立體幾何中體積問題-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數學同步精講精練（人教B版2019必修第三冊）（解析版）

專題07立體幾何中體積問題

。?？碱}型目錄

題型1公式法.......................................................................................1

題型2等體積法....................................................................................10

?類型1圖形內換頂點.........................................................................10

?類型2利用平行線換頂點....................................................................20

?類型3比例法...............................................................................27

?類型4利用對稱換頂點.......................................................................41

題型3割補法法....................................................................................43

Q知識梳理

求空間幾何體的體積問題是立體幾何中的一類重要題型.對于常規(guī)的簡單空間幾何體，我們可以直接運用公

式法進行求解；對于復雜的組合空間幾何體，則需要靈活運用割補法、等體積法來求解.本文主要歸納了了

求空間幾何體體積的三種常見辦法：

公式法、等體積法，和割補法.

窗題型分類

題型1公式法

【方法總結】空間幾何體的體積公式有很多，

^名稱

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）s表面積=$側+25底V=Sh

1

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=5側+S底V=~Sh

1

/=5($上+$下+

臺體（棱臺和圓臺）5表面積=$側+$上+S下

4

球S=4TT不

在求空間幾何體的體積時，我們可以直接運用對應的公式進行求解.

【例題1](2023?全國?高一專題練習)如圖，已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為2,正三棱錐的高SO

=1.

(1)求正三棱錐S-ABC的體積；

(2)求正三棱錐S-ABC表面積.

【答案】⑴當

(2)373

【分析】(1)由題意分別確定三棱錐的底面積和三棱錐的高即可確定其體積；

(2)連接CO延長交AB于E,連接SE,則E為AB的中點，分別求得底面積和側面積，然后計算其表面

積即可.

【詳解】(1)在正三蠅S-ABC中，4□□口=\sin60°=fx2x2xg,

所以。=g□&□□□-gx百x1=冬

(2)連接CO延長交AB于E,連接SE,則E為AB的中點，如圖所示，

所以￡70=V22-12=限口□屋□□=當,

在直角三角形SOE中，□口=娉）2+12=摯，

在AABS中，SA=SB,所以SE±AB,

所以么皿7=卜2、等=等，

則表面積為：3口足口口口+□△□□□=3x等+V3=3V3.

【變式1-1]1.（2023?全國?高一專題練習）如圖，在正三棱錐O-.□□:□□=□□:2,

=□□=□□:V3.求□一口。木體積.

【答案】j

【分析】作出棱推的高，由勾股定理計算棱錐的高，體積公式計算體積.

【詳解】過P作底面垂線，垂直為O,則。為底面三角形的中心，

連接AO并延長，交BC于N,

.'.0/7=V22-12=V3.

:?口□-□□□=gx；xgx|xV5=《.

【變式1-112.(2023?全國?高一專題練習)在四棱錐。一UULJU^,□□L平面□□□□,底面四邊

形￡7000為直角梯形，口口1口口，□□L□□，□□:口口=2,UD=□□=1,求四棱錐Z27-

【答案】1

【分析】根據已知條件因為0口1平面OOS,所以棱錐的高〃=口口=2,直接利用棱錐的體積公式求

值即可得解；

【詳解】因為口口、平面口口□口,所以力=00=2,

因為□□L□□,口口=2,□□=□口=1,

又□口口□口—X口口+口口?□□=x(1+2)x1=|,

所以□=gDA=g□□口□□■□□-1

即四棱雉OZ7。。的體積為1.

【變式1-1]3.（2023?全國?高一專題練習）如圖，在四棱錐口一口口口袋,□□工現□□□□,正

方形ooozjfi勺邊長為2.□□=4,設a為側棱口廳勺中點.求四棱錐。一口口口闔輟口;

【分析】根據給定條件，求出點E到平面￡7。。中）距離，再利用錐體的體積公式計算作答.

【詳解】因為在四棱錐口一DULJU^,□□工礴□□□□,正方形邊長為2,□□=4,

。為側棱?？谏字悬c，

所以，點平面距離方=；口口=2,

又因為匚歸￡7￡7￡7=4,

所以,四棱錐。-0005勺體積。=5□□口□口"=gx4x2=*

【變式1-1]4.（2023?陜西安康?陜西省安康中學?？寄M預測）如圖，在四棱錐。-□□口袋,平面

￡7ZZ7O1平面ABCD,Z7切/￡7￡7,Z7Z7=□□/□□□=45。，□□=2立，□□=4，口口=1，口口=

2V3.

