第四章 數(shù)列復(fù)習(xí)講義 高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

數(shù)列復(fù)習(xí)講義一學(xué)生版

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1.數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列

的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。

2.數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和S"的關(guān)系

?S]n=l

S,=%+。2+。3+…=2%2.

1=1

3.遞推關(guān)系：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)。.

與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)

數(shù)列的遞推公式.

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

aa

定義an+i—an=d,d為常數(shù)n+l^n=%4為不0的常數(shù)

n-1

通項(xiàng)公式an=a1+(n-l)da”=

n%,q=T

〃(q+%),n(n-1)

前n項(xiàng)和Sc=----!------=na.+----------aS"=<

"22

l-q

n-m

%=a,?+(?-m)d%二%q；

aa

性質(zhì)m+n=p+q時(shí)，ajA=P+qm+n=rp+“/時(shí)，aman=apaq

m+n=2P時(shí)，am+an=2apm+n=2。時(shí)，a,1a“=a；

【基本題型】

一、數(shù)列通項(xiàng)2與前幾項(xiàng)和5,的關(guān)系

3

例1.若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的5〃=5%-3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）

72-1

A.c1n=2x3B.=3x2〃C.c1rl=3〃+3D.c1n=2x3”

變式訓(xùn)練：

2

1.若數(shù)列R｝的前n項(xiàng)和為Sn=n，則（）

1

A.an-2n-lB.%=2〃+lC.an=-2n-1D.an=-2n+1

2.已知數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和S“=3+2",則an=

3.已知數(shù)列的S”=〃~+〃+1,則々8+々9++312=。

二、等差數(shù)列

例2：(1)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和記為S“，已知/0=30,a20=50①求通項(xiàng)句；②若S"=242,

求〃

（2）.在等差數(shù)列｛。"｝中，若生+。9+45+=8,則S23=

變式訓(xùn)練：

1.已知等差數(shù)列｛%,｝中，a7+a9=16,a4=1,則也等于（）

A.15B.30C.31D.64

2.等差數(shù)列｛4“｝中，。2=5,4=33,則/+。5=。

3.在等差數(shù)列中，Sn=22,則%,=

4.在等差數(shù)列｛?！埃?，若。3+。9+。15+。21=8，則$23=

5.等差數(shù)列｛%｝中,4+&+%=39,%+4+。9=27,則數(shù)列｛4｝前9項(xiàng)的和區(qū)等于（）

A.66B.99C.144D.297

6.設(shè)S,為等差數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)和，S4=14,Sio-Sy=30,則Sg=.

7.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若83=9,臬=36,貝京7+/+為=（）

A.63B.45C.36D.27

8.在等差數(shù)列｛0｝中，4=-10,d=2,要使前n項(xiàng)和5〃取得最小值，則n等于（）

A、5B、6C、7D、5或6

三、等比數(shù)列

例3：（1）.公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S".若%是生與%的等比中項(xiàng)，58=32,則$0=

2

A.18B.24C.60D.90

(2)數(shù)列｛%,｝是公差不為0的等差數(shù)列，且%,%,%為等比數(shù)列｛〃｝的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列仍“｝的公比為

A.V2B.4C.2D.-

2

(3).設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前。項(xiàng)和為￡,若S.+i，S”,S,+2成等差，求q的值。

變式訓(xùn)練3

1.等比數(shù)列｛%｝中，/=9,%=243,則｛凡｝的前4項(xiàng)和為()

A.81B.120C.168D.192

2.在等比數(shù)列｛%｝中，已知％=1,。4=8，則％=()

A.16B.16或一16C.32D.32或一32

3.等比數(shù)列｛氏｝中，出+%=6,a2a3-8,則q=()

1-1-1

A.2B.-C.2或一D.一2或一一

222

4.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛氏｝中，首項(xiàng)為3,前3項(xiàng)和為21,則%+。4+。5=()

A.33B.72C.84D.189

5.在等比數(shù)列｛4｝中，q=l,公比q=2,若｛4｝前〃項(xiàng)和S“=127,則“的值為.

