2020-2021學(xué)年新教材人教A版必修第二冊 861 直線與直線垂直作業(yè)

2020-2021學(xué)年新教材人教A版必修第二冊8.6.1直線與直線

垂直作業(yè)

一'選擇題

1、對于平面。和共面的直線必，"，下列命題是真命題的是（）

A.若〃?，〃與。所成的角相等，則加〃〃

B.若〃z//a,〃//a,則加〃〃

C.若m_La,則〃//a

D.若，nua,〃//a,貝（]"/〃〃

2、已知三棱錐產(chǎn)一45c中，PAJ_平面ABC,8CL平面若AB=BC=1,

PA=2則此三棱錐的外接球的表面積為（）

8萬

A.247rB.8乃C.6兀D.3

3、如圖1,已知E、尸分別是正方形A8CO的邊和CO的中點，分別沿AE、

EF、Ab將人鉆石、AECF、VAF。折起，使3、C、。三點重合于P點，如

圖2所示.設(shè)異面直線AP與所成的角為a,二面角E-A-EF-P

的大小分別為尸、7則下列說法正確的是（）

Ay<P<aB0<y<aQy</3=aDy-/3<a

J_]_

4、在正方體ABCD-ABCD中，點M、N分別在岫、BG上，且AM=§ABi,BN=§BG,

則下列結(jié)論：①AA」MN；②AC〃MN；③MN〃平面ABCD；④BDJ_MN,其中，

正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

5、如圖，已知P是矩形ABC。所在平面外一點，PA_L平面ABC。，E、F分別是

AB,PC的中點.若/也從=45。，則EE與平面A3。所成角的大小是（）

A.90。B.60。c.45。D.30°

ZABC=—

6、已知三棱錐P—ABC中，PA_L平面ABC,3,抬=4,若三棱錐

o一"0外接球的表面積為327，則直線PC與平面ABC所成角的正弦值為（）

幣762772

A.7B.6c.7D.7

7、設(shè)a、4是兩個不同的平面，加、〃是兩條不同的直線，有下列命題：

①如果〃〃//〃，那么

②如果〃z_La,n//a,那么〃?_!_〃；

③如果a//月，mua,那么機///?；

④如果平面a內(nèi)有不共線的三點到平面￡的距離相等，那么a"'；

其中正確的命題是（）

A.①@B.②③C.②④D.②③④

8、如圖，在正方體中，M,N分別是BG,CQ的中點，則下

列說法錯誤的是（）

A.MN與AG垂直B.MN與平面AC￡4垂直

C.MN與平面。出。平行口.MN與平面A8。平行

9、如圖，在長方體-A與GA中，44=244=24。］,A,B,c分

別是44,B%CC的中點，記直線4c與9所成的角為a,平面48c3

與平面ABC'D'所成二面角為尸，則（）

Acosa=cos/?Bsina=sin4

Ccosa>cos口sina<sin尸

BA=BC=AC=3

10、在四棱錐產(chǎn)一MC。中，PA,平面ABC,AABC中，2,

PA=2,則三棱錐尸-48c的外接球的表面積為（）

A.12夜4B.22乃c.12乃D.20萬

n、已知加，〃為兩條不同的直線，名,為兩個不同的平面，則下列四個命題中正

確的是（）

①若mHn,nc.a則加//a；②若加_La,〃//a則/〃j_〃；

③若根//a,"http://a,則〃?〃〃；④若m則a/R

A.①②④B.②③C.①④D.②④

12、如圖，梯形ABCQ中，AB//CD,且AB，平面a,AB=2BC=2CD=4,

點P為a內(nèi)一動點，且以PB=NDPC,則P點的軌跡為（）

A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線

二'填空題

13、若三棱錐尸一ABC的所有頂點都在球0的球面上，平面ABC,

473

AB=AC=2,ZBAC=90\且三棱錐尸一反。的體積為3,則球0的體積

為?

14、在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為

鱉儒.如圖，在鱉膈A8CO中，平面88,其三視圖是三個全等的等腰直角

三角形，則異面直線AC與B。所成的角的余弦值為.

