新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-2立體圖形的直觀圖素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊

8.2立體圖形的直觀圖【情境探究】1.觀察下面的圖形,回答有關(guān)問題:

(1)從圖1到圖2,圖形中的角發(fā)生了怎樣的變化?提示:由直角變成銳角或鈍角.必備知識生成(2)從圖1到圖2,從圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上觀察你能發(fā)現(xiàn)什么?提示:從位置關(guān)系看:圖1中平行的直線,在圖2中保持平行.從數(shù)量關(guān)系看:與y軸重合或平行的線段數(shù)量關(guān)系減半;與x軸重合或平行的線段數(shù)量關(guān)系不變.2.觀察正四棱錐P-ABCD及其直觀圖,回答下面的問題:(1)在畫上述正四棱錐的直觀圖時,與z軸重合或平行的線段在直觀圖中有何變化?提示:與z軸重合或平行的線段在直觀圖中與z′軸重合或平行且長度不變.(2)空間幾何體的直觀圖一定唯一嗎?為什么?提示:不一定,作直觀圖時,由于觀察的角度不同及建系方法差異,所畫直觀圖不一定相同.【知識生成】1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)在已知圖形中取互相_____的x軸和y軸,兩軸相交于點O.畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸,兩軸交于點O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.垂直(2)在已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成_____于x′軸或y′軸的線段.(3)在已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度_____,平行于y軸的線段,長度變?yōu)樵瓉淼腳____.平行不變一半2.畫空間幾何體的直觀圖的步驟(1)在幾何體中取水平平面,作互相垂直的軸Ox,Oy,再作Oz軸,使∠xOy=90°,∠xOz=90°.(2)畫出與Ox,Oy,Oz對應(yīng)的軸O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,x′O′y′所確定的平面表示水平平面.2.畫空間幾何體的直觀圖的步驟(1)在幾何體中取水平平面,作互相垂直的軸Ox,Oy,再作Oz軸,使∠xOy=90°,∠xOz=90°.(2)畫出與Ox,Oy,Oz對應(yīng)的軸O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,x′O′y′所確定的平面表示水平平面.(3)在幾何體中,平行于x軸、y軸或z軸的線段,在直觀圖中分別畫成_____于x′軸、y′軸或z′軸的線段,并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系,與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同.(4)在幾何體中平行于x軸和z軸的線段,在直觀圖中保持長度_____,平行于y軸的線段,長度為原來的_____.(5)擦除作為輔助線的坐標(biāo)軸,就得到了空間幾何體的直觀圖.平行不變一半關(guān)鍵能力探究探究點一畫平面圖形的直觀圖【典例1】用斜二測畫法畫出如圖所示的正五邊形的直觀圖.【思維導(dǎo)引】(1)建立平面直角坐標(biāo)系.(2)確定不在坐標(biāo)軸上的點.(3)建立坐標(biāo)系xOy后,B,E兩點不在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸的直線上,故需作BG⊥x軸于G,EH⊥x軸于H.【解析】第一步:如圖(1)所示,在已知正五邊形ABCDE中,取中心O為原點,對稱軸FA為y軸,過點O與y軸垂直的是x軸,分別過B,E作BG⊥x軸,EH⊥x軸,與x軸分別交于點G,H.畫對應(yīng)的x′軸,y′軸,使∠x′O′y′=45°.第二步:如圖(2)所示,以點O′為中點,在x′軸上取G′H′=GH,分別過G′,H′在x′軸的上方作G′B′∥y′軸使G′B′=GB,作H′E′∥y′軸使H′E′=HE,在y′軸的點O′上方取O′A′=OA,在y′軸的點O′下方取O′F′=OF,并且以點F′為中點,畫C′D′∥x′軸,且使C′D′=CD.第三步:連接A′B′,B′C′,C′D′,D′E′,E′A′,所得五邊形A′B′C′D′E′就是五邊形ABCDE的直觀圖,如圖(3)所示.第三步:連接A′B′,B′C′,C′D′,D′E′,E′A′,所得五邊形A′B′C′D′E′就是五邊形ABCDE的直觀圖,如圖(3)所示.【類題通法】直觀圖中應(yīng)遵循的基本原則(1)一斜:原圖中坐標(biāo)軸的夾角∠xOy=90°,直觀圖中坐標(biāo)軸的夾角為∠x′O′y′=45°(或135°).(2)二測:平行于x軸的線段在直觀圖中長度保持不變,平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼?【定向訓(xùn)練】1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖,對其中的線段說法錯誤的是 (

