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文檔簡介
專題07立體幾何中體積問題
。??碱}型目錄
題型1公式法.......................................................................................1
題型2等體積法....................................................................................10
?類型1圖形內(nèi)換頂點.........................................................................10
?類型2利用平行線換頂點....................................................................20
?類型3比例法...............................................................................27
?類型4利用對稱換頂點.......................................................................41
題型3割補法法....................................................................................43
Q知識梳理
求空間幾何體的體積問題是立體幾何中的一類重要題型.對于常規(guī)的簡單空間幾何體,我們可以直接運用公
式法進行求解;對于復雜的組合空間幾何體,則需要靈活運用割補法、等體積法來求解.本文主要歸納了了
求空間幾何體體積的三種常見辦法:
公式法、等體積法,和割補法.
窗題型分類
題型1公式法
【方法總結(jié)】空間幾何體的體積公式有很多,
^名稱
表面積體積
幾何體
柱體(棱柱和圓柱)s表面積=$側(cè)+25底V=Sh
1
錐體(棱錐和圓錐)S表面積=5側(cè)+S底V=~Sh
1
/=5($上+$下+
臺體(棱臺和圓臺)5表面積=$側(cè)+$上+S下
4
球S=4TT不
在求空間幾何體的體積時,我們可以直接運用對應的公式進行求解.
【例題1](2023?全國?高一專題練習)如圖,已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為2,正三棱錐的高SO
=1.
(1)求正三棱錐S-ABC的體積;
(2)求正三棱錐S-ABC表面積.
【答案】⑴當
(2)373
【分析】(1)由題意分別確定三棱錐的底面積和三棱錐的高即可確定其體積;
(2)連接CO延長交AB于E,連接SE,則E為AB的中點,分別求得底面積和側(cè)面積,然后計算其表面
積即可.
【詳解】(1)在正三蠅S-ABC中,4□□口=\sin60°=fx2x2xg,
所以。=g□&□□□-gx百x1=冬
(2)連接CO延長交AB于E,連接SE,則E為AB的中點,如圖所示,
所以£70=V22-12=限口□屋□□=當,
在直角三角形SOE中,□口=娉)2+12=摯,
在AABS中,SA=SB,所以SE±AB,
所以么皿7=卜2、等=等,
則表面積為:3口足口口口+□△□□□=3x等+V3=3V3.
【變式1-1]1.(2023?全國?高一專題練習)如圖,在正三棱錐O-.□□:□□=□□:2,
=□□=□□:V3.求□一口。木體積.
【答案】j
【分析】作出棱推的高,由勾股定理計算棱錐的高,體積公式計算體積.
【詳解】過P作底面垂線,垂直為O,則。為底面三角形的中心,
連接AO并延長,交BC于N,
.'.0/7=V22-12=V3.
:?口□-□□□=gx;xgx|xV5=《.
【變式1-112.(2023?全國?高一專題練習)在四棱錐。一UULJU^,□□L平面□□□□,底面四邊
形£7000為直角梯形,口口1口口,□□L□□,□□:口口=2,UD=□□=1,求四棱錐Z27-
【答案】1
【分析】根據(jù)已知條件因為0口1平面OOS,所以棱錐的高〃=口口=2,直接利用棱錐的體積公式求
值即可得解;
【詳解】因為口口、平面口口□口,所以力=00=2,
因為□□L□□,口口=2,□□=□口=1,
又□口口□口—X口口+口口?□□=x(1+2)x1=|,
所以□=gDA=g□□口□□■□□-1
即四棱雉OZ7。。的體積為1.
【變式1-1]3.(2023?全國?高一專題練習)如圖,在四棱錐口一口口口袋,□□工現(xiàn)□□□□,正
方形ooozjfi勺邊長為2.□□=4,設a為側(cè)棱口廳勺中點.求四棱錐。一口口口闔輟口;
【分析】根據(jù)給定條件,求出點E到平面£7。。中)距離,再利用錐體的體積公式計算作答.
【詳解】因為在四棱錐口一DULJU^,□□工礴□□□□,正方形邊長為2,□□=4,
。為側(cè)棱??谏字悬c,
所以,點平面距離方=;口口=2,
又因為匚歸£7£7£7=4,
所以,四棱錐。-0005勺體積。=5□□口□口"=gx4x2=*
【變式1-1]4.(2023?陜西安康?陜西省安康中學校考模擬預測)如圖,在四棱錐。-□□口袋,平面
£7ZZ7O1平面ABCD,Z7切/£7£7,Z7Z7=□□/□□□=45。,□□=2立,□□=4,口口=1,口口=
2V3.