15、如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2,AC=BD=氏，BC=AD=下,

E,尸分別是AB,8的中點.若用一個與直線所垂直的平面去截該三棱錐，

與棱AC,AD,BD,8c分別交于M,N,p,Q四點，則四邊形間不。面

積的最大值為.

16、設(shè)加，〃是兩條不同的直線，a是一個平面，有下列四個命題：

①若m±nfmua,貝g〃_Le；②若m±afnl/mt貝ij〃_La；

③若〃//a,mua,貝（］〃//根；④若〃?//2,nllaf則m-L”；

其中真命題是.（寫出所有真命題的序號）

三、解答題

17、（本小題滿分10分）如圖所示，在正方體中，M,N分別是

棱小^和A8上的點，若“MN是直角,則NGMN=.

18、（本小題滿分12分）如圖，已知三棱錐P-A6C中，平面PAC,平面ABC,

AB=AC^BC^PA=2NPAC=120°.PM=3MC

（1）證明：BM±PC.

（2）求直線AB和平面P8C所成角的正弦值.

19、（本小題滿分12分）在四棱錐P-MC。中，底面A6CO為正方形，PAL面

ABCD,幺=鉆=4,E,F,H分別是棱PB,水"。的中點，過瓦E"的平面交棱

CO于點G,則四邊形EPG”面積為

參考答案

1、答案D

解析利用直線和平面平行、垂直的判定和性質(zhì)，判斷命題A、B、C都不正確，只有D正

確，從而得到結(jié)論.

詳解：由于平面a和共面的直線加，〃，

若加，〃與a所成的角相等，則直線加，〃平行或相交，故A不正確.

若加//a,nlla,則，則共面直線加，〃平行或相交，故B不正確.

若m'a,mLn,則及與平面a平行或〃在平面a內(nèi)，故c不正確.

若"a,n//a,根據(jù)直線加，及是共面的直線，則一定有機〃〃，故D正確，

故選:D.

點睛

本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的判定，命題的真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

2、答案C

解析將三棱錐補成一個長方體，由已知可知長寬高為2，1』，則該三棱錐外接球的直徑

為長方體的體對角線，求出直徑，再由球的面積公式計算即得.

詳解：由題，可將三棱錐尸一.。補成一個長方體，那么三棱錐外接球的直徑為長方

體的體對角線，即直徑為℃=JF+22+F=R,則外接球的表面積

[7

S=4]（二一）2=6兀

故選：c

點睛

本題考查求三棱錐外接球的表面積，屬于中檔題.

3、答案C

解析根據(jù)翻折的性質(zhì)將所求的空間角轉(zhuǎn)化為平面角，比較這三個角的大小即可.

詳解：由翻折的性質(zhì)易知，APLPE,APLPF,故AP_L平面PEF,所以APLEF,

即c=90,

由APLPE,40_1依可知二面角七一42一斤的平面角為/夕戶，易知△￡/￥'為等

腰直角三角形，且NEPF=90°.

取瓦'的中點M,連接PM、AM,如圖.易知二直角A—尸一所-P的平面角為

NPMA,顯然ZPM4為銳角，故/

故選：c.

點睛

本題主要考查異面直線所成的角、二面角，考查考生的空間想象能力，屬于中等題.

4、答案B

解析此題借助于空間向量的知識來解，首先建立以D為原點的坐標系，設(shè)邊長為1,寫

出相關(guān)點坐標，找到直線的方向向量，平面的法向量而后進行數(shù)據(jù)計算證明

考點：空間線面的垂直平行關(guān)系的證明

5、答案C

解析取產(chǎn)。中點G,證明四邊形用'G是平行四邊形，則Eb與平面ABCD所成角就是

AG與平面ABCD所成的角，在必△HM中易求.

詳解：解：

取中點G,連接AG、FG.

