線性運(yùn)算與基底應(yīng)用2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

專題01線性運(yùn)算與基底應(yīng)用

目錄

【題型一】線性定理基礎(chǔ)..........................................................................1

【題型二】基底概念計(jì)算.........................................................................2

【題型三】雞爪形...............................................................................4

【題型四】風(fēng)帆型................................................................................6

【題型五】四邊型................................................................................7

【題型六】兩線交點(diǎn)型...........................................................................10

【題型七】趙爽弦圖.............................................................................12

【題型八】系數(shù)未知型...........................................................................14

【題型九】最值：均值不等式型...................................................................17

【題型十】基底與數(shù)量積.........................................................................19

培優(yōu)第一階一一基礎(chǔ)過關(guān)練.......................................................................22

培優(yōu)第二階一一能力提升練.......................................................................26

培優(yōu)第三階一一培優(yōu)拔尖練.......................................................................32

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】線性定理基礎(chǔ)

【典例分析】

已知a,b是一組不共線的向量，且初=4-2〃，〃=“+3"則小，〃可以作為一組基底.（）

［答案］正確

【分扁根據(jù)基底的知識進(jìn)行判斷.

【詳解】由a，b是一組不共線的向量，且"7=a-26，n-a+3b1

得加，〃也是一組不共線的向量，故加，w可以作為一組基底.

所以說法正確.

故答案為：正確

【提分秘籍】

基本規(guī)律

平面向量基本定理

如果％02是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)

4,4,使〃=4q+/

基底

若6芻不共線，我們把{《,1}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

【變式訓(xùn)練】

L已知b是一組不共線的向量，^x}a+y}b=x2a+y2b,則乂=/2.（）

【答案】正確

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理進(jìn)行判斷.

【詳解】由于4,b是一組不共線的向量，所以平面的一組基底為｛。，4，

由于西a+y。=々a+必。，根據(jù)平面向量的基本定理可知占=%,必=y2,

所以說法正確.

故答案為：正確

2.平面向量的基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可以用這組基底唯一表示.()

【答案】正確

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理進(jìn)行判斷.

【詳解】平面向量的基底確定后，根據(jù)平面向量的基本定理可知，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可以用這組基

底唯一表示.

所以說法正確.

故答案為：正確

3.平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底.()

【答案】錯(cuò)誤

【分析】根據(jù)基底的知識進(jìn)行判斷.

【詳解】平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為一組基底.

兩個(gè)共線的向量不能作為一組基底，

所以說法錯(cuò)誤.

故答案為：錯(cuò)誤.

【題型二】基底概念計(jì)算

【典例分析】

若a,〃是一組基底，向量y=xa+y￡(x,yWR),則稱(x,y)為向量y在基底a,/7下的坐標(biāo)現(xiàn)已知向量a在基

底p=(l,-l),q=(2,I)下的坐標(biāo)為(一2,2),則a在另一組基底加=(-1,1),"=(1,2)下的坐標(biāo)為()

A(2,0)B(0,-2)C(-2,0)D(0,2)

【答案】D

【分析】由題設(shè)，知a=-2p+2q,若(和)為°在基底肛”下的坐標(biāo)，則。=研+)"],即可得方程組求出坐

標(biāo).

【詳解】:a在基底p，下的坐標(biāo)為(-2,2),

：.a=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).

設(shè)(x,y)為a在基底犯〃下的坐標(biāo),則a=xm+yn=(-x+y,x+2y),即(2,4)=(—x+y,x+2y),

y-x=2x=0

，解得

x+2y=4j=2

二a在基底肛"下的坐標(biāo)為(02)

故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

對平面向量基本定理的理解

(1)基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底.同一非零向量在不同基底

下的分解式是不同的.

(2)基底給定時(shí)，分解形式唯一.4,4是被a,e；,/唯一確定的數(shù)值.

（3）q,e2是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當(dāng)a與《共線時(shí)，4=0；當(dāng)°與e2共線時(shí)，4=。;

當(dāng)a=0時(shí),4=4=。.

（4）由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量.

【變式訓(xùn)練】

1.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）

A,=（0,0）,=（1,2）B,4=（T2）,02=（5,-2）

C《=（3,5）e2=（6,10）et=（2,-3）e2=（-2,3）

［答案］B

港扁根據(jù)基底需為不共線的非零向量，由此依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對于A,e；=0,不可以作為基底，A錯(cuò)誤；

對于B,e；與e?為不共線的非零向量，可以作為一組基底，B正確；

對■于C,.,.?.與6共線，不可以作為基底，C錯(cuò)誤；

對于D,q=-/,.?.e“e2共線，不可以作為基底，D錯(cuò)誤.