6.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，%%+2a3a5+a3a7-25,貝!I%+%=。

7.在等比數(shù)列｛%｝中，%+4=124,a4a7=-512,公比q是整數(shù)，則%()=_

8.等比數(shù)列｛%,｝的公比q〉0,己知的=1，。“+2+。“+1=6?！?，則｛%,｝的前4項(xiàng)和S4=_

9.一個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且它的任何一項(xiàng)都等于它的后面兩項(xiàng)的和，則公比q為_。

10.設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比q=2,前n項(xiàng)和為S”，則又=()

a2

1517

A.2B.4C.—D.—

22

3

四、求通項(xiàng)的常用方法

1、公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。

2.%與S”的關(guān)系

n

3.已知遞推關(guān)系求％,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。特別地，(1)形如q=總“_1+人、4=kan_x+b

(左力為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為女的等比數(shù)列后，再求%。

(2)形如q的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。

ka,—+b

例5：(1)\已知%=l,a,=3a“_i+2,求%

a,

⑵、若q=1,ar=',求%。

4+1

變式訓(xùn)練5：

1.若％=1,-an+2,則an=；

2.若q=1,an+1=2an,貝！Ja”=

3.數(shù)列｛%｝中，q=l,4=—^^(”22),則數(shù)列｛。/的通項(xiàng)公式是：

1+3-

1111

A---------B.--------C.--------D.--------

3n-23n+22〃—32n+3

4.已知數(shù)列滿足為=1,-,求4

六.數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢

查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；③常用公式：1+2+3+…+〃=4〃5+1),

I2+22+.?-+H2=+1)(2/?+1),I3+23+33+.--+n3=.

62

例6.等比數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和為L(zhǎng)，已知加，S3,$2成等差數(shù)列

(1)求｛4｝的公比q；(2)求%—%=3,求

變式訓(xùn)練6.在等比數(shù)列｛4｝中，出-q=2,且22為3%和%的等差中項(xiàng)，求數(shù)列｛4｝的首項(xiàng).公比及

前〃項(xiàng)和。

4

(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用

公式法求和.

例7.求數(shù)列2—,4—,6—,…,2〃H-----,…的前n項(xiàng)和S.

48162""

變式訓(xùn)練7.數(shù)列6,3鴻,…,(2f…的前”項(xiàng)和為九則S“=

71-o.1

A.n2+1--—B.n+1-----C.2n-fl+1----D.n2-n+l-—

2"2〃T2〃2"

(3)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選

用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法).

例8.設(shè)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“=2〃2,也,｝為等比數(shù)列，且?=4，4(%—%)=如

a

(I)求數(shù)列｛%｝和｛0｝的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)C"=六，求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Tn.

小結(jié)：錯(cuò)位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列｛&｝的公比q；②將兩個(gè)等式相減；③利

用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.

變式訓(xùn)練8.設(shè)5“為數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和，已知見與0,2a-ai=Sl?Sn,neN*

(I)求％,a2,并求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)列｛"%｝的前幾項(xiàng)和。

(4)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂

項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

①1j②1

n(n+1)nn+1n(n+k)knn+k

111111111111

③-7<-5---=一(-----------)，--------=--------<-r<--------------;

k2k2-l2k-1k+1kZ+l(k+l)kk2(k—?kk-1k

1111.n11

④-------------——[---------------------]；⑤--------------------；

〃(〃+1)(〃+2)2n(n+l)(n+l)(n+2)(〃+1)!n\(n+1)!

5

⑥2(.”+1-G)=r=<-U<廠2j——==2(A/H-V?-l).

<n+<n+lTn—1

例，已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S/gsi

（I）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式;(II)求和:---1--------F???H-------.

S|S2S,

變式練習(xí)9：

1

1?求和S---------1----------+(2n-l)(2H+l)

〃1x33x5

c4力111

2.求和：---1------1---1----------------=______；

1x44x7(3〃-2)x(3〃+l)

3.在數(shù)列｛%,｝中，an=—^―1y---,且Sn=9,則n=______；

JJ〃+1

4.已知函數(shù)/(x)=-^,數(shù)列｛4｝滿足/=La〃+i=/(4)(〃eN*).

3%+1

(1)證明數(shù)列I,是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)記Sn=+a2a3+??■+a?an+1，求S”.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.已知數(shù)列｛%｝中％=2,%+i=34+1,（〃eN*）則知的值為（）

A.67B.22C.202D.201

2.數(shù)歹U｛a“｝中，％=1,a“=---F1,貝（I=

3.數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式為%=31-28%則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是（）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

4.在數(shù)列｛%｝中，%=2,2a,,+i-2an=1,則?101的值為（）

6

A.49B.50C.51D.52

5.等差數(shù)列｛%｝中，/=30,a20=50,則通項(xiàng)a“=；

6.在等差數(shù)列｛aj中q=2,a2+a3=13,則。4+%+。6等于（）

A.40B.42C.43D.45

7.設(shè)數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為-2的等比數(shù)列,則q+l41+4+1%為

9.設(shè)工為等差數(shù)列｛詼｝的前n項(xiàng)和，S8=4a3,a7=-2,則麴=()

A.-6B.-4C.-2D.2

10.在等差數(shù)列｛。“｝中，若“1+。2+的+04=30,則“2+。3=.

