新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-6-2直線與平面垂直一同步課件新人教A版必修第二冊

8.6.2直線與平面垂直(一)

必備知識·自主學(xué)習(xí)1.直線與平面垂直(1)定義:如果直線l與平面α內(nèi)的_________直線都垂直,那么直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.導(dǎo)思1.怎樣判定直線與平面垂直?2.斜線與平面所成的角是怎樣定義的?任意一條(2)相關(guān)概念:垂線直線l叫做平面α的_____垂面平面α叫做直線l的_____垂足直線與平面垂直時,它們唯一的_______垂線段過一點(diǎn)作平面的垂線,該點(diǎn)與垂足間的_____點(diǎn)到平面的距離垂線段的_____垂線垂面公共點(diǎn)線段長度(3)發(fā)現(xiàn):過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.【思考】如果直線l和平面α垂直,那么直線l與平面α內(nèi)的直線是什么位置關(guān)系?提示:垂直.2.直線與平面垂直的判定定理(1)定理:如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條_________垂直,那么該直線與此平面垂直.(2)本質(zhì):直線與平面垂直?直線與直線垂直.(3)應(yīng)用:判定直線與平面垂直.相交直線【思考】定理中的“相交”能去掉嗎?提示:不能,如果是平行直線,則直線與平面不一定垂直.3.斜線與平面所成的角(1)相關(guān)概念:斜線一條直線l與一個平面α相交,但不與平面垂直斜足斜線與平面的交點(diǎn)射影過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO3.斜線與平面所成的角(1)相關(guān)概念:斜線一條直線l與一個平面α相交,但不與平面垂直斜足斜線與平面的交點(diǎn)射影過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO(2)定義:平面的一條斜線和它在平面上的_____所成的角(3)直線與平面所成角θ的取值范圍:______________.(4)本質(zhì):把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題,即用線線角定義線面角.射影0°≤θ≤90°【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則直線與平面垂直. (

)(2)平面的斜線與平面所成的角θ的范圍是0°<θ<90°. (

)(3)如果一條直線與平面的垂線垂直,則該直線與這個平面平行. (

)提示:(1)×.直線可能是平面的斜線,也可能在平面內(nèi).(2)√.平面的斜線與平面所成的角θ的范圍是0°<θ<90°.(3)×.該直線可能在平面內(nèi).2.如果下列平面圖形中的某些線段與一條直線垂直,能保證該直線與該平面圖形所在的平面垂直的是 (

)①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊.

A.①③ B.②C.②④ D.①②④【解析】選A.因?yàn)槿切蔚娜我鈨蛇吺窍嘟坏?所以①可證線面垂直.因?yàn)樘菪蔚纳舷聝蛇吺瞧叫械?此時不相交,所以②不一定能保證線面垂直.因?yàn)閳A的任意兩條直徑必相交,所以③可以證明線面垂直.若直線垂直于正六邊形的兩條對邊,此時兩條對邊是平行的,所以④不一定能保證線面垂直.綜上所述,正確的是:①③.3.(教材二次開發(fā):例題改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AC與平面A1D所成的角為 (

)A.45° B.90° C.30° D.60°【解析】選A.如圖,因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1,所以直線AC與平面A1D所成的角為∠CAD,因?yàn)椤鰽DC是等腰直角三角形,所以∠CAD=45°.3.(教材二次開發(fā):例題改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AC與平面A1D所成的角為 (

)A.45° B.90° C.30° D.60°【解析】選A.如圖,因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1,所以直線AC與平面A1D所成的角為∠CAD,因?yàn)椤鰽DC是等腰直角三角形,所以∠CAD=45°.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一直線與平面垂直的判定(直觀想象、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.(2020·白城高一檢測)正方體ABCD-A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是 (

)

A.平面DD1C1C B.平面A1DBC.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB12.(2020·合肥高一檢測)如圖,該幾何體的三個側(cè)面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是矩形.若AA1=2AC,AC⊥AB,M為CC1的中點(diǎn).證明:A1M⊥平面ABM.【解析】1.選D.在A中,AD1與平面DD1C1C相交但不垂直,故A錯誤;在B中,AD1與平面A1DB相交但不垂直,故B錯誤;在C中,AD1與平面A1B1C1D1相交但不垂直,故C錯誤;在D中,AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,所以AD1⊥平面A1DB1,故D正確.2.因?yàn)閭?cè)面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是矩形,所以A1A⊥AB.又因?yàn)锳C⊥AB,A1A∩AC=A,所以AB⊥平面AA1C1C.因?yàn)锳1M?平面AA1C1C,所以AB⊥A1M.因?yàn)镸為CC1的中點(diǎn),AA1=2AC,所以△ACM,△A1C1M都是等腰直角三角形,所以∠AMC=∠A1MC1=45°,∠A1MA=90°,即A1M⊥AM.而AB∩AM=A,所以A1M⊥平面ABM.【解題策略】1.線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化2.證明線面垂直的方法在推線線垂直的過程中,若三角形的三邊長符合勾股定理,則三角形是直角三角形,兩直角邊相互垂直,得到線線垂直.即通過計算證明垂直關(guān)系.【補(bǔ)償訓(xùn)練】

