清華微積分高等數(shù)學(xué)課件第五講導(dǎo)數(shù)與微分一

第五講導(dǎo)數(shù)與微分一本講介紹導(dǎo)數(shù)與微分的概念，及其在函數(shù)研究中的重要作用。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點的變化率，是微積分的核心概念之一。微分是導(dǎo)數(shù)的線性逼近，用于研究函數(shù)的局部性質(zhì)。dsbydrfthgfthsdfgvd導(dǎo)數(shù)的概念1函數(shù)的變化率導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點的變化率，反映函數(shù)值隨自變量的變化而變化的快慢程度。2極限的定義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點的極限，通過自變量的變化量趨于零時的函數(shù)增量的極限來定義。3微積分的基礎(chǔ)導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)中最重要的概念之一，是研究函數(shù)變化規(guī)律的基礎(chǔ)，也是解決許多實際問題的工具。2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線的斜率導(dǎo)數(shù)在某一點的值等于曲線在該點切線的斜率。這個斜率反映了曲線在該點的變化率，即曲線在該點沿著橫軸方向移動一個無窮小的距離時，沿著縱軸方向移動的距離的變化率。瞬時速度當(dāng)函數(shù)表示物體運(yùn)動的位移時，導(dǎo)數(shù)表示物體在某時刻的瞬時速度。瞬時速度反映了物體在某一時刻運(yùn)動的速度，即物體在該時刻沿著時間軸方向移動一個無窮小的距離時，沿著位移軸方向移動的距離的變化率。變化率的度量導(dǎo)數(shù)可以用來度量任何函數(shù)在某一點的變化率。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)可以用來度量成本函數(shù)在某一點的變化率，即在該點增加一個單位的產(chǎn)量時，成本增加的幅度。3.導(dǎo)數(shù)的計算規(guī)則導(dǎo)數(shù)的計算規(guī)則是微積分中的基礎(chǔ)知識，掌握這些規(guī)則可以方便我們計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零。2冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為指數(shù)減一乘以系數(shù)。3和差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于各函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和或差。4積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于分母的平方除以分子導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分子乘以分母導(dǎo)數(shù)。除了以上基本規(guī)則，還有鏈?zhǔn)椒▌t、隱函數(shù)求導(dǎo)等更復(fù)雜的計算方法，這些方法可以應(yīng)用于更復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)。4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)11.定義22.運(yùn)算規(guī)則鏈?zhǔn)椒▌t33.例題復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念。它描述了復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與組成函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過鏈?zhǔn)椒▌t計算，即外函數(shù)對內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是理解微積分的關(guān)鍵步驟，它為后續(xù)學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微分打下了基礎(chǔ)。通過練習(xí)例題，可以加深對復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)計算方法的理解。5.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)是指不能直接用一個公式將一個變量表示成另一個變量的函數(shù)。例如，方程x^2+y^2=1定義了一個圓的隱函數(shù)，其中y不能直接表示成x的函數(shù)。1求導(dǎo)對等式兩邊同時求導(dǎo)，得到包含y'的方程2求解解方程，得到y(tǒng)'的表達(dá)式3分離將y'與其他變量分離，表示成x和y的函數(shù)求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要進(jìn)行一系列步驟。首先，對等式兩邊同時求導(dǎo)，得到包含y'的方程。然后，解方程，得到y(tǒng)'的表達(dá)式。最后，將y'與其他變量分離，表示成x和y的函數(shù)。6.高階導(dǎo)數(shù)定義高階導(dǎo)數(shù)是指對一個函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)得到的導(dǎo)數(shù)。例如，二階導(dǎo)數(shù)是對函數(shù)求導(dǎo)兩次得到的導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)是對函數(shù)求導(dǎo)三次得到的導(dǎo)數(shù)，以此類推。記號高階導(dǎo)數(shù)通常用不同的記號表示。例如，二階導(dǎo)數(shù)可以記為f''(x)或d^2y/dx^2，三階導(dǎo)數(shù)可以記為f'''(x)或d^3y/dx^3，以此類推。計算方法計算高階導(dǎo)數(shù)的步驟很簡單，就是對函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)。