（1）求四棱錐口一?？诳?。的體積；

（2）在線段PB上是否存在點M，使得口口〃平面PAD?若存在，求第勺值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴苧

⑵存在，蝶3

4

【分析】Q)先證明平面ABCD,則PG為四棱推。-￡700。的高，再應用體積公式□□-□□□□=

1

3口口，□□□口口；

(2)先過點C作□□“□性AB于點N過點N忤口□“□性PB于點M,再證平面27切/平面CMN,

最后得出比值成立即可.

【詳解】(1)取AD的中點G,連接PG,GB,如圖所示.

在4口口講,口口=口口,G是AD的中點，所以口口.

又平面。平面ABCD,平面□□□0'^^□□□口=口口.ZZ7￡7u平面PAD,

所以￡70,平面ABCD,即PG為四棱錐。一0000的高.

又。Du平面ABCD,所以O￡7_LDU.

在^□口臥,由余弦定理得

口存=口己+口已-cos/.□口口=(V2)2+42-2xV2x4xy=10,故￡70=VlO.

在^,口口=2V5,□口=VW,口口1口口,所以口口=V2.

所以□□一□□口□—g□口，□□口□口=gxV5x=苧.

(2)過點C作。。〃口融AB于點N,則攜=\,

過點N作口國PB于點M,連接CM,則攜=\.

又因為￡7O〃OO,Z7Z7u平面PAD,平面PAD,所以0々/平面PAD.

因為,OOu平面PAD,O0C平面PAD,所以口切/平面PAD.

又=口,□□,ODu平面CNM,所以平面￡7。切/平面CMN.

又ODu平面CMN,所以OO//平面PAD.所以在PB上存在點M，使得?？?/平面PAD,且器=

【變式1-1]5.（2023?全國?高一專題練習）如圖，鈣□□□□1^^口口口,/口□□=90。

直線AM與直線PC所成的角為60°,又□□=1,口口=2/70=2,乙□□口=90°.

（1）求證：，□□:

（2）求多面體口。。。。的體積.

【答案】（1）證明見解析；

磋

【分析】（1）根據題意和面面垂直的性質定理可得?？冢矫?so即可得到證明；

（2）取BC的中點N,則S=；DD=1,連接MN,AN,由于直線AM與直線PC所成的角為60。，

府以4口口口=60°,根據題意，找出底面和高，并求出底面積，求出高，結合錐體的體積公式計算即可.

【詳解】（1）因為平面ZZ7Z7。。！平面。平面□□□□□平面□□□=口口,

□口,OOu平面￡7。。，

所以□□L平面□□□□,由口Uu平面口口口口,

得口口工

(2)取BC的中點N,則，連接MN,AN,

已知平面口口。。1平面口平面。DODc平面OZ7Z7=□□,△□□□=90°口u平面OZ7/7ZZ7,

???□□L平面□□□,

又□□”□□,必□□”□□,且口口=□□,

???oooa是平行四邊形，奧\口口舊口.

所以N/7Z7O是直線AM與直線PC所成角的平面角，所以z□□口=60°,

在Rt&口口0^,口口=J口仃+口仃=V1+1=V2,

在RtADOB,tan60°=票=口口=—=嚕=4，

口口tan60。V33

由題意知，多面體口?？凇樗睦忮F口一□□□□,

洪'□□□□□□=□□-□□□□=g,□□□□□=g口□+UD)-□口

1dl/CI八面乃

=-x1x-x(2+1)x-=—,

JNoO

即多面體的體積為言.

O

【變式1-1]6.(2023?四川成都統(tǒng)考二模)如圖，三棱柱。口。-口1口[口1中,△口口口與4皿口

均是邊長為2的正三角形，目□□】=V6.

（1）證明：平面O&&1平面。；

（2）求四棱錐O-勺體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵2

【分析】（1）取&&的中點〃,連接。。，口、口,利用勾股定理證明aoi口口,易得a。，平面

口、口id,再根據面面垂直判定定理即可證明；

（2）由（1）可證明三棱柱的高，利用同底等高的椎體與柱體的關系，通過割補法即可求解.

【詳解】（1）取a4的中點。,連接s,□、口.

