新教材高中數(shù)學(xué)9-1-1正弦定理課件新人教B版必修第四冊

第九章解三角形9.1正弦定理與余弦定理9.1.1正弦定理新課程標(biāo)準(zhǔn)素養(yǎng)風(fēng)向標(biāo)1.通過對任意三角形的邊長與角度關(guān)系的探索掌握正弦定理.2.能解決一些簡單的三角形度量問題.1.通過直角三角形的邊角關(guān)系推廣到斜三角形的邊角關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.通過三角形的面積公式計算得到正弦定理.(數(shù)學(xué)建模)3.利用正弦定理計算三角形的邊和角或者證明.(數(shù)學(xué)運算)基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探1.回顧直角三角形中的邊與角的關(guān)系:

是否為定值?提示:如圖,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R為△ABC外接圓的半徑,顯然有

=2R(定值).2.在銳角或鈍角三角形中邊與角的關(guān)系:

是否為定值?提示:如圖,銳角三角形的外接圓的半徑為R,直徑為CD=2R,連接BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,所以=CD=2R,同理=2R,=2R.得=2R(定值).同理,在鈍角三角形中,上述等式仍然成立.3.運用三角形的面積公式如何證明正弦定理?提示:由三角形的面積公式,得S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,等式都除以abc,得所以【概念生成】1.正弦定理在一個三角形中,各邊的長和它所對角的正弦的比相等,即

=2R(R為三角形外接圓的半徑)2.正弦定理的變形公式由正弦定理,可以得到如下推論(變形公式):(1)a=________;(邊化角公式)

b=________;

c=________.

2RsinA2RsinB2RsinC(2)sinA=____;(角化邊公式)sinB=____;sinC=____.3.解三角形一般地,三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的若干元素求其他元素一般稱為_________.解三角形核心互動探究探究點一利用正弦定理解三角形【典例1】1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,A=60°,a=4

,b=4,則B= (

)A.30°或150° B.150°C.30° D.60°2.已知△ABC中,c=6cm,A=45°,C=30°,解三角形.【思維導(dǎo)引】1.由正弦定理求得sinB=

,根據(jù)a>b,由三角形中大邊對大角可得B<60°,即可求得B.2.由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求邊長.【思維導(dǎo)引】1.由正弦定理求得sinB=

,根據(jù)a>b,由三角形中大邊對大角可得B<60°,即可求得B.2.由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求邊長.【解析】1.選C.因為A=60°,a=4,b=4,由正弦定理,得sinB=因為a>b,所以B<60°,所以B=30°.2.由三角形內(nèi)角和定理,得B=180°-(A+C)=105°,sin105°=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=根據(jù)正弦定理得a=(cm),b=(cm).【類題通法】利用正弦定理解三角形的注意事項1.如果已知三角形的兩角和一邊(即ASA或AAS)解三角形,那么通常運用正弦定理計算.2.注意三角形中大邊對大角,大角對大邊的關(guān)系以及應(yīng)用.提醒:注意已知三角形兩邊和一邊的對角即AAS解三角形,三角形可能有0個解或1個解或兩個解.解決此類問題通常運用數(shù)形結(jié)合法.已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形

關(guān)系式①a=bsinA②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的個數(shù)一解兩解無解一解無解【定向訓(xùn)練】1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=1,b=

,A=30°,若B為銳角,則A∶B∶C= (

)A.1∶1∶3 B.1∶2∶3C.1∶3∶2 D.1∶4∶1【解析】選B.因為a=1,b=,A=30°,B為銳角,所以由正弦定理得sinB=,則B=60°,所以C=90°,則A∶B∶C=1∶2∶3.2.已知△ABC中,a=2

,c=2

,A=45°,解三角形.【解析】因為a=2,c=2,A=45°,所以由正弦定理

得sinC=又0°<C<180°,得C=60°或C=120°.當(dāng)C=60°時,B=75°,sin75°=b=2.已知△ABC中,a=2

,c=2

,A=45°,解三角形.【解析】因為a=2,c=2,A=45°,所以由正弦定理

得sinC=又0°<C<180°,得C=60°或C=120°.當(dāng)C=60°時,B=75°,sin75°=b=當(dāng)C=120°時,B=15°,sin15°=,b=探究點二利用正弦定理判斷三角形的形狀【典例2】1.若

,則△ABC是 (

)A.等腰直角三角形B.有一內(nèi)角是30°的直角三角形C.等邊三角形D.有一內(nèi)角是30°的等腰三角形2.在△ABC中,已知

,則△ABC的形狀是________三角形.