(1)求四棱錐口一??诳凇5捏w積;
(2)在線段PB上是否存在點M,使得口口〃平面PAD?若存在,求第勺值;若不存在,請說明理由.
【答案】⑴苧
⑵存在,蝶3
4
【分析】Q)先證明平面ABCD,則PG為四棱推。-£700。的高,再應用體積公式□□-□□□□=
1
3口口,□□□口口;
(2)先過點C作□□“□性AB于點N過點N忤口□“□性PB于點M,再證平面27切/平面CMN,
最后得出比值成立即可.
【詳解】(1)取AD的中點G,連接PG,GB,如圖所示.
在4口口講,口口=口口,G是AD的中點,所以口口.
又平面。平面ABCD,平面□□□0'^^□□□口=口口.ZZ7£7u平面PAD,
所以£70,平面ABCD,即PG為四棱錐。一0000的高.
又。Du平面ABCD,所以O£7_LDU.
在^□口臥,由余弦定理得
口存=口己+口已-cos/.□口口=(V2)2+42-2xV2x4xy=10,故£70=VlO.
在^,口口=2V5,□口=VW,口口1口口,所以口口=V2.
所以□□一□□口□—g□口,□□口□口=gxV5x=苧.
(2)過點C作。?!谌贏B于點N,則攜=\,
過點N作口國PB于點M,連接CM,則攜=\.
又因為£7O〃OO,Z7Z7u平面PAD,平面PAD,所以0々/平面PAD.
因為,OOu平面PAD,O0C平面PAD,所以口切/平面PAD.
又=口,□□,ODu平面CNM,所以平面£7。切/平面CMN.
又ODu平面CMN,所以OO//平面PAD.所以在PB上存在點M,使得???/平面PAD,且器=
【變式1-1]5.(2023?全國?高一專題練習)如圖,鈣□□□□1^^口口口,/口□□=90。
直線AM與直線PC所成的角為60°,又□□=1,口口=2/70=2,乙□□口=90°.
(1)求證:,□□:
(2)求多面體口。。。。的體積.
【答案】(1)證明見解析;
磋
【分析】(1)根據(jù)題意和面面垂直的性質(zhì)定理可得??冢矫?so即可得到證明;
(2)取BC的中點N,則S=;DD=1,連接MN,AN,由于直線AM與直線PC所成的角為60。,
府以4口口口=60°,根據(jù)題意,找出底面和高,并求出底面積,求出高,結(jié)合錐體的體積公式計算即可.
【詳解】(1)因為平面ZZ7Z7。。!平面。平面□□□□□平面□□□=口口,
□口,OOu平面£7。。,
所以□□L平面□□□□,由口Uu平面口口口口,
得口口工
(2)取BC的中點N,則,連接MN,AN,
已知平面口口。。1平面口平面。DODc平面OZ7Z7=□□,△□□□=90°口u平面OZ7/7ZZ7,
???□□L平面□□□,
又□□”□□,必□□”□□,且口口=□□,
???oooa是平行四邊形,奧\口口舊口.
所以N/7Z7O是直線AM與直線PC所成角的平面角,所以z□□口=60°,
在Rt&口口0^,口口=J口仃+口仃=V1+1=V2,
在RtADOB,tan60°=票=口口=—=嚕=4,
口口tan60。V33
由題意知,多面體口。口。為四棱錐口一□□□□,
洪'□□□□□□=□□-□□□□=g,□□□□□=g口□+UD)-□口
1dl/CI八面乃
=-x1x-x(2+1)x-=—,
JNoO
即多面體的體積為言.
O
【變式1-1]6.(2023?四川成都統(tǒng)考二模)如圖,三棱柱。口。-口1口[口1中,△口口口與4皿口
均是邊長為2的正三角形,目□□】=V6.
(1)證明:平面O&&1平面。;
(2)求四棱錐O-勺體積.
【答案】(1)證明見解析
⑵2
【分析】(1)取&&的中點〃,連接。。,口、口,利用勾股定理證明aoi口口,易得a。,平面
口、口id,再根據(jù)面面垂直判定定理即可證明;
(2)由(1)可證明三棱柱的高,利用同底等高的椎體與柱體的關系,通過割補法即可求解.
