山東省棗莊市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)12月月考試題

Page20高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)考試本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考試科目填涂在答題卡和答題紙規(guī)定的地方.第I卷（選擇題共60分）一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知空間向量，，且，則與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)得到，從而得到，再計(jì)算即可.【詳解】，因?yàn)?，解得，?所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的夾角計(jì)算，屬于簡(jiǎn)潔題.2.已知直線和相互平行，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，結(jié)合兩直線的平行，得到且，即可求解.詳解】由題意，直線和相互平行，可得且，即且，解得或.故選：C.3.已知拋物線，為其焦點(diǎn)，拋物線上兩點(diǎn)、滿意，則線段的中點(diǎn)到軸的距離等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出的中點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出線段的中點(diǎn)到軸的距離.【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程，

設(shè)，

，

解得，

∴線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

∴線段的中點(diǎn)到軸的距離為，

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，是基礎(chǔ)題.4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.2024 B.1525 C.1515 D.2015【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和公式易得答案.【詳解】法一、法二、（特值法）不妨設(shè)為常數(shù)列，令故選：C5.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再依據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；其次，破“求坐標(biāo)關(guān)”，精確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.6.在直角坐標(biāo)系中，，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，位于第一象限上的點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，滿意，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用以及求得，依據(jù)的取值范圍求得的取值范圍，由此求得的取值范圍，進(jìn)而求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】，由，可得，又，解得，由于，所以，，，，.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題.7.過(guò)點(diǎn)的直線與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】點(diǎn)在圓的內(nèi)部，要使過(guò)點(diǎn)的直線交圓后所得的圓心角最小，則直線交圓所得的劣弧最短，也就是弦長(zhǎng)最短，此時(shí)直線與過(guò)圓心及點(diǎn)的連線垂直，依據(jù)斜率之積等于求出直線的斜率，由點(diǎn)斜式可得所求的直線方程．【詳解】如圖，把點(diǎn)代入圓的方程左邊得：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，要使過(guò)的直線交圓后得到的最小，也就是過(guò)的直線交圓，所截得的弦長(zhǎng)最短，即當(dāng)時(shí)弦長(zhǎng)最短，最小，設(shè)此時(shí)直線的斜率為，，由，得：，所以，．的方程為：，即．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線和圓的位置關(guān)系，求解時(shí)留意過(guò)內(nèi)一點(diǎn)作直線與交于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)最短弦對(duì)的劣弧最短弦對(duì)的圓心角最小圓心到直線的距離最大弦的中點(diǎn)為．8.已知圓和橢圓．直線與圓交于、兩點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)．若時(shí)，的取值范圍是，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)，依據(jù)圓與橢圓的對(duì)稱性，假設(shè)在第一象限可得，結(jié)合已知有，進(jìn)而求橢圓的離心率.【詳解】由題設(shè)，圓與橢圓的如下圖示：又時(shí)，的取值范圍是，結(jié)合圓與橢圓的對(duì)稱性，不妨假設(shè)在第一象限，∴從0漸漸增大至無(wú)窮大時(shí)，，故，∴.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)為圓錐曲線的焦點(diǎn)，則的方程可能為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】分別計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)中圓錐曲線的焦點(diǎn)，即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：中，，所以，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由可得，所以，所以，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，因?yàn)?，所以，所以原方程可化為表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，由，，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以為圓錐曲線的焦點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：中，因?yàn)?，所以，原方程可化為：，?dāng)即時(shí)，表示圓，沒(méi)有焦點(diǎn)當(dāng)即時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，，，焦點(diǎn)為，不符合題意，當(dāng)即時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，，，焦點(diǎn)為，不符合題意，故選項(xiàng)D不正確；故選：BC.10.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為1 B.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為C.以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切 D.【答案】BD【解析】【分析】A由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，結(jié)合拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍即可推斷；B由拋物線定義知共線，最??；C由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)推斷正誤；D設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理求.【詳解】如下圖：且準(zhǔn)線為，A：過(guò)的直線交拋物線于、，則該直線斜率存在時(shí)不為0，由拋物線性質(zhì)知：，即到焦點(diǎn)沒(méi)有最小距離，錯(cuò)誤；B：如上圖，拋物線準(zhǔn)線，要使的最小，則共線，即，正確；C：以為圓心，為半徑的圓或以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，而以為直徑的圓不與拋物線的準(zhǔn)線相切，錯(cuò)誤；D：令為，聯(lián)立拋物線可得：，則，，∴，.由，正確.故選：BD.11.已知遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A. B.最大 C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)項(xiàng)的正負(fù)可推斷AB，利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可推斷CD.【詳解】因?yàn)?，故，所以，因?yàn)榈炔顢?shù)列為遞減數(shù)列，故公差，所以，故AB正確.又，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.12.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與所成的角可能是B.平面平面C.三棱雉的體積為定值D.