新教材高中數(shù)學(xué)10-2-1復(fù)數(shù)的加法與減法課件新人教B版必修第四冊

10.2復(fù)數(shù)的運算10.2.1復(fù)數(shù)的加法與減法新課程標(biāo)準(zhǔn)素養(yǎng)風(fēng)向標(biāo)1.能進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算.2.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.1.通過類比多項式加減運算得到復(fù)數(shù)的加減運算.(數(shù)學(xué)運算)2.由向量的加減運算得到復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義.(直觀想象)3.利用復(fù)數(shù)的加減運算完成一些復(fù)數(shù)等式的證明.(邏輯推理)基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探1.回顧向量的加法運算,聯(lián)想復(fù)數(shù)的加法運算:設(shè)向量=(a,b),=(c,d),對應(yīng)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,則+=________,z1+z2=________.

提示:(a+c,b+d)

(a+c)+(b+d)i.2.向量加法的幾何意義是什么?由向量加法的幾何意義能否得出復(fù)數(shù)加法的幾何意義?提示:平行四邊形法則,由復(fù)數(shù)與平面向量之間的對應(yīng)關(guān)系,可以得到復(fù)數(shù)的加法的幾何意義.3.回顧向量的減法運算,聯(lián)想復(fù)數(shù)的減法運算設(shè)向量=(a,b),=(c,d),對應(yīng)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,則-=________,z1-z2=________.

提示:(a-c,b-d)

(a-c)+(b-d)i.4.復(fù)數(shù)的減法運算與加法運算有什么聯(lián)系?提示:復(fù)數(shù)的減法運算與加法運算互為逆運算,可以由復(fù)數(shù)的加法運算得到減法運算法則,即z1-z2=z?z1=z+z2.設(shè)復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+di的差為x+yi,即x+yi=(a+bi)-(c+di),等價于(c+di)+(x+yi)=a+bi,通過相等復(fù)數(shù)解方程得x=a-c,y=b-d,于是直接可得復(fù)數(shù)的減法運算法則(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.5.如何推導(dǎo)計算復(fù)平面內(nèi)點Z1(x1,y1)與點Z2(x2,y2)之間的距離公式?提示:根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義,復(fù)平面內(nèi)點Z1(x1,y1)與點Z2(x2,y2)分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,所以|Z1Z2|=||=|-|=|z2-z1|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|=.【概念生成】1.復(fù)數(shù)的加法與減法運算已知復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)(1)復(fù)數(shù)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_____________.(2)復(fù)數(shù)減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_____________.復(fù)數(shù)的加(減)法運算就是把復(fù)數(shù)的實部與實部,虛部與虛部分別相加(減),結(jié)果仍然是一個復(fù)數(shù).(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i2.復(fù)數(shù)加法的運算律復(fù)數(shù)的加法運算滿足交換律、結(jié)合律.(1)加法交換律:z1+z2=_____(2)加法結(jié)合律:(z1+z2)+z3=__________z2+z1z1+(z2+z3)3.復(fù)數(shù)加法與減法運算的幾何意義設(shè)z1=a+bi,z2=c+di對應(yīng)向量=(a,b),=(c,d),(a,b,c,d∈R),其中,與不共線加法減法運算法則z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1-z2=(a-c)+(b-d)i幾何意義平行四邊形法則三角形法則

3.復(fù)數(shù)加法與減法運算的幾何意義設(shè)z1=a+bi,z2=c+di對應(yīng)向量=(a,b),=(c,d),(a,b,c,d∈R),其中,與不共線加法減法運算法則z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1-z2=(a-c)+(b-d)i幾何意義平行四邊形法則三角形法則