(2020·南通高一檢測)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知點(diǎn)E在棱AB上,且AE=2EB,點(diǎn)F在棱AC上,且AF=2FC,點(diǎn)D為棱B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)G為棱BC的中點(diǎn).求證:EF⊥平面A1AGD.【證明】因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,點(diǎn)D為棱B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)G為棱BC的中點(diǎn),所以AG⊥BC,DG∥BB1,因?yàn)镋F∥BC,所以AG⊥EF,因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,EF?平面ABC,所以EF⊥AA1,因?yàn)锳A1∥BB1,DG∥BB1,所以EF⊥DG,因?yàn)镈G∩AG=G,所以EF⊥平面A1AGD.類型二直線與平面所成的角(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(2020·湛江高一檢測)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是AC中點(diǎn).求直線D1A與平面A1ACC1所成的角的值.步驟內(nèi)容理解題意(1)正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是AC中點(diǎn)(2)求直線D1A與平面A1ACC1所成的角的值思路探求先作出直線與平面所成的角,再求值步驟內(nèi)容書寫表達(dá)如圖,連接B1D1,B1D1∩A1C1=O1,連接AO1.因?yàn)锳A1⊥A1D1,AA1⊥A1B1,A1D1?平面A1B1C1D1,A1B1?平面A1B1C1D1,且A1D1∩A1B1=A1,所以AA1⊥平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,又因?yàn)镃1A1⊥B1D1,C1A1?平面AA1C1C,AA1?平面AA1C1C,且AA1∩C1A1=A1,所以D1O1⊥平面AA1C1C,①

所以∠D1AO1為直線D1A與平面A1ACC1所成的角.②因?yàn)镈1O1=B1D1=AD1,所以∠D1AO1=30°.所以直線D1A與平面A1ACC1所成的角的大小是30°.③①確定直線與平面所成角的關(guān)鍵是線面垂直,即確定垂足;②要注明要求的直線與平面所成的角;③求出直線與平面所成角后要下結(jié)論,避免步驟扣分.步驟內(nèi)容題后反思

先作出直線與平面所成的角,再證明,最后求角.

【解題策略】求斜線與平面所成角的步驟

(1)作圖:作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影,作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線,再過垂足和斜足作直線,注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān),才能便于計算.(2)證明:證明某平面角就是斜線與平面所成的角.(3)計算:通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.【跟蹤訓(xùn)練】在正三棱柱ABC-A′B′C′中,AB=1,AA′=2,求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值.【解析】如圖所示,取A′B′的中點(diǎn)D,連接C′D,BD.因?yàn)榈酌妗鰽′B′C′是正三角形,所以C′D⊥A′B′.因?yàn)锳A′⊥底面A′B′C′,所以A′A⊥C′D.又AA′∩A′B′=A′,所以C′D⊥側(cè)面ABB′A′,所以BD是斜線BC′在平面ABB′A′上的射影,∠C′BD是直線BC′與平面ABB′A′所成的角.等邊三角形A′B′C′的邊長為1,C′D=,在Rt△BB′C′中,BC′=故直線BC′與平面ABB′A′所成的角的正弦值為類型三直線與平面垂直的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)角度1三角形中的“心”

【典例】(2020·延吉高一檢測)已知三棱錐P-ABC中,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,作PO⊥平面ABC,垂足為O,則點(diǎn)O是△ABC的 (

)A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【思路導(dǎo)引】分析點(diǎn)O滿足的性質(zhì),AO與BC的關(guān)系.【解析】選D.連接AO并延長,交BC于D,連接BO并延長,交AC于E.因?yàn)镻A⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC.因?yàn)镻O⊥平面ABC,故PO⊥BC,又因?yàn)镻A∩PO=P,故BC⊥平面PAO,故AO⊥BC,即AD⊥BC;同理BE⊥AC,故O是△ABC的垂心.【變式探究】

(1)(變條件)本例中,若PA=PB=PC,則點(diǎn)O是三角形ABC的什么心?(2)(變條件)本例中,若點(diǎn)P到邊AB,AC,BC的距離相等,則點(diǎn)O是三角形ABC的什么心?【解析】(1)連接OA,OB,OC,則OA=OB=OC.則點(diǎn)O是三角形ABC的外心.(2)如圖,由題意PD=PE=PF,所以O(shè)D=OE=OF,因?yàn)镻O⊥平面ABC,所以PO⊥AB,又AB⊥平面POD,所以AB⊥OD,同理,OE⊥BC,OF⊥AC,所以點(diǎn)O到邊AB,BC,AC的距離相等,故點(diǎn)O是三角形ABC的內(nèi)心.角度2垂直條件的探究

