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湖北省荊門市沙洋縣2023-2024學(xué)年中考數(shù)學(xué)最后一模試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.如圖,點(diǎn)O′在第一象限,⊙O′與x軸相切于H點(diǎn),與y軸相交于A(0,2),B(0,8),則點(diǎn)O′的坐標(biāo)是()A.(6,4) B.(4,6) C.(5,4) D.(4,5)2.在娛樂(lè)節(jié)目“墻來(lái)了!”中,參賽選手背靠水池,迎面沖來(lái)一堵泡沫墻,墻上有人物造型的空洞.選手需要按墻上的造型擺出相同的姿勢(shì),才能穿墻而過(guò),否則會(huì)被墻推入水池.類似地,有一塊幾何體恰好能以右圖中兩個(gè)不同形狀的“姿勢(shì)”分別穿過(guò)這兩個(gè)空洞,則該幾何體為()A. B. C. D.3.如圖,等腰直角三角形位于第一象限,,直角頂點(diǎn)在直線上,其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,且兩條直角邊,分別平行于軸、軸,若反比例函數(shù)的圖象與有交點(diǎn),則的取值范圍是().A. B. C. D.4.一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情況是()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D.無(wú)法判斷5.下列計(jì)算正確的是()A.x2+x2=x4 B.x8÷x2=x4 C.x2?x3=x6 D.(-x)2-x2=06.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,則圖中相似三角形共有()A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)7.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=1.點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB,垂足為P,交邊AC(或邊CB)于點(diǎn)Q,設(shè)AP=x,△APQ的面積為y,則y與x之間的函數(shù)圖象大致為()A.B.C.D.8.下列調(diào)查中,最適合采用全面調(diào)查(普查)方式的是()A.對(duì)重慶市初中學(xué)生每天閱讀時(shí)間的調(diào)查B.對(duì)端午節(jié)期間市場(chǎng)上粽子質(zhì)量情況的調(diào)查C.對(duì)某批次手機(jī)的防水功能的調(diào)查D.對(duì)某校九年級(jí)3班學(xué)生肺活量情況的調(diào)查9.2014年底,國(guó)務(wù)院召開了全國(guó)青少年校園足球工作會(huì)議,明確由教育部正式牽頭負(fù)責(zé)校園足球工作.2018年2月1日,教育部第三場(chǎng)新春系列發(fā)布會(huì)上,王登峰司長(zhǎng)總結(jié)前三年的工作時(shí)提到:校園足球場(chǎng)地,目前全國(guó)校園里面有5萬(wàn)多塊,到2020年要達(dá)到85000塊.其中85000用科學(xué)記數(shù)法可表示為()A.0.85105 B.8.5104 C.8510-3 D.8.510-410.如圖,在中,點(diǎn)D、E、F分別在邊、、上,且,.下列四種說(shuō)法:①四邊形是平行四邊形;②如果,那么四邊形是矩形;③如果平分,那么四邊形是菱形;④如果且,那么四邊形是菱形.其中,正確的有()個(gè)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.如圖,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=4,點(diǎn)P是半圓弧AC的中點(diǎn),連接BP,線段即把圖形APCB(指半圓和三角形ABC組成的圖形)分成兩部分,則這兩部分面積之差的絕對(duì)值是_____.12.如圖1,AB是半圓O的直徑,正方形OPNM的對(duì)角線ON與AB垂直且相等,Q是OP的中點(diǎn).一只機(jī)器甲蟲從點(diǎn)A出發(fā)勻速爬行,它先沿直徑爬到點(diǎn)B,再沿半圓爬回到點(diǎn)A,一臺(tái)微型記錄儀記錄了甲蟲的爬行過(guò)程.設(shè)甲蟲爬行的時(shí)間為t,甲蟲與微型記錄儀之間的距離為y,表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示,那么微型記錄儀可能位于圖1中的()A.點(diǎn)MB.點(diǎn)NC.點(diǎn)PD.點(diǎn)Q13.在Rt△ABC中,∠A是直角,AB=2,AC=3,則BC的長(zhǎng)為_____.14.因式分解:a2b-4ab+4b=______.15.分解因式:__________.16.如圖,二次函數(shù)y=a(x﹣2)2+k(a>0)的圖象過(guò)原點(diǎn),與x軸正半軸交于點(diǎn)A,矩形OABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣2),點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn),連結(jié)PB、PC.