【思維導(dǎo)引】1.由正弦定理可得tanB=tanC=1,從而判斷△ABC的形狀.2.切化弦后,利用正弦定理判斷.【解析】1.選A.在△ABC中,,則由正弦定理可得,即tanB=tanC=1,所以B=C=45°,A=90°,故△ABC為等腰直角三角形.2.由正弦定理得,即cosA=cosB,故A=B,所以△ABC為等腰三角形.答案:等腰【類題通法】判斷三角形形狀的常用方法及步驟(1)方法:化邊為角或化角為邊.(2)步驟:第一步,將題目中的條件,利用正弦定理化邊為角或化角為邊,第二步,根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系或三邊的關(guān)系,進而確定三角形的形狀.【定向訓(xùn)練】在△ABC中,如果lga-lgc=lgsinB=-lg

,且B為銳角,試判斷此三角形的形狀.【解題指南】由lgsinB=-lg

,可得sinB=

,求得B=45°.再由lga-lgc=-lg

可得

,可由正弦定理求角.【解析】因為lgsinB=-lg,所以sinB=,又因為B是銳角,所以B=45°.因為lga-lgc=-lg,所以

,由正弦定理得,得2sin(135°-C)=sinC,即2(sin135°cosC-cos135°sinC)=sinC,所以cosC=0,所以C=90°,所以A=B=45°,所以△ABC是等腰直角三角形.探究點三計算三角形的面積【典例3】已知△ABC中,sinCcosA=

,cosCsinA=-

.(1)求sinA的值.(2)設(shè)AC=

,求△ABC的面積.【思維導(dǎo)引】(1)由條件聯(lián)立方程組,消去C得sinA.或求得sin(C-A)與sin(C+A)再計算sinA.(2)由正弦定理求BC,再計算S△=

absinC.【解析】(1)方法一:在△ABC中sinCcosA=,cosCsinA=-.得cosC=-,所以C為鈍角,A為銳角.所以

,得

兩邊平方得

整理,得=0,所以sin2A=,又sinA>0,所以sinA=.方法二:在△ABC中,sinCcosA=,cosCsinA=-.所以sinCcosA-cosCsinA=1,sinCcosA+cosCsinA=,即sin(C-A)=1,sin(C+A)=sinB=,所以C-A=,且C+A=π-B,所以A=所以sinA=所以sin2A=,又sinA>0,所以sinA=.(2)由題知sinB=sin(A+C)=sinCcosA+cosCsinA=cosB=由正弦定理,得BC=又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=所以S△ABC=AC·BC·sinC=【類題通法】求三角形面積的方法(1)如果已知三角形的兩邊和夾角(SAS),直接代入三角形的面積公式計算.(2)如果已知三角形的兩角和一邊(ASA、AAS),利用正弦定理計算邊長,轉(zhuǎn)化為SAS計算三角形的面積.【定向訓(xùn)練】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c=2

,a>b,C=

,tanA·tanB=6.(1)求a,b的值.(2)計算△ABC的面積.【解題指南】已知條件已給出tanA·tanB=6,利用兩角和的正切公式可得tanA+tanB,從而可得tanA、tanB的值,進而求得sinA,sinB的值,再利用正弦定理可求得a,b及三角形的面積.【解析】(1)由C=,tanA·tanB=6,得tanA+tanB=tan(A+B)·(1-tanA·tanB)=-tanC(1-6)=-tan×(-5)=5.又tanA>0,tanB>0,則A,B皆為銳角,又a>b,則tanA>tanB,得tanA=3,tanB=2.所以sinA=,sinB=由正弦定理得a=(2)由(1)得S△ABC=absinC=【補償訓(xùn)練】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=tanB=

,cosA=

.(1)求sinC的值.(2)求△ABC的面積.【解題指南】(1)由B=

,cosA=

,求sinC=sin(

-A).(2)由正弦定理求a,再計算S△=

absinC.【解析】(1)因為A,B,C為△ABC的內(nèi)角,且tanB=,得B=,且cosA=,所以C=-A,sinA=,所以sinC=

(2)由(1)知sinA=,sinC=,又因為b=tanB=,所以在△ABC中,由正弦定理,得a=.所以△ABC的面積S=absinC=【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達標(biāo)1.在△ABC中,a=

b,A=120°,則角B的大小為 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.由正弦定理得sinB=,因為A=120°,得B=30°.2.在△ABC中,a=bsinA,則△ABC一定是 (

)A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形【解析】選B.在△ABC中,a=bsinA,由正弦定理,得=b=,則sinB=1,即角B為直角,故△ABC是直角三角形.3.在△ABC中,A=60°,a=

,b=2,那么滿足條件的△ABC (

)A.有一個解 B.有兩個解C.無解 D.不能確定【解析】選A.因為b=2,a=,所以b<a,而A是銳角.故B是銳角,因此△ABC只有一解.4.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosA=

,cosB=,b=3,則c=________.

【解析】由已知條件可得sinA=,sinB=,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,根據(jù)正弦定理,得c=.答案:

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,b=2,那么滿足條件的△ABC (

)A.有一個解 B.有兩個解C.無解 D.不能確定【解析】選A.因為b=2,a=,所以b<a,而A是銳角.故B是銳角,因此△ABC只有一解.課堂素養(yǎng)達標(biāo)1.在△ABC中,a=

b,A=120°,則角B的大小為 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.由正弦定理得sinB=,因為A=120°,