橢圓，其中定點E是橢圓的一個焦點，定直線/是

橢圓的這個焦點所對應的準線，這就是橢圓的第二定義。

［變式訓練］

5.設(shè)P的軌跡是曲線C,滿足：點P到E（2,0）的距離與它到直線/:x=8的距離之比是

常數(shù)，又點M（3,、一）在曲線C上，點A（-2,遍）在曲線。的內(nèi)部.

⑴求曲線C的軌跡方程；

⑵|MA|+21M用的最小值，并求此時點尸的坐標.

例6.設(shè)點P是橢圓馬+與=1上一點，片,只是橢圓的兩個焦點，且/"尸居=90°，

a~b

求橢圓的離心率的取值范圍。

［剖析］由題設(shè)條件不難看出p,K，工是一直角三角形的三個頂點，且由/耳「工=90°,

可想到利用勾股定理來加以解決。

［解］由橢圓的定義得IP片I+IPF21=2a①

在中，N《PB=90°，由勾股定理，得1尸6F『=1不工『=4°2②

將①②化簡得：|「工||「工|=2（/一°2）③

由①③，根據(jù)韋達定理，可知|「片|,|桃I是方程2"+2（。2—。2）=。的兩個根。

則有A=41—8（/—。2）20,所以（￡）22工，即正，又e<l,從而正<e<l.

al22

［警示］<<考試大綱>>要求掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，這就要求我們不僅準確把握和牢固

地記憶這些幾何性質(zhì)，還要靈活地運用這些性質(zhì)解決問題，更要注意教材中利用橢圓的標準

方程推導這些幾何性質(zhì)的思想方法。在橢圓的幾何性質(zhì)中，離心率問題一直是高考的熱點題

型，需要重點把握。

［變式訓練］

X1y2

6.設(shè)R、尸2為橢圓一+J=1的兩個焦點，P為橢圓上的一點.已知尸、尸1、B是一個

94

直角三角形的三個頂點，且|PB|>|P%I，求\PF\i的值.

\PF2\

［能力提升］

1.有以下兩個命題：

⑴動點P到兩定點A3的距離之和1PAi+\PB\=2ag>0,且a為常數(shù))；

⑵尸點的軌跡是橢圓.

則命題(1)是命題(2)的()

(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充分且必要條件(D)既不充分也不必要條件

2.(2006年山東卷)在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為正，焦點到相應準線

的距離為1,則該橢圓的離心率為()

(A)V2(B)*(C)|(D)日

3.橢圓短軸長是2,長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準線距離是()

(A)—(B)—V5(C)—V3(D)—V3

4.如果方程/+62=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)左的取值范圍是()

(A)(0,+8)(B)(0,2)(C)(1,+8)(D)(0,1)

5.(2006年湖北卷)設(shè)過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B

兩點，點。與點尸關(guān)于y軸對稱，。為坐標原點，若加=2礪，且而.Q=l,則P點

的軌跡方程是()

(A)3%2+萬,2=1(%>0,>0)(B)3x2-—y2=1(%〉0,y〉0)

(C)—%2-3y2=1(A:>0,y>0)(D)—%2+3y2=1(%>0,y>0)

6.已知橢圓ax?+〃/+ab=o(a<6<o),則其焦點坐標為.

7.(2007年廣東惠州市調(diào)研)已知點尸是橢圓——+V=1上的在第一象限內(nèi)的點，又

A(2,0)、5(0,1),。是原點，則四邊形QAPB的面積的最大值是一

22

8.(2006年四川卷)如圖，把橢圓工+匕=1的長軸A3分成8等

2516尸舄

份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于與

《，E,鳥，舄，己，《七個點，廠是橢圓的一個焦點，則

歸阿上歸］沖」

4+14a4M7

XV

9.如圖所示，R、6分別為橢圓F+==1的左、右焦點，點P在橢

/b

圓上，△POFz是面積為百的正三角形，則〃的值是

10.(2007年廣東韶關(guān)調(diào)研)如圖，在直角梯形A3CD中，ZBAD=90，AD//BC,

31

AB=2,AD=-,BC=~,橢圓以A、6為焦點且經(jīng)過點。.建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?