11.已知｛%｝為等差數(shù)列，且%-2%=-1，%=°，則公差"=()

A.-2B.--C.—D.2

2：

12.等差數(shù)列｛%｝中，%=4,%9=2%,

(I)求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式;(II)設(shè)〃=」-,求數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和s“.

nan

7

數(shù)列復(fù)習(xí)講義一教師版

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1.數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列

的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。

2.數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和S"的關(guān)系

?S]n=l

S,=%+。2+。3+…=2%2.

1=1

3.遞推關(guān)系：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)。.

與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)

數(shù)列的遞推公式.

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

aa

定義an+i—an=d,d為常數(shù)n+l^n=%4為不0的常數(shù)

n-1

通項(xiàng)公式an=a1+(n-l)da”=

n%,q=T

〃(q+%),n(n-1)

前n項(xiàng)和Sc=----!------=na.+----------aS"=<

"22

l-q

n-m

%=a,?+(?-m)d%二%q；

aa

性質(zhì)m+n=p+q時(shí)，ajA=P+qm+n=rp+“/時(shí)，aman=apaq

m+n=2P時(shí)，am+an=2apm+n=2。時(shí)，a,1a“=a；

【基本題型】

一、數(shù)列通項(xiàng)a“與前”項(xiàng)和S”的關(guān)系

例1.若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的5〃3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（D）

72-1

A.an=2x3B.=3x2〃C.an=3n+3D.=2x3〃

3

解：n—1時(shí)，4=S]———3ciy—6

33

"H>2'W,an=S"—S,-=(-a?-3)-(-%—3)二=3%r.=q?31=2x3"

8

變式訓(xùn)練：

1.若數(shù)列｛明｝的前n項(xiàng)和為S"=〃2,則（A）

A.61rl=2〃—1B.CLn=2〃+1C.ctn——2〃—1D.61fl——2〃+1

2.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和=3+2”,貝?！?＜；：一[之

3.已知數(shù)列的=〃2+〃+1,貝|J%+。9+%0+41+。12二100—o

二、等差數(shù)列

例2：（1）等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和記為S”，已知見o=3O,a20=50①求通項(xiàng)明；②若S”=242,

求〃

解：an=ax+（n-l）d

a｝+9d=30Ia=12

a=30,a=50,解方程組va=2n+10

i020q+19d=50[d=2〃

由S〃=nax+”伽？0"，Sn=24212n+。-2=242,角星得〃=11或〃=—22（舍去）

（2）.在等差數(shù)列｛%｝中，若。3+。9+"15+〃21=8，則邑3二46

變式訓(xùn)練：

1.已知等差數(shù)列｛%｝中，%+。9=16，。4=L則。12等于（A）

A.15B.30C.31D.64

2.等差數(shù)歹！J｛a“｝中，a2=5,a6=33,貝ij/+%=___38

3.在等差數(shù)列中，Sn=22,則4=（答：2）；

4.在等差數(shù)列｛〃〃｝中，若生+。9+。15+=8，貝"823=46

5.等差數(shù)列｛%｝中,％+%+々7=39,%+々6+〃9=27,則數(shù)列｛%｝前9項(xiàng)的和$9等于（B）

A.66B.99C.144D.297

6.設(shè)S〃為等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，5-14,則S9=.

4S1O-57=3O,

解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為雨，公差為d,由題意得4%+火；1）△=14,

[10?,+10（1°~1）d]-[la.+d]=3Q,聯(lián)立解得ai=2,d=L所以S9=9x2+%二^.1=54

222

9

7.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若邑=9,￡=36,則%+線+%=（B）

A.63B.45C.36D.27

8.在等差數(shù)列｛4｝中，”「TO,d=2,要使前n項(xiàng)和S”取得最小值，則n等于（D）

A、5B、6C、7D、5或6

三、等比數(shù)列

例3：（1）.公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,.若為是％與%的等比中項(xiàng),58=32,則品,=

A.18B.24C.60D.90

【答案】C

【解析】由尺“必得@+3心@+2。）（％+6。）得明+33,再由抬配+浮=32得

.90t

2〃]+7d=8則d=2,q=—3,所以S10=lOq+d=60,.故選C

（2）數(shù)列｛〃J是公差不為0的等差數(shù)列，且%,生，%為等比數(shù)列仍〃｝的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列｛2｝的公比為

A.41B.4C.2D.-

2

【答案】C

【解析】設(shè)數(shù)列｛4“｝的公差為d（d#0）,由a；=%%得（q+2df=%（q+6d）nq=2d

故q=%=5±M=%=2,選C.