故選：B.

2.已知小《2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，下列向量中能作為平面的一個(gè)基底的是（）

Aq+/，26+2e2

39

D2el+3e2,-el+-e2

答案］C

7W析】根據(jù)平面向量基底的意義，逐項(xiàng)判斷即可作答.

【詳解】華/是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，

對于A,2e］+2e2=2（et+e2）,即向量q+/，24+26共線，A不是；

對于B,et—2e2=—2（——+^2）?即向量6+/共線，B不是；

43939

對于D,24+362=5（54+762），即向量2q+3e2,5，i共線，D不是；

1I111

對于C,因?yàn)橐籸=1,即向量一彳《+4與一彳q-/不共線，則向量一彳G+6與一彳G—6能作為平面的

_￡-12222

~2

一個(gè)基底，C是.

故選：C

3.已知向量q,/是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（）

A.［et,et-e^B1e,+e2,et-3^}

C{—2e?,—3e?+6e?}D{2q+3e2,2e?—3e1}

【答案】C

【2?析】判斷兩個(gè)向量是否共線即可確定兩個(gè)向量是否能作為一組基底.

【詳解】對于A,假設(shè)q,4—/共線，則存在/leR,使得q=4（%-ej,

因?yàn)榕c02不共線，所以沒有任何一個(gè)/leR能使該等式成立,

即假設(shè)不成立，也即q,e；-e；不共線，則能作為基底；

對于B,假設(shè)4+02,61-3e2共線，則存在XeR,使得6+/=21]-3?2),

即['二?,無解，所以沒有任何一個(gè)/leR能使該等式成立，

[―3X=1

即假設(shè)不成立，也即q+e?,%-3q不共線，則能作為基底；

對于C,因?yàn)?3/+&2=-3(4-202),所以兩向量共線，

不能作為一組基底，C錯(cuò)誤；

對于D,假設(shè)2+%；,2e；-3e；共線,則存在一eR,

使得2q+3e?=A(^2e,-3e2j,

⑵I=2

即《。無解，所以沒有任何一個(gè)/leR能使該等式成立，

[―3X=3

即假設(shè)不成立，也即2《+3/,2.-3/不共線，則能作為基底，

故選:C.

【題型三】雞爪形

【典例分析】

在./8C中，點(diǎn)。滿足則()

13

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4433

31

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

4433

【答案】A

【分析】根據(jù)題意畫出.ABC并確定點(diǎn)。的位置，即可以向量CA,CB為基底表示出C。.

【詳解】根據(jù)題意如下圖所示：

3

根據(jù)向量加法法則可知CD=C4+AQ，義AD=3DB、所以AO=：AB

4

\^CD=CA-V-AB=CA+-(CB-CA\=-CA+-CB.

44、144

13

可得。。=一。+一。3.故選：A

44

【提分秘籍】

基本規(guī)律

雞爪形：

如圖，若D點(diǎn)在BC線段上，且滿足3。=/13。(0</1<1)則有4。=(1-4)45+；1而：

【變式訓(xùn)練】

1.在“ABC中，AD=3DC>則3BC=（）

A.BA+4BDB.8A-48。C.BD-4BAD.4BD-BA

【答案】D

【分析】利用向量加法減法的幾何意義即可求得3BC=48BA

【詳解】ABC中，A3=3DC，

4

貝lj3BC=3（BA+AC）=3（BA+§AD）=33A+4AD

=3BA+4^BD-BA\=4BD-BAo故選：D

2.如圖所示，點(diǎn)C在線段8。上，且BC=3CD,貝IJAO=（）

41

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.-AC--ABD.-AC--AB

33

［答案］Q

（分析］根據(jù)平面向量的基本定理求解即可.

【詳解】因?yàn)?C=3C￡）,所以CD=』BO,

4

因?yàn)锳O=AC+CO=AC+；BO=AC+:（AQ-AB）,

3|4.1

所以二A/）=AC——AB,即AO=-AC--A8.故選：C.

4433

3.如圖所示，在；ABC中，4￡>為8c邊上的中線，若AB="，AC=h，則A￡>=（）.