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A.原來相交的仍相交 B.原來垂直的仍垂直C.原來平行的仍平行 D.原來共點的仍共點【解析】選B.由斜二測畫法規(guī)則知,B選項錯誤.2.用斜二測畫法畫出圖中水平放置的△OAB的直觀圖.【解析】(1)在已知圖中,以O(shè)為坐標(biāo)原點,以O(shè)B所在的直線及垂直于OB的直線分別為x軸與y軸建立平面直角坐標(biāo)系,過點A作AM垂直x軸于點M,如圖1.另選一平面畫直觀圖,任取一點O′,畫出相應(yīng)的x′軸、y′軸,使∠x′O′y′=45°.(2)在x′軸上取點B′,M′,使O′B′=OB,O′M′=OM,過點M′作M′A′∥y′軸,取M′A′=MA.連接O′A′,B′A′,如圖2.(3)擦去輔助線,則△O′A′B′為水平放置的△OAB的直觀圖.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,畫出水平放置的四邊形OBCD的直觀圖.【解析】(1)過點C作CE⊥x軸,垂足為E,如圖(1)所示.畫出對應(yīng)的x′軸,y′軸,使∠x′O′y′=45°,如圖(2)所示.(2)如圖(2)所示,在x′軸正半軸上取點B′,E′,使得O′B′=OB,O′E′=OE;在y′正半軸上取一點D′,使得O′D′=OD;過E′作E′C′∥y′軸,使E′C′=EC.(3)連接B′C′,C′D′,并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線,如圖(3)所示,四邊形O′B′C′D′就是所求作的直觀圖.探究點二空間圖形直觀圖的畫法【典例2】用斜二測畫法畫出六棱錐P-ABCDEF的直觀圖,其中底面ABCDEF是正六邊形,點P在底面的投影是正六邊形的中心O(尺寸自定).【思維導(dǎo)引】先畫出正六邊形的直觀圖,再畫出對應(yīng)的正六棱錐的直觀圖即可.【解析】畫法:(1)畫六棱錐P-ABCDEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中,取AD所在直線為x軸,對稱軸MN所在直線為y軸,兩軸相交于O(如圖1所示),畫相應(yīng)的x′軸和y′軸、z′軸,三軸交于O′,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°(如圖2所示).②在圖2中,以O(shè)′為中點,在x′軸上取A′D′=AD,在y′軸上取M′N′=MN,以點N′為中點畫B′C′平行于x′軸,并且等于BC;再以M′為中點畫E′F′平行于x′軸,并且等于EF.③連接A′B′,C′D′,D′E′,F′A′得到正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′.(2)畫六棱錐P-ABCDEF的頂點,在O′z′軸上截取O′P′=OP.(3)成圖.連接P′A′,P′B′,P′C′,P′D′,P′E′,P′F′,并擦去x′軸、y′軸、z′軸,便得到六棱錐P-ABCDEF的直觀圖P′-A′B′C′D′E′F′(圖3).【類題通法】簡單幾何體直觀圖的畫法規(guī)則(1)畫軸:通常以高所在直線為z軸建系.(2)畫底面:根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法確定底面.(3)確定頂點:利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點.(4)連線成圖.【定向訓(xùn)練】一個幾何體,它的下面是一個圓柱,上面是一個圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合,圓柱的底面直徑為3cm,高為4cm,圓錐的高為3cm,畫出此幾何體的直觀圖.【解析】(1)畫軸.如圖1所示,畫x軸、z軸,使∠xOz=90°.(2)畫圓柱的兩底面,在x軸上取A,B兩點,使AB的長度等于3cm,且OA=OB.選擇橢圓模板中適當(dāng)?shù)臋E圓過A,B兩點,使它為圓柱的下底面.在Oz上截取點O′,使OO′=4cm,過O′作Ox的平行線O′x′,類似圓柱下底面的作法作出圓柱的上底面.(3)畫圓錐的頂點.在Oz上O′上方截取點P,使PO′等于圓錐的高3cm.(4)成圖.連接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此幾何體的直觀圖.如圖2所示.探究點三直觀圖的還原與計算【典例3】(1)如圖所示,ABCD是一個平面圖形的斜二測直觀圖,則該平面圖形是 (