核心互動探究探究點一復(fù)數(shù)的加法與減法運算【典例1】1.復(fù)數(shù)z1=-3+i,z2=1-i,則復(fù)數(shù)z=z1-z2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.計算:(1+2i)-(2-3i)+(4-3i)-(i-3).【思維導(dǎo)引】1.利用復(fù)數(shù)的加減法運算判斷.2.利用復(fù)數(shù)的加法、減法運算法則進行計算.【解析】1.選B.因為z1=-3+i,z2=1-i,所以復(fù)數(shù)z=z1-z2=-3+i-(1-i)=-4+2i,故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-4,2),位于第二象限.2.(1+2i)-(2-3i)+(4-3i)-(i-3)=[(1+2i)-(2-3i)]+[(4-3i)-(i-3)]=(-1+5i)+(7-4i)=6+i.【類題通法】復(fù)數(shù)加減運算的注意事項1.復(fù)數(shù)的加法與減法運算法則是分別對復(fù)數(shù)的實部和虛部相加減.2.分清兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部是進行加減運算的關(guān)鍵,多個復(fù)數(shù)的加減混合運算,可以利用加法交換律和結(jié)合律進行簡便運算.提醒:復(fù)數(shù)的減法運算不滿足交換律和結(jié)合律.【定向訓(xùn)練】1.已知復(fù)數(shù)z1=1+5i,z2=2-i,則z1+z2的共軛復(fù)數(shù)為______.

【解析】由復(fù)數(shù)z1=1+5i,z2=2-i,得z1+z2=3+4i,則z1+z2的共軛復(fù)數(shù)為3-4i.答案:3-4i2.計算:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2018-2019i)+(2019-2020i).【解題指南】將復(fù)數(shù)的實部與虛部分別相加減,呈現(xiàn)規(guī)律,計算結(jié)果.【解析】方法一:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2018-2019i)+(2019-2020i)=(1-2+3-4+…-2018+2019)+(-2+3-4+5-…+2019-2020)i=(-1009+2019)+(1009-2020)i=1010-1011i.2.計算:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2018-2019i)+(2019-2020i).【解題指南】將復(fù)數(shù)的實部與虛部分別相加減,呈現(xiàn)規(guī)律,計算結(jié)果.【解析】方法一:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2018-2019i)+(2019-2020i)=(1-2+3-4+…-2018+2019)+(-2+3-4+5-…+2019-2020)i=(-1009+2019)+(1009-2020)i=1010-1011i.方法二:因為(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,…(2017-2018i)-(2018-2019i)=-1+i,所以將以上1009個等式累加得(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2018-2019i)=-1009+1009i.所以原式=-1009+1009i+(2019-2020i)=1010-1011i.探究點二復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義【典例2】如圖,平行四邊形OABC中,頂點O,A,C分別表示復(fù)數(shù)0,3+2i,-2+4i,分別求:(1)向量表示的復(fù)數(shù)以及向量表示的復(fù)數(shù).(2)向量表示的復(fù)數(shù)以及表示的復(fù)數(shù).(3)求點B的坐標(biāo)以及向量的長度.【思維導(dǎo)引】利用復(fù)數(shù)與平面向量的一一對應(yīng)關(guān)系,結(jié)合線性運算,轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)進行加減運算.【解析】(1)因為,向量表示的復(fù)數(shù)為3+2i,所以表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.因為,所以表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.(2)因為,所以表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i,所以表示的復(fù)數(shù)為-5+2i.又=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,所以表示的復(fù)數(shù)為1+6i.(3)由上述可得,表示的復(fù)數(shù)為1+6i.所以點B的坐標(biāo)為(1,6),向量的長度為||=.【類題通法】復(fù)數(shù)的加減法運算的幾何意義(1)運算技巧①形轉(zhuǎn)化為數(shù):利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運算去處理;②數(shù)轉(zhuǎn)化為形:對于一些復(fù)數(shù)運算也可以給予幾何解釋,使復(fù)數(shù)作為工具運用于幾何之中.(2)常見結(jié)論:在復(fù)平面內(nèi),z1,z2對應(yīng)的點分別為A,B,z1+z2對應(yīng)的點為C,O為坐標(biāo)原點,則四邊形OACB:①為平行四邊形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形;③若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.【定向訓(xùn)練】在復(fù)平面內(nèi)A,B,C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2+i,-1+2i.(1)求,,對應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)判斷△ABC的形狀.(3)求△ABC的面積.【解題指南】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求解.(2)求出三角形的邊長,根據(jù)勾股定理判斷.(3)用三角形的面積公式求解.【解析】(1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2+i)-1=1+i.

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(-1+2i)-(2+i)=-3+i.

