高一數(shù)學(xué)下學(xué)期知識點(diǎn)匯編

高一下數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)

一、解三角形

（一）正弦定理：J=-'=2R（其中R表示三角形的外接

sinAsinBsinC

圓半徑）

適用情況：（1）已知兩角和一邊，求其他邊或其他角；

（2）已知兩邊和對角，求其他邊或其他角。

變形：①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

②sinA=-"sinB=",sinC

2R2R2R

_____a+.+c=2R

sinA+sinB+sinC

（4）a:6:c=sinA:sinB:sinC

（二）余弦定理：b2=a2+c2-2accosB（求邊）

c2b2

cosB=^-（求角）

lac

適用情況：（1）已知三邊，求角；

（2）已知兩邊和一角，求其他邊或其他角。

（三）三角形的面積：

S-—a.,ha=??.；

2

（2）S=：besinA=...?

乙

③S=2R2sinAsinBsinC;

④5=-abc;

4R

⑤S=p（p-a）（p-b）（p-c）;

⑥s=pr（其中p=a+'+c,r為內(nèi)切圓半徑）

2

〃+--c斜

（四）三角形內(nèi)切圓的半徑：r=」SA，特別地,一直=

a+b+c2

（五）^ABC射影定理：方=ecosC+c?cosA,…

第1頁共21頁

(六)三角邊角關(guān)系：

(1)在AA8C中，A+B+C=n；

sin(A+B)=sinC;

cos(a+/?)=-cosc

?A+BC

sm------=cos-

22

A+8,c

cos------=sm-

22

(2)邊關(guān)系：a+b>c,b+c>a,c+a>b,a—b<c,b—c

<a,c—a>b；

(3)大邊對大角：a>boA>B

考點(diǎn)剖析：

(-)考查正弦定理與余弦定理的混合使用

例在1QABC中，已知A>B>C,且A=2C,b=4,a+c=8,求a、c

的長.

例1、解：由正弦定理，得-"=-C

sinAsinC

??cac

?a=2c.?一=-

sin2CsinC

/.a=2ccosC又〃+c=8cocC=~~~①

2c

由余弦定理，得c2=a2+b2_2abcosC②

=4c2cos2C+16-16cos2C

入②，得或Jc=4(舍).％=絲，c=4

,a=24[a=455

5

變式1、在AABC中，角A、B、C對邊分別為S,c,已知

222

b=ac,且a-c=ac-bc9

(1)求NA的大??；

(2)求運(yùn)逑的值

c

變式1、解(1)b2=ac,a2-c2=ac-bc.b1+c1-a1=be

在AABC中，由余弦定理得

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,bi+C2-aibe1

cosA=—=-=,??NA=60()

2bc2bc2

(2)在^ABC中，由正弦定理得sin3=妙n60。

a

2

，2?bsinBftsin60°3

/b=ac9ZA=60°--=—=sin60°=■

cca2

變式2、在AABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為〃、b、c

口”5.16

且sin4=?,sinB--

510

(I)求A+5的值；

(II)若a-b=2-1,求a、8、c的值。

、、.-4in

變式2、解(I),「A、B為銳角，sinA=-5，sinB=I。

.'~.2"5,—310”

??cosA=4-sin2A=?,cosB=~1—sin?B="

510

(???..(■??

,,An.一n2-53105-102“

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-x---x-=-.

5105102

,/0<A+B<n

A+B=71

4

(II)由(I)知C=初，sinC=?2

42

由-〃=-'=J得15a=.'W=：2c,

sinAsinBsinC

即Q=2〃,c=5b

又「a-b=2-1

/.-2b-b=2-1：.b=\

a=29C=5

(二)考查正弦定理與余弦定理在向量與面積上的運(yùn)用

例2、如圖，半圓O的直徑為2,A為直徑延長線上的一點(diǎn)，OA=2,

B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC。問：點(diǎn)B在

什么位置時(shí)，四邊形OACB面積最大？

例2、解：設(shè)乙4O6=a,在aAOB中，由余弦定理得:

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AB2=OA2+。"-2xOAxOBcosZAOB

=l2+22-2xlx2xcosa=5-4cosa

于是，四邊形0AC8的面積為

j-3

S=S牟AOB-qABC=AB2

24

13/

=-x2xlxsina+-(5-4cosa)

24

=sina-?3cosa+—=2sin(a-—

434

因?yàn)?<a<7i,所以當(dāng)a』=?九，a=§冗，

326

即ZAOB=^時(shí)，四邊形OACB面積最大.