則△PBC的面積為_____.17.如圖,在⊙O中,直徑AB⊥弦CD,∠A=28°,則∠D=_______.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)已知二次函數(shù)y=mx2﹣2mx+n的圖象經(jīng)過(guò)(0,﹣3).(1)n=_____________;(2)若二次函數(shù)y=mx2﹣2mx+n的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),求m值;(3)若二次函數(shù)y=mx2﹣2mx+n的圖象與平行于x軸的直線y=5的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為;(4)如圖,二次函數(shù)y=mx2﹣2mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),連接AC,點(diǎn)P是拋物線位于線段AC下方圖象上的任意一點(diǎn),求△PAC面積的最大值.19.(5分)已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CP切⊙O于P,弦PD⊥AB于E,過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥CP于Q,交⊙O于H,(1)如圖1,求證:PQ=PE;(2)如圖2,G是圓上一點(diǎn),∠GAB=30°,連接AG交PD于F,連接BF,若tan∠BFE=3,求∠C的度數(shù);(3)如圖3,在(2)的條件下,PD=6,連接QC交BC于點(diǎn)M,求QM的長(zhǎng).20.(8分)如圖1,將長(zhǎng)為10的線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到OB,點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為,P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn),Q是上的一動(dòng)點(diǎn),連接PQ.(1)當(dāng)∠POQ=時(shí),PQ有最大值,最大值為;(2)如圖2,若P是OB中點(diǎn),且QP⊥OB于點(diǎn)P,求的長(zhǎng);(3)如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在OA的延長(zhǎng)線上,求陰影部分面積.21.(10分)解方程組22.(10分)直角三角形ABC中,,D是斜邊BC上一點(diǎn),且,過(guò)點(diǎn)C作,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:;若,,過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G,連接依題意補(bǔ)全圖形,并求四邊形ABGD的面積.23.(12分)如圖,某校準(zhǔn)備給長(zhǎng)12米,寬8米的矩形室內(nèi)場(chǎng)地進(jìn)行地面裝飾,現(xiàn)將其劃分為區(qū)域Ⅰ(菱形),區(qū)域Ⅱ(4個(gè)全等的直角三角形),剩余空白部分記為區(qū)域Ⅲ;點(diǎn)為矩形和菱形的對(duì)稱中心,,,,為了美觀,要求區(qū)域Ⅱ的面積不超過(guò)矩形面積的,若設(shè)米.甲乙丙單價(jià)(元/米2)(1)當(dāng)時(shí),求區(qū)域Ⅱ的面積.計(jì)劃在區(qū)域Ⅰ,Ⅱ分別鋪設(shè)甲,乙兩款不同的深色瓷磚,區(qū)域Ⅲ鋪設(shè)丙款白色瓷磚,①在相同光照條件下,當(dāng)場(chǎng)地內(nèi)白色區(qū)域的面積越大,室內(nèi)光線亮度越好.當(dāng)為多少時(shí),室內(nèi)光線亮度最好,并求此時(shí)白色區(qū)域的面積.②三種瓷磚的單價(jià)列表如下,均為正整數(shù),若當(dāng)米時(shí),購(gòu)買三款瓷磚的總費(fèi)用最少,且最少費(fèi)用為7200元,此時(shí)__________,__________.24.(14分)某中學(xué)為開拓學(xué)生視野,開展“課外讀書周”活動(dòng),活動(dòng)后期隨機(jī)調(diào)查了九年級(jí)部分學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間,并將結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的信息回答下列問(wèn)題:(1)本次調(diào)查的學(xué)生總數(shù)為_____人,被調(diào)查學(xué)生的課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)是_____小時(shí),眾數(shù)是_____小時(shí);并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,課外閱讀時(shí)間為5小時(shí)的扇形的圓心角度數(shù)是_____;(3)若全校九年級(jí)共有學(xué)生800人,估計(jì)九年級(jí)一周課外閱讀時(shí)間為6小時(shí)的學(xué)生有多少人?