22

求橢圓的方程；

x~y

11.橢圓——+==1的焦點為B、歹2,點P為其上的動點，當為鈍角時，求點P

94

橫坐標的取值范圍。

爐8y

12.設(shè)廠1、巳分別為橢圓C：r+—2=1(a>b>0)的左、右兩個焦點.

a"b~

3

(1)若橢圓C上的點A(1,—)到人、&兩點的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和

2

焦點坐標；

(2)設(shè)點K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段QK的中點的軌跡方程；

(3)己知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點尸是橢圓上任意

一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kpM>如v時，那么kpM與作w之積是與點P

22

位置無關(guān)的定值.試對雙曲線二-二=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.

ab

第二講雙曲線

［知識梳理］

［知識盤點］

1.雙曲線的定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點片,工的距離的差的絕對值等于常數(shù)

(|F15F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，用符號表示為O這兩個

定點叫雙曲線的,兩個焦點之間的距離叫做雙曲線的O

2.雙曲線的第二定義:平面內(nèi)，到定點尸(c,0)(或歹(0,c))的距離與到定直線/:的

距離之比是常數(shù)￡(即)的動點的軌跡叫做雙曲線，這個定點是雙曲線的，

a

這條定直線叫做雙曲線的，其中常數(shù)￡叫做雙曲線的。

a

二.雙曲線的標準方程

3.當雙曲線的焦點在x軸上時，雙曲線的標準方程為，其中焦點坐標為

片(c,0),%(―c,0),且。2=；

當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的標準方程為,其中焦點坐標為

6(0,c),6(0,—c),且,2=.

當且僅當雙曲線的中心在坐標原點，其焦點在坐標軸上時，雙曲線的方程才是標準形式。

離心率

e=—(e>l)

a

,a2

準線X=±——

C

漸近線,a

y-±—x

b

［特別提醒］

本節(jié)的重點是雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì).難點是理解參數(shù)。、氏c、e的關(guān)系及漸

近線方程、準線方程、第二定義的應用.關(guān)鍵是準確理解和掌握有關(guān)概念，靈活地運用數(shù)形

結(jié)合、函數(shù)與方程的思想及等價轉(zhuǎn)化的思想.為此建議在復習中注意以下幾點：

1.雙曲線中有一個重要的(如下圖)，它的三邊長分別是。、b、c.易見02=4+〃，

1

若i己Z.AOB=9,貝Ie=—=----.

acos。

2.雙曲線的定義用代數(shù)式表示為||MFi|一|M&ll=2a,其中2“<|爪6|，這里要注意兩點：

(1)距離之差的絕對值.

(2)2a<\FiF2\,這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.

當阿碎一尸護2。時，曲線僅表示焦點尸2所對應的一支；

當|AfQ|一|MB|=一2a時，曲線僅表示焦點Fi所對應的一支；

當2a=EB|時，軌跡是一直線上以尸1、B為端點向外的兩條射線；

當2a>回6|時，動點軌跡不存在.

3.參數(shù)6是雙曲線的定形條件，兩種標準方程中，總有a>0,b>0；雙曲線焦點位置決

定標準方程的類型；a、b、c的關(guān)系是02=/+〃；在方程泰2+初2=。中，只要AB<O且

0,就是雙曲線的方程.

4.在運用雙曲線的第二定義時，一定要注意是動點P到焦點的距離與到相應準線距離之比為

常數(shù)e.若使用的焦點與準線不是對應的，則上述之比就不再是常數(shù)了.