分別為A3、尸。的中點，

AE=-AB…~GF=、DC

：.2,GF//DC豈2,

又在矩形ABC。中AB//CD且AB=CO,

二AEIIGFRAE=GF,

???四邊形但G是平行四邊形，

?-A?G//EF，

...AG與平面ABC。所成的角等于EF與平面所成的角，

?;PAJ?平面ABC。，A￡)u平面ABC。，PA1AD

過G作垂足為H,G〃u平面ABC。，則GH//Q4,

.?.G〃_L平面ABC。，

.?.NGA”為AG與平面A8C￡＞所成的角，即為所求角，

???NPD4=45。，G為尸。的中點，

???ZGAH=45°，

即Eb與平面ABCD所成的角為45。.

故選：c.

點睛

考查線面角的求法，通過平移直線轉(zhuǎn)化成易求的線面角，基礎(chǔ)題.

6、答案C

解析設(shè)為八鉆c的外心,0為三棱錐P-ABC外接球的球心，利用三棱錐P-ABC外

接球的表面積為32萬，求得AABC外接圓的半徑為'=A&=2,找出直線pc與平面ABC

所成角為NP6,從而求得其正弦值。

詳解

如圖所示，設(shè)&為43c的外心，0為三棱錐P-MC外接球的球心，

由PA_L平面ABC,平面ABC,知PA"。%

取PA的中點D,由三棱錐P-ABC外接球的表面積為32萬，

得OP=OA=2知四邊形DA°Q為矩形，

又PA=4,所以加二日0二？，

外接圓的半徑為「==J(2后-2?=2,

2r=AC

在AABC中，由rsinZABC,得AC=2x2xsinl20°=26,PC=25，

由PAJ?平面ABC,所以NPC4是直線PC與平面ABC所成的角,

PA277

ZPCA

sin~PC~^T

故選：C.

點睛

本題考查三棱錐的外接球、線面角的正弦值，考查空間想象能力和運算求解能力，求解

的關(guān)鍵是先找到外接球的球心，再根據(jù)外接球的體積求出球的半徑和底面外接圓的半

徑。

7、答案B

解析根據(jù)線面垂直與線面平行的性質(zhì)可判斷①；由直線與平面垂直的性質(zhì)可判斷②；由

直線與平面平行的性質(zhì)可判斷③;根據(jù)平面與平面平行或相交的性質(zhì)，可判斷④.

詳解

對于①如果尸，根據(jù)線面垂直與線面平行性質(zhì)可知a，力或a//￡

或ac尸，所以①錯誤

對于②如果mla,n//a,根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)可知加,〃，所以②正確；

對于③如果c"B,mua,根據(jù)直線與平面平行的判定可知加//〃，所以③正確；

對于④如果平面a內(nèi)有不共線的三點到平面夕的距離相等，當兩個平面相交時，若三個

點分布在平面尸的兩側(cè),也可以滿足條件,所以a，錯誤,所以④錯誤；

綜上可知，正確的為②③

故選:B

點睛

本題考查了直線與平面平行、直線與平面垂直的性質(zhì)，平面與平面平行的性質(zhì)，屬于中檔

題.

8、答案C

解析對于選項A、B、D,利用線線垂直的判定定理及線面垂直的判定定理、線面平行的

判定定理證明即可，對于選項C,由及BGu平面GB0,即可判斷c選項錯

誤.

詳解：對于選項A,連接四0,由三角形中位線知識即可證得"N〃耳4,

由選項B可得42,平面ACG4,所以MN與AG垂直

對于選項B,由三角形中位線知識即可證得MN"B\D\,

正方體中，易得B'D',4G及明,平面4百噌，

所以，BQ、,又B}D}J.AG

所以BQ_L平面ACCA,所以MN與平面ACGA垂直

對于選項C,因為MeBG,BGu平面￡8°,所以MN與平面至少有一個公

共點M,MN與平面CiBD不可能平行.

對于選項D,由B選項的證明可得""/BQ,又BDIIB、D\

所以MN//BD,又MV(Z平面4"。

所以MN與平面A8°平行

故選：C

點睛

本題主要考查了點、線、面關(guān)系的判斷及線線垂直、線面垂直、線面平行的證明，還考

查了推理論證能力，屬于中檔題.