口、口、口與△口□、&均是邊長為2的正三角形，

:.□口±LJy口［,口、□!口、,□、□=□口=V3.

.?2口口口1為二面角口一口'口a的平面角.

=V6，:.口1ZJ2+□仃=口1仃「?,□、口1口□.

因為口.L□□,□、□J_ZZZ|□、,□□n□、□、=ZZ71□□、□、u平?面□□、

所以&口-L平面□、口、口11又azz/u平面a&a,

「?平面ZZ7ZZ710rl_L平?面□、□、□、.

（2）□□□□-□、口、□、~□□-□、□、口、=2□□一

由（1）知，&DLJ,DDL?

□A□、□、=□,□、口,u平面ZZ7[□、□、i□、□u平■面□、□、□、]

；,口口_L平面□、□、.

???/7班三棱錐。一口口口的高.

:口、口、=；乂口△□、□、口、x￡7/7=gx4x4xg=1?

，四棱錐。一口□、□、曲體積為2.

題型2等體積法

【方法總結】等體積法是求空間幾何體體積的常用方法，一般適用于求三棱錐的體積問題，就是將

三棱錐的底面和高更換,以確保三棱椎的體積不變.由于有些三棱錐的體積直接求解較為困難，我們不

妨更換其底面和高，選擇一個易求出面積的底面和對應的高，這樣便能快速求出三棱錐的體積.

?類型1圖形內換頂點

【例題2-1]（2023春?四川內江?高二四川省內江市第六中學校考階段練習）已知直棱柱。口口口-

□i口1口1口的底面ABCD為菱形，目口口=□口=口□=2,口&=V5,點％a4的中點.

Q）證明：幅□□□];

（2）求三棱錐O-?？?。的體積.

【答案】（1）證明見解析

(2)1

【分析】（1）根據平行四邊形的判定定理和性質，結合菱形的性質、線面平行的判定定理進行證明即可；

（2）根據菱形的性質、直棱柱的性質，結合線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式進行求解即可.

【詳解】（1）連接AC交BD于點口，連接

在直四棱柱。/7叱7-&&&&中口

所以四邊形。&為平行四邊形，段口口舊1口1,uHUd

又因為底面ABCD為菱形，所以點孕AC的中點，

點班a4的中點，即點灰&&的中點，所以口叱口口,

即四邊形口。a%平行四邊形，所以口口舊1口,

因為&￡7u平面平面ooa,,附以平面□□□、；

（2）在直棱柱?？?。。一口［5d口中1平面&□】口,□、<=平面a□、d□、,

所以14&,

又因為上底面aaaa為麥形，所以w

因為ZZ7iZI7in□u平?面□,

所以功口、上平面Z74jD,

因為在△rJLJLJ^,口口=□□=口口=2,

目點口為BD的中點，所以?！?=舊一小或=6,即口1口=愿,

所以□□.□□口、=—g□>□□□，aO=gx；x2xV5xV5=1.

【變式2-1]1.(2022秋?湖南長沙??？计谥?如圖正方體0-口1口1口1口1棱氏為1,上底面

□i□、&有一點E.

Q)經過點E在上底面上作一條直線與平面&J口。平行(直接作在圖上)，并說明原因；

(2)設E為上底面&dd&的動點，求三棱錐口-口。中)體積.

【答案】Q)答案見解析

(2巳

【分析】(1)利用線面平行的性質定理找到這條線即可；

(2)利用等體積法求體積.

【詳解】(1)

過E作,又因為OZ7C平面&&/7￡7,u.□、口、□□，故口口\\平面口[□、口□,

如圖.

(2)

由題意，1平面□□□□,

故三棱錐。一的底面為4□□□,高為,

利用等體積法得〃￡7_￡7￡7￡7=□口-口□口=口＞□□口,口口1=1x：X1=:

【變式2-1]2.（2023?全國?高一專題練習）如圖，在四棱錐O-□□□為,底面。OOO是邊長為2

的正方形，側棱口。1底面OOZ7Z7,□□=□□,皿口中）中點族口□，DD^PB于點2求三棱

【分析】取OO中點。，連接易知%.目口口1底面00/7。，由此即可求出答案；

在^□□”,口、全鎖為□□、￡73點,

:.□為△勺中位線，

;.口口11口□,且口口=\□口,

又：口口=2,

:.□口=1

，：□□1底面Z7ZZ7OO,

:.□□1底面/7Z7L7ZZ7,

112

:=□□-□□□=§X]X2x2x1=

【變式2-1]3.(2021春?陜西西安?統(tǒng)考期末)如圖,在四棱錐￡7—□□□儻,

且底面口。。2是邊長為2的正方形，口。=6,點M柱□□上,且口□；口口=2：1.