【詳解】(1)取a4的中點。,連接s,□、口.
口、口、口與△口□、&均是邊長為2的正三角形,
:.□口±LJy口[,口、□!口、,□、□=□口=V3.
.?2口口口1為二面角口一口'口a的平面角.
=V6,:.口1ZJ2+□仃=口1仃「?,□、口1口□.
因為口.L□□,□、□J_ZZZ|□、,□□n□、□、=ZZ71□□、□、u平?面□□、
所以&口-L平面□、口、口11又azz/u平面a&a,
「?平面ZZ7ZZ710rl_L平?面□、□、□、.
(2)□□□□-□、口、□、~□□-□、□、口、=2□□一
由(1)知,&DLJ,DDL?
□A□、□、=□,□、口,u平面ZZ7[□、□、i□、□u平■面□、□、□、]
;,口口_L平面□、□、.
???/7班三棱錐。一口口口的高.
:口、口、=;乂口△□、□、口、x£7/7=gx4x4xg=1?
,四棱錐。一口□、□、曲體積為2.
題型2等體積法
【方法總結(jié)】等體積法是求空間幾何體體積的常用方法,一般適用于求三棱錐的體積問題,就是將
三棱錐的底面和高更換,以確保三棱椎的體積不變.由于有些三棱錐的體積直接求解較為困難,我們不
妨更換其底面和高,選擇一個易求出面積的底面和對應的高,這樣便能快速求出三棱錐的體積.
?類型1圖形內(nèi)換頂點
【例題2-1](2023春?四川內(nèi)江?高二四川省內(nèi)江市第六中學??茧A段練習)已知直棱柱??诳诳?
□i口1口1口的底面ABCD為菱形,目口口=□口=口□=2,口&=V5,點%a4的中點.
Q)證明:幅□□□];
(2)求三棱錐O-。口。的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)1
【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì),結(jié)合菱形的性質(zhì)、線面平行的判定定理進行證明即可;
(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)、直棱柱的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式進行求解即可.
【詳解】(1)連接AC交BD于點口,連接
在直四棱柱。/7叱7-&&&&中口
所以四邊形。&為平行四邊形,段口口舊1口1,uHUd
又因為底面ABCD為菱形,所以點孕AC的中點,
點班a4的中點,即點灰&&的中點,所以口叱口口,
即四邊形口。a%平行四邊形,所以口口舊1口,
因為&£7u平面平面ooa,,附以平面□□□、;
(2)在直棱柱???。。一口[5d口中1平面&□】口,□、<=平面a□、d□、,
所以14&,
又因為上底面aaaa為麥形,所以w
因為ZZ7iZI7in□u平?面□,
所以功口、上平面Z74jD,
因為在△rJLJLJ^,口口=□□=口口=2,
目點口為BD的中點,所以?!?=舊一小或=6,即口1口=愿,
所以□□.□□口、=—g□>□□□,aO=gx;x2xV5xV5=1.
【變式2-1]1.(2022秋?湖南長沙?校考期中)如圖正方體0-口1口1口1口1棱氏為1,上底面
□i□、&有一點E.
Q)經(jīng)過點E在上底面上作一條直線與平面&J口。平行(直接作在圖上),并說明原因;
(2)設E為上底面&dd&的動點,求三棱錐口-口。中)體積.
【答案】Q)答案見解析
(2巳
【分析】(1)利用線面平行的性質(zhì)定理找到這條線即可;
(2)利用等體積法求體積.
【詳解】(1)
過E作,又因為OZ7C平面&&/7£7,u.□、口、□□,故口口\\平面口[□、口□,
如圖.
(2)
由題意,1平面□□□□,
故三棱錐。一的底面為4□□□,高為,
利用等體積法得〃£7_£7£7£7=□口-口□口=口>□□口,口口1=1x:X1=:
【變式2-1]2.(2023?全國?高一專題練習)如圖,在四棱錐O-□□□為,底面。OOO是邊長為2
的正方形,側(cè)棱口。1底面OOZ7Z7,□□=□□,皿口中)中點族口□,DD^PB于點2求三棱
【分析】取OO中點。,連接易知%.目口口1底面00/7。,由此即可求出答案;
在^□□”,口、全鎖為□□、£73點,
:.□為△勺中位線,
;.口口11口□,且口口=\□口,
又:口口=2,
:.□口=1
,:□□1底面Z7ZZ7OO,
:.□□1底面/7Z7L7ZZ7,
112
:=□□-□□□=§X]X2x2x1=
【變式2-1]3.(2021春?陜西西安?統(tǒng)考期末)如圖,在四棱錐£7—□□□儻,
且底面口。。2是邊長為2的正方形,口。=6,點M柱□□上,且口□;口口=2:1.
