新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-6-3平面與平面垂直二素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊

8.6.3平面與平面垂直(二)

【情境探究】1.教室內(nèi)的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直,在黑板上任意畫一條直線與地面垂直嗎?怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直?提示:不一定,也可能平行,相交(不垂直);只要保證所畫的線與兩面的交線垂直即可.必備知識生成2.如圖長方體ABCD-A′B′C′D′,在平面DCC′D′中,作直線l⊥DC.你能得出什么結(jié)論?

提示:在平面DCC′D′內(nèi),若直線l垂直于交線DC,則直線l垂直于平面ABCD.【知識生成】平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直,如果___________有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直符號語言

?a⊥β圖形語言

一個平面內(nèi)關(guān)鍵能力探究探究點一平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用【典例1】如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外的一點,四邊形ABCD是邊長為a的菱形且∠DAB=60°,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD的中點,求證:BG⊥平面PAD;(2)求證:AD⊥PB.【思維導(dǎo)引】(1)連接BD,菱形ABCD,∠DAB=60°△ABD為正三角形BG⊥AD

由平面與平面垂直的性質(zhì)定理得出結(jié)論(2)連接PG,要證AD⊥PB,只需證AD⊥平面PBG即可.【證明】(1)如圖,在菱形ABCD中,連接BD,因為∠DAB=60°,所以△ABD為正三角形,因為G是AD的中點,所以BG⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面PAD.(2)如圖,連接PG.因為△PAD是正三角形,G是AD的中點,所以PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD.又因為PG∩BG=G.所以AD⊥平面PBG.而PB?平面PBG,所以AD⊥PB.(2)如圖,連接PG.因為△PAD是正三角形,G是AD的中點,所以PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD.又因為PG∩BG=G.所以AD⊥平面PBG.而PB?平面PBG,所以AD⊥PB.【類題通法】面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用技巧

(1)面面垂直的性質(zhì)定理,為線面垂直的判定提供了依據(jù)和方法.所以當(dāng)已知兩個平面垂直的時候,經(jīng)常找交線的垂線,這樣就可利用面面垂直證明線面垂直.(2)兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,方法是在其中一個面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線.【定向訓(xùn)練】1.(2019·全國卷Ⅲ)如圖,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則 (

)A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線【解析】選B.因為直線BM,EN都是平面BED內(nèi)的直線,且不平行,即直線BM,EN是相交直線.設(shè)正方形ABCD的邊長為2a,則由題意可得:DE=2a,DM=a,DN=a,DB=2a,根據(jù)余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BDE=9a2-4·a2cos∠BDE,EN2=DE2+DN2-2DE·DNcos∠BDE=6a2-4a2cos∠BDE,所以BM≠EN.2.如圖所示,四棱錐V-ABCD的底面是矩形,側(cè)面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求證:平面VBC⊥平面VAC.【證明】因為平面VAB⊥底面ABCD,且BC⊥AB.所以BC⊥平面VAB,所以BC⊥VA,又VB⊥平面VAD,所以VB⊥VA,又VB∩BC=B,所以VA⊥平面VBC,因為VA?平面VAC.所以平面VBC⊥平面VAC.探究點二垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例2】如圖,C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點,平面PAC⊥平面ABC,E,F分別是PC,PB的中點,記平面AEF與平面ABC的交線為l.(1)求證:平面PBC⊥平面PAC.(2)求證:直線l⊥AC.【思維導(dǎo)引】(1)關(guān)鍵是利用圓的性質(zhì),推出BC⊥AC,再利用面面垂直推出線面垂直.(2)關(guān)鍵是先確定與直線l平行的直線,再證明垂直.探究點二垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例2】如圖,C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點,平面PAC⊥平面ABC,E,F分別是PC,PB的中點,記平面AEF與平面ABC的交線為l.(1)求證:平面PBC⊥平面PAC.(2)求證:直線l⊥AC.【思維導(dǎo)引】(1)關(guān)鍵是利用圓的性質(zhì),推出BC⊥AC,再利用面面垂直推出線面垂直.(2)關(guān)鍵是先確定與直線l平行的直線,再證明垂直.【證明】(1)因為AB是☉O的直徑,所以AB所對的圓周角∠ACB=90°,所以AC⊥CB,又因為平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,BC?平面ABC,所以BC⊥平面PAC,又因為BC?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.(2)因為E,F分別為PC,PB的中點,所以EF為△PCB的中位線,所以EF∥BC,又因為EF?平面ACB,BC?平面ACB,所以EF∥平面ABC,又因為EF?平面AEF,且平面AEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,故l∥BC,由(1)知,BC⊥AC,所以l⊥AC.【類題通法】1.線面垂直條件的應(yīng)用技巧當(dāng)題目條件中含有線面垂直的條件時,一般想到的結(jié)論為:(1)線線垂直,即直線與平面內(nèi)任一直線垂直.(2)面面垂直,即經(jīng)過該直線的平面與該平面垂直.2.面面垂直條件的應(yīng)用技巧當(dāng)題目中含有面面垂直的條件時,一般想到的解題思路為:(1)可以在一個平面內(nèi)找或作一條垂直于交線的直線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,進而轉(zhuǎn)化為線線垂直.(2)求斜線與某一平面所成的角,觀察該斜線是否與另一平面相交,若相交可過交點在該平面內(nèi)作交線的垂線,進而找到斜線的射影.(3)求點到平面的距離,可轉(zhuǎn)化為某一平面內(nèi)一點到交線的距離.【知識延拓】如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證:(1)EF∥平面ABC.(2)AD⊥AC.【解題指南】(1)根據(jù)AB⊥AD,EF⊥AD,可得EF∥AB,從而得EF∥平面ABC.(2)證明BC⊥AD,再由AB⊥AD,從而可得AD⊥平面ABC,即得AD⊥AC.【證明】(1)在平面ABD內(nèi),因為AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC?平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因為AD?平面ABD,所以BC⊥AD.又因為AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因為AC?平面ABC,所以AD⊥AC.【定向訓(xùn)練】