6

變式2、已知向量江=(a+c,b),〃力-a),且m?於=0,其中A,B,C

是AABC的內(nèi)角，a,A,c分別是角A,5,C的對邊.

(1)求角C的大??；

(2)求sinA+sin8的取值范圍.

變式2、解:(1)由方.7=0得(〃+c)(a-c)+/?S-〃)=0=>〃2+/?2-C2

由余弦定理得cosC0bLa="=」

lablab2

,/0<C<7ic=K

3

(2)：cJ：.A+B=^n

33

..2兀2兀2兀

sinA+sinB=sinA+sin(-A)=sinA+sin?cosA-cos—smA

333

33**

=?sinA+?cosA=“3(-3sinA+」cosA)

=-&sin(A?)

冗

2n5K5TU

V0<A<..A+.<.

3

??..?36v”32n(A+)<-3

6

.?即<3n(A+7c)41-~

1626

<sinA+sinB^3.

2

(三)考查三角形形狀的判斷

例在3QABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,b=acosC,且

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△ABC的最大邊長為12,最小角的正弦值為1。

3

(1)判斷^ABC的形狀；

(2)求aABC的面積。

例3、解：(1)b=acosC,由正弦定理得sinB=sinAcosC(1)

vB=n-(A+C)

sinB=sin(A+C),從而(1)式變?yōu)閟in(A+C)=sinAcosC,

...cosAsinC=0,又A,Ce(o,K).\cosA=0,A=K,

2

2ABC是直角三角形。

(2)?.?△ABC的最大邊長為12,由(1)知斜邊°=12,又

ABC最小角的正弦值為1,.\RfABC的最短直角邊為

3

12x1=4,另一條直角邊為82

3

/.△ABC=1x4x&>2=162

2

變式在3QABC中，若sinA+sinb=siiiacosA+cos3).

(1)判斷AABC的形狀；

(2)在上述aABC中，若角C的對邊c=i,求該三角形內(nèi)切圓半徑的

取值范圍。

變式3、解：(1)由sinA+sin5=sinC(cosA+cos8)

可得2sin2-=iAcosC=0即C=90°

2

..△ABC是以C為直角頂點(diǎn)得直角三角形

(2)內(nèi)切圓半徑/-4〃+5一)

2

二」(sinA+sinB-1)

2

二：2sinfx+^K1412-1

2I2

內(nèi)切圓半徑的取值港南是〉&2-1

2

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二、數(shù)列

知識點(diǎn)一：通項(xiàng)或與前n項(xiàng)和S*的關(guān)系

任意數(shù)列｛aJ的前n項(xiàng)和￡*=/+%+--+/；

_45=1)

(?>2)

注意：由前n項(xiàng)和號求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要分三步進(jìn)行：

(1)求為=風(fēng)，

(2)求出當(dāng)n22時(shí)的許，

(3)如果令*2時(shí)得出的即中的n=l時(shí)有a1=s［成立，貝?。葑詈?/p>

的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一寫成一個(gè)形式，否則就只能寫成分段的形式.

知識點(diǎn)二：常見的由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法

1.疊加累加法：

若=冷,5之2),

則叼-⑵，a3-a2=f(3),...?an-anA=/(?)

=>ax-a1=/(2)+/(3)+...+/(?)

2.疊乘累乘法：

若"=g⑸，

—

則”=g⑵，—=g(3),3-=g5)

ala2%

=>—=g(2)g(3)...g(?)

%

知識點(diǎn)三：數(shù)列應(yīng)用問題

1.數(shù)列應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要

內(nèi)容,解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長率、利

率(復(fù)利)以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知識建立數(shù)學(xué)模型.

2.建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟.

①認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：

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⑴明確問題屬于哪類應(yīng)用問題；

⑵弄清題目中的主要已知事項(xiàng)；

（3）明確所求的結(jié)論是什么.

②抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量

或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)

式子表達(dá).

③將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，據(jù)題意

列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式（如函數(shù)關(guān)系、方程、不等式）.

規(guī)律方法：

1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問題的重要

思想；

2.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來解決.

如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.

3.加強(qiáng)數(shù)列知識與函數(shù)、不等式、方程、對數(shù)、立體幾何、三角

等內(nèi)容的綜合.解決這些問題要注意：

（1）通過知識間的相互轉(zhuǎn)化，更好地掌握數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；

（2）通過解數(shù)列與其他知識的綜合問題，培養(yǎng)分析問題和解決

問題的綜合能力.

經(jīng)典例題：

類型一：疊加法求數(shù)列通項(xiàng)公式

1.在數(shù)列｛/｝中，/=-1,%+i=a*+2萬，求樂.

