專題06線段的垂直平分線與角平分線(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)

專題06線段的垂直平分線與角平分線【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一線段垂直平分線的性質(zhì)】 1【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】 4【考點(diǎn)三線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用】 5【考點(diǎn)四用尺規(guī)作垂線】 6【考點(diǎn)五角平分線的性質(zhì)定理】 9【考點(diǎn)六角平分線的判定定理】 11【考點(diǎn)七角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 14【考點(diǎn)八用尺規(guī)作角平分線】 15【過關(guān)檢測】 17【典型例題】【考點(diǎn)一線段垂直平分線的性質(zhì)】例題：（2023秋·山東臨沂·八年級郯城縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖所示，在中，，若和分別垂直平分和，垂足分別為E、F．則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)M、D，的垂直平分線分別交于點(diǎn)N、E，的周長是7．(1)求的長度；(2)若，則度數(shù)是多少？請說明理由．2．(2023秋·山西朔州·八年級?？计谀┤鐖D，在中，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，且，連接．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，，求的周長．【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】例題：(2023秋·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是平分線上一點(diǎn)，，，垂足分別是，．求證：(1)；(2)是線段的垂直平分線．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·北京·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，是上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，求證：垂直平分．【考點(diǎn)三線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用】例題：(2023秋·江蘇南京·八年級?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙三家分別位于的三個(gè)頂點(diǎn)處，現(xiàn)要建造一個(gè)核酸檢測點(diǎn)，使得三家到核酸檢測點(diǎn)的距離相等，則核酸檢測點(diǎn)應(yīng)建造在（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·山東煙臺(tái)·七年級統(tǒng)考期中）如圖，為增強(qiáng)人民體質(zhì)，提高全民健康水平，某市擬修建一個(gè)大型體育中心，使得體育中心到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中心，，的距離相等，則點(diǎn)應(yīng)設(shè)計(jì)在（

）A．三條高線的交點(diǎn)處 B．三條中線的交點(diǎn)處C．三條角平分線的交點(diǎn)處 D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)處【考點(diǎn)四用尺規(guī)作垂線】例題：(2023秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在直角三角形中，，．(1)作邊的垂直平分線，與，分別交于點(diǎn)，（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接，求證：平分．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線表示一條公路，A，表示兩所大學(xué)，要在公路旁修建一個(gè)車站，使車站到兩所大學(xué)的距離相等．請用尺規(guī)在圖上找出點(diǎn)并說明理由．2．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，一輛汽車在筆直的公路上由A向B行駛，M，N分別是位于公路兩側(cè)的村莊，當(dāng)汽車行駛到哪個(gè)位置時(shí)，與村莊M，N的距離相等．【考點(diǎn)五角平分線的性質(zhì)定理】例題：(2023秋·山東煙臺(tái)·七年級統(tǒng)考期中）如圖，平分，為上一點(diǎn)，于，若，，則到的距離為___________．【變式訓(xùn)練】1．(2023春·寧夏銀川·八年級銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的平分線，于點(diǎn)，，，，則______cm．2．（2023秋·山東煙臺(tái)·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點(diǎn)E，，，則的面積為_____．【考點(diǎn)六角平分線的判定定理】例題：(2023秋·廣東廣州·八年級?？计谀┮阎?，如圖，在四邊形中，，且平分，點(diǎn)O是的中點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)求證：．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，是的中線，，，垂足分別為F，E，．求證：平分．2．(2023秋·福建龍巖·八年級校考期中）已知，如圖，是上一點(diǎn)，于，于，、分別是、上的點(diǎn)，且，．(1)求證：是的平分線．(2)若，且，，求的長．【考點(diǎn)七角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】例題：(2023秋·北京海淀·八年級期末）如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．在、兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處C．在、兩邊中線的交點(diǎn)處 D．在、兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息.若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應(yīng)建在三角形草坪（

）A．三條角平分線的交點(diǎn)處 B．三條中線的交點(diǎn)處C．三條高的交點(diǎn)處 D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處【考點(diǎn)八用尺規(guī)作角平分線】例題：(2023秋·湖北荊門·八年級校聯(lián)考期中）如圖，某個(gè)居民小區(qū)附近有三條兩兩相交的道路、、，擬在上建造一個(gè)大型超市，使得它到、的距離相等，請確定該超市的位置．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，、為兩條公路，點(diǎn)和點(diǎn)為內(nèi)部的兩個(gè)居民點(diǎn)．現(xiàn)計(jì)劃在內(nèi)部區(qū)域修建一貨站，使貨站到兩條公路距離相等，到兩居民點(diǎn)的距離也分別相等．(1)請你找出點(diǎn)貨站位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)簡述你的作圖理由．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，邊BC的垂直平分線交于D，連結(jié)，下列說法不一定正確的是（