例如，要計算二階導(dǎo)數(shù)，只需對函數(shù)先求一次導(dǎo)，然后再對得到的導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)。應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，在物理學(xué)中，二階導(dǎo)數(shù)可以表示加速度，三階導(dǎo)數(shù)可以表示加加速度。7.微分的概念1定義微分是函數(shù)變化量的線性主要部分，反映了函數(shù)在某一點附近的變化趨勢。2本質(zhì)微分本質(zhì)上是函數(shù)增量的一個線性逼近，在微積分中，微分是一個非常重要的概念，因為它可以用來近似地計算函數(shù)的變化量。3應(yīng)用微分在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，包括物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等。例如，在物理學(xué)中，微分可以用來描述速度、加速度和力等物理量。8.微分的幾何意義微分是函數(shù)在某一點的**變化率**的近似表示，其幾何意義為函數(shù)曲線上該點切線的**斜率**。1切線斜率2函數(shù)變化率3微分近似微分可用于近似計算函數(shù)在某點處的**微小變化**。它在**應(yīng)用數(shù)學(xué)**和**工程學(xué)**中有著廣泛的應(yīng)用。9.微分的計算公式1基本微分公式基本微分公式是微積分中最重要的公式之一，它用來計算各種函數(shù)的微分。例如，常數(shù)函數(shù)的微分是零，冪函數(shù)的微分是系數(shù)乘以冪次減一的冪函數(shù)，三角函數(shù)的微分則有各自的公式。2微分運(yùn)算規(guī)則微分運(yùn)算規(guī)則是指對函數(shù)進(jìn)行微分運(yùn)算時遵循的規(guī)律，它包括求和、求差、求積、求商、求復(fù)合函數(shù)的微分公式。這些規(guī)則使得我們能夠更加方便地計算各種函數(shù)的微分。3微分公式的應(yīng)用微分公式在數(shù)學(xué)、物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如，在物理學(xué)中，微分用來計算速度、加速度和動量等物理量；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，微分用來研究邊際收益、邊際成本等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。10.全微分定義全微分是多元函數(shù)在某一點的微小變化，它是由自變量的微小變化引起的函數(shù)值的微小變化。全微分可以用來近似計算多元函數(shù)的微小變化。公式對于二元函數(shù)z=f(x,y)，其全微分為dz=?f/?x*dx+?f/?y*dy。其中?f/?x和?f/?y分別是函數(shù)f(x,y)對x和y的偏導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用全微分在多元函數(shù)的微分應(yīng)用中發(fā)揮重要作用，它可以用來求解多元函數(shù)的近似值、求解多元函數(shù)的極值、以及在物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域進(jìn)行模型分析。11.微分中值定理微分中值定理是微積分學(xué)中的一個重要定理，它刻畫了函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)的變化規(guī)律。它指出，如果一個函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，那么在該區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)在該區(qū)間端點處的平均變化率。微分中值定理是許多重要結(jié)論的基礎(chǔ)，例如泰勒公式，牛頓-萊布尼茨公式等。它在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等。12.微分在近似計算中的應(yīng)用微分在近似計算中有著廣泛的應(yīng)用，可以用來近似計算函數(shù)值、曲線長度、面積等。1線性近似利用微分可以近似計算函數(shù)在某一點附近的函數(shù)值。2曲線的長度利用微分可以近似計算曲線在某段區(qū)間的長度。3面積的計算利用微分可以近似計算曲線所圍成的面積。微分在近似計算中可以提供準(zhǔn)確的結(jié)果，并有效地簡化了計算過程。13.導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系1導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的量度，表示函數(shù)在某一點的變化趨勢。2微分微分是函數(shù)增量的一種近似，表示函數(shù)在某一點的局部變化。3關(guān)系導(dǎo)數(shù)是微分的系數(shù)，微分是導(dǎo)數(shù)的乘積，它們之間存在著緊密的聯(lián)系。14.導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點的變化率，反映了函數(shù)在該點的局部性質(zhì)。極限描述了函數(shù)在自變量無限接近某一點時的函數(shù)值的變化趨勢，反映了函數(shù)在該點的全局性質(zhì)。1極限定義自變量趨于某一點時的函數(shù)值的變化趨勢2導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)在某一點的變化率3導(dǎo)數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)是利用極限定義的導(dǎo)數(shù)是利用極限定義的，是極限的一種特殊形式。導(dǎo)數(shù)可以通過極限計算得到，即當(dāng)自變量的變化量趨于零時，函數(shù)值的增量與自變量的增量的比值。15.導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)1單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定函數(shù)的單調(diào)性.2凹凸性二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定函數(shù)的凹凸性.3極值導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點可能為極值點.4拐點二階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點可能為拐點.