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A.平行四邊形 B.矩形C.直角梯形 D.等腰梯形(2)如圖,△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖,則△OAB的面積是(

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A.6 B.3 C.6 D.12【思維導(dǎo)引】(1)利用直觀圖與原圖形的位置關(guān)系判斷.(2)利用直觀圖與原圖形的長度關(guān)系求原圖形的面積.【解析】(1)選C.斜二測直觀圖形中,BC∥AD,且平行于x′軸,AB平行于y′軸,所以平面圖形中,BC∥AD,且平行于x軸,AB平行于y軸,故四邊形為直角梯形.(2)選D.由斜二測畫法的規(guī)則可得△OAB為直角三角形,且∠AOB=90°,OA=6,OB=4,所以△OAB的面積為S△OAB=×4×6=12.【類題通法】1.直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段,且平行于x′軸的線段還原時長度不變,平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍,由此確定圖形的各個頂點,順次連接即可.2.直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S′,則有S′=S或S=2S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.【定向訓(xùn)練】1.已知梯形ABCD是直角梯形,按照斜二測畫法畫出它的直觀圖A′B′C′D′

(如圖所示),其中A′D′=2,B′C′=4,A′B′=1,則直角梯形DC邊的長度是 (

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【解析】選B.根據(jù)斜二測畫法,原來的高變成了45°方向的線段,且長度是原高的一半,所以原高為AB=2.

而橫向長度不變,且梯形ABCD是直角梯形,所以DC=2.如圖所示的直觀圖△A′O′B′,其平面圖形的面積為________.

【解析】由直觀圖可知其對應(yīng)的平面圖形△AOB中,∠AOB=90°,OB=3,OA=4,所以S△AOB=OA·OB=6.答案:6【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,某直觀圖中,A′C′∥y′軸,B′C′∥x′軸,則該直觀圖所表示的平面圖形是 (

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A.正三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.直角三角形【解析】選D.由直觀圖中A′C′∥y′軸,B′C′∥x′軸,還原后原圖AC∥y軸,BC∥x軸.直觀圖還原為平面圖形是直角三角形.立體圖形的直觀圖核心知識方法總結(jié)核心素養(yǎng)易錯提醒1.水平放置平面圖形直觀圖斜二測畫法步驟：畫軸——取點——連線成圖2.空間幾何體直觀圖斜二測畫法步驟：畫軸——畫底面——畫側(cè)棱——連線成圖在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點．原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來作出其對應(yīng)線段．

(1)作直觀圖時平行于x軸的線段畫成平行于x′軸的線段并且長度不變(2)平行于y軸的線段畫成平行于y′軸的線段，且長度畫成原來的一半(3)平行于z軸的線段畫成平行于z′軸的線段并且長度不變．1.數(shù)學(xué)抽象：斜二測畫法的理解；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：與直觀圖還原的有關(guān)計算；3.數(shù)學(xué)建模：畫平面幾何和空間幾何體的直觀圖.課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若把一個高為10cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上,則圓柱的高應(yīng)畫成 (

)A.平行于z軸且大小為10cmB.平行于z軸且大小為5cmC.與z軸成45°且大小為10cmD.與z軸成45°且大小為5cm【解析】選A.平行于z軸(或在z軸上)的線段,在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致.2.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖,A′B′∥y′軸,則原圖中△ABC是 (

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A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.任意三角形【解析】選B.因為A′B′∥y′軸,所以由斜二測畫法可知在原圖形中BA⊥AC,故△ABC是直角三角形.3.一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°,腰和上底均為1的等腰梯形,那么原平面圖形的面積是 (

)【解析】選A.由題意可知,直觀圖如圖所示:分別過C,D作AB的垂線,E,F為垂足.因為CD=1,所以EF=1.又因為BC=AD=1,∠A=∠B=45°,所以CE=DF=BE=AF=,所以AB=+1.S直觀圖=又因為所以S原圖形=4.在已知圖形中平行于x軸的線段AB=6cm,則在直觀圖中線段A′B′=________cm;在已知圖形中平行于y軸的線段CD=4cm,則在直觀圖中線段C′D′=________cm.

【解析】由于平行于x軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,則A′B′=AB=6cm;由于平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?則C′D′=CD=2cm.答案:6

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【解析】選A.由題意可知,直觀圖如圖所示:分別過C,D作AB的垂線,E,F為垂足.因為CD=1,所以EF=1.又因為BC=AD=1,∠A=∠B=45°,所以