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(-1+2i)-1=-2+2i.(2)由(1)可得:||=,||=,||=2,所以||2+||2=||2,所以△ABC為直角三角形.(3)由(2)可知,三角形ABC為直角三角形,∠A為直角,所以S=||||=××2=2.探究點三兩點間的距離與軌跡問題【典例3】1.若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡為 (

)A.點 B.射線 C.直線 D.圓2.若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,求|z-2-i|的取值范圍.【思維導(dǎo)引】1.利用復(fù)平面內(nèi)兩點之間的距離及其幾何意義判斷.2.利用復(fù)數(shù)減法以及復(fù)數(shù)的模的幾何意義轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題求取值范圍.【解析】1.選D.由|z-i|=1,得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的動點Z與復(fù)數(shù)z1=i對應(yīng)的定點Z1(0,1)之間的距離為1,由圓的定義知,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡為圓,其中圓心為Z1(0,1),半徑為1.2.由|z-i|=1,得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的動點Z的軌跡是圓心為Z1(0,1),半徑為1的圓,如圖.|z-2-i|的幾何意義是復(fù)數(shù)z對應(yīng)的動點Z到復(fù)數(shù)z2=2+i對應(yīng)的定點Z2(2,1)之間的距離,由于|Z1Z2|=2,r=1,所以2-r≤|z-2-i|≤2+r,即|z-2-i|的取值范圍是[1,3].【類題通法】1.復(fù)數(shù)及其模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=

,實際上就是指復(fù)平面上的點Z到原點O的距離;|z1-z2|的幾何意義是復(fù)平面上的點Z1,Z2兩點間的距離.(2)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?.2.復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的幾個基本軌跡(1)|z-z0|=r(r是正的常數(shù))?軌跡是一個圓.(2)|z-z1|=|z-z2|(z1,z2是確定的復(fù)數(shù))?軌跡是一條直線.【定向訓(xùn)練】1.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+3i|+|z-3i|=6,那么|z+1+i|的最小值是 (

)A.1 B.

C.2 D.

【解題指南】先由|z+3i|+|z-3i|=6確定復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的軌跡,再依據(jù)|z+1+i|的幾何意義求最小值.【解析】選A.因為|z+3i|+|z-3i|=6表示為點Z到點A(0,-3)與到點B(0,3)的距離之和為6,所以點Z的軌跡為線段AB,而|z+i+1|表示為點Z到點(-1,-1)的距離.數(shù)形結(jié)合,得最小距離為1.2.若復(fù)數(shù)z滿足|z+

+i|≤1,求|z|的最大值和最小值.【解題指南】明確滿足條件|z+

+i|≤1的復(fù)數(shù)z的幾何意義為:圓心為(-

,-1),半徑為1的圓內(nèi)區(qū)域,包括邊界,|z|則表示圓面上一點到原點的距離.【解析】如圖所示:||==2,所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知復(fù)數(shù)z1=2-i,z2=1+2i,則z1+z2= (

)A.3+i B.3-iC.1+3i D.1-3i【解析】選A.由z1=2-i,z2=1+2i,得z1+z2=2-i+1+2i=3+i.2.已知z1=3-i,z2=2+3i,則z1-z2對應(yīng)的點在 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.由z1=3-i,z2=2+3i,得z1-z2=(3-i)-(2+3i)=(3-2)+(-1-3)i=1-4i,對應(yīng)的點在第四象限.3.復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1=3-i,z2=-1+2i對應(yīng)兩點間的距離為 (

)A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1=3-i,z2=-1+2i對應(yīng)兩點間的距離為|z2-z1|==5.4.已知z+(3-2i)=2,則復(fù)數(shù)z的實部和虛部的差為________.

【解析】已知z+(3-2i)=2,則復(fù)數(shù)z=2-(3-2i)=-1+2i,則z的實部和虛部的差為-3.答案:-3Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強.勵志名言請您欣賞3.復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1=3-i,z2=-1+2i對應(yīng)兩點間的距離為 (

)A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1=3-i,z2=-1+2i對應(yīng)兩點間的距離為|z2-z1|==5.課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知復(fù)數(shù)z1=2-i,z2=1+2i,則z1+z2= (

)A.3+i B.3-iC.1+3i D.1-3i【解析】選A.由z1=2-i,z2=1+2i,得z1+z2=2-i+1+2i=3+i.4.復(fù)數(shù)的減法運算與加法運算有什么聯(lián)系