導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是微積分的核心內(nèi)容之一.它們揭示了函數(shù)的局部性質(zhì),比如單調(diào)性,凹凸性,極值和拐點.這些性質(zhì)在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題時至關(guān)重要.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用優(yōu)化問題導(dǎo)數(shù)可以用來找到函數(shù)的最大值和最小值，幫助解決優(yōu)化問題，例如尋找最佳生產(chǎn)方案或確定最經(jīng)濟(jì)的成本。運(yùn)動學(xué)導(dǎo)數(shù)可以用來計算速度和加速度，分析物體的運(yùn)動軌跡，例如研究汽車的運(yùn)動或行星的運(yùn)行。經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)數(shù)可以用來分析成本、利潤和需求，幫助做出經(jīng)濟(jì)決策，例如確定最佳定價策略或預(yù)測市場趨勢。工程學(xué)導(dǎo)數(shù)可以用來設(shè)計結(jié)構(gòu)、分析力學(xué)和優(yōu)化系統(tǒng)，例如建造橋梁或設(shè)計飛機(jī)機(jī)翼。其他應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、化學(xué)、計算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如分析基因表達(dá)、研究藥物動力學(xué)、預(yù)測天氣變化等等。17.導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用切線問題導(dǎo)數(shù)可以用來求曲線上某一點的切線斜率，從而確定切線方程。極值問題導(dǎo)數(shù)可以用來求函數(shù)的極值點，從而確定函數(shù)的極值。凹凸性問題導(dǎo)數(shù)可以用來判斷函數(shù)的凹凸性，從而確定函數(shù)的拐點。函數(shù)圖像繪制導(dǎo)數(shù)可以用來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點、拐點等信息，從而繪制函數(shù)的圖像。18.導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，例如速度、加速度、功率、功等物理量的計算都與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)。1運(yùn)動學(xué)速度、加速度、位移2動力學(xué)功、能、功率3熱力學(xué)溫度、熱量、熵4電磁學(xué)電場、磁場、電流此外，導(dǎo)數(shù)還可以用來研究物理系統(tǒng)的穩(wěn)定性、振動、波等現(xiàn)象。19.導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用1邊際分析導(dǎo)數(shù)可以用來計算邊際成本、邊際收益和邊際利潤。這些概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中很重要，因為它可以幫助企業(yè)了解其生產(chǎn)和銷售決策的影響。2需求彈性導(dǎo)數(shù)可以用來計算需求彈性。需求彈性衡量的是價格變化對需求量的影響。此概念可以幫助企業(yè)制定定價策略。3最優(yōu)決策導(dǎo)數(shù)可以用來找到企業(yè)的利潤最大化點和成本最小化點。這有助于企業(yè)制定最佳的生產(chǎn)和銷售決策。20.導(dǎo)數(shù)的工程應(yīng)用1優(yōu)化設(shè)計導(dǎo)數(shù)可用于尋找最佳設(shè)計參數(shù)2控制系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)用于設(shè)計和分析控制系統(tǒng)3信號處理導(dǎo)數(shù)用于分析和處理信號4數(shù)值計算導(dǎo)數(shù)用于提高數(shù)值計算精度導(dǎo)數(shù)在工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如，在優(yōu)化設(shè)計中，導(dǎo)數(shù)可用于尋找最佳設(shè)計參數(shù)，提高工程效率和效益。在控制系統(tǒng)中，導(dǎo)數(shù)用于設(shè)計和分析控制系統(tǒng)，確保系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。在信號處理中，導(dǎo)數(shù)用于分析和處理信號，提取有用信息。此外，導(dǎo)數(shù)也廣泛應(yīng)用于數(shù)值計算，提高計算精度和效率。21.導(dǎo)數(shù)的生物應(yīng)用1種群增長導(dǎo)數(shù)可用于模擬種群增長率2藥物動力學(xué)計算藥物在體內(nèi)的吸收和排泄速率3生物節(jié)律研究生物體內(nèi)的周期性現(xiàn)象在生物學(xué)領(lǐng)域，導(dǎo)數(shù)可以幫助理解生物系統(tǒng)中的變化速率和趨勢。例如，導(dǎo)數(shù)可以用于研究種群的增長、藥物在體內(nèi)的代謝過程以及生物節(jié)律的規(guī)律。導(dǎo)數(shù)的社會應(yīng)用1優(yōu)化社會資源導(dǎo)數(shù)可以幫助優(yōu)化社會資源分配，例如醫(yī)療資源、教育資源、交通資源等，以提高社會效益。2預(yù)測社會發(fā)展趨勢導(dǎo)數(shù)可以用于預(yù)測社會發(fā)展趨勢，例如人口增長、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、科技進(jìn)步等，為社會決策提供參考。3解決社會問題導(dǎo)數(shù)可以幫助解決社會問題，例如環(huán)境污染、交通擁堵、犯罪率上升等，提高社會安全和可持續(xù)發(fā)展。23.