）A． B． C． D．2．(2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點(diǎn)、，若，則為（

）A．38° B．42° C．44° D．48°3．(2023秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)，，再分別以，為圓心，大于的長分別為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，若，，則的面積為（

）A．30 B．15 C．20 D．504．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，邊的中垂線，分別與邊和邊交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，邊的中垂線，分別與邊和邊交于點(diǎn)F和點(diǎn)G，的周長為17，且，則的長為（）A．13 B．14 C．15 D．165．(2023秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，平分且，下列結(jié)論：；；；．結(jié)論中成立的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、填空題6．(2023秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于，的面積為，，則______.7．(2023秋·廣東廣州·八年級廣州市天河中學(xué)?？计谀┲?，的垂直平分線交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E，平分，若，則為________度．8．(2023秋·四川廣安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，平分交于點(diǎn)D，，則的面積為_____．9．(2023秋·河南周口·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，垂足為D，PQ是BC邊的垂直平分線，交BC于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)P，．若的周長是，，則的長是_______．10．(2023秋·山東濟(jì)南·八年級校考期末）如圖，在，，，，垂直平分，分別交，于點(diǎn)D、E，平分，與的延長線交于點(diǎn)P，連接，則的長度為___．三、解答題11．(2023秋·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）如圖：已知和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使，且P到兩邊的距離相等．12．(2023秋·廣東江門·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知：如圖，為的角平分線，⊥于點(diǎn)，⊥于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求證：垂直平分13．(2023秋·山東濟(jì)寧·八年級?？计谀┤鐖D，在中，的垂直平分線分別交邊、于點(diǎn)、，連接(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長．14．（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，邊上的垂直平分線為與分別交于點(diǎn)D、E，且．(1)求證：；(2)若，，求的長．15．(2023秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若．(1)求證：平分；(2)已知，，求的長．16．(2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，垂直平分，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，與的周長之差為，且的面積為，求的面積．17．(2023秋·全國·八年級期中）在中，的垂直平分線分別交線段，于點(diǎn)M，P，的垂直平分線分別交線段于點(diǎn)N，Q．(1)如圖，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．18．(2023秋·廣東中山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，分別交直線、、于點(diǎn)、、．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，、、之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．專題06線段的垂直平分線與角平分線【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一線段垂直平分線的性質(zhì)】 1【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】 4【考點(diǎn)三線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用】 5【考點(diǎn)四用尺規(guī)作垂線】 6【考點(diǎn)五角平分線的性質(zhì)定理】 9【考點(diǎn)六角平分線的判定定理】 11【考點(diǎn)七角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 14【考點(diǎn)八用尺規(guī)作角平分線】 15【過關(guān)檢測】 17【典型例題】【考點(diǎn)一線段垂直平分線的性質(zhì)】例題：（2023秋·山東臨沂·八年級郯城縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，在中，，若和分別垂直平分和，垂足分別為E、F．則（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可以得到，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】∵和分別垂直平分和，∴，，∴，，∵，又∵，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線與三角形內(nèi)角和的綜合應(yīng)用，利用垂直平分線的性質(zhì)得到兩對等邊和兩對等角是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)M、D，的垂直平分線分別交于點(diǎn)N、E，的周長是7．(1)求的長度；(2)若，則度數(shù)是多少？請說明理由．答案:(1)7(2)分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵是線段的垂直平分線，∴，同理，，∵的周長為7，∴，∴；（2）解：度數(shù)是60°，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對等角以及三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(2023秋·山西朔州·八年級校考期末）如圖，在中，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，且，連接．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，，求的周長．答案:(1)(2)分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出，求出和，即可得出答案；（2）根據(jù)已知能推出的周長等于，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴垂直平分，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴，，∵，∴，∵，∴．∴的度數(shù)為．（2）由（1）知：，∵．∴，∵，，∴的周長為：．∴的周長為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與它不相鄰兩內(nèi)角之和．掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】例題：(2023秋·廣東江門·八年級校考期中）如圖，點(diǎn)是平分線上一點(diǎn)，，，垂足分別是，．求證：(1)；(2)是線段的垂直平分線．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再判定，得出；（2）由（1）得到點(diǎn)在的垂直平分線上，再根據(jù)，可得點(diǎn)在的垂直平分線上，進(jìn)而得到是的垂直平分線．【詳解】（1）證明：是的平分線上一點(diǎn)，，，．在和中，，．．（2），點(diǎn)在的垂直平分線上．又，點(diǎn)在的垂直平分線上，是的垂直平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·北京·八年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，是上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，求證：垂直平分．答案:見解析分析：首先根據(jù)HL證明，得出，然后根據(jù)等腰三角形底邊上的高與頂角的平分線重合即可證明．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴垂直平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用】例題：(2023秋·江蘇南京·八年級校考階段練習(xí)）甲、乙、丙三家分別位于的三個(gè)頂點(diǎn)處，現(xiàn)要建造一個(gè)核酸檢測點(diǎn)，使得三家到核酸檢測點(diǎn)的距離相等，則核酸檢測點(diǎn)應(yīng)建造在（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)答案:A分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵線段的垂直平分線的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，∴這三家到核酸檢測點(diǎn)距離相等，核酸檢測點(diǎn)的建造位置是在三邊的垂直平分線上，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·山東煙臺(tái)·七年級統(tǒng)考期中）如圖，為增強(qiáng)人民體質(zhì)，提高全民健康水平，某市擬修建一個(gè)大型體育中心，使得體育中心到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中心，，的距離相等，則點(diǎn)應(yīng)設(shè)計(jì)在（