P
(1)求證:平面。。01平面£7。。;
(2)求三棱錐OOZJ0勺體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)j
【分析】(1)根據(jù)正方形對角線的性質(zhì),結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理進行證明即可;
(2)根據(jù)三棱錐體積公式和等積性進行求解即可.
【詳解】(1)??,底面OZ7O儂正方形,??.OO1□口.
':□□1底面□□口口,□□u底面□□□□,
■:UUc□□:口.£7?!?£7u平面£70/7,.1OZZ/JL平面ZZ7Z7/Z7.
又口□u平面□口□,
平面。Z7O1平面Z7OO;
(2),:口口;口口=2:1,.'.ZZ7ZZ7:口口=3:1.
又□口=6,口口1底面□□□口,
???點M到底面OZ7Z7B]距離%=2.
:=□□-□□□=g□4□□□/=gxg(2x2)x2=g.
【變式2-1]4.(2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模)《九章算術》卷第五《商功》中有記載:"芻疊者,下有袤
有廣,而上有袤無廣芻,草也,魯,屋蓋也翻譯為"底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱.
芻蔑字面意思為茅草屋頂,"現(xiàn)有"芻葭"如圖所示,四邊形EBCF為矩形口口=2DU=2口口=200=4,
且05LJU.
⑴若0是四邊形EBCF對角線的交點,求證:£7。//平面GCF;
⑵若DU,且乙□□口=年,求三棱錐。一口口中)體積.
【答案】(1)證明見解析
⑵竽
【分析】(1)取線段中點H,連接£7口利用中位線定理得到目£7。,證明
四邊形。。口。是平行四邊形,犀\口口11口口,根據(jù)線面平行的判定即可證明;
(2)利用線面垂直的判定得到口。1面。g,利用三角形面積公式求出4〃〃〃=V3,利用等體積法代
入計算即可求解.
【詳解】(1)在圖中取線段0口中點H,連接。O。,如圖所示:
BC
由題可知,四邊形??趏a是矩形,目口口=2口口,
.-.0是辨殳中中點,;.口口11□□目□□=;□□,
又□□[【□□目□□=-口口,而口口11口0^口口=□□.
所以□□11口電口口=;口口,:.口口口近□□=口□,
二四邊形是平行四邊形,她口卬口口,由于平面□□□,UUu鈣□□□,:.□□“礴
□□□.
(2),:□□\□□,□□,,□□,□□c^UUU,£7£7n□□=.□□遹□□□,
4皿=;。0-S-si厚=;x2x2x苧=%,
所以□□-□□□=□□-□□□=g口5□□□,〃〃=gxgx4=竽,
即三棱錐。一??谇蝮w積為竽.
【變式2-1]5.(2023?青海西寧統(tǒng)考二模)如圖,在直角梯形ABCD中,口口\\口口,£701口□,四
邊形CDEF為平行四邊形,平面???01平面ABCD,□□=2口□.
(1)證明:口口II平面ABE;
Q)若口口="□□=口口=2,乙□□□=三.求三臃口一口口木西只.
【答案】(1)證明見解析
⑵苧
【分析】(1)連接。儂£70于點。,取Z7B)中點口,連接02口口,根據(jù)條件證明四邊形??凇Ec
平行四邊形,然后得到DOV口,可;
(2)取Z7OQ勺中點為ZZ7,連接,依次證明OO,平面Z7Z7OZ7、口口1平面□□口口,然后可求出點£7
到平面勺距離,然后根據(jù)0ds£7=?!?_£7£70算出答案即可.
證明:連接〃。交。。于點口,取的中點。,超妾口口,口口,
因為四邊形為平行四邊形,所以£7為。廳勺中點,
密以HD=;口口,
因為£7。11口□,口□=2口口,耐以DD=□口,
所以四邊形〃〃皿D平行四邊形,所以口□〃□□,段□□口□□,
因為£7。u平面£700,£70C平面。0口,所以OZ7II平面ABE,
取。中)中點為£7,連接。O,
因為□□=口口=2,乙□□口=J所以△002為等邊三角形,
所以0□=聰,,
因為平面。1平面ABCD,平面O。ZZ7。n平面ABCD=□□,口口仁鉀口口口口.
