高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)點撥：初中高中教材銜接內(nèi)容

初中高中教材銜接內(nèi)容

近階段發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對一些必要與初中銜接的數(shù)學(xué)知識及方法，掌握不好,現(xiàn)

歸納如下，與同學(xué)們共享.

第一講十字相乘法

我們在前面研究了/±2皿+。2這樣的二次三項式，那么對于/+5X+6,

3/+1a+10這樣的二次三項式，各項無公因式，不能用提公因式法，又不

能湊成完全平方公式的形式，應(yīng)怎樣分解？

我們來觀察/+5x+6=x2+(2+3)x+2x3=x2+2x+3x+2x3

=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)

又有在我們學(xué)習(xí)乘法運算時有：(x+a)(x+b)=/+(a+b)x+ab

因此在分解因式中有X1+(a+b)x+ah-(x+a)(x+h)

注意觀察上式的系數(shù)。

對于一個關(guān)于某個字母的二次項系數(shù)是1的二次三項式/+px+q,它的常

數(shù)項可看作兩個數(shù)，a與b的積，而一次項系數(shù)恰是a與b的和，它就可以分解

為(x+a)(x+b),也就是令p=a+b,q=ab時，

x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

用此方法分解因式關(guān)鍵在于a與b的值的確定。

例1：分解因式:

(1)x2-5x+6(2)x2-4^-21

分析：用十字相乘法分解因式時，首先要找準(zhǔn)各項的系數(shù)和常數(shù)項，然后利

□□

用來分系數(shù)，使得左邊兩數(shù)乘積為二次項系數(shù)，右邊兩項乘積為常數(shù)項,

交叉相乘后結(jié)果作和，應(yīng)與一次項系數(shù)同，這樣就分解出來了。

解：(1)原式=(x-2)(x-3)

1＜；XI：〉6

—3—2=—5

1＜；X3＞-21

(2)原式=(x+3)(x-7)7

3—7=—4

例2：分解因式

(1)x4-2x2-8(2)(a+b)2-4(a+b)+3

分析：要想用十字相乘法分解因式，應(yīng)具備二次三項式的條件，有些多項式

可以看作關(guān)于某個整體的二次三項式，也可以照上例方法進行因式分解，如(1)

可以看作關(guān)于/的二次三項式(2)可以看作關(guān)于(a+b)的二次三項式。

解：⑴原式=(/+2)(，一4)

=(x2+2)(x+2)(%-2)

1<；X2.>-8

2-4=-2

(2)原式=(a+bT)(a+b-3)

1<!x''>3

1—J

—1-3=—4

例3：分解因式

(1)x2-3xy+2y2(2)3a2%2-i5a2xy~^2a2y2

分析：當(dāng)多項式中出現(xiàn)兩個字母時，分解同前，只不過常數(shù)項也會出現(xiàn)字母,

如(1)可以看作關(guān)于x的二次三項式，則y就當(dāng)作常數(shù)處理。(2)應(yīng)先進行公

因式的提取，再分解，記住，提取公因式是分解因式的第一步。

解：(1)原式=(x-2y)(x-y)

1<：x苧>2/

-2y-y=-3y

(2)原式=-5xy-14y2)

1<!X2yV>-14/

=342(x—7y)(x+2y)

―7y+2y=_5y

例4：分解因式:

(1)2X2-7X+3(2)4x4y2-5x2y2-9y2

分析：當(dāng)二次項系數(shù)不是1時，數(shù)的分解不太容易，應(yīng)不斷試一試幾種可分

的情況，同時注意符號的合理匹配。

解：(1)原式=(x-3)(2xT)

2<'Nx—]I_>3

—6—1=—7

(2)原式)2(4——5/一為

=y2(x2+l)(4x2-9)

=/(%2+I)(2X+3)(2X—3)

4<4XL9>-9

4-9=-5

例5：分解因式

(1)(x?+2x~)—7(x~+2x)-8(2)x~+2JV—15—tzx—Set

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解徹底，有時可能會多次使用十字

相乘法，并且對于項數(shù)較多的多項式，應(yīng)合理使用分組分解法，找公因式，

如五項可以三、二組合。

解：(1)原式=(/+2x+l)(x2+2x-8)

=(X+1)2(X-2)(X+4)1：>丁

]—8=-7

1<；X；2>-8

-2+4=2

(2)原式=(/+2x-15)-(ax+5a)

=(x—3)(x+5)—a(x+5)=(x+5)(x—3—a)

1<；x丁>-15

—3+5=2

注：不是所有的二次三項式都能進行因式分解。

第二講一元二次方程

一元二次方程是中學(xué)代數(shù)的重要內(nèi)容之一，是進一步學(xué)習(xí)其他方程、不等式、

函數(shù)等的基礎(chǔ)，其內(nèi)容非常豐富，本講主要介紹一元二次方程的基本解法.