導(dǎo)數(shù)的計算機(jī)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在計算機(jī)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，它可以幫助我們理解和解決各種問題。1數(shù)值計算導(dǎo)數(shù)可以用于求解函數(shù)的極值點，并進(jìn)行數(shù)值積分和微分方程求解。2圖形渲染導(dǎo)數(shù)可以用于生成光滑的曲線和曲面，并實現(xiàn)逼真的陰影效果。3機(jī)器學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)可以用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并優(yōu)化機(jī)器學(xué)習(xí)模型。4數(shù)據(jù)分析導(dǎo)數(shù)可以用于對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的趨勢和模式。導(dǎo)數(shù)是計算機(jī)科學(xué)發(fā)展不可或缺的一部分，它將繼續(xù)在未來的技術(shù)創(chuàng)新中發(fā)揮重要作用。24.導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)分析導(dǎo)數(shù)可用于分析函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性等性質(zhì)，幫助理解函數(shù)的圖形特征。方程求解牛頓迭代法等導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于求解方程的近似解，在數(shù)學(xué)建模和數(shù)值分析中有廣泛應(yīng)用。幾何圖形研究導(dǎo)數(shù)可用于計算曲線的切線、法線，研究曲線的凹凸性、拐點等，為幾何圖形研究提供工具。微積分理論導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)的基礎(chǔ)概念，其應(yīng)用貫穿于微積分理論的各個分支，如積分、微分方程等。其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)?shù)在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用，如線性代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、概率論等，幫助解決更深層次的數(shù)學(xué)問題。25.導(dǎo)數(shù)的歷史發(fā)展古代希臘古希臘數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始研究切線問題，這為導(dǎo)數(shù)的起源奠定了基礎(chǔ)。17世紀(jì)牛頓和萊布尼茨獨(dú)立地發(fā)展了微積分，導(dǎo)數(shù)的概念隨之誕生，成為微積分的重要組成部分。18世紀(jì)歐拉等數(shù)學(xué)家發(fā)展了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，包括求極值、求切線、求曲率等。19世紀(jì)柯西等數(shù)學(xué)家將導(dǎo)數(shù)的概念嚴(yán)格化，并將其推廣到更一般的函數(shù)。20世紀(jì)導(dǎo)數(shù)在各個學(xué)科領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，包括物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等?，F(xiàn)代導(dǎo)數(shù)的理論不斷發(fā)展，并與其他數(shù)學(xué)分支相互滲透。26.導(dǎo)數(shù)的未來趨勢導(dǎo)數(shù)在各個學(xué)科領(lǐng)域中都扮演著重要的角色，隨著科技的不斷發(fā)展，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍將更加廣泛，研究方向?qū)⒏由钊搿?深度學(xué)習(xí)基于導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化算法在機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，未來將進(jìn)一步推動人工智能的發(fā)展。2科學(xué)計算導(dǎo)數(shù)在科學(xué)計算和仿真模擬中扮演著重要的角色，未來將進(jìn)一步提高科學(xué)研究的效率和精度。3數(shù)據(jù)分析導(dǎo)數(shù)在數(shù)據(jù)分析和預(yù)測中發(fā)揮著重要作用，未來將進(jìn)一步提高數(shù)據(jù)分析的準(zhǔn)確性和效率。導(dǎo)數(shù)的研究方向?qū)⒏幼⒅乩碚摰耐晟坪蛻?yīng)用的拓展，未來將出現(xiàn)更多的新理論、新方法和新應(yīng)用。27.導(dǎo)數(shù)的教學(xué)方法1啟發(fā)式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生思考，激發(fā)興趣，并鼓勵學(xué)生自主探索和發(fā)現(xiàn)。2案例教學(xué)結(jié)合實際問題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決問題，加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的理解。3練習(xí)與實踐通過大量習(xí)題和實踐操作，鞏固學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的掌握。導(dǎo)數(shù)的研究前沿導(dǎo)數(shù)的研究是一個不斷發(fā)展的領(lǐng)域，新的研究方向不斷涌現(xiàn)。1分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)將導(dǎo)數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)階，解決傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)無法描述