參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、D【解析】
過(guò)O'作O'C⊥AB于點(diǎn)C,過(guò)O'作O'D⊥x軸于點(diǎn)D,由切線的性質(zhì)可求得O'D的長(zhǎng),則可得O'B的長(zhǎng),由垂徑定理可求得CB的長(zhǎng),在Rt△O'BC中,由勾股定理可求得O'C的長(zhǎng),從而可求得O'點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】如圖,過(guò)O′作O′C⊥AB于點(diǎn)C,過(guò)O′作O′D⊥x軸于點(diǎn)D,連接O′B,∵O′為圓心,∴AC=BC,∵A(0,2),B(0,8),∴AB=8?2=6,∴AC=BC=3,∴OC=8?3=5,∵⊙O′與x軸相切,∴O′D=O′B=OC=5,在Rt△O′BC中,由勾股定理可得O′C===4,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,5),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)和坐標(biāo)計(jì)算.2、C【解析】試題分析:通過(guò)圖示可知,要想通過(guò)圓,則可以是圓柱、圓錐、球,而能通過(guò)三角形的只能是圓錐,綜合可知只有圓錐符合條件.故選C3、D【解析】設(shè)直線y=x與BC交于E點(diǎn),分別過(guò)A、E兩點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為D、F,則A(1,1),而AB=AC=2,則B(3,1),△ABC為等腰直角三角形,E為BC的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求E點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)雙曲線與△ABC有唯一交點(diǎn)時(shí),這個(gè)交點(diǎn)分別為A、E,由此可求出k的取值范圍.解:∵,..又∵過(guò)點(diǎn),交于點(diǎn),∴,∴,∴.故選D.4、B【解析】
試題解析:在方程4x2﹣2x+=0中,△=(﹣2)2﹣4×4×=0,∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.故選B.考點(diǎn):根的判別式.5、D【解析】試題解析:A原式=2x2,故A不正確;B原式=x6,故B不正確;C原式=x5,故C不正確;D原式=x2-x2=0,故D正確;故選D考點(diǎn):1.同底數(shù)冪的除法;2.合并同類項(xiàng);3.同底數(shù)冪的乘法;4.冪的乘方與積的乘方.6、C【解析】∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ABC∽△ACD,△ACD∽CBD,△ABC∽CBD,所以有三對(duì)相似三角形.故選C.7、D【解析】解:當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí),∵∠A=30°,AP=x,∴PQ=xtan30°=33x,∴y=12×AP×PQ=12×x×33當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí),如下圖所示:∵AP=x,AB=1,∠A=30°,∴BP=1﹣x,∠B=60°,∴PQ=BP?tan60°=3(1﹣x),∴SΔAPQ=12AP?PQ=12點(diǎn)睛:本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象,有一定難度,解題關(guān)鍵是注意點(diǎn)Q在BC上這種情況.8、D【解析】
A、對(duì)重慶市初中學(xué)生每天閱讀時(shí)間的調(diào)查,調(diào)查范圍廣適合抽樣調(diào)查,故A錯(cuò)誤;B、對(duì)端午節(jié)期間市場(chǎng)上粽子質(zhì)量情況的調(diào)查,調(diào)查具有破壞性,適合抽樣調(diào)查,故B錯(cuò)誤;C、對(duì)某批次手機(jī)的防水功能的調(diào)查,調(diào)查具有破壞性,適合抽樣調(diào)查,故C錯(cuò)誤;D、對(duì)某校九年級(jí)3班學(xué)生肺活量情況的調(diào)查,人數(shù)較少,適合普查,故D正確;故選D.9、B【解析】
根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義,科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.在確定n的值時(shí),等于這個(gè)數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.【詳解】解:85000用科學(xué)記數(shù)法可表示為8.5×104,
故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.10、D【解析】
先由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形,根據(jù)DE∥CA,DF∥BA,得出AEDF為平行四邊形,得出①正確;當(dāng)∠BAC=90°,根據(jù)推出的平行四邊形AEDF,利用有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形可得出②正確;若AD平分∠BAC,得到一對(duì)角相等,再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等又得到一對(duì)角相等,等量代換可得∠EAD=∠EDA,利用等角對(duì)等邊可得一組鄰邊相等,根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出③正確;由AB=AC,AD⊥BC,根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD平分∠BAC,同理可得四邊形AEDF是菱形,④正確,進(jìn)而得到正確說(shuō)法的個(gè)數(shù).