1、概念:方程ax,bx+cR(aWO)稱為一元二次方程.

2、基本解法有開平方法、配方法、公式法和因式分解法.

3、對于方程ax2+bx+c=0(aWO),△=b?-4ac稱為該方程的根的判別式.當(dāng)

-b±-yA

△>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即―一五一：

b

當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即為一叼--五

當(dāng)avo時，方程無實數(shù)根.

練習(xí)：

1、只含有個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫

做一元二次方程，它的一般形式是.

2.一元二次方程的二次項系數(shù)a是實數(shù).

_-b+vb2-Aac

3.方程ax+bx+c=O(a#0,—4ac20)的兩個根12a

屬=.

4.一元二次方程的解法有,等，簡捷求

解的關(guān)鍵是觀察方程的特征，選用最佳方法.

5.應(yīng)用配方法解一元二次方程af+6x+c=0(82—4ac20)時，第一步是把

方程的常數(shù)項移到等號的右邊，得aV+A產(chǎn)一c；第二步把方程兩邊同除以

b_c

一x二——

a,得。；緊接方程兩邊同時加上____,并配方得.

6.對于實系數(shù)的一元二次方程aV+-+c=O(-a#0)△=6'一4ac稱為此方

程根的判別式且有如下性質(zhì)：

(l)A>0二次方程有兩個實數(shù)根；

(2)A=0二次方程有兩個實數(shù)根；

(3)A<0二次方程實數(shù)根.

這些性質(zhì)在解題中主要的應(yīng)用如下：(1)不解方程判斷的情況；

(2)求方程中的參數(shù)值、范圍或相互關(guān)系；

(3)判定二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

7.⑴若一元二交方程a*+-+c=O(aW0)的兩個根為xx,x2,則

耳+胸=,耳及=.(韋達定理)

(2)若Xi,也是方程/+。戶干0的二根，則比,(F，以實數(shù)

刈題為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是.

8.根與系數(shù)關(guān)系主要應(yīng)用是：

(1)求作方程；

(2)求含有根有關(guān)代數(shù)式的值；

(3)確定字母系數(shù)______以及字母系數(shù)之間關(guān)系.

(4)驗根，求根式確定符號.

(5)解特殊方程式.

9.注意根與系數(shù)式關(guān)系與根的判別式配合使用.

【學(xué)法指要】

例1.解方程：V—3戶2=0

思路分析1：此方程左邊是二次三項式，它引起我們聯(lián)想二次

三項式的因式分解——十字相乘法，可在這條道路上探索，找到解

題思路.

1y-1..?原方程可化為

X(r-1)(r-2)=0

1—7

---------..Xi=lXt=2

-1-2---3

思路分析2：此方程是一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，因已知a=l,左

-3,片2,由此可知應(yīng)用求根公式可解.

觀察本例，可發(fā)現(xiàn)它的結(jié)構(gòu)符號二次三項式及一元二次方程的

標(biāo)準(zhǔn)形式，使我們把陌生的一元二次方程與十字相乘法，求根公式

這些熟知的問題連在一起，化陌生為熟悉.“化陌生為熟悉”這種

重要的數(shù)學(xué)思維方法，是解決新問題常用方法，當(dāng)你遇到新問題時，

不妨用此法一試，它確定可助你一臂之力！

一道新問題解決以后，除分享勝利喜悅外，還要靜心回憶一下，

通過問題解決，我們學(xué)習(xí)了什么？如本例，我們學(xué)習(xí)了用因式分

解法，求根公式法解一元二次方程，又學(xué)習(xí)了“轉(zhuǎn)化”思想，繼續(xù)

探索還會有什么新的發(fā)現(xiàn)，新的收獲嗎？這也是我們獲取知識，提

高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑之一.如本例，經(jīng)過探索，觀察可發(fā)現(xiàn)

a班+/1+(—3)+2=0,它的根是為=1,用=2是不是a必+c=0它們必

有一個根是1呢？另一個根是常數(shù)項呢？再選幾例進行探索.