人

C.—1a+1—,bD.1—a1——,b

2222

【答案】c

【分析】直接根據(jù)向量加法與減法運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：因?yàn)樵冢珹BC中，AD為BC邊上的中線，

所以A￡>=A8+；8C=A3+g（AC-AB）=gA8+gAC=ga+；Z?

故選：C

【題型四】風(fēng)帆型

【典例分析】

如圖，在.ABC中，4N=5AC,P是3N的中點(diǎn)，若AP=〃?A8+”4C，則機(jī)+〃=（）

【答案】D

11

【分析】利用向量的線性運(yùn)算求得AP=^A3+；AC,由此求得肛〃，進(jìn)而求得加+〃.

1

【詳解】因?yàn)镻是BN的中點(diǎn)，所以BP=&BN.

所以AAA所以=［,〃=',

AP=A3+BP=A3+l3N=AB+1(AN-AB)=L3+1N=13+，AC,m所以

22222424

3

zn+n=—.

4

故選：D

【變式訓(xùn)練】

1.在」ABC中，AD=ADBE為CQ的中點(diǎn)，AE=-—CA+—CB,則2=()

63

A.2B.1C.1D.-

［答案］A

【5析】利用平面向量基本定理由可得答案.

【詳解】如圖，AE=-(AC+AD)=-AC+-x^-AB

2、'222+1

=--CA+-x—(CB-CA\=—^―CB-+\CA

227+八>2(2+1)2(2+1),

22+15Z1

12(2+1)-6'1f-2(2+1)"3'得'=2，

故選：A.

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC與8。交于點(diǎn)0,且E0=2AE,則EB=（）

DC

A.-AB--ADB.-AB+-ADC.-AB--ADD.-AB+-AD

66666666

【答案】C

［分析］根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)镋0=2AE，所以AE=；AO=：AC=：（AB+A￡＞）,

所以E8=AB-AE=+=-AB--AD.

6166

故選：C.

點(diǎn)E是AC的三等分點(diǎn)（EC=；AC）,

=bf則。E=（)

I2,八21,2rIf

A.—ci—bB.—ci—bC.一—bD.—a+—b

33333333

［答案］B

【2■析】根據(jù)向量的加法法則和減法法則進(jìn)行運(yùn)算即可.

2221

【詳解】DE=AE-AD=-AC-AD=-(AB+AD)-AD=-a--b

故選：B.

【題型五】四邊型

【典例分析】

已知矩形ABC。的對角線交于點(diǎn)0,E為A0的中點(diǎn)，若QE=/U8+〃A/X/l,〃為實(shí)數(shù)），則分-〃？=（）

R73-20c1+V2

A.-1D.-C.----------U.-------

2922

【答案】A

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算的平行四邊形法則求出力〃即可.

【詳解】解：如圖

AD

DO=~（DA+DCD￡=-（04+00）

BC在矩形ABC。中，2、在，.D4O中,2

,13

DA+-DA+-DC\^-DA+-DC^-AB--AD,:,九=小

21221444444

J__2

「?A2-

16~164-故選：A-

【提分秘籍】

基本規(guī)律

四邊型、要注意兩個(gè)特征題型:

1.基底不是三角形或者四邊形的邊，如練習(xí)題3

2.如果與四邊形的邊和角度無關(guān)，則可以把四邊形看成矩形，構(gòu)造坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算求解

【變式訓(xùn)練】

1.在平行四邊形A3CD中，E是邊C￡>的中點(diǎn)，AE與80交于點(diǎn)尸.若AB=a,AO=Z>，則AF=（）

13,?2r1r-31,-12,

A.—a+—bB.—a+-bC.-a+—bD.一〃+—/?

44334433

【答案】D

【分析】設(shè)"=/lAE（0<4<l），根據(jù)三點(diǎn)共線，即加，而共線，可設(shè)8F=〃8￡>,用A8,A￡）表

示出關(guān)系，即可解出結(jié)果.

【詳解】AE=AD+O￡=AO+gA8.設(shè)AF=/IAE（O</1<1）,則

BF=AF-AB=^AD+^AB^-AB=AAD+[^-\^AB，又80=A。-AB，且屬F,。三點(diǎn)共線，則BF,80共

線，即使得=即+=

A=//八2

又AB,AD不共線，則有,2，解得<3

12,所以，

[2A=~

22（1A1212

AF=-AE=AAD^-AB\=-AB+-AD=-a-￥-b.^^D.