（3）,設(shè)等比數(shù)列｛6｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為S〃，若S〃+i，S〃,S,+2成等差，求9的值。

【答案】解：若q=l,則（及+1）%+（〃+2）%=2〃%,

a｛w0,/.2〃+3=2〃,不合要求............3分

若qwl則包（1一/1+1）+4（1一0'+2）=2-3（1-〃“）...........6分

1-q1-q1-q

.~九+1.~〃+2。一〃八八

..q+q=2q............9分

q?+q—2=0,/.q=—2或q=1（舍去），

綜上，q=—2............12分

變式訓(xùn)練3

1.等比數(shù)列｛%｝中，4=90=243,則｛3｝的前4項(xiàng)和為B

10

A.81B.120C.168D.192

2.在等比數(shù)列｛%｝中，已知%=1,%=8,則/=（）

A.16B.16或一16C.32D.32或一32【答案】A

3.等比數(shù)列｛%｝中，的+。3=6,〃2。3=8,則4=（C）

1、11

A.2B.—C.2或一D.-2或---

222

4.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛七｝中，首項(xiàng)為3,前3項(xiàng)和為21,則%+%+%=（)

A.33B.72C.84D.189【答案】C

5.在等比數(shù)列｛q｝中，4=1,公比q=2,若｛嗎前〃項(xiàng)和S“=127,則〃的值為7

6.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，a。+2a3a5+a3a7-25,貝!Iq+/=_5

7.在等比數(shù)列｛%｝中，a3+as—124,a4ay——512,公比q是整數(shù)，則［（）=_（答：512）；

8.等比數(shù)列｛%｝的公比q〉0,已知的=1,4+2+4+1=64,則｛4｝的前4項(xiàng)和S4=_

解析由?！?2+。"+1=得：+q"=6q"j,即q2+q-6=0,q>0,

15a—?’15

解得：q=2,又%=1，所以，4=2，84='―~—=-°

9.一個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且它的任何一項(xiàng)都等于它的后面兩項(xiàng)的和，則公比q為_。

y/5—1221cc—1+A/5

設(shè)&=?！?1+?！?2=qa“+q4，q+g—i=o,g>o,q=---

10.設(shè)等比數(shù)列｛%,｝的公比q=2,前n項(xiàng)和為S”，則又=（）

a2

1517

A.2B.4C.—D.—

22

【解析】64=4）=15的,%=a”.莊=”.?.選CP

1—2a22

四、求通項(xiàng)的常用方法

1、公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。

2.4與51的關(guān)系

n

3.已知遞推關(guān)系求％,用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如％,=弘—+b、an=kan_｝+b

11

(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為左的等比數(shù)列后，再求生,。

(2)形如為的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。

ka.i+b

-1

例5：(1)、已知a1=1,?！?3?！癬]+2,求%(答：an=2?3"-1)；

(2)、若。]=1,an+l=、■,求%。an=—

4+1n

變式訓(xùn)練5：

1.若。1=1,々“+1=4+2,則_2n—l_；

nx

2.若a】=1,an+i=2an,則an=2~_

3.數(shù)列｛%｝中，卬=1,。，=—^^(”22),則數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式是：A

1+3%

1111

A.---------B.---------C.---------D.---------

3T1—23〃+2In-3In+3

4.已知數(shù)列滿足%=1,-7^=[a”％,求%(答：a,=二)

六.數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢

查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；③常用公式：1+2+3+…+”=；”5+1),

I2+22+.??+7?2=+l)(2n+1),I3+23+33+.--+n3=[/7(A7?1：>]2.

62

例6.等比數(shù)列｛a'｝的前n項(xiàng)和為先,已知加，S3,S2成等差數(shù)列

(1)求｛4｝的公比q；(2)求%一的=3,求力

2

解：(I)依題意有為+(%+。應(yīng))=2(%+axq+a1q)

1

由于。1。0,故2q7+<7—0又q彳0,從而q———

4(1-(-l)n)

(II)由已知可得見—%(—工)2=3故%=4從而Sn=-------2

232

2

變式訓(xùn)練6.在等比數(shù)列｛4｝中，4-4=2,且2a2為3q和內(nèi)的等差中項(xiàng)，求數(shù)列｛4｝的首項(xiàng).公比及

3n-1

前九項(xiàng)和。1,3,

s“2

12

(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用

公式法求和.