5.給定了雙曲線方程，就可求得確定的兩條漸近線.但已知漸近線方程，只是限制了雙曲線張

口的大小，不能直接寫出雙曲線方程.但若已知漸近線方程是±±?=0,則可把雙曲線方程

ab

表示為三一勺=■(2#0),再根據(jù)已知條件確定X的值，求出雙曲線的方程.

a2b-

［基礎(chǔ)闖關(guān)］

1.設(shè)尸是雙曲線二一二=1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x—2y=0,Fi、&分別

CT9

是雙曲線的左、右焦點.若1PBl=3,則|產(chǎn)后|等于（）

(A)l或5

2.（2005年北京春）“浦＜0”是“曲線"2+勿2=1為雙曲線”的

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分又不必要條件

3.過點（2,-2）且與雙曲線三一產(chǎn)=1有公共漸近線的雙曲線方程是（）

4.（2006年陜西卷）已知雙曲線二-乙=1（。＞四）的兩條漸近線的夾角為三，則雙曲線

a23

的離心率為（）

(C)V3(D)2

5.已知圓C過雙曲線二一二=1的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心

916

到雙曲線中心的距離是.

22

6.給出問題：尸1、B是雙曲線二一匕=1的焦點，點尸在雙曲線上.若點P到焦點分的

1620

距離等于9,求點P到焦點&的距離.某學生的解答如下：雙曲線的實軸長為8,由||「為|一

出手引|=8,即19Tpp￥1=8,得出4=1或17.

該學生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正

確結(jié)果填在題中的橫線上..

［典例精析］

例1.設(shè)雙曲線與橢圓二+乙=1有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點的縱坐標為4,

2736

求雙曲線的方程。

［剖析］由于橢圓的焦點坐標為（0,±3）,且雙曲線與橢圓具有相同的焦點，知雙曲線的焦

22

點也為（0,±3）,從而知所設(shè)雙曲線的形式應為當-'=1,圍繞定義產(chǎn)生的問題，要注意

||入片|-|4月||=2。的三個量之間的關(guān)系。本題抓住“交點A”在雙曲線上，必須滿足定

義，從而應用定義求出雙曲線方程中的基本量。

22

［解］解法一：由橢圓工+匕=1,得其焦點為（0,—3）或（0,3）,.?.雙曲線的焦點在y軸

2736

上，設(shè)所求的雙曲線方程為2=l(a>03>0).由已知得雙曲線兩焦點分別為

片(0,-3),8(0,3),且與橢圓相交其中一個交點的縱坐標為4,設(shè)交點坐標為(私4),從而

/TZ?16I

得——+—=1,解得"2=而\

2736

則2a=||A片|一|A8||=|7(V15-0)2+(4+3)2--0)2+(4-3)2|=4

22

解得〃=2,由于。=3,得b=下,因此方程匕—土=1即為所求.

45

22

解法二：由題意設(shè)雙曲線方程為」一+二一=1(27<2<36),將A(JI?,4)代入求得

2=0(舍)或2=32,故所求雙曲線方程為乙-±=1.

45

［警示］利用定義法來求解雙曲線的標準方程時，一定要抓住題設(shè)所給出的獨立條件建立

瓦C之間的等量關(guān)系，再利用。2=4+〃運用方程的思想來求解，從而得到。力的值。

但需注意首先應判斷焦點的位置，以便于采用哪種形式的方程。

［變式訓練］:

1.根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：

22

(1)與雙曲線二一二二1有共同的漸近線，且過點(一3,26)；

916

22

(2)與雙曲線二一”二1有公共焦點，且過點(3后，2).

164

例2.設(shè)點P到點—1,0)、N(1,0)距離之差為2m，至！J無軸、y軸距離之比為2,求

m的取值范圍.

［剖析］由1PM—|PN=2相，得11PM-1尸川1=2防|.知點尸的軌跡是雙曲線，由點P到x軸、y

軸距離之比為2,知點P的軌跡是直線，由交軌法求得點P的坐標，進而可求得加的取值

范圍.