2.如圖，C。是以A8為直徑的半圓圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，E為線段C。的中點(diǎn)，尸為線段花上靠近8的

一個(gè)四等分點(diǎn)，設(shè)AC=bf則45=（）

51.n51,

A.-a+-hB.—a+—h

8242

131r131

C.——a+—bfD.—a+—hf

16484

【答案】C

【分析】取A8的中點(diǎn)O,連接CO,AE,根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】如圖，取A8的中點(diǎn)。，連接C。,AE,

因?yàn)镃，。是以AB為直徑的半圓圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

1JT]

所以==ABHCD,所以CO/出。，所以四邊形COB￡）是平行四邊形，所以CQ=OB=5A8,

又F為BE匕靠近8的一個(gè)四等分點(diǎn)，

11o12

所以4尸=43+3"=43+,8石=日4￡：+：48=4（4。+。￡：）+^48

113113131

=-AC+-CD+-AB=-AC+—AB^-AB=—a+-b.

4844164164

3.在平行四邊形ABC。中，BE=\EC,

DF=2FC，設(shè)AE=“，AF=6，則AC=（）

2

63「36,

A.—a+—bfB.—a+—b

7777

-31n13;

C.-a+-b;D.-a+—b

4334

【答案】B

【分析】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及平面向量的基本定理即可求解.

【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛8CD為平行四邊形，所以AC=AB+A￡＞，BC=A。，DC=AB,

因?yàn)?DF=2FC，

12

所以3E=—3C,DF=-DC

33

所以AE=AB+BE=AB+1BC=AB+LA。,

33

.2_.——j.L—

AF=AD+DF=AD+-DC=AD+-AB

339

因?yàn)锳E—a，AF=b，

93

AB+-AD=aAB=-a--b

377

所以，解得＜

.八9]6

AD+-AB=hAD=-b——a

377

一939636

所以AC=AB+AD=—a—b+—b——a=—a+—b

777777

故選：B.

【題型六】兩線交點(diǎn)型

【典例分析】

12

在一ABC中，BM=-BC,CN=xCA,AM交8N于Q,BQ=-BNf則％=().

A.yB.\C.-D.-

2345

【答案】C

1?21

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算得到A0=§AB+3AN、AM^-AB+-AC,再由A、。、M三點(diǎn)共線,

即可得至I」AQ=/14例，從而求出x、A.

001o

【詳解】解：依題意AQ=AB+BQ=A8+§8N=AB+§(AN-AB)=3AB+§AN,

110[

AM=AB+BM^AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC,又A、Q、M三點(diǎn)共線,

33''33'

所以AQ〃AM,即4Q=/IAM,又CN=xCA，所以AN=(l-x)AC,

121

-=—A

1?f?1A33

所以]A8+§(1_X)AC=45AB+§AC)所以.解得3.故選:C

x=—

4

【提分秘籍】

基本規(guī)律

若三點(diǎn)A,B,C共線，則平面內(nèi)任一點(diǎn)0。有OA=/IOB+〃近，其中2+〃=1,反之，也成立

【變式訓(xùn)練】

..一2

L如圖，在，ABC中，BM=ABC.NC=/AC,直線AM交BN于點(diǎn)、Q,BQ=-BN,則()

A

C.(A-l)(2//-3)=lD.(2A-3)(//-l)=l

【答案】C

【分析】把BQ用BA8M表示，然后由三點(diǎn)A,共線可得.

【詳解】由題意得，8Q=§BN=§（BA+AN）=§[BA+（I_M）AC]

=：[&4+（1-〃）（BC-BA）]=：[M8A+（1-〃）BC]=|〃8A+,

因?yàn)镼,M,4三點(diǎn)共線，故:〃+j?=l,化簡整理得（2一1）（2〃-3）=1.選：C.

33X

2._43C中，M,N分別為AC,8c的中點(diǎn)，AN與BM交于點(diǎn)、0,下列表達(dá)正確的是（）

A.CO=^NO+^MOB.CO=NO+MO

33__,

C.CO=-NO+-MOD.CO=2NO+2MO

【答案】D

【分析】取AB中點(diǎn)E,連CE,根據(jù)三角形重:心定理，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

取AB中點(diǎn)E,連CE,則點(diǎn)。為JWC的重心，

uuuuuiruuar]uunuuuruumruunuuuruuo

OE+OM+ON=0,——OC+OM+ON=0OC=2OM+2ON,

2

即CO=2MO+2N。，

故選：D.