P

(1)求證：平面。。01平面￡7。。；

(2)求三棱錐OOZJ0勺體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)j

【分析】(1)根據正方形對角線的性質，結合線面垂直、面面垂直的判定定理進行證明即可；

(2)根據三棱錐體積公式和等積性進行求解即可.

【詳解】(1)??,底面OZ7O儂正方形，??.OO1□口.

'：□□1底面□□口口,□□u底面□□□□,

■:UUc□□:口.￡7?！?￡7u平面￡70/7,.1OZZ/JL平面ZZ7Z7/Z7.

又口□u平面□口□,

平面。Z7O1平面Z7OO;

(2),:口口；口口=2:1,.'.ZZ7ZZ7:口口=3：1.

又□口=6,口口1底面□□□口,

???點M到底面OZ7Z7B]距離％=2.

:=□□-□□□=g□4□□□/=gxg（2x2）x2=g.

【變式2-1]4.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）《九章算術》卷第五《商功》中有記載："芻疊者，下有袤

有廣，而上有袤無廣芻，草也，魯，屋蓋也翻譯為"底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.

芻蔑字面意思為茅草屋頂，"現有"芻葭"如圖所示，四邊形EBCF為矩形口口=2DU=2口口=200=4,

且05LJU.

⑴若0是四邊形EBCF對角線的交點，求證：￡7。//平面GCF;

⑵若DU,且乙□□口=年，求三棱錐。一口口中）體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵竽

【分析】（1）取線段中點H,連接￡7口利用中位線定理得到目￡7。，證明

四邊形。。口。是平行四邊形，犀\口口11口口,根據線面平行的判定即可證明；

（2）利用線面垂直的判定得到口。1面。g,利用三角形面積公式求出4〃〃〃=V3,利用等體積法代

入計算即可求解.

【詳解】（1）在圖中取線段0口中點H,連接。O。，如圖所示:

BC

由題可知，四邊形?？趏a是矩形，目口口=2口口，

.-.0是辨殳中中點,；.口口11□□目□□=；□□,

又□□[【□□目□□=-口口,而口口11口0^口口=□□.

所以□□11口電口口=;口口,:.口口口近□□=口□,

二四邊形是平行四邊形，她口卬口口,由于平面□□□,UUu鈣□□□,:.□□“礴

□□□.

（2）,：□□\□□,□□，,□□,□□c^UUU,￡7￡7n□□=.□□遹□□□,

4皿=；。0-S-si厚=；x2x2x苧=%,

所以□□-□□□=□□-□□□=g口5□□□,〃〃=gxgx4=竽，

即三棱錐。一。口球體積為竽.

【變式2-1]5.（2023?青海西寧統(tǒng)考二模）如圖，在直角梯形ABCD中，口口\\口口,￡701口□,四

邊形CDEF為平行四邊形，平面。口001平面ABCD,□□=2口□.

（1）證明:口口II平面ABE；

Q）若口口="□□=口口=2,乙□□□=三.求三臃口一口口木西只.

【答案】（1）證明見解析

⑵苧

【分析】（1）連接。儂￡70于點。，取Z7B）中點口,連接02口口,根據條件證明四邊形?？?。與

平行四邊形，然后得到DOV口，可；

(2)取Z7OQ勺中點為ZZ7,連接,依次證明OO,平面Z7Z7OZ7、口口1平面□□口口,然后可求出點￡7

到平面勺距離，然后根據0ds￡7=?！?_￡7￡70算出答案即可.

證明：連接〃。交。。于點口，取的中點。，超妾口口，口口,

因為四邊形為平行四邊形，所以￡7為。廳勺中點，

密以HD=；口口,

因為￡7。11口□,口□=2口口,耐以DD=□口,

所以四邊形〃〃皿D平行四邊形，所以口□〃□□,段□□口□□,

因為￡7。u平面￡700,￡70C平面。0口，所以OZ7II平面ABE,

取。中)中點為￡7,連接。O,

因為□□=口口=2,乙□□口=J所以△002為等邊三角形，

所以0□=聰，,

因為平面。1平面ABCD,平面O。ZZ7。n平面ABCD=□□,口口仁鉀口口口口.