總結(jié)升華：

1.在數(shù)列4｝中，%+「*=/伽），若/⑸為常數(shù)，則數(shù)列是等

差數(shù)列；若不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式子，則數(shù)列不是

等差數(shù)列.

2.當(dāng)數(shù)列的遞推公式是形如原“=4+/伽）的解析式，而

〃1）+/⑵+…/（%）的和是可求的，則可用多式累（迭）加法得出.

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舉一反三：

【變式1】已知數(shù)列faJ,=2,%+i=%+3?+2,求斯.

【變式2】數(shù)列口）中公=1,―-4=2",求通項(xiàng)公式a*.

類型二：疊乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式

2.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且

求它的通項(xiàng)公式的.

總結(jié)升華：

1.在數(shù)列⑸｝中，％=〃吟見』，若/⑺為常數(shù)且a#0,貝?。?shù)歹U

（aJ是等比數(shù)列；若了⑺不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于〃的式子，則數(shù)列（即）

不是等比數(shù)列.

2.若數(shù)列有形如%=/伽）4_］的解析關(guān)系，而“1）/⑵…/㈤的積

是可求的，則可用多式累（迭）乘法求得a..

舉一反三：

【變式1】在數(shù)列｛%｝中，/=:，%=_1伽22）,求即.

2M+1

【變式2］已知數(shù)列⑸）中，，=2,=g（%e葡+）,求通項(xiàng)

a?+1、-a?N

公式a”.

類型三：倒數(shù)法求通項(xiàng)公式

3.數(shù)列中，%=3,%一怎+1=5%4+1伽6獷），求

總結(jié)升華：

1.兩邊同時(shí)除以%%”可使等式左邊出現(xiàn)關(guān)于/和的相同代

數(shù)式的差，右邊為一常數(shù)，這樣把數(shù)列4｝的每一項(xiàng)都取倒數(shù)，這又

構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列%’，而％恰是等差數(shù)列.其通項(xiàng)易求，先求怎

的通項(xiàng)，再求的通項(xiàng).

2.若數(shù)列有形如〃％怎“）=°的關(guān)系，則可在等式兩邊同乘

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11

以4%-1,先求出％,再求得時(shí).

%+1=-^-伽6獷）

舉一反三：【變式1】數(shù)列4）中，叼=1,'/+2,求盤.

【變式2】數(shù)列&）中，％=1/*一％+1=2—%+1伽6獷），求鬼.

類型四：待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式

=2

4.已知數(shù)列&｝中，%=1,--鏟*+,求明.

總結(jié)升華：

1.一般地，對已知數(shù)列的項(xiàng)滿足的=。，%+i=c%+d（c，d為

常數(shù)，"0,1）,則可設(shè)1+￡=?/+￡）得%+i=%+>—,利用已知得

d

以T=d即i,從而將數(shù)列d）轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列4一。的通項(xiàng).

第二種方法利用了遞推關(guān)系式作差，構(gòu)造新的等比數(shù)列.這兩種方法

均是常用的方法.

2.若數(shù)列有形如怎+廣匕％+占（k、b為常數(shù)）的線性遞推關(guān)系,

則可用待定系數(shù)法求得即.

舉一反三：

=14

【變式1】已知數(shù)列4｝中1=5,噎=/+,求久

an

【變式2】已知數(shù)列4）滿足小=初3,而且旬=】，求這個(gè)數(shù)

列的通項(xiàng)公式即.

類型五：4和%的遞推關(guān)系的應(yīng)用

5.已知數(shù)列怎）中，E是它的前n項(xiàng)和，并且心=4%+25=123,…）,

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%=1.

(1)設(shè)4=*-2『5=123,…),求證：數(shù)列④是等比數(shù)列；

(2)設(shè)*一>5=123,…)，求證：數(shù)列?｝是等差數(shù)列；

(3)求數(shù)列4｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.

總結(jié)升華：該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問題，解題時(shí)，要注意

利用題設(shè)的已知條件，通過合理轉(zhuǎn)換，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等

差、等比數(shù)列，求得問題的解決利用等差(比)數(shù)列的概念，將已知

關(guān)系式進(jìn)行變形，變形成能做出判斷的等差或等比數(shù)列，這是數(shù)列問

題中的常見策略.

舉一反三：【變式1】設(shè)數(shù)列4｝首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和W滿足

3tSs-(21+3)3^=31(1>e.

(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列4｝的公比為處,作數(shù)列出｝,使4=1,

b=/(—)(?=2,3,4,-)

k,求間的通項(xiàng)公式.