平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解；對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知平面，進(jìn)而可推斷；對(duì)于C選項(xiàng)，利用等體積法求解即可推斷；對(duì)于D選項(xiàng)，分別探討所成的截面圖形即可推斷.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，，所以，即直線與所成的角滿意，又因?yàn)?，故，故直線與所成的角不行能是，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以平面平面，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，三棱雉的體積，是定值，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上時(shí)，此時(shí)平面截正方體所得的截面為梯形，如圖2；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，此時(shí)平面截正方體所得的截面正三角形；當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上時(shí)，此時(shí)平面截正方體所得的截面為等腰三角形，該三角形不行能為直角三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.若圓和圓的公共弦所在的直線方程為，則______．【答案】【解析】【分析】由兩圓公共弦方程，將兩圓方程相減得到，結(jié)合已知列方程組求、，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，兩圓方程相減可得：，即為公共弦，∴，可得，∴.故答案為：.14.在數(shù)列中，若，，則________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題干遞推關(guān)系可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出.【詳解】因?yàn)?，即，所以?shù)列是公差為的等差數(shù)列，又，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.15.已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過(guò)，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】由于線段的垂直平分線過(guò)，所以有，再依據(jù)雙曲線和橢圓的定義，求出的表達(dá)式，然后利用基本不等式求得最小值.【詳解】設(shè)橢圓對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，雙曲線對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，由于線段的垂直平分線過(guò)，所以有.依據(jù)雙曲線和橢圓的定義有，兩式相減得到，即.所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，則的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：考查雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義和幾何性質(zhì).由于橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，所以焦距相同，也就是有相同.對(duì)于兩個(gè)曲線的公共交點(diǎn)來(lái)說(shuō)，即滿意橢圓的定義，又滿意雙曲線的定義，依據(jù)定義可列出方程.再利用基本不等式可得最小值.16.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射之后沿對(duì)稱軸方向射出.有拋物線（如圖）一條平行軸的光線射向上一點(diǎn)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)射向上的點(diǎn)，再反射后沿平行軸的方向射出，若兩平行線間的最小距離是9，則的方程是__________.【答案】【解析】【分析】審題會(huì)發(fā)覺(jué)：兩平行線之間的最小值即為拋物線的通徑，可求出，進(jìn)而得到拋物線方程.【詳解】如圖，為準(zhǔn)線，分別作為的中位線，依據(jù)拋物線定義有：當(dāng)重合時(shí)取等號(hào)，此時(shí)PQ為平行線之間的距離，所以故答案：四?解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=﹣35，求k的值．【答案】（Ⅰ）an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n（Ⅱ）k=7【解析】【詳解】試題分析：（I）設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，然后依據(jù)首項(xiàng)為1和第3項(xiàng)等于﹣3，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到關(guān)于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，依據(jù)首項(xiàng)和公差寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（II）依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由首項(xiàng)和公差表示出等差數(shù)列的前k項(xiàng)和的公式，當(dāng)其等于﹣35得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，依據(jù)k為正整數(shù)得到滿意題意的k的值．解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an=a1+（n﹣1）d由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，從而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（II）由（I）可知an=3﹣2n，所以Sn==2n﹣n2，進(jìn)而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，又k∈N+，故k=7為所求．點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生敏捷運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．18.已知拋物線的焦點(diǎn)與曲線的右焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線上的點(diǎn)滿意，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義求出的值，代入拋物線的方程可求得的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由雙曲線方程可得，，所以，解得.則曲線的右焦點(diǎn)為，所以，.因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，由拋物線的定義及已知可得，解得.代入拋物線方程可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.19.已知直線l經(jīng)過(guò)兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點(diǎn)，且與直線x+y﹣2＝0垂直．（1）求直線l的方程；（2）若圓C過(guò)點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式求得直線的方程.（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依據(jù)已知條件列方程組，求得，由此求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)1詳解】.直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】.【解析】【分析】分類探討去掉數(shù)列的中的肯定值，即可利用等差數(shù)列求和公式去計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和..【詳解】，當(dāng)時(shí)，.∵也符合上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.由，得，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故21.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，二面角為，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且0（1）求證：四邊形為直角梯形；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明，且可得四邊形直角梯形；（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出面和面的法向量，求出法向量的夾角即可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，，所以因?yàn)椋?，所以四邊形為直角梯形；?）過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由（1）知，又，則為二面