解方程：(1.)y+5x—6=0(2.)2v—3戶1=0

(3.)199/-2000x+l=0

1.的方程解為由=1毛=-6

2.的方程解為為=1T2=2

1

3.的方程解為為=1

由以上可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a+b+uQ一毛=1,而=)，這一重要發(fā)現(xiàn)

給我們解所類方程提供十分簡捷的方法——觀察法.下面提供幾

例，給讀者練習(xí).解方程：

1.7-14^13=02.19497-1999^-50=0

3.V—(4+")戶3+"=04.7-2000^-1999=0

1.已知加，〃為整數(shù)，關(guān)于x的三個方程：矛'+（7—加）矛+3+爐0

有兩個不相等的實數(shù)根；/+（4+血肝加6=0有兩個相等實數(shù)根；x?

一（m—4）x+n+l=0沒有實數(shù)根.求m,n的值。

依題意有：（答案學(xué)生寫出）

(7-m)2-4(3+n)>0(1)

((m-4)2-4(M+1)<0(2)

(4+m)2+=0⑶

由(3)得4上序+87一8代入(1),(2)并化簡，得

-22m+45>0

'-16m+20<0

2Q,,45

解得1622

為整數(shù)，，爐2

162-4/F400-28

4爐一116,爐一29

■:爐4,小一29滿足卅一

:.山=4,/?=—29

第三講一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

例1：已知，當(dāng)、々是關(guān)于X的一元二次方程云+c=03#0）的兩根。

hc

十、丁2+%=――玉飛=-

求證：Cla

-h±ylb2-4ac

x-

分析：由求根公式2a計算一下M+尤2,西?尤2可以找到一元

二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，這條性質(zhì)也稱作韋達定理。

一力+Jb2—4ac-b—y/h2-4ac

Xi=X-）=

證明：由求根公式有：2?2a

—b+yjb~—4-cic—b—y[b~~4cic—r2bb

Xi4-=---------------1---------------=----=---

-h-]-4b^-4ac—b—\h2—4ac

(~b)2-(b2-4ac)_h2-b2+4QC_c

4/4/a

注：韋達定理當(dāng)一元二次方程二次項系數(shù)為1時，即關(guān)于X的方程

/+px+q=O時，為+%2=-，，也很常用。

例2：已知：當(dāng)、々是方程5%-2=0兩個實數(shù)根。

111

.22----1--3---32.2------------

求：①“1+*2②的.尤2③*1尤2④尤1+X2⑤芭+X2⑥玉+工2

⑦區(qū)一1)(工2-1)

分析：題目所求的式子都可以稱為對稱式，即交換匹與々的位置代數(shù)式的

形式不變，這些對稱式均可以變形為用兩根和與兩根積表示的形式，利用韋達

定理代入后，可求值，請記住這些常規(guī)變形，在今后的學(xué)習(xí)中是很常見的。

解：5x—2=0兩根為玉、①玉+%2=5②%=_2

11x,+x55

----1----=---------2-=-----=-----

③$x2x}x2-22

④$-+X2—(%)+X?)2_2%|X2=5"_2(_2)—29

322

⑤項3+x2=(Xj+x2)(Xj+x2-x1x2)=5[29-(-2)]=155

11_X,2+x2_29_29

----+-----------------2--=-------------

2222/”2A

⑥占x2否?尤2(-2)4

(7)(內(nèi)—1)(%2—1)=&?—(為+%2)+1=-2—5+1=—6

例3：已知：a、B是方程―—7如+4加2=0的兩根，且(a-l)(B-l)

=3,求m的值

分析：解這種求字母值的問題時，需考慮題目對字母的幾點限制，①是二次

項系數(shù)不為0;②是方程有實根的條件，即判別式；③是由已知帶來的信息。綜

合①②③找到公共解集，才能確定字母的值。

解：由題意可得：

A>0

a+B=7機

a/3=4m2(-Im)2-4x4m2>0R

(a-1)()3-1)=3??！ㄒ?a+〃)+l=3?4m2-7m+1=3

msR

犯=2或"=-；一的值為2或一;