）A．三條高線的交點(diǎn)處 B．三條中線的交點(diǎn)處C．三條角平分線的交點(diǎn)處 D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)處答案:D分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：體育中心到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中心、、的距離相等，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，同理，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，點(diǎn)應(yīng)設(shè)計(jì)在三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四用尺規(guī)作垂線】例題：(2023秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在直角三角形中，，．(1)作邊的垂直平分線，與，分別交于點(diǎn)，（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接，求證：平分．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）分別以B、C為圓心，大于長為半徑畫弧，使得弧有兩個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過兩個(gè)交點(diǎn)的直線即為的垂直平分線；（2）連接，根據(jù)垂直平分線的定義得到，，再根據(jù)得到，進(jìn)而求得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）證明：如圖，連接，∵垂直平分，∴，，∵，∴，在和中，∴（HL），∴，∴平分．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、垂直平分線的定義和全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的方法，靈活運(yùn)用相關(guān)的幾何定理．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線表示一條公路，A，表示兩所大學(xué)，要在公路旁修建一個(gè)車站，使車站到兩所大學(xué)的距離相等．請用尺規(guī)在圖上找出點(diǎn)并說明理由．答案:作圖見解析，理由見解析分析：連接．根據(jù)“到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”知，點(diǎn)P應(yīng)是線段的垂直平分線與直線m的交點(diǎn)．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)P是的垂直平分線與直線m的交點(diǎn)．作線段的中垂線．∵垂直平分線段，∴（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)和作圖能力，屬基礎(chǔ)題，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)及作圖方法是解題關(guān)鍵．2．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，一輛汽車在筆直的公路上由A向B行駛，M，N分別是位于公路兩側(cè)的村莊，當(dāng)汽車行駛到哪個(gè)位置時(shí)，與村莊M，N的距離相等．答案:詳見解析分析：到M、N距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，故其位置為線段的垂直平分線與公路的交點(diǎn)處．【詳解】解：（1）連接；（2）作線段的垂直平分線l，交直線于C點(diǎn)，則C點(diǎn)即為所求．由作圖可知：點(diǎn)C在的垂直平分線l上，∴．∴當(dāng)汽車行駛到哪點(diǎn)C時(shí)，與村莊M，N的距離相等．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，屬基本作圖題．【考點(diǎn)五角平分線的性質(zhì)定理】例題：(2023秋·山東煙臺(tái)·七年級統(tǒng)考期中）如圖，平分，為上一點(diǎn)，于，若，，則到的距離為___________．答案:3cm##3厘米分析：從已知條件開始思考，結(jié)合角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可知到的距離為的長，據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】平分，為上任一點(diǎn)，且，到的距離等于的長，在中，，，，即到的距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)，是正確解題的前提．【變式訓(xùn)練】1．(2023春·寧夏銀川·八年級銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的平分線，于點(diǎn)，，，，則______cm．答案:3分析：作于F，設(shè)為x，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解方程即可．【詳解】解：作于F，設(shè)為x，∵是的角平分線，，，∴，∴，即，解得，，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東煙臺(tái)·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點(diǎn)E，，，則的面積為_____．答案:12分析：過點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，如下圖：由題意可得：，，又∵平分，∴，∴，故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)．【考點(diǎn)六角平分線的判定定理】例題：(2023秋·廣東廣州·八年級?？计谀┮阎?，如圖，在四邊形中，，且平分，點(diǎn)O是的中點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)求證：．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）過點(diǎn)O作于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，從而求出，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，，然后證明即可．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)O作于E，∵平分，∴，∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，∴平分；（2）證明：在和中，∴，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，∵∴．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，角平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，是的中線，，，垂足分別為F，E，．求證：平分．答案:見解析分析：先證明，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得，再根據(jù)角平分線的判定定理，即可證得結(jié)論．【詳解】證明：是的中線，．又，，，∴在與中，，，，平分．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握和運(yùn)用全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．2．(2023秋·福建龍巖·八年級校考期中）已知，如圖，是上一點(diǎn)，于，于，、分別是、上的點(diǎn)，且，．(1)求證：是的平分線．(2)若，且，，求的長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）根據(jù)證明，推出，依據(jù)角平分線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由（1）知，是的平分線．求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求出，得到，即可得到．【詳解】（1）證明：∵于，于，∴，在和中∴，∴，∵，，∴是的平分線．（2）由（1）知，是的平分線．∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】例題：(2023秋·北京海淀·八年級期末）如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．在、兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處C．在、兩邊中線的交點(diǎn)處 D．在、兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處答案:B分析：根據(jù)三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等即可選擇．【詳解】根據(jù)三角形的角平分線性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在在、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線性質(zhì)，掌握三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息.若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應(yīng)建在三角形草坪（