【典例】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)F在BB1上的什么位置時,會使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.【思路導(dǎo)引】設(shè)計條件滿足線線垂直,即可得到線面垂直.【解析】作DE⊥AB1交AB1于E,延長DE交BB1于F,連接C1F,C1D,則AB1⊥平面C1DF,點(diǎn)F為所求.因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中點(diǎn),所以C1D⊥A1B1.因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B,因?yàn)锳B1?平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,所以AB1⊥平面C1DF.因?yàn)锳A1=A1B1=,所以四邊形AA1B1B為正方形.又D為A1B1的中點(diǎn),DF⊥AB1,所以F為BB1的中點(diǎn),所以當(dāng)點(diǎn)F為BB1的中點(diǎn)時,AB1⊥平面C1DF.

【解題策略】1.關(guān)于三角形垂心、內(nèi)心、外心的確定首先要明確三種心的定義及其性質(zhì),再通過垂直關(guān)系確定點(diǎn)滿足的條件,對應(yīng)相應(yīng)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.2.關(guān)于垂直的條件的確定(1)借助直觀想象,選取特殊點(diǎn)后進(jìn)行證明,若滿足垂直關(guān)系,則即為要求的點(diǎn).(2)設(shè)出要求的點(diǎn),通過計算確定點(diǎn)的位置,一般需要利用勾股定理構(gòu)造方程解題.【題組訓(xùn)練】1.若三棱錐P-ABC滿足PA,PB,PC與底面ABC所成的角相等,點(diǎn)O為點(diǎn)P在底面ABC上的射影,則點(diǎn)O是△ABC的

心.

【解析】PA,PB,PC與底面ABC所成的角相等,則點(diǎn)O到A,B,C的距離相等,所以點(diǎn)O是△ABC的外心.答案:外2.(2020·全國Ⅲ卷)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.證明:(1)當(dāng)AB=BC時,EF⊥AC;(2)點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).【證明】(1)因?yàn)殚L方體ABCD-A1B1C1D1,所以BB1⊥平面ABCD,所以AC⊥BB1,因?yàn)樵陂L方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,所以四邊形ABCD為正方形,所以AC⊥BD,因?yàn)锽B1∩BD=B,BB1,BD?平面BB1D1D,因此AC⊥平面BB1D1D,因?yàn)镋F?平面BB1D1D,所以EF⊥AC;(2)在CC1上取點(diǎn)M使得CM=2MC1,連接DM,MF,EC1,因?yàn)镈1E=2ED,DD1∥CC1,DD1=CC1,所以ED=MC1,ED∥MC1,所以四邊形DMC1E為平行四邊形,所以DM∥EC1,因?yàn)镸F∥DA,MF=DA,所以四邊形MFAD為平行四邊形,所以DM∥AF,所以EC1∥AF,因此點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.下列說法中正確的是 (

)①過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直;②過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面和已知直線垂直;③過平面外一點(diǎn)可作無數(shù)條直線與已知平面平行;④過直線外一點(diǎn)只可作一條直線與已知直線垂直.

A.①②③ B.①③④C.②③ D.②③④【解析】選A.由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知①②③正確;④錯,過直線外一點(diǎn)作平面與直線垂直,則平面內(nèi)過這一點(diǎn)的所有直線都與該直線垂直.2.(2020·鎮(zhèn)江高一檢測)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若G為CC1的中點(diǎn),則直線AG與側(cè)面BCC1B1所成角的正弦值是 (

)

【解析】選A.連接BG.因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C,所以∠AGB是直線AG與側(cè)面BCC1B1所成角,在Rt△ABG中,若AB=a,則AG=a,所以sin∠AGB=.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)設(shè)三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影是H,若∠ABC=90°,H是AC的中點(diǎn),則PA,PB,PC的關(guān)系是

.

【解析】因?yàn)镠為AC中點(diǎn),∠ABC=90°,所以AH=BH=CH,又PH⊥平面ABC,由勾股定理知PA=PB=PC.答案:PA=PB=PC4.在三棱錐P-ABC中,最多有

個直角三角形.

【解析】不妨設(shè)PA⊥AB,PA⊥AC,則△APB,△PAC為直角三角形,由線面垂直的判定定理,可得PA⊥平面ABC,由線面垂直的定義,可知PA⊥BC,若∠ABC=90°,則BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,即∠PBC=90°,所以△ABC,△PBC為直角三角形,故直角三角形最多有4個.答案:45.(2020·上海高一檢測)已知圓錐的底面半徑為1cm,側(cè)面積為2πcm2,則母線與底面所成角的大小為

.

【解析】由圓錐側(cè)面積公式S=πrl=π·1·l=2π,解得l=2,設(shè)母線與底面所成角為θ,則cosθ=所以θ=.答案:

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