【詳解】解:∵DE∥CA,DF∥BA,∴四邊形AEDF是平行四邊形,選項(xiàng)①正確;若∠BAC=90°,∴平行四邊形AEDF為矩形,選項(xiàng)②正確;若AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,又DE∥CA,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∴平行四邊形AEDF為菱形,選項(xiàng)③正確;若AB=AC,AD⊥BC,∴AD平分∠BAC,同理可得平行四邊形AEDF為菱形,選項(xiàng)④正確,則其中正確的個(gè)數(shù)有4個(gè).故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的定義,菱形、矩形的判定,涉及的知識(shí)有:平行線的性質(zhì),角平分線的定義,以及等腰三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握平行四邊形、矩形及菱形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、4【解析】
連接把兩部分的面積均可轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積,不難發(fā)現(xiàn)兩部分面積之差的絕對(duì)值即為的面積的2倍.【詳解】解:連接OP、OB,∵圖形BAP的面積=△AOB的面積+△BOP的面積+扇形OAP的面積,圖形BCP的面積=△BOC的面積+扇形OCP的面積?△BOP的面積,又∵點(diǎn)P是半圓弧AC的中點(diǎn),OA=OC,∴扇形OAP的面積=扇形OCP的面積,△AOB的面積=△BOC的面積,∴兩部分面積之差的絕對(duì)值是點(diǎn)睛:考查扇形面積和三角形的面積,把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵.12、D【解析】D.試題分析:應(yīng)用排他法分析求解:若微型記錄儀位于圖1中的點(diǎn)M,AM最小,與圖2不符,可排除A.若微型記錄儀位于圖1中的點(diǎn)N,由于AN=BM,即甲蟲從A到B時(shí)是對(duì)稱的,與圖2不符,可排除B.若微型記錄儀位于圖1中的點(diǎn)P,由于甲蟲從A到OP與圓弧的交點(diǎn)時(shí)甲蟲與微型記錄儀之間的距離y逐漸減??;甲蟲從OP與圓弧的交點(diǎn)到A時(shí)甲蟲與微型記錄儀之間的距離y逐漸增大,即y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象只有兩個(gè)趨勢(shì),與圖2不符,可排除C.故選D.考點(diǎn):1.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象分析;2.排他法的應(yīng)用.13、【解析】
根據(jù)勾股定理解答即可.【詳解】∵在Rt△ABC中,∠A是直角,AB=2,AC=3,∴BC===,故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理,關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理解答.14、【解析】
先提公因式b,然后再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解即可.【詳解】a2b﹣4ab+4b=b(a2﹣4a+4)=b(a﹣2)2,故答案為b(a﹣2)2.【點(diǎn)睛】本題考查了利用提公因式法與公式法分解因式,熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.15、a(a-4)2【解析】
首先提取公因式a,進(jìn)而利用完全平方公式分解因式得出即可.【詳解】故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解,熟練掌握提取公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵.分解一定要徹底.16、4【解析】
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo),從而得出BC的長(zhǎng)度,根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)得出三角形的高線,從而得出答案.【詳解】∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=2,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2),∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,-2),∴BC=4,則.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的對(duì)稱性,屬于基礎(chǔ)題型.理解二次函數(shù)的軸對(duì)稱性是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵.17、34°【解析】分析:首先根據(jù)垂徑定理得出∠BOD的度數(shù),然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠D的度數(shù).詳解:∵直徑AB⊥弦CD,∴∠BOD=2∠A=56°,∴∠D=90°-56°=34°.點(diǎn)睛:本題主要考查的是圓的垂徑定理,屬于基礎(chǔ)題型.求出∠BOD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(2)-2;(2)m=﹣2;(2)(﹣2,5);(4)當(dāng)a=時(shí),△PAC的面積取最大值,最大值為【解析】