）A．三條角平分線的交點(diǎn)處 B．三條中線的交點(diǎn)處C．三條高的交點(diǎn)處 D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處答案:A分析：首先理解涼亭到草坪三條邊的距離相等的意義，而角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，從而得出的角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，判斷它到三角形各邊的距離是否相等，問題即可解答．【詳解】解：因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以涼亭的位置應(yīng)為三條角平分線的交點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)八用尺規(guī)作角平分線】例題：(2023秋·湖北荊門·八年級校聯(lián)考期中）如圖，某個(gè)居民小區(qū)附近有三條兩兩相交的道路、、，擬在上建造一個(gè)大型超市，使得它到、的距離相等，請確定該超市的位置．答案:見解析分析：作的角平分線，與的交點(diǎn)到的兩邊，的距離相等．【詳解】如圖所示：作的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為該超市的位置．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的作法，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，、為兩條公路，點(diǎn)和點(diǎn)為內(nèi)部的兩個(gè)居民點(diǎn)．現(xiàn)計(jì)劃在內(nèi)部區(qū)域修建一貨站，使貨站到兩條公路距離相等，到兩居民點(diǎn)的距離也分別相等．(1)請你找出點(diǎn)貨站位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)簡述你的作圖理由．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）先做的角平分線，再畫的垂直平分線，相加于點(diǎn)為所求；（2）根據(jù)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等即可理解．【詳解】（1）解：作圖如下：（2）解：理由：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等、垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．點(diǎn)P到兩條公路距離相等，到兩個(gè)村莊距離也相等故為角平分線與垂直平分線的交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，邊BC的垂直平分線交于D，連結(jié)，下列說法不一定正確的是（

）A． B． C． D．答案:C分析：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可．【詳解】解：由題意可得，垂直平分線段，，，，，，，，，故選項(xiàng)A，B，D正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．2．(2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點(diǎn)、，若，則為（

）A．38° B．42° C．44° D．48°答案:C分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，計(jì)算即可．【詳解】解：，，、分別為、的垂直平分線，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等幾何知識．熟知線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解答的關(guān)鍵．3．(2023秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)，，再分別以，為圓心，大于的長分別為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，若，，則的面積為（