所以□□工平面□□□□,所以點史1]平面0£7。中)距離為〃£7=V3,
因為口口11口□,□□《平面□□□□,口口匚鈣□□□□,
期以□□〃平面□□□□,
所以點O到平面£7。0療勺距離為???V3,
因為。?!?砥直角梯形,□□\、口□,□□L□□,□□=1,口口=2.
所以口也口=
所以口口-□□□=□□-□□□=gx1xV3=y-
【變式2-1]6.(2023春?河南?校聯(lián)考階段練習)如圖,在四棱推口-□□□消,底面四邊形ABCD
為矩形,2口口=2口口=00=2,平面ABCD,H為DC的中點.
(1)求證:平面OZZ7。1平面P0C;
(2)求三棱錐口-??贠體積的最大值.
【答案】Q)證明見解析
翅
【分析】(1)首先證明口□,再利用線面垂直的性質(zhì)定理得OO1口□,最后利用面面垂直的判
定定理即可.
(2)通過轉(zhuǎn)換頂點知當???,口。時,△£7口中)面積最大,此時體積最大,代入數(shù)據(jù)計算即可.
【詳解】(1):2DD=口口,H為DC中點,
二口口—□口=□□,AZ□□□=Z□□□,Z□□□=Z□□□,
v4□□□+£□□□+乙□□□+乙□□□=n,
:.乙口口口+4口口口=三,
:,□口,
./7£71平面ABCD,£7£7u平面ABCD,
:,□口,
':UUr\□□=U,ZZZZJu平面POC,ZZ7Ou平面POC,
.?.£7£71平面POC,
又,.,Z7Z7u平面DPO,
二平面CZ7OJL平面POC.
(2)由(1)可知OO_L口□,,點0在以CD為直徑的圓上,
.,當口□、。。時,△Z7OO的面積最大,
又=□□-□□□I
.??三棱錐口-口。。體積的最大值為
£7=-x□□x-x-x□□x□口=-x1x-x-x2x1=-.
3223226
【變式2-1]7.(2021春?陜西漢中?高一統(tǒng)考期末)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,
001平面ABCD.
⑵若乙口□口=120°,\UU,口□=2,求三腌0一勺體積.
【答案】Q)證明見解析
【分析】(1)由已知線面垂直得。口,口口,再由菱形對角線垂直得線面垂直,從而可得證面面垂直;
(2)□□_□□□=□□.□□□,求出△口£70面積和高£7。,再由棱錐體積公式計算.
【詳解】(1)證明:??泗邊形ABCD為菱形,
V平面ABCD,ZZ7Z7U平面ABCD,
---□□1□口.
???UUc\□□=口,Z7Z7u平面BED,7u平面BED,
口口1平面BED.
又O£7u平面AEC,
平面OZJOJL平面BED.
(2)遺形ABCD中,由乙□□□=120°,□口=2,可得口口=口口=V3,□□=□□=1.
V□□1,
??.在Rt△,可得£7ZZ7=□□=口口=V3.
由?!?1平面ABCD,DOu平面ABCD,得£7Z71口□,
所以△DDZ7為直角三角形,
.,點E到平面AGD的距離0/7=d皿-口產(chǎn)=V2.
d□□口=g口口=^xV3x1=y,
=□□-□□□=g口4口□□,□口=gx'X遮=[.
?類型2利用平行線換頂點
【例題2-2](2023?江西校聯(lián)考模擬預測)如圖,三棱柱O0口一口1口1口1中,口口=口□=口1口=
口1口,庭。中]中點,口口11口□.
⑴證明:。1。1平面000;
②若□□=V2,點4到平面口口口。的距離為咚,求三棱錐口-&。1中)體積.
【答案】Q)證明見解析
(2)j
【分析】(1)根據(jù)口□,o是。a的中點得到。O_L.利用線面垂直的判定得到ooi平面
口□口進而得到OO1口3,再利用線面垂直的判定即可證明;
(2)根據(jù)線面垂直的判定得到0/7,平面O&Z7,進而得到面面垂直,利用面面垂直的性質(zhì),過點a作
□、口工于彘口,進而得到&O1平面,求出所需的各邊長,進而計算即可求解.