3._ABC中，。為BC中點(diǎn)，AE=2EC,AD交BE于P點(diǎn)、,若AP=/U￡>,則2=()

【答案】C

【分析】根據(jù)。為BC中點(diǎn)，得到AO=gA8+3AC,因?yàn)?,P,E三點(diǎn)共線，推導(dǎo)出AP=aA8+〃AE，則

a+b=\,結(jié)合AP=/IAO，AE=：AC得到AO=?AB+gA。，從而得到?=又a+b=l,求

3A,3ZX23/12

112

【詳解】因?yàn)椤?。中點(diǎn)，所以AO=5A3+]AC,因?yàn)锳E=2EC，所以AE=]AC,

因?yàn)?,P,E三點(diǎn)共線，所以設(shè)師="在（，"0），BPAP-AB=m（AE-AP）,整理得：

AP=-^-AE+—^—AB,

\+m\+m

令。=7^—,b=-^—,則AP=aA8+6AE，則a+/?=l,^L|JAP=aAB+^-bAC,

\+m\+m3

因?yàn)锳P=/IAO，所以/LAO=aAB+2zMC,故AO==AB+絲AC,因?yàn)锳O=，A8+，AC,

3A,3/122

【題型七】趙爽弦圖

【典例分析】

我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”,

它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖''中，已知

AE=3EF,AB=a,AD=b,則AE=()

A.L+1B,”“+空匕「43,

C.—d+—hDU

252525255555

【答案】A

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可.

333339

【詳解】山題意45=-4尸=一(43+3/)=-043+—￡：。)=-48+—￡：。

4444416

39399

=-AB+—(AD-AE)=-AB+—AD——AE,

41641616

2539-39

即上AE=」AB+二4。=二。+二人，

16416416

129

所以4后=石。+石b故選：A.

【變式訓(xùn)練】

L“趙爽弦圖''是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)仿照趙爽弦圖，用

四個(gè)三角形和一個(gè)小平行四邊形構(gòu)成如下圖形，其中，E,F,G,H分別是。尸，AG,BH,CE的中

點(diǎn)、,AG=xAB+yAD,則2x+y等于()

55

【答案】D

【分析】利用平面向量線性運(yùn)算法則以及平面向量基本定理，將AG用表示出來，求出x,y的值,

即可求解.

【詳解】由題意可得AG=A8+BG=A8+；8H=A8+g（8C+C7/）=A8+g8C+；CE,

]142

因?yàn)镋FG"是平行四邊形，所以AG=-CE，所以AG=AH+/8C-WAG,所以46=^8+二/，

42

因?yàn)锳G=.M?+yAO,所以工=不丫=1，

42

則2x+y=2xg+§=2.故選:D

2.已知點(diǎn)A,B,C,尸在同一平面內(nèi)，PQ=；PA,QR=；QB,RP=；RC,則5,小S咖等于（）

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

【答案】B

【分析】先根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到4PA+6P3+9PC=0,然后再利用奔馳定理即可求解.

【詳解】山QR=；Q3可得：PR-PQ=^PB-PQ）,

1212

整理可得：PR=-PB+-PQ=-PB+-PA,

由RP=gRC可得RP=g（PC-PR）,整理可得：PR=-；PC,

112

所以-5PC=gP8+gPA,整理得：4PA+6P3+9PC=0，

由奔馳定理可得：S“BC：S詠=（4+6+9）:4=19:4,

故選：B.

3.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了"勾股圓方圖”，亦稱

“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）.類比"趙爽

弦圖"，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊

三角形，設(shè)4O=；LA8+〃4C,若小＞=4AF，則》的值為

c

【分析】令A(yù)F=1,延長AO交8c于M,求出AB,BM,DM,再借助平面向量基本定理即可作答.

【詳解】因A￡）=4AF，令A(yù)F=1，則有3。=1,4。=4,△AB￡）中，ZA￡）B=120".

由余弦定理得ABNM+Brf_2AD-BD8SNADB=>/5T，延長交BC于“，如圖,

6

由正弦定理得嬴%則有sinNAM8=5=噂'*/MA八嚕，

1c/y

sinNAMB=sin(ZMAB+60)=—sin/MAB+—cos/MAB=

2214

中，由正弦定理得一^—BMBD277

ABMD而NMBD:/MAB，

sinNMBD-sinZBDMsinZBMD~~5~

因此得。M=LBM=—,于是有=BM=-BCf

555205

AM=AB+BM=AB+-BC=-AB+-ACAD=—AM=—AB+—AC

555f212121f

1644

因AZ)=2AB+/MC,山平血向量基本定理得力二五,4=五，所以九-〃=1.