［解］設(shè)點P的坐標為(x,>),依題意得.=2,即尸±2x(xWO)①

因此，點尸(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三點不共線，得11PMi—|PM<|MN=2.

'：\\PM\-\PN\\=2.\m\>0,.因此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2階|的雙曲

22

線上.故設(shè)J——三=1.②

m1—m

將①代入②，并解得任=’"2(1,

l-5m2

J5

*.*1—m2>0,1—5m2>0.解得0<|m|<-^-,

即機的取值范圍為(一旦,0)U(0,—).

55

［警示］求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b,在解題過程中應熟悉各元素(服b、c、e及準

線)之間的關(guān)系，并注意方程思想的應用.

［變式訓練］

2.(2007年上海浦東)已知曲線。:三一引引=1(|1區(qū)4).

(1)畫出曲線。的圖像，

(2)若直線/:y=kx—1與曲線C有兩個公共點，求左的取值范圍；

⑶若P(0,0)(2>0),Q為曲線C上的點，求|PQ|的最小值.

4

3

2

1

?

-4-3-2?101234

-1

巫

例3.已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，點P(-2,0)與其漸近線的距離為

過點尸作斜率為工的直線交雙曲線于A3兩點，交y軸于跖且IPMI是|PA|與|依|的

6

等比中項.

(1)求雙曲線C的漸近線方程；

(2)求雙曲線。的方程.

［剖析］(1)由點P(-2,0)與其漸近線的距離為萼，借助于點到直線的距離公式可求得其

漸近線方程；(2)由漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程，再借助于題條件，不難得到雙曲線方程。

［解］(1)設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為丁=依，由點到直線的距離公式得左=±g，即雙曲

線的漸近線方程為y=±gx；

(2)設(shè)雙曲線方程為犬2—9丁2=皿加＞0),，

x-9y-m

則直線AB的方程為丁=L(％+2).由，1得3/—4%—4—4m=0,

6y=-(x+2)

444

當八二16—3、(1+機)＞0即機＞--時，有石+々=§,玉%2=+

由|MP『=|PA11|可得|(%+2)(/+2)|=4,從而切=7或加=1.

x29y2

故所求的雙曲線方程為一-X=1或爐9—9產(chǎn)?=1.

77

22

［警示］漸近線是雙曲線特有的，如果說雙曲線的方程為二-4=1,則其漸近線方程可記

ab

222222

為二-斗=0.同時，以=-3=0為漸近線的雙曲線，其方程可設(shè)為3-3=九若已知雙曲

a'ba"ba"b"

線的漸近線方程是以ax±by=0的形式給出的，則可設(shè)雙曲線方程為(2H0).

［變式訓練］

3.已知雙曲線關(guān)于兩坐標軸對稱，且與圓好+產(chǎn)=io相交于點夕(3,-1),若此圓過點P的

切線與雙曲線的漸近線平行，求此雙曲線的方程。

例4.已知直線,=履+1與雙曲線3——V=i相交于A、8兩點，那么是否存在實數(shù)左使

得兩點關(guān)于直線x-2y=0對稱？若存在，求出左的值；若不存在，說明理由。

［剖析］這是一類非常典型的題目上，''已知曲線C：iwc--ny~=l(mn^0,m+n^0)±.

是否存在相異的兩點使4,3關(guān)于定直線,=丘+人對稱”這類問題的基本解決思路

是：若存在4和%),3(%,%)是曲線。上相異兩點，它們關(guān)于丁=丘+〃對稱.設(shè)的中

—ny^=1

點為（%,%），則<221nm（產(chǎn)力（君子》4匯2》（z，即

nvc2-ny2=I

y—y

?2x=-2y0?—---

m0n,mxQ=ny0?=>ny0+mkx0=0①，又％=也+6②,

xr-x2.

—nb

XQ—

由①②可解得《根據(jù)坐標x°,y°的范圍，不難得出答案。