所以□□工平面□□□□,所以點史1]平面0￡7。中）距離為〃￡7=V3,

因為口口11口□,□□《平面□□□□,口口匚鈣□□□□,

期以□□〃平面□□□□,

所以點O到平面￡7。0療勺距離為。口=V3,

因為。?！?砥直角梯形，□□\、口□,□□L□□,□□=1,口口=2.

所以口也口=

所以口口-□□□=□□-□□□=gx1xV3=y-

【變式2-1]6.（2023春?河南?校聯(lián)考階段練習）如圖，在四棱推口-□□□消,底面四邊形ABCD

為矩形，2口口=2口口=00=2,平面ABCD,H為DC的中點.

（1）求證：平面OZZ7。1平面P0C;

（2）求三棱錐口-?？贠體積的最大值.

【答案】Q）證明見解析

翅

【分析】（1）首先證明口□,再利用線面垂直的性質定理得OO1口□,最后利用面面垂直的判

定定理即可.

（2）通過轉換頂點知當?？?，口。時，△￡7口中）面積最大，此時體積最大，代入數據計算即可.

【詳解】（1）：2DD=口口，H為DC中點，

二口口—□口=□□,AZ□□□=Z□□□,Z□□□=Z□□□,

v4□□□+￡□□□+乙□□□+乙□□□=n,

:.乙口口口+4口口口=三,

:，□口,

./7￡71平面ABCD,￡7￡7u平面ABCD,

:，□口,

'：UUr\□□=U,ZZZZJu平面POC,ZZ7Ou平面POC,

.?.￡7￡71平面POC,

又,.,Z7Z7u平面DPO,

二平面CZ7OJL平面POC.

（2）由（1）可知OO_L口□，，點0在以CD為直徑的圓上，

.,當口□、。。時,△Z7OO的面積最大，

又=□□-□□□I

.??三棱錐口-口。。體積的最大值為

￡7=-x□□x-x-x□□x□口=-x1x-x-x2x1=-.

3223226

【變式2-1]7.（2021春?陜西漢中?高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，

001平面ABCD.

⑵若乙口□口=120°,\UU,口□=2,求三腌0一勺體積.

【答案】Q）證明見解析

【分析】（1）由已知線面垂直得?？冢诳?再由菱形對角線垂直得線面垂直，從而可得證面面垂直；

（2）□□_□□□=□□.□□□，求出△口￡70面積和高￡7。，再由棱錐體積公式計算.

【詳解】（1）證明：??泗邊形ABCD為菱形，

V平面ABCD,ZZ7Z7U平面ABCD,

---□□1□口.

???UUc\□□=口,Z7Z7u平面BED,7u平面BED,

口口1平面BED.

又O￡7u平面AEC,

平面OZJOJL平面BED.

（2）遺形ABCD中，由乙□□□=120°,□口=2,可得口口=口口=V3,□□=□□=1.

V□□1,

??.在Rt△,可得￡7ZZ7=□□=口口=V3.

由。￡71平面ABCD,DOu平面ABCD,得￡7Z71口□,

所以△DDZ7為直角三角形，

.,點E到平面AGD的距離0/7=d皿-口產=V2.

d□□口=g口口=^xV3x1=y,

=□□-□□□=g口4口□□,□口=gx'X遮=[.

?類型2利用平行線換頂點

【例題2-2]（2023?江西校聯(lián)考模擬預測）如圖，三棱柱O0口一口1口1口1中,口口=口□=口1口=

口1口,庭。中]中點，口口11口□.

⑴證明：。1。1平面000；

②若□□=V2,點4到平面口口口。的距離為咚，求三棱錐口-&。1中）體積.

【答案】Q）證明見解析

（2）j

【分析】（1）根據口□,o是。a的中點得到。O_L.利用線面垂直的判定得到ooi平面

口□口進而得到OO1口3,再利用線面垂直的判定即可證明；

（2）根據線面垂直的判定得到0/7,平面O&Z7,進而得到面面垂直，利用面面垂直的性質，過點a作

□、口工于彘口,進而得到&O1平面,求出所需的各邊長，進而計算即可求解.