9、答案B

解析根據(jù)異面直線所成角定義可知即為a,由正三角形知a=60。，可證”反，

8c分別為平面和平面A8G4的垂線，視作平面法向量，利用其夾角可得二

面角,，即可求解.

詳解:連接4綜即\如圖,

在長方體內(nèi)知做“。2。，

所以N4A"為異面直線02c與AR所成的角為a,

易知AA4"為等邊三角形，

所以a=60",

因為A2。2，平面^BB2A2AB2U平面ABB2A2,

所以402，4鳥

乂AB2_LA2BA)D91A-,B=A、

所以叫J■平面4BC%

同理可得'平面ABCIA,

—>-?

則被，BC可分別視為平面A2BC%平面ABCQ的一個法向量，

又因為在長方體內(nèi)易知4°2//用,,而皿4為=60。

-?->

故4員與qC的夾角為60、

所以夕=60或夕=120。，

即sina=sin月

故選：B

點睛

求解二面角的常見方法有定義法、垂面法、投影面積法、空間向量法等，其中空間向量

法是利用二面角與兩平面法向量夾角的關(guān)系，通過求向量夾角來達到求二面角的目的.

10、答案B

解析由題意，求人。長，即可求小旬。外接圓半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，

即可求出三棱錐P—ABC的外接球的表面積.

詳解

BA=BC=—AC,廠

由題意MBC中，2,BA2+BC2=AC2,AC=3V2

則AABC是等腰直角三角形，/%_1平面460可得/%,4。，PA1BC,

BCL平面PAB,BC1PB,則PC的中點為球心

30

設(shè)AABC外接圓半徑為r,則2r=4C=3近，-2

設(shè)球心到平面ABC的距離為d,則PA=2d

：d=l,由勾股定理得收=戶+/，一2

則三棱錐尸一ABC的外接球的表面積S=4女=22乃

故選：B

點睛

本題考查三棱錐外接球表面積的求法，利用球的對稱性確定球心到平面的距離，培養(yǎng)空

間感知能力，中等題型.

11、答案D

解析根據(jù)選項利用判定定理、性質(zhì)定理以及定義、舉例逐項分析.

詳解

①當相，”都在平面a內(nèi)時，顯然不成立，故錯誤；②因為則過"的平面與平面

a的交線必然與〃平行；又因為"'a,所以m垂直于平面a內(nèi)的所有直線，所以加工

交線，又因為〃//交線，則加上〃，故正確；③正方體上底面的兩條對角線平行于下底

面，但是兩條對角線不平行，故錯誤；④因為垂直于同一平面的兩條直線互相平行，故

正確；

故選：D.

點睛

本題考查判斷立體幾何中的符號語言表述的命題的真假，難度一般.處理立體幾何中符

號語言問題，一般可采用以下方法：（1）根據(jù)判定、性質(zhì)定理分析；（2）根據(jù)定義分析;

（3）舉例說明或者作圖說明.

12、答案B

解析：VABIICD,且AB,平面a...CD，平面a,且ABLBPCD±CP,：NAPB=NDPC

AAAPB^ADPC,APB：PC=AB：CD,VAB=2CD,APB：PC=2,V2BC=4,，BC=2,；.B、

C是定點

，p點的軌跡是圓

考點：動點軌跡

13、答案處叵乃

3

解析根據(jù)幾何體特征補圖成長方體，長方體的體對角線就是該錐體外接球的直徑，即可

求得體積.

詳解

4月

尸A,平面ABC,AB=AC=2,ZBAC=90,且三棱錐尸一ABC的體積為3,

-x-x2x2xPA=^^

即323,解得"=2有，

由題可得PAAB,AC兩兩互相垂直，

對幾何體補圖成如圖所示的長方體，不共面的四點確定一個球，

所以長方體與三棱錐有同一個外接球，球的直徑為長方體體對角線長,

即y/p^+AB2+AC2=J12+4+4=,

所以外接球半徑為后,

20A/5

V----------71

體積

2075

----------71

故答案為：3

點睛

此題考查求三棱錐外接球的體積，關(guān)鍵在于準確求出外接球的半徑，解決此類問題，多

做積累，特殊幾何體常見的處理辦法.