例7.求數(shù)列2—,4—,6—,…,2〃H-----,…的前n項(xiàng)和S.

48162"n

分析：此數(shù)列的通項(xiàng)公式是4=2〃+擊，而數(shù)列｛2詡是一個(gè)等差數(shù)列，數(shù)列;，訂[是一個(gè)等比數(shù)列，故采

用分組求和法求解.

11/,、11

解：S=(2+4+6H---1-In)++F+F+…+=〃(“+1)+萬(wàn)一產(chǎn).

n2324

變式訓(xùn)練7.數(shù)列1工,3工,5工,…,(2〃—1)+,,…的前〃項(xiàng)和為S“，則S”=

2482

910Tl_7.10.1

A.TI+1----B.n+1--------C.2n-〃+1----D.TI-n+1------

2n2”T2n2〃

分析：代入檢驗(yàn)，因5]=1+工，故選A

12

(3)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選

用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法).

例8.設(shè)數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和為S“=2〃2,也,｝為等比數(shù)列，且％=4，/(4一6)=".

a

(I)求數(shù)列｛凡｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)%=廣，求數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和

解：(1)：當(dāng)〃=1時(shí)，4=51=2;當(dāng)“22時(shí),2=5“—5,1=2"2—2(”—1)2=4"—2,

故｛?！ǎ耐?xiàng)公式為4=4〃—2,即｛4｝是%=2,公差d=4的等差數(shù)列

設(shè)｛瓦｝的通項(xiàng)公式為q,則仇qd=%d=4,：.q=g.

i2

故a=4/1=2><不工，即｛2｝的通項(xiàng)公式為a=不二

(II)...?！?*=±^=(2〃一1)47

bn_2_

4〃-1

二北二。1+。2+…+，=[1+3x41+5x42+…+(2〃_1)4'1]

47；=[lx4+3x42+5x43+---+(2M-3)4n-1+(2zt-l)4H]

兩式相減得

13

37；=-l-2(4*+42+43+???+4”T)+(2n-1)4"=1[(6n-5)4"+5]

.-.7；=1[(6n-5)4"+5].

小結(jié)：錯(cuò)位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列｛g｝的公比q；②將兩個(gè)等式相減；③利

用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.

變式訓(xùn)練8.設(shè)5“為數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和，已知2%—ai=S|?S〃，〃eN*

(I)求％,a2,并求數(shù)列｛外,｝的通項(xiàng)公式；1,2,an=2"-'

(II)求數(shù)列｛〃%｝的前幾項(xiàng)和。(=1+(〃—1)2"

(4)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂

項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

①1=二j②1=*—');

n(n+1)nn+1n(n+k)knn+k

111111111111

③--<—5=—(---------------),--------=--------<-<--------=---------；

1C左2—12k—1k+1kk+i(Z+l)左k1(k-l)kk-1k

心+11)5+2)=?91+1)-1)51+2)r^11

④］；⑤-------------------

(n+1)!〃！5+1)!

⑥2(A/n+1—G)=—7=~2<—L<——_2—2(^/^—瓜一1).

yjn+y/n+1y/n—1

例9.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為“《Si

111

(l)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;(II)求和:------1---------1-,??H-------,

5§2S,

4+2d=6

(I)解：設(shè)等差數(shù)列3"｝的公差是d,依題意得，.

03x2J=12.

JU,H--------d

12

解得《數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為an=%+(〃—l)d=2n.

d=2.

(II)解：:=2〃，I.Sn=_n(幾+1)

111111

-I---------1--I------二---------1----------F,??H----------------

1x22x3n(n+1)

S邑Sn

14

ArArA1、1

=1-2+2-3+'"+2-3+'"+)=1--

n〃+1n+1

變式練習(xí)9：

1

1?求和S=----1----------+...-----------------

n1x33x5(2n-l)(2n+l)

11n

)=

2323525722n-\2n+l2n+l2H+1

2.求和：」-+」-+-+----?--------=______(答：/一)；

1x44x7(3n-2)x(3n+1)3n+l

3.在數(shù)列｛〃〃｝中，an=-T=一1/,且Sn=9,則n=(答：99)；

4.已知函數(shù)數(shù)列