(2)將(0,-2)代入二次函數(shù)解析式中即可求出n值;(2)由二次函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),利用根的判別式△=0,即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之取其非零值即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)二次函數(shù)的解析式利用二次函數(shù)的性質(zhì)可找出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可找出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo);(4)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中可求出m值,由此可得出二次函數(shù)解析式,由點(diǎn)A、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式,過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a2-2a-2),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,a-2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a,0),根據(jù)三角形的面積公式可找出S△ACP關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,配方后即可得出△PAC面積的最大值.【詳解】解:(2)∵二次函數(shù)y=mx2﹣2mx+n的圖象經(jīng)過(guò)(0,﹣2),∴n=﹣2.故答案為﹣2.(2)∵二次函數(shù)y=mx2﹣2mx﹣2的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),∴△=(﹣2m)2﹣4×(﹣2)m=4m2+22m=0,解得:m2=0,m2=﹣2.∵m≠0,∴m=﹣2.(2)∵二次函數(shù)解析式為y=mx2﹣2mx﹣2,∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=﹣=2.∵該二次函數(shù)圖象與平行于x軸的直線y=5的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,∴另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2×2﹣4=﹣2,∴另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2,5).故答案為(﹣2,5).(4)∵二次函數(shù)y=mx2﹣2mx﹣2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0),∴0=9m﹣6m﹣2,∴m=2,∴二次函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣2.設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0),將A(2,0)、C(0,﹣2)代入y=kx+b,得:,解得:,∴直線AC的解析式為y=x﹣2.過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)Q,如圖所示.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a2﹣2a﹣2),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,a﹣2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a,0),∴PQ=a﹣2﹣(a2﹣2a﹣2)=2a﹣a2,∴S△ACP=S△APQ+S△CPQ=PQ?OD+PQ?AD=﹣a2+a=﹣(a﹣)2+,∴當(dāng)a=時(shí),△PAC的面積取最大值,最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次(二次)函數(shù)解析式、拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值,解題的關(guān)鍵是:(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出n值;(2)牢記當(dāng)△=b2-4ac=0時(shí)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);(2)利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸求出另一交點(diǎn)的坐標(biāo);(4)利用三角形的面積公式找出S△ACP關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式.19、(1)證明見解析(2)30°(3)QM=【解析】試題分析:(1)連接OP,PB,由已知易證∠OBP=∠OPB=∠QBP,從而可得BP平分∠OBQ,結(jié)合BQ⊥CP于點(diǎn)Q,PE⊥AB于點(diǎn)E即可由角平分線的性質(zhì)得到PQ=PE;(2)如下圖2,連接OP,則由已知易得∠CPO=∠PEC=90°,由此可得∠C=∠OPE,設(shè)EF=x,則由∠GAB=30°,∠AEF=90°可得AE=,在Rt△BEF中,由tan∠BFE=可得BE=,從而可得AB=,則OP=OA=,結(jié)合AE=可得OE=,這樣即可得到sin∠OPE=,由此可得∠OPE=30°,則∠C=30°;(3)如下圖3,連接BG,過(guò)點(diǎn)O作OK⊥HB于點(diǎn)K,結(jié)合BQ⊥CP,∠OPQ=90°,可得四邊形POKQ為矩形.