4

故答案為：—

【題型八】系數(shù)未知型

【典例分析】

如圖在4ABC中，點(diǎn)。是一A3c內(nèi)（不包含邊界）任意一點(diǎn)，則AO有可能是（）

1111.

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

32332232

【答案】D

【分析】在AB，AC,上各取兩點(diǎn)，使每個(gè)線段分成三等分，并且連結(jié)，根據(jù)圖象即可得出結(jié)果.

【詳解】解：在A6，AC，上各取兩點(diǎn)，使每個(gè)線段分成三等分，并且連結(jié)，

如下圖所示：

根據(jù)圖象可知，AD'^-AB+-AC,AE=-AB+-AC.AG=-AB+^-AC.

223333

所以可排除A,B,C選項(xiàng).

故選：D.

【變式訓(xùn)練】

Ir2、2

1.如圖，在ABC中，AN=-NC,P是8N上的一點(diǎn)，若=++,則實(shí)數(shù)m的值

93

【答案】A

(2}22

因?yàn)锳P=m+-\AB+-BC=mAB+-AC,骸BP=tBN，而

、9J99

3if2

AP=AB+BP=A6+t(3C+CN)=AB+?6C—二AC)=(1—+—fAC,所以〃?=1一，且一=一，

4449

Q1

故m=17=1一―=—，應(yīng)選答案A.

99

2.如圖，AA6C中，AD=DB,AE=EC,CD與BE交于F,設(shè)AB=afAC=b，/=xa+y。，則(毛丁)

【答案】A

【分析】延長A尸交于點(diǎn)由于仇A￡=EC,C。與房交于尸，可知：點(diǎn)尸是A48C的

重心，利用三角形重心的性質(zhì)和向量的平行四邊形法則即可得到答案.

【詳解】延長A尸交8C于點(diǎn)M：E

Br)A

—>2f—1->->

AJD=DB,AE=EC,CD與BE交于F，.^.點(diǎn)尸是AABC的重心，,AF=-AM,AM=-(AB+AC),

32

->2f21T_*1TT11T

AF=-AM=-x-(AB+AC)=-(AB+AC)=-a+-b又，AF=xa+yb

x—_1

???-:,貝為故答案選A

3.如圖:由等邊三角形A/￡和等邊三角形KGC構(gòu)成的六角星，圖中的5,D,F,H,J,L均為三等分點(diǎn)，

m

兩個(gè)等邊三角形的中心均為0,若。4=mOC+〃Q7,則一等于()

n

【答案】D

【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形的邊長為28，得出點(diǎn)AC,J的坐標(biāo),

由向量的運(yùn)算可求得加,〃的值，可得選項(xiàng).

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形的邊長為2百，則A（0,2）,C（V3,1）,

A/3777--------〃=0〃=3/722

因?yàn)镼4=m0C+〃Q/,所以〈3，解得〈，所以一二彳，

加=2n3

zn=2

故選：D.

【題型九】最值：均值不等式型

【典例分析】

AABC中，。為A8的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段CD（不含端點(diǎn)）上，且滿足AF=xAB+yAC（x,ye/?）,

則工1+24的最小值為（）

xy

A.3+2夜B.2+20C.6D.8

【答案】D

【解析】AF=xAB+yAC=2xAD+yAC,因?yàn)镃,F,。三點(diǎn)共線，所以2%+y=l且x>0,y>0,

則L2=H+2］（2x+y）=4+）+把"+2回把=,當(dāng)且僅當(dāng)2="，即x=Ly」時(shí),

xyyJxy\xyy42

上式取等號，故工+士有最小值8,故選D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

基本不等式：，茄W號；

（1）基本不等式成立的條件：“>0,比>0；

（2）（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)3.

（3）基本不等式的變形：

①a+6N2蚊，常用于求和的最小值；②蘆）,常用于求積的最大值;

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，直角梯形ABC。中，已知AB//CD,N84Q=90。，AD=AB=2,CD=1,動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上

一/、12

運(yùn)動(dòng)，且九4B+〃AD（北,則一+一的最小值是（）

mn

A.3