(2018·北京高考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點.(1)求證:PE⊥BC;(2)求證:平面PAB⊥平面PCD;(3)求證:EF∥平面PCD.【證明】(1)在△PAD中,PA=PD,E是AD的中點,所以PE⊥AD,又底面ABCD為矩形,所以AD∥BC,所以PE⊥BC.(2)因為底面ABCD為矩形,所以AD⊥CD,又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,又PA?平面PAD,所以CD⊥PA,又因為PA⊥PD,CD,PD?平面PCD,CD∩PD=D,所以PA⊥平面PCD,又PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC的中點G,連接DG,FG,因為底面ABCD為矩形,所以AD

BC,又E是AD的中點,所以DE

BC,在△PBC中,因為F,G分別是PB,PC的中點,所以FG

BC,所以DE

FG,四邊形DEFG是平行四邊形,所以EF∥DG,又因為EF?平面PCD,DG?平面PCD,所以EF∥平面PCD.【補償訓(xùn)練】1.在平面四邊形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,∠ABC=90°,∠BCD=135°,沿AC將四邊形折成直二面角B-AC-D.(1)求證:平面ABC⊥平面BCD.(2)求平面ABD與平面ACD所成的角的度數(shù).【解題指南】(1)由二面角B-AC-D為直二面角,得CD⊥平面ABC,從而得平面BCD⊥平面ABC.(2)作BE⊥AC,EF⊥AD,連接BF,可證∠BFE即為二面角B

AD

C的平面角.解△BEF即可.【解析】(1)在四邊形ABCD中,因為AB=BC,AB⊥BC,所以∠ACB=45°,而∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°,所以∠ACD=90°,即CD⊥AC.又平面ABC與平面ACD的二面角的平面角為直角,且平面ABC∩平面ACD=AC,所以CD⊥平面ABC,又CD?平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD.(2)過點B作BE⊥AC,E為垂足,則BE⊥平面ACD.又過點E在平面ACD內(nèi)作EF⊥AD,F為垂足,連接BF.由已知可得BF⊥AD,所以∠BFE是二面角B-AD-C的平面角.因為E為AC的中點,所以AE=AC=a.又sin∠DAC=所以EF=AE,所以EF=a·=a,tan∠BFE=所以∠BFE=60°,即平面ABD與平面ACD所成的角的度數(shù)為60°.2.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面BAC,D,E分別為AB,AC的中點.(1)求證:AB⊥PE.(2)求二面角A-PB-E的大小.【解析】(1)連接PD,因為PA=PB,D為AB的中點,所以PD⊥AB.因為DE∥BC,BC⊥AB,所以DE⊥AB.又因為PD∩DE=D,所以AB⊥平面PDE,因為PE?平面PDE,所以AB⊥PE.

(2)因為平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊥AB,所以PD⊥平面ABC.則DE⊥PD,又ED⊥AB,PD∩AB=D,所以DE⊥平面PAB,過D作DF垂直PB于F,連接EF,則EF⊥PB,∠DFE為所求二面角的平面角,則DE=,DF=,則tan∠DFE=故二面角A-PB-E的大小為60°.核心知識面面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)用易錯提醒利用性質(zhì)定理時要注意直線在平面內(nèi)核心素養(yǎng)邏輯推理：在面面垂直的性質(zhì)定理中得以體現(xiàn)方法總結(jié)平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化線線垂直面面垂直線面垂直判定定理性質(zhì)定理判定定理判定性質(zhì)性質(zhì)平面與平面垂直（二）課堂素養(yǎng)達標(biāo)1.下列說法錯誤的是 (

)A.若直線a∥平面α,直線b∥平面α,則直線a不一定平行于直線bB.若平面α不垂直于平面β,則α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.若平面α⊥平面β,則α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βD.若平面α⊥平面υ,平面β⊥平面υ,α∩β=l,則l一定垂直于平面υ【解析】選C.C錯誤,平面α⊥平面β,在平面α內(nèi),平行于α,β交線的直線和平面β平行.2.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,則 (

)A.α∥γ

B.α⊥γC.α與γ相交但不垂直 D.以上都有可能【解析】選D.可能平行,垂直,也可能相交.3.已知平面α、β和直線m、l,則下列命題中正確的是 (

)A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,則l⊥βB.若α∩β=m,l?α,l⊥m,則l⊥βC.若α⊥β,l?α,則l⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,l?α,l⊥m,則l⊥β【解析】選D.選項A缺少了條件l?α;選項B缺少了條件α⊥β;選項C缺少了條件α∩β=m,l⊥m;選項D具備了面面垂直的性質(zhì)定理的全部條件.4.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在 (

)A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部【解析】選A.連接AC1,因為AC⊥AB,AC⊥BC1,所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上.5.如圖,在平行四邊形ABCD中,BD=2,AB=2,AD=4,將△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.求證:AB⊥DE.

【證明】在△ABD中,因為AB=2,AD=4,BD=2,所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.因為平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB?平面ABD,所以AB⊥平面EBD.因為DE?平面EBD,所以AB⊥DE.

本課結(jié)束Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強.勵志名言請您欣賞5.如圖,在平行四邊形ABCD中,BD=2,AB=2,AD=4,將△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.求證:AB⊥DE.

【證明】在△ABD中,因為AB=2,AD=4,BD=2,所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.因為平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB?平面ABD,所以AB⊥平面EBD.因為DE?平面EBD,所以AB⊥DE.

3.已知平面α、β和直線m、l,則下列命題中正確的是 (

)A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