由此可得QK=PO,OK∥CQ從而可得∠KOB=∠C=30°;由已知易證PE=,在Rt△EPO中結(jié)合(2)可解得PO=6,由此可得OB=QK=6;在Rt△KOB中可解得KB=3,由此可得QB=9;在△ABG中由已知條件可得BG=6,∠ABG=60°;過(guò)點(diǎn)G作GN⊥QB交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,由∠ABG=∠CBQ=60°,可得∠GBN=60°,從而可得解得GN=,BN=3,由此可得QN=12,則在Rt△BGN中可解得QG=,由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分線,由此可得QM:GM=QB:GB=9:6由此即可求得QM的長(zhǎng)了.試題解析:(1)如下圖1,連接OP,PB,∵CP切⊙O于P,∴OP⊥CP于點(diǎn)P,又∵BQ⊥CP于點(diǎn)Q,∴OP∥BQ,∴∠OPB=∠QBP,∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∴∠QBP=∠OBP,又∵PE⊥AB于點(diǎn)E,∴PQ=PE;(2)如下圖2,連接,∵CP切⊙O于P,∴∴∵PD⊥AB∴∴∴在Rt中,∠GAB=30°∴設(shè)EF=x,則在Rt中,tan∠BFE=3∴∴∴∴∴在RtPEO中,∴30°;(3)如下圖3,連接BG,過(guò)點(diǎn)O作于K,又BQ⊥CP,∴,∴四邊形POKQ為矩形,∴QK=PO,OK//CQ,∴30°,∵⊙O中PD⊥AB于E,PD=6,AB為⊙O的直徑,∴PE=PD=3,根據(jù)(2)得,在RtEPO中,,∴,∴OB=QK=PO=6,∴在Rt中,,∴,∴QB=9,在△ABG中,AB為⊙O的直徑,∴AGB=90°,∵BAG=30°,∴BG=6,ABG=60°,過(guò)點(diǎn)G作GN⊥QB交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則∠N=90°,∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°,∴BN=BQ·cos∠GBQ=3,GN=BQ·sin∠GBQ=,∴QN=QB+BN=12,∴在Rt△QGN中,QG=,∵∠ABG=∠CBQ=60°,∴BM是△BQG的角平分線,∴QM:GM=QB:GB=9:6,∴QM=.點(diǎn)睛:解本題第3小題的要點(diǎn)是:(1)作出如圖所示的輔助線,結(jié)合已知條件和(2)先求得BQ、BG的長(zhǎng)及∠CBQ=∠ABG=60°;(2)再過(guò)點(diǎn)G作GN⊥QB并交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,解出BN和GN的長(zhǎng),這樣即可在Rt△QGN中求得QG的長(zhǎng),最后在△BQG中“由角平分線分線段成比例定理”即可列出比例式求得QM的長(zhǎng)了.20、(1);(2);(3)【解析】
(1)先判斷出當(dāng)PQ取最大時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合,點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出∠POQ=60°,最后用弧長(zhǎng)用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論;(3)先在Rt△B'OP中,OP2+=,解得OP=,最后用面積的和差即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)∵P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn),Q是上的一動(dòng)點(diǎn),∴當(dāng)PQ取最大時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合,點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,此時(shí),∠POQ=90°,PQ=,故答案為:90°,10;(2)解:如圖,連接OQ,∵點(diǎn)P是OB的中點(diǎn),∴OP=OB=OQ.∵QP⊥OB,∴∠OPQ=90°在Rt△OPQ中,cos∠QOP=,∴∠QOP=60°,∴l(xiāng)BQ;(3)由折疊的性質(zhì)可得,,在Rt△B'OP中,OP2+=,解得OP=,S陰影=S扇形AOB﹣2S△AOP=.【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題,主要考查了圓的性質(zhì),弧長(zhǎng)公式,扇形的面積公式,熟記公式是解本題的關(guān)鍵.21、【解析】解:由①得③把③代入②得把代人③得∴原方程組的解為22、(1)證明見解析;(2)補(bǔ)圖見解析;.【解析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,等量代換得到,根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;根據(jù)平行線的判定定理得到AD∥BG,推出四邊形ABGD是平行四邊形,得到平行四邊形ABGD是菱形,設(shè)AB=BG=GD=AD=x,解直角三角形得到,過(guò)點(diǎn)B作于H,根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論.【詳解】解:,,,,,,,,;補(bǔ)全圖形,如圖所示:,,,,,,,,,且,,,,四邊形ABGD是平行四邊形,,平行四邊形ABGD是菱形,設(shè),,,,過(guò)點(diǎn)B作于H,..故答案為(1)證明見解析;(2)補(bǔ)圖見解析;.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確的
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