）A．30 B．15 C．20 D．50答案:B分析：過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得，為的角平分線，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，即可得出，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，∵平分，，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的作圖和角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等．4．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，邊的中垂線，分別與邊和邊交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，邊的中垂線，分別與邊和邊交于點(diǎn)F和點(diǎn)G，的周長為17，且，則的長為（）A．13 B．14 C．15 D．16答案:C分析：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，問題即可解決．【詳解】解：∵是線段的中垂線，是線段的中垂線，∴，，∵周長為17，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的垂直平分線，三角形的周長等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．5．(2023秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，平分且，下列結(jié)論：；；；．結(jié)論中成立的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)答案:A分析：過E作于F，根據(jù)角平分線定義即可判斷①，根據(jù)線段中點(diǎn)定義即可判斷③；求出平分，求出，即可判斷②；取的中點(diǎn)M，連接，根據(jù)梯形中位線性質(zhì)和直角三角形斜邊上中線性質(zhì)即可判斷④．【詳解】過E作于F，∵平分，，故①正確；∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，故③正確；平分，，，平分，故②正確；取的中點(diǎn)M，連接，∵E為的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，，，故④正確；即正確的個(gè)數(shù)是4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，梯形的中位線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)等知識點(diǎn)，能熟記角平分線性質(zhì)和梯形中位線性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，①角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，②梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半．二、填空題6．(2023秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于，的面積為，，則______.答案:分析：過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算公式解題即可．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是的角平分線，于，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．7．(2023秋·廣東廣州·八年級廣州市天河中學(xué)校考期末）中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E，平分，若，則為________度．答案:分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，則，由平分可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，求解即可．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∵平分，∴∴，即由可得，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．8．(2023秋·四川廣安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，平分交于點(diǎn)D，，則的面積為_____．答案:分析：過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的定義和性質(zhì)求得，，再由直角三角形中所對的邊等于斜邊的一半以及勾股定理求得，，，最后求得的面積．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，，，，平分，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，還考查了角平分線的定義和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的性質(zhì)定理并能靈活運(yùn)用．9．(2023秋·河南周口·八年級校考期末）如圖，在中，，垂足為D，PQ是BC邊的垂直平分線，交BC于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)P，．若的周長是，，則的長是_______．答案:##8厘米分析：先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，，再求出，，即可求出．【詳解】解：∵，，∴是線段的垂直平分線，∴，∵PQ是BC邊的垂直平分線，∴，，∴，∵的周長是，∴，∴，即，∵，，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的定義和性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)和定義，結(jié)合題意進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．10．(2023秋·山東濟(jì)南·八年級?？计谀┤鐖D，在，，，，垂直平分，分別交，于點(diǎn)D、E，平分，與的延長線交于點(diǎn)P，連接，則的長度為___．答案:分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再證明，由等角對等邊即可得出；過點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)F．由角平分線的性質(zhì)定理得到，進(jìn)而得到、的長．在中，由勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，垂直平分，∴．又∵，平分，∴，∴，∴．過點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)F．∵平分，，∴．∵，∴，∴．又∵，∴．在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線定理、角平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．熟練掌握有關(guān)的定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．(2023秋·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）如圖：已知和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使，且P到兩邊的距離相等．答案:詳見解析分析：作的垂直平分線和的平分線，兩線的交點(diǎn)即為所作的點(diǎn)P．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查了尺柜作圖，以及角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì).解答此題要明確兩點(diǎn)：（1）角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；（2）垂直平分線上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．12．(2023秋·廣東江門·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知：如圖，為的角平分線，⊥于點(diǎn)，⊥于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求證：垂直平分答案:見解析分析：根據(jù)平分，，，可得，，則可證，并得，可證得，根據(jù)，，得到點(diǎn)、點(diǎn)在的垂直平分線上，可證垂直平分．【詳解】證明∵平分，，，∴，，∴，∴，∴∴，∵，，∴點(diǎn)、點(diǎn)在的垂直平分線上，∴垂直平分．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(2023秋·山東濟(jì)寧·八年級?？计谀┤鐖D，在中，的垂直平分線分別交邊、于點(diǎn)、，連接(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長．答案:(1)(2)分析：（1）根據(jù)，，得出，根據(jù)是的垂直平分線得出，進(jìn)而得出，根據(jù)即可求解．（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，繼而得出，根據(jù)等角對等邊得出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，等量代換即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴；（2）解：∵∴，又∵，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，邊上的垂直平分線為與分別交于點(diǎn)D、E，且．(1)求證：；(2)若，，求的長．答案:(1)見解析(2)的長為分析：（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的逆定理即可求解；（2）設(shè)，則，在中，根據(jù)，列出方程計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵邊上的垂直平分線為，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的運(yùn)用．15．(2023秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若．(1)求證：平分；(2)已知，，求的長．答案:(1)見解析(2)2分