【詳解】(I)因為口口=口□,O是口。的中點,
所以。O_L,因為口口11口□,□□、n□□=口,口口1,口口匚礴,
所以£7£7,平面£7&D,又&Du平面£7口口,
所以S1&O,
因為。1〃=aa。是。小勺中點,所以aoi□口,
又因為口口1□[口,口口門口口=D,口□,口□U平面。,
所以平面Z7OZ7
(2)由(1)知\口口工口口,口口^口、口=£7,口口,口1口匚鉀口,
所以£70,平面因為口口=□口=口、口=口、口,所以口口=J口,
取aa的中點。1,建妾,
可得。&H,所以平面Saa即為平面又口口匚平面□□□、□、,
所以平面4a1平面。,
過點口族口口工口口于氤口,則口1口1平面□□□、口、,
所以&口=》
在三棱柱口通口]中,四邊形???&為平行四邊形,
所以4口1口口=/,因為口口=口、口,
所以N4□□=4口口、口二?,所以&&=1,所以&£7=V2,
又因為£70=V2,所以00=1一
因為&£71平面DO。,
所以£7_林群"CCC7=!X!X00x00x0^=Jxlx2x1x1=1,
二俊誰5-LJUU3N
因為4棱錐ai-qZTlOH4棱錐么-£7Z7£7,所以?臃4-5。1£7=于
【變式2-2】1.(2023?全國?高一專題練習)如圖,在三棱柱£700-44&中,△002為邊長為2的
正三角形,2為。O的中點,□口、=2,且N4□□=60°,平面。4口口母面□□□.
G紇
A
Q)證明:口1口工□□:
(2)求三棱錐&-的體積.
【答案】Q)證明見解析
(2)1
【分析】(1)在△a。。中,利用余弦定理可求得ad2,根據(jù)勾股定理可證得&O_L□口,由面面垂
直和線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論;
(2)由面面平行性質(zhì)可知點31!平面Di&a的距離即為點31)平面的距離,利用體積橋
,結(jié)合棱錐體積公式可求得結(jié)果?
【詳解】(1)???孕。B點,□口=2,:.口口=1,又□□]==2/口、□□=60°,
:.廳=口守+ZZZZZ^—2LJLJ-cosz口□口=3,L?+口已=口子,口、□!□口,
又平面□1平面□□□,平面UyUn平面□□口=□□,□、口u平面□、U,
??□_L平■圓□口□,又ZZ7Z^7u平面/Z7ZZ7ZZ7,□J.□
(2)由三棱柱結(jié)構(gòu)特征可知:平面□□□“平面口通口1,
.?點平面心口、4的距離即為點史(?平面&&&的距離&。=vs,
又□、口、=口?□□口=^x2x2xy=V3,
□□、-□□、口、=□□-口、口、口、=g口4口、口、-□、□=三xWx聰=1.
【變式2-2]2.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學統(tǒng)考二模)如圖,直四棱柱。。。口一口、口]口【□】
的底面是菱形,〃&=8,0口=4,乙口□口=60°,U,口,口分別是〃口口[可中點.
⑴證明:O。/平面口£7。;
(2)求三棱錐。一體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)873
【分析】(1)結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得四邊形口OOO為平行四邊形,根據(jù)線面平行的判定可證得結(jié)
論;
(2)結(jié)合平行關系和體積橋可知所求為口小&口〃,由線面垂直的判定可證得£7孕三棱錐口-口。,的
高,結(jié)合棱錐體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】(1)連接。口4。,
???口,儂別為口出點,二口E&□[OZJS)中位線,:.□□舊、是口口=;口、口,
又以口3點,口,□]□=□□Ud口,□□=三口、口,
口口1口口,OZ7=S,???四邊形8022%平行四邊形,
□□/口□,又Z7£7c平面&Z7Z7,0/7u平面口口。/平面。10〃
(2)由(1)得:口口呼面口1口口,?1■,
□□□□□、口、一工口口口一口4口、口、口一口4口口、口=32-4-8-8=12;
???四邊形口□口□為菱形”□□口=60°,磔。中)中點,:.□□】□□,
???\□□「□□□□□、=£7,口5u平面。0。1口,
???□□母面□□□】口、,則。乃三棱錐。一高,
"□口=V42-22=2V3,■<.□□=%□△口、aa,□口=gx12x2V3=8V3,
???三棱錐。-40療勺體積為8g.