【詳解】（I）因為口口=口□,O是口。的中點，

所以。O_L,因為口口11口□,□□、n□□=口,口口1，口口匚礴,

所以￡7￡7,平面￡7&D,又&Du平面￡7口口,

所以S1&O,

因為。1〃=aa。是。小勺中點，所以aoi□口,

又因為口口1□［口,口口門口口=D,口□,口□U平面。,

所以平面Z7OZ7

（2）由（1）知\口口工口口,口口^口、口=￡7,口口,口1口匚鉀口,

所以￡70,平面因為口口=□口=口、口=口、口,所以口口=J口，

取aa的中點。1,建妾,

可得。&H,所以平面Saa即為平面又口口匚平面□□□、□、,

所以平面4a1平面。,

過點口族口口工口口于氤口，則口1口1平面□□□、口、,

所以&口=》

在三棱柱口通口］中,四邊形。口&&為平行四邊形，

所以4口1口口=/,因為口口=口、口,

所以N4□□=4口口、口二?,所以&&=1,所以&￡7=V2,

又因為￡70=V2,所以00=1一

因為&￡71平面DO。,

所以￡7_林群"CCC7=!X!X00x00x0^=Jxlx2x1x1=1,

二俊誰5-LJUU3N

因為4棱錐ai-qZTlOH4棱錐么-￡7Z7￡7，所以？臃4-5。1￡7=于

【變式2-2】1.（2023?全國?高一專題練習）如圖，在三棱柱￡700-44&中，△002為邊長為2的

正三角形，2為。O的中點，□口、=2,且N4□□=60°,平面。4口口母面□□□.

G紇

A

Q）證明:口1口工□□:

（2）求三棱錐&-的體積.

【答案】Q）證明見解析

（2）1

【分析】（1）在△a。。中,利用余弦定理可求得ad2,根據勾股定理可證得&O_L□口,由面面垂

直和線面垂直的性質可證得結論；

（2）由面面平行性質可知點31!平面Di&a的距離即為點31）平面的距離，利用體積橋

,結合棱錐體積公式可求得結果?

【詳解】（1）???孕。B點，□口=2，:.口口=1,又□□]==2/口、□□=60°,

:.廳=口守+ZZZZZ^—2LJLJ-cosz口□口=3,L?+口已=口子,口、□!□口,

又平面□1平面□□□,平面UyUn平面□□口=□□,□、口u平面□、U,

??□_L平■圓□口□,又ZZ7Z^7u平面/Z7ZZ7ZZ7,□J.□

（2）由三棱柱結構特征可知：平面□□□“平面口通口1,

.?點平面心口、4的距離即為點史（?平面&&&的距離&。=vs,

又□、口、=口?□□口=^x2x2xy=V3,

□□、-□□、口、=□□-口、口、口、=g口4口、口、-□、□=三xWx聰=1.

【變式2-2]2.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學統(tǒng)考二模）如圖，直四棱柱。。。口一口、口]口【□】

的底面是菱形，〃&=8,0口=4,乙口□口=60°,U,口,口分別是〃口口[可中點.

⑴證明：O。/平面口￡7。；

（2）求三棱錐。一體積.

【答案】（1）證明見解析

（2）873

【分析】（1）結合三角形中位線性質可證得四邊形口OOO為平行四邊形，根據線面平行的判定可證得結

論；

（2）結合平行關系和體積橋可知所求為口小&口〃，由線面垂直的判定可證得￡7孕三棱錐口-口。，的

高，結合棱錐體積公式可求得結果.

【詳解】（1）連接?？?。，

???口,儂別為口出點，二口E&□[OZJS）中位線，:.□□舊、是口口=；口、口,

又以口3點，口,□]□=□□Ud口,□□=三口、口,

口口1口口,OZ7=S,???四邊形8022%平行四邊形，

□□/口□,又Z7￡7c平面&Z7Z7,0/7u平面口口。/平面。10〃

（2）由（1）得：口口呼面口1口口,?1■,

□□□□□、口、一工口口口一口4口、口、口一口4口口、口=32-4-8-8=12；

???四邊形口□口□為菱形”□□口=60°,磔。中）中點，：.□□】□□,

???\□□「□□□□□、=￡7,口5u平面。0。1口,

???□□母面□□□】口、,則。乃三棱錐。一高，

"□口=V42-22=2V3,■<.□□=%□△口、aa,□口=gx12x2V3=8V3,

???三棱錐。-40療勺體積為8g.