14、答案立

3

解析取BC,CD,BD,A￡＞的中點"，N,Q,P,連接MN,PM,PN,PQ,MQ,根據(jù)

三視圖可設(shè)A8=8O=CD=a,在APMN中，利用余弦定理即可求解.

詳解：取BC,CD,BD,AD的中點

連接MN,PM,PN,PQ,MQ,

則MN//BD,PN//AC,

即異面直線AC與6。所成的角為NPNM,

根據(jù)題意，由三視圖可知A6=80=8,

設(shè)AB=BD=CD=ci,AC==\[3ci

MN=MQ=PQ=qPN=-

則2,2

PM=

且

在APMN中，由余弦定理可得

3a2a2a1

222

,八5，PN+MN-PMX1ZZT=^I

cosZPNM=-----------------------

2PN-MNa3

2.?----?—

22

G

故答案為：3

點睛

本題考查了求異面直線所成的角、余弦定理，屬于中檔題.

15、答案也

2

解析把三棱錐4一BCD放置在長方體中，由已知可得四邊形MNPQ為平行四邊形，再由

平行線截線段成比例，可得IPM+IPQ曰AB|=2,求出pN與pQ所成角，代入三角形

面積公式，再由基本不等式求最值.

詳解：把三棱錐A-8CO放置在長方體中，如圖，

QE，F(xiàn)分別是AB,8的中點，且平面MNPQ±EF,

可知MN〃PQ,PN〃QM,則四邊形MNPQ為平行四邊形，

再由平行線截線段成比例知，

UVP|=|P￡|\PQ\_\BP\

\AB\~\BD\'\CD\~\BD\且|A§h|CO|

|NP|JPQ|=|PN|+|PQ|=|PO|+|BP|=]

所以兩ICDI--寇———\BD\

可得|PN|+|PQ|=|A5|=2,

因為長方體側(cè)面DC的長寬分別為百」，

所以長方形對角線長為2,

由正三角形可知側(cè)面兩條對角線所成銳角為60°,

乂PQ//C2PN//A8

則NNPQ=60',

.cG1PNI+IPQlY_6

當且僅當?PN1=1尸0=1時等號成立，

...四邊形MNPQ面積的最大值為2.

V3

故答案為：2

點睛

本題主要考查了空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的應(yīng)用，考查“分割補形法，

利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

16、答案②；

解析對①，〃不一定垂直a；對②，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)；對③，直線”，機可能異面；

對④，"，加可能平行.

詳解：如圖所示：正方體-44CQ中，

對①，取直線〃為44,直線，"為CO,平面。為面顯然〃_La不成立，故

①錯誤；

對②，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，故②正確；

對③，直線上加可能異面，故③錯誤；

對④，取直線小機分別為直線4片、GA,a為平面A3CD,顯然〃，“平行，故④錯

誤；

故答案為：②.

點睛

本題考查空間中線、面位置關(guān)系，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

17、答案90。

解析因為正方體ABCD-ABCD中,M、N分別是棱方1和AB上的點,若NBiMN是直角,

所以MN_LMBi,因為BC是棱，所以MN_LBC,所以MN_L平面MBC,

所以/GMN=90°

故答案為90°

18、答案（1）證明見解析；（2）叵.

13

（2）過點E作硝垂足為點H，推導(dǎo)出?平面PBC,計算出E”，可得出

點A到平面PBC的距離為2EH，由此可計算出直線AB和平面PBC所成角的正弦值

2FH

為——，進而得解.

AB

詳解：（1）取AC的中點E,PC的中點產(chǎn)，連AP、ME、BE.

-.PA=AC,/為PC的中點，APC,

^■.PM=3MC,.?.河為。尸的中點，；.加￡〃4尸，；.人e_12。，

又?；AB=BC,E為BC的中點，.?.3EJ.AC,

又?.?平面Q4C_L平面A8C,交線為AC,3石匚平面4?。，，5石，平面24。，

PCu平面PAC,..BE_LPC,