【變式2-2]3.(2023?河南統(tǒng)考模擬預測)如圖,□□□□-口口[d4是棱長為2的正方體,E是&&
的中點.
⑴證明:□□工□□:
(2)求三棱錐口-4口。的體積.
【答案】(1)見解析
【分析】(1)利用正方形性質(zhì)和線面垂直的判定得00,1口口,再利用線面垂直的判定即
可;
(2)設。£7與DO交于點心連接&D.首先證明口£7〃平面口4口,再利用頂點轉(zhuǎn)化法即可求出三棱錐
體積.
【詳解】(1)因為四邊形是正方形,所以口□.
在正方悻□□□□-ad口&中,,平面oooa
又□□U平面口□□口,麗以口口11口□.
又/Z7/Z?in□□=□>□u平面£7/Z7[□]口,□□u平■面□□、□‘
所以£701平面£74□、口又口口u平面£7a□【口
所以。OJ.
(2)設。口與口。交于點a連接&口,
在TF方體□□□□—□]□、□、□]中,口1□、且□□=口[ZZ7),
又aa分別是a&,口蜜勺中點,
:.口口I□]□,□口=□、口,
???四邊形4口。。是平行四邊形,□□”□、口,
又ULJ仁平面口□、□,口、口u平面a
平面Z7Z7Q
文正方體□□□□-□、□、&的棱長為2,
□□-口、□□=□□-□□]□=□□-□□、口=□□「□□□=弓xx=-x2x-x2x2=-
?類型3比例法
【例題2-3](2023春河南周口?高三??茧A段練習)在直三棱柱OS-□、□[口曲,乙□□□=90°,
口口=□口=2,□□]=2V3,D在線段□□上,且&D.□口=3:1.
(1)求證:&ZZ71平面Z7OZZ7;
(2)求四棱錐口-。口&&的體積.
【答案】Q)證明見解析
(2)等
【分析】(1)由線面垂直和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明;
11
=X
(2)由□□:口口=3;'知□□一□□□、□、=%□□「□□□Ri4-3-□□□□、口、,,求出□□□□、人,代入
即可得出答案.
【詳解】(1)證明:在RtAan[J^,由=2V3,口口=2,得&。=4.
又0□:□□=3:1,£7=3,□口=1.
易證△□、□□一△□,□□,.二乙□[□□=4口、□口=90°,即&ZZ7_L□□,
又平面平面,平面0。。0平面/7。。14=IJU,
【□□I:.ACl平面□□□]□],而u^^UUUi,
由4/71□□,工□□,O£7n□口=口,0az7Z7u平面ACD,知平面ACD.
_111riri
(2)由口1□:□口=3c知□□-口口口、口[=-□口、-口口口、口、=jx3口口口口1口、,-<
而□□□□、□、=2&x2V3=4V6,號=V2
:?□□-□□□、口、=\x4V6xV2=誓
【變式2-3]1.(2023春?湖南長沙?高一長郡中學??茧A段練習)如圖,直三根注口□□-□□口曲,
(1)當P為線段O4上的中點時,求三棱錐。-體積;
(2)當P在線段£7。上移動時,求□□+勺最小值.
【答案】(釁
⑵遍.
【分析】(1)由余弦定理求出口□=V3,即可求出8的面積,再由等體積法求解即可;
(2)根據(jù)平面展開圖可確定。O+最小值即Z7O長,由三角形余弦定理求解即可.
【詳解】(1)由已知可得sinN£7OO=9,
由余弦定理有2=1+口己-2口口3$乙□□口,得到OO=V3.
在4口□”,有口皿口=;?□□?DD-□□口=;X禽x1x曰=寺,
=2=2X3口4□口口X1=gXy=
(2)將4口□□[維口口梅凌到與△ooa同一平面(如圖所示),
連接。依ZZ7Z7于點4,此時OD+口。取得最小值,最小值即OO長.
在^□□□、中,□□[=V2,□口=V2,=2,
板口目+O[3=口民,取□□L‘吹口口口=90°,
又易知=450,故乙□□□=135°,
由余弦定理得D廳=1+2-2xV2x1xcos135°=5,所以0/7=V5,
(或者在△口口、中由勾股定理得V5)
故OZ7+勺最小值為傷.