【變式2-2]3.（2023?河南統(tǒng)考模擬預測）如圖,□□□□-口口[d4是棱長為2的正方體,E是&&

的中點.

⑴證明：□□工□□:

（2）求三棱錐口-4口。的體積.

【答案】（1）見解析

【分析】(1)利用正方形性質和線面垂直的判定得00,1口口,再利用線面垂直的判定即

可；

(2)設?！?與DO交于點心連接&D.首先證明口￡7〃平面口4口,再利用頂點轉化法即可求出三棱錐

體積.

【詳解】(1)因為四邊形是正方形，所以口□.

在正方悻□□□□-ad口&中,，平面oooa

又□□U平面口□□口，麗以口口11口□.

又/Z7/Z?in□□=□>□u平面￡7/Z7[□]口,□□u平■面□□、□‘

所以￡701平面￡74□、口又口口u平面￡7a□【口

所以。OJ.

(2)設。口與口。交于點a連接&口,

在TF方體□□□□—□]□、□、□]中，口1□、且□□=口[ZZ7),

又aa分別是a&,口蜜勺中點，

:.口口I□]□,□口=□、口,

???四邊形4口。。是平行四邊形，□□”□、口,

又ULJ仁平面口□、□,口、口u平面a

平面Z7Z7Q

文正方體□□□□-□、□、&的棱長為2,

□□-口、□□=□□-□□]□=□□-□□、口=□□「□□□=弓xx=-x2x-x2x2=-

?類型3比例法

【例題2-3]（2023春河南周口?高三?？茧A段練習）在直三棱柱OS-□、□[口曲，乙□□□=90°,

口口=□口=2,□□]=2V3,D在線段□□上,且&D.□口=3:1.

(1)求證：&ZZ71平面Z7OZZ7;

（2）求四棱錐口-?？?&的體積.

【答案】Q）證明見解析

(2)等

【分析】（1）由線面垂直和面面垂直的判定定理和性質定理即可證明；

11

=X

（2）由□□:口口=3;'知□□一□□□、□、=%□□「□□□Ri4-3-□□□□、口、,,求出□□□□、人,代入

即可得出答案.

【詳解】(1)證明：在RtAan[J^,由=2V3,口口=2,得&。=4.

又0□:□□=3：1,￡7=3,□口=1.

易證△□、□□一△□,□□，.二乙□[□□=4口、□口=90°,即&ZZ7_L□□,

又平面平面,平面0。。0平面/7。。14=IJU,

【□□I:.ACl平面□□□]□],而u^^UUUi,

由4/71□□,工□□,O￡7n□口=口,0az7Z7u平面ACD,知平面ACD.

_111riri

(2)由口1□:□口=3c知□□-口口口、口［=-□口、-口口口、口、=jx3口口口口1口、,-<

而□□□□、□、=2&x2V3=4V6,號=V2

:?□□-□□□、口、=\x4V6xV2=誓

【變式2-3]1.（2023春?湖南長沙?高一長郡中學?？茧A段練習）如圖，直三根注口□□-□□口曲,

（1）當P為線段O4上的中點時，求三棱錐。-體積；

（2）當P在線段￡7。上移動時，求□□+勺最小值.

【答案】（釁

⑵遍.

【分析】（1）由余弦定理求出口□=V3,即可求出8的面積，再由等體積法求解即可；

（2）根據平面展開圖可確定。O+最小值即Z7O長,由三角形余弦定理求解即可.

【詳解】（1）由已知可得sinN￡7OO=9,

由余弦定理有2=1+口己-2口口3$乙□□口，得到OO=V3.

在4口□”,有口皿口=；?□□?DD-□□口=；X禽x1x曰=寺，

=2=2X3口4□口口X1=gXy=

（2）將4口□□[維口口梅凌到與△ooa同一平面（如圖所示）,

連接。依ZZ7Z7于點4,此時OD+口。取得最小值，最小值即OO長.

在^□□□、中，□□[=V2,□口=V2,=2,

板口目+O[3=口民,取□□L‘吹口口口=90°,

又易知=450,故乙□□□=135°,

由余弦定理得D廳=1+2-2xV2x1xcos135°=5,所以0/7=V5,

（或者在△口口、中由勾股定理得V5）

故OZ7+勺最小值為傷.