類型六：數(shù)列的應(yīng)用題

6.在一直線上共插13面小旗，相鄰兩面間距離為10m,在第一面小

旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小

旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是

多少？

總結(jié)升華：本題屬等差數(shù)列應(yīng)用問題，應(yīng)用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，

在求和后，利用二次函數(shù)求最短路程.

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三、一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解集：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象、一元二次方程ax2+bx+c=0

的根與一元二次不等式ax2+bx+c>0與ax2+bx+c<0的解集的關(guān)

系，可歸納為：

判別式4ac△>0△=0△<0

y

2

二次函數(shù)y=ax+bx\1

+c(a>0)的圖象V

0￡

2有兩相異實(shí)根X有兩相同實(shí)

一元二次方程ax+bx

=X1或根無實(shí)根

+c=O(awO)的根

X=X2X=X1

一元ax2+bx+

{x|x<xi或X>X2}{x|xwxi}R

二次c>0(a>0)

不等2

ax+bx+

式的{X|X1<X<X2}00

c<0(a>0)

解集

若a<0時(shí)，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，對照上表求解.

解一元二次不等式應(yīng)注意的問題：

(1)在解一元二次不等式時(shí)，要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù).

(2)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號會(huì)影響不等式的解集,

討論時(shí)不要忘記二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況.

(3)解決一元二次不等式恒成立問題要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號.

(4)一元二次不等式的解集的端點(diǎn)與相應(yīng)的一元二次方程的根及

相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.

一元二次不等式的解法

［例1］解下列不等式：

(l)0<x2—X—2<4；

第11頁共21頁

(2)x2—4ax—5a2>0(aw0).

(1)原不等式等價(jià)于

X2—x—2>0,X2—X—2>0,

X2—X—2<4X2—X—6<0

X—2x+1>0,x>2或xV—1,

?O

x—3x+2<0—2<x<3.

借助于數(shù)軸，如圖所示，

原不等式的解集為x|-2wxv—l,或2VXW3.

⑵由X2—4ax—5a2>0知(x—5a)(x+a)>0.

由于a/0故分a>0與aVO討論.

當(dāng)aVO時(shí)，xV5a或x>—a；

當(dāng)a>0時(shí)，xV—a或x>5a.

綜上，aVO時(shí)，解集為x|xV5a,或x>-a；a>0時(shí)，解集

為x|x>5a,或xV—a.

1.解一元二次不等式的一般步驟：

(1)對不等式變形，使一端為。且二次項(xiàng)系數(shù)大于0,即ax2+bx

+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0)；

(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式；

(3)當(dāng)AN0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；

(4)根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集.

2.解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對根的大小進(jìn)

行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要

不重不漏.

1.解下列不等式：

(l)-3x2-2x+8>0；(2)ax2-(a+l)x+l<0(a>0).

解：(1)原不等式可化為3x2+2x—8w0,

第12頁共21頁

即(3x—4)(x+2)40.

4

解得一2<x<,

3

I-2<x<4

所以原不等式的解集為x|3

(2)原不等式變?yōu)?ax—l)(x—l)vO,

1

因?yàn)閍>0,所以x―a(x—l)〈O.

1

所以當(dāng)a>1時(shí)，解為vxvl；

a

當(dāng)a=l時(shí)，解集為。；

1

當(dāng)Ovavl時(shí)，解為lvxv.

a

解集為。；

綜上，當(dāng)Ovavl時(shí)，不等式的解

當(dāng)

集為x|

a?

當(dāng)a>l時(shí)，不等式的解集

1為xa<x<1

時(shí)

不

等

式

的

1<X<1

a；

一元二次不等式恒成立問題

［例2］已知f(x)=x2-2ax+2(a￡R),當(dāng)+8)時(shí),f(x)>a

恒成立，求a的取值范圍.

法一：f(x)=(x—a)2+2—a2,此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=a.

①當(dāng)2￡(—8,-1)時(shí)，f(X)在［-1,+8)上單調(diào)遞增，f(X)min

=f(-l)=2a+3.要使f(x)za恒成立，只需f(x)minNa,BP2a+3>a,

解得一3wav-l；

②當(dāng)a￡［—1,+8)時(shí),f(x)min=f(a)=2—a2,i2—a2>a,解

得一1wawl.綜上所述，a的取值范圍為［-3,1］.

第13頁共21頁

法二：令g(x)=x2—2ax+2—a,由已知，#x2—2ax+2—a>0^[—

△>0,

1,+8)上恒成立，即A=4a2—4(2—a)40或aV—l,

g—INo.