【變式2-3]2(2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預測即圖,在三棱錐。-ULJLJ^側(cè)面口口底面口口。,
乙口□口=乙□□口=150°,□口=□□=4,口口=4V3,□、啰別是£70、。牛中點.
(1)求證:□□工□□;
(2)求四棱錐。-勺體積.
【答案】Q)證明見解析
(2)273
【分析】C)在平面□□□內(nèi)作□□上直線口仃于口、連接叨,根據(jù)三角形全等得到口口,即可
得到SJ■平面SO,即可得到S1口口,都雕即可得證;
(2)由(1)及題意可得。Z7_L底面,再由□□一□□口=□□-□□□=
□□-□□□=J□□-□□口=J□□-□□□、□□-□□□□=□□-□□□+?!?-£7£7£7及錐體的體積公式計算可得?
【詳解】(1)在平面OOO內(nèi)作口O1直線?!?于口連接。。,
“□□□=4□□□=150°,□□=□□=4,
:./□□□=z□□□=30°,
在△口口口與&DDD^,上□□口=乙□□□,□口=□□、□□=,
□□□與&S醒等,
:.乙□□□=4□□口=90°,即ZZ7ZZ7±口口,即£7£71口□,
1□□,□□1口口,口口門口口=口,口口,□□<^3^口口口,
二£7/271平面£700,又平面??谌?:.□□工口□,
■:a儂別是00、口徜中點,得
(2)由(1)和題意知,側(cè)面Z7OZZ71底面?!?0,側(cè)面ZZZDOn底面\u
平面□□□,
所以ZJZZ71底面ZZ7/Z7Z7,且□□二4sin30°=2,
???%。中)中點,得口口=DH,又乙口□□與乙口口匚取卜,
???△£70木面積與40OBJ面積相等,
:=□□-□□□=\口口-口口曲<
又???〃是口中]中點,得。點到平面OOO0勺距離與。點到平面002勺距離相等,
11
=2□□-□□□=4□□-□□絕?
由①②得□口_□□□□=+
=I□□一□□□=?xgxgx4V3x4xsin150°x2=2V3,
二四棱錐O-4勺體積為2g.
【變式2-3】3.(2023甘肅統(tǒng)考一模)如圖甲所示的正方形£7。'Z7’i4中,口□「12,00=口口=
3,口口=口]口、=4,對角線DO;分別交□□[于氤口,D,將正方形0方。;口沿口口1,口口1折疊
使得口4與O'。;重合,構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱Z7Z7O-.點、口^棱□□上,且□□=與
⑴證明:口□II平面Z7DO;
(2)求三棱錐口-D口量勺體積.
【答案】(1)證明見解析
⑵6
【分析】(1)過。作。。II口□,超差口口,.證明四邊形???。。為平行四邊形,根據(jù)線面平行的
判定定理即可證明結(jié)論;
(2)根據(jù)三棱錐的等體積法,將三棱錐O-勺體積轉(zhuǎn)化為求0-勺體積,結(jié)合二者之間的
數(shù)量關系,可得答案,
【詳解】(1)證明:在圖乙中,過Of乍口。II□□,交口方口,連接£7。,口口,
由于口£7II□□,則ZZ7OII□口,所以a口,D,儂面,
且平面□□□□c平面□□□=口□,
因為ZZ7ZZ7=3,□口=4,所以ZZ7Z7=口口—-口□=12—3—4=5,
?,TT
又在正方形£714中,N□□□=
所以OZZ7=ZZ7ZZ7=3,??.口口—7,:?tan4□□口=:,
5
由口口=洋,得口口=m*=3=□口,
所以四邊形??诳?,為平行四邊形,則DDII,
又口Uu平面□□□.□□色礴□□□,所以口□||平面£702.
(2)由(1)知\口|^=口^+ZZ7爐,所以ZZ7Z71,
因為口口=5,口口=岸,段□□日□□,
/—?3,3r—r3,3(—1
所以□□一□□□=-□□一□□口=-□□一□□口=y□□-□□□=7□□-□□□
311
=-x-x-x3ox4x7=6.
732
【變式2-3]4.(2023?山西統(tǒng)考模擬預測)如圖①,在矩形。中,□口=2口口=242,皿□口
的中點,如圖②,沿口。將△。口。折起,點。在線段口。上.
①
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