【變式2-3]2（2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預測即圖，在三棱錐。-ULJLJ^側面口口底面口口。,

乙口□口=乙□□口=150°,□口=□□=4,口口=4V3,□、啰別是￡70、。牛中點.

（1）求證：□□工□□;

（2）求四棱錐。-勺體積.

【答案】Q）證明見解析

（2）273

【分析】C）在平面□□□內作□□上直線口仃于口、連接叨，根據三角形全等得到口口，即可

得到SJ■平面SO,即可得到S1口口,都雕即可得證;

（2）由（1）及題意可得。Z7_L底面,再由□□一□□口=□□-□□□=

□□-□□□=J□□-□□口=J□□-□□□、□□-□□□□=□□-□□□+?！?-￡7￡7￡7及錐體的體積公式計算可得?

【詳解】（1）在平面OOO內作口O1直線?！?于口連接。。，

“□□□=4□□□=150°,□□=□□=4,

:./□□□=z□□□=30°,

在△口口口與&DDD^,上□□口=乙□□□,□口=□□、□□=,

□□□與&S醒等，

：.乙□□□=4□□口=90°,即ZZ7ZZ7±口口,即￡7￡71口□,

1□□,□□1口口,口口門口口=口,口口,□□<^3^口口口,

二￡7/271平面￡700,又平面?？谌?：.□□工口□,

■：a儂別是00、口徜中點，得

（2）由（1）和題意知，側面Z7OZZ71底面?！?0,側面ZZZDOn底面\u

平面□□□,

所以ZJZZ71底面ZZ7/Z7Z7,且□□二4sin30°=2,

???%。中）中點，得口口=DH,又乙口□□與乙口口匚取卜，

???△￡70木面積與40OBJ面積相等，

:=□□-□□□=\口口-口口曲<

又???〃是口中］中點，得。點到平面OOO0勺距離與。點到平面002勺距離相等，

11

=2□□-□□□=4□□-□□絕?

由①②得□口_□□□□=+

=I□□一□□□=?xgxgx4V3x4xsin150°x2=2V3,

二四棱錐O-4勺體積為2g.

【變式2-3】3.（2023甘肅統(tǒng)考一模）如圖甲所示的正方形￡7。'Z7’i4中，口□「12,00=口口=

3,口口=口］口、=4,對角線DO；分別交□□［于氤口,D,將正方形0方。；口沿口口1,口口1折疊

使得口4與O'。；重合，構成如圖乙所示的三棱柱Z7Z7O-.點、口^棱□□上,且□□=與

⑴證明：口□II平面Z7DO；

（2）求三棱錐口-D口量勺體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵6

【分析】（1）過。作。。II口□,超差口口,.證明四邊形?？凇?。為平行四邊形，根據線面平行的

判定定理即可證明結論；

（2）根據三棱錐的等體積法，將三棱錐O-勺體積轉化為求0-勺體積，結合二者之間的

數量關系，可得答案，

【詳解】（1）證明：在圖乙中，過Of乍口。II□□,交口方口,連接￡7。,口口,

由于口￡7II□□,則ZZ7OII□口,所以a口,D,儂面，

且平面□□□□c平面□□□=口□,

因為ZZ7ZZ7=3,□口=4,所以ZZ7Z7=口口—-口□=12—3—4=5,

?，TT

又在正方形￡714中，N□□□=

所以OZZ7=ZZ7ZZ7=3,??.口口—7,:?tan4□□口=：,

5

由口口=洋,得口口=m*=3=□口,

所以四邊形?？诳?，為平行四邊形，則DDII,

又口Uu平面□□□.□□色礴□□□,所以口□||平面￡702.

（2）由（1）知\口|^=口^+ZZ7爐,所以ZZ7Z71,

因為口口=5,口口=岸,段□□日□□,

/—?3,3r—r3,3(—1

所以□□一□□□=-□□一□□口=-□□一□□口=y□□-□□□=7□□-□□□

311

=-x-x-x3ox4x7=6.

732

【變式2-3]4.（2023?山西統(tǒng)考模擬預測）如圖①，在矩形。中，□口=2口口=242,皿□口

的中點，如圖②，沿口。將△?？凇Ｕ燮?，點。在線段口。上.

①