解得一3wawl.所求a的取值范圍是[-3,1].

由題悟法

1.對于二次不等式恒成立問題，恒大于。就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖

象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的

圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.

2.一元二次不等式恒成立的條件：

(l)ax2+bx+c>0(aw0)(x￡R)恒成立的充要條件是：

a>0且b2—4ac<0.

(2)ax2+bx+cV0(aw0)(xwR)恒成立的充要條件是：

a<0且b2—4ac<0.

以題試法

3.若關(guān)于x的不等式x2—ax—a>0的解集為(-8,+oo),則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是；若關(guān)于x的不等式x2—ax—aw—3的解集不

是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：由Ai<0,即a2—4(—a)vO,得一4<a<0；

由如之0,即a2—4(3—a)之0,得aW—6或aN2.

答案：(一4,0)(-oo,-6]U[2,4-oo)

一元二次不等式的應(yīng)用

[例引某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100

8

件.若售價(jià)降低x成(1成=10%),售出商品數(shù)量就增加x成.要

5

求售價(jià)不能低于成本價(jià).

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(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)

=f(x),并寫出定義域；

(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范

圍.

x8

X

［自主解答］Q)由題意得y=1001—10」001+50.

因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，

x

所以10()1—10-8020.

所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定義域?yàn)椋?,2］.

(2)由題意得20(10-x)(50+8x)N10260,

化簡得8x2—30x+13w0.

11?

12

解得］x/.所以*的取值范圍是？.

由題悟法

解不等式應(yīng)用題，一般可按如下四步進(jìn)行：

(1)認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；

(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系；

(3)解不等式；

(4)回答實(shí)際問題.

第15頁共21頁

三、基本不等式

1.基本不等式：/ab^+b

2

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)巨=b時(shí)取等號.

2.幾個(gè)重要的不等式

(I)a2+b212ab(a,beR)；

ba

(2)+>2(a,b同號)；

ab

a+b

(3)ab<22(a,beR)；

a+b

22----------

(4)a+b>22(a,beR).

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為a+b「

2,幾何平均數(shù)為ab,

基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平

均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問題

已知x>0,y>0,貝!)

(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是

2.p.(簡記：積定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是P?

-4.(簡

記：和定積最大)

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一個(gè)技巧：運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的

逆用，例如a2+bt2ab逆用就是ab482+b2a+b??

2；2>ab(a,b>

a+b

0)逆用就是abv22伯，b>0)等.還要注意"添、拆項(xiàng)"技巧和

公式等號成立的條件等.

兩個(gè)變形

a+b

22----------

(l)a+b>22>ab(a,bGR,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號)；

I一?

ma2+b2a+b''-

(21、------->,1(a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)

2>2>ab>A+1

ab

取等號).這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們.

三個(gè)注意：

(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、

二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一

不可.

(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意"拆""拼""湊"等技巧，

使其滿足基本不等式中"正""定""等"的條件.

(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的

字母取值存在且一致.

利用基本不等式求最值：

11

【例1】(1)已知x>0,y>0,且2x+y=l,貝!j+的最小值為

xy

(2)當(dāng)x>0時(shí)一，則f(x)=^辦(1的最大值為-

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11

第(1)問把+-中的"1"代換為"2x+y”，展開后利用基本不等式;

xy

第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除"X"，再利用基本不等式.

解析(l)\x>0,y>0,且2x+y=L

112x+y2x+y

.?|?__—AI

xyy

=3+丫+弟3+2「2.

X

當(dāng)且僅當(dāng)丫=學(xué)時(shí)，取等號.

X

(2)/x>0,

2

??.f(x)=i奔1=逅丫2=1,

x

1

當(dāng)且僅當(dāng)乂=,即X=1時(shí)取等號.

X

答案(1)3+2'2(2)1

利用基本不等式證明不等式

【例2】已知a>0,b>0,c>0,求證:力斗飪出2a十b+c.

［審題視點(diǎn)］先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到.

證明va>0,b>0,c>0,

.?用+蟠2Jgs=2c；

^2巳、■沙=2b；

第18頁共21頁

caab，引池=2a.

b+4*

becaab

以上三式相加得：2a+b+c>2(a+b+c),

即電斗組曲>a+b+c.

利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思

路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)

定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題.

【例3】若對任意x>0,工土米+iwa恒成立，則a的取值范圍是

x

［審題視點(diǎn)］先求——x

x2+3x+l(x>0)的最大值，要使露^+3x+i%(x

>0)恒成立，只要X2+券<+l(x>0)的最大值小于等于a即可.