例5：已知關(guān)于x的方程/+〃吠+〃=0的根為2和-2,求/+心+〃2=。的

兩根。

分析：由方程①的根系關(guān)系可以確定m與n的值，這樣可以得到方程②，再

解方程即可得到方程兩根

解：?關(guān)于x的方程/+mx+〃=。的兩根為2和-2

2+(-2)=-mm=0

.?.2x(-2)=n〃=-4

?/x2+zix+m=0g|Jx2-4x4-0=0

Ax（x-4）=0

...%=°或％=4

例6：m為何值時，/-（,〃+1）尤+（2機-3）=°的兩根均為正

分析：兩根均為正，即的+%>°,苞?%>°由此可以得到m的取值范圍,

但注意檢驗，看是否滿足判別式。

解：由題意可列：

meR

("?+1)2-4(2m-3)>0

A>0m>

m+1>0

<$+W>°<33

?2m-3>0.m>—m>—

1x.?x2>0????2.?.2

3

m>—

二2時，原方程兩根均為正。

注：此類問題還會有兩根均為負(fù)，一正一負(fù)根，有一根為0,兩根互為相反

數(shù)，兩根互為倒數(shù)，有兩根均大于1等多種形式，望同學(xué)多積累解題經(jīng)驗。

1.已知：陽、々是方程2/一3》-1=0的兩個實數(shù)根，分別求出下列各式

的值。

111,1

—T----------------F-------

'223322

+XX

①％I+尤2、②*.工2、③”I“2、④玉2、⑤玉+*2、⑥％2

⑦（為-1）（工2-1）、⑧Ufl

2.已知方程5—+乙-6=。的一個根是2,求它的另一根及k的值。

3.已知兩個數(shù)的和等于8,積等于-9,求這兩個數(shù)

4.求作一個方程，使它的根是方程--7%+8=0的兩根的平方的負(fù)倒數(shù)

參考答案:

1345V17

1.①2、②2、③-3、④4、⑤8、⑥13、⑦-1、⑧2

c6

2.設(shè)方程的另一個根是x,則一5

3.設(shè)這兩個數(shù)為a、b則a、b為方程Y—8x—9=0的兩根，則a=T,b=9

或a=9,b=-1

4.設(shè)再、是方程，—7x+8=0的兩根，.?.玉+七=7,x「9=8,設(shè)%、

為是新方程的兩根

工「+12_33

%+為=-r―

則X\X2

.?.64y2+33y+i=o

第四講立方和與立方差公式(一)

(公式1：(a+b)(a-b)=aJ-bJ,公式2：(a±b)=aJ±2ab+bJ,公式中的字母可

以表示數(shù)、單項式，也可以表示多項式.語言敘述略)

(a+b)(a'-ab+b。)ua'+b”.

(a-b)(a'+ab+b2)=a;i-b!.

特點：1(都是兩個因式相乘，一個是二項式，一個是二次三項式，結(jié)果都

是二項式，而且是立方的形式)

2(兩等式中對應(yīng)的項只有符號不完全相同，字母和指數(shù)都相同，左邊的兩

個因式中只有一個負(fù)號，右邊兩項的符號同左邊二項式的符號相同)

L填空，使之符合立方和或立方差公式：

(1)(x-3)()=x-27；(2)(2x+3)()=8x，27；

⑶(x?+2)()=x6+8；(4)(3a-2)()=27a-8.

2.填空，使之符合立方和或立方差公式:

(1)()(a2+2ab+4b2)=_______；(2)()(9a'-6ab+4bJ)=

3.運用立方和與立方差公式計算：

(1)(y+3(y2-3y+

9)；(2)(c+5)(25-5c+c

(5)(x2-y2)(x4+x2y2+y4).

計算時同學(xué)們要注意兩點:

1.兩步審查一一對乘式的兩個因式要分兩步分別審查，即從二項式的因式

判斷公式中的a與b,又從乘式的三項式看是否符合公式的使用條件，然后再運

用公式.

2.記清運算結(jié)果是積的形式一一a與b的立方和或立方差.

第五講二次函數(shù)配方法求最值

1、二次函數(shù)大致圖象：

1、已知函數(shù)丁=-2（%-1）2+1,在直角坐標(biāo)系中畫出它的大致圖象

2、已知函數(shù)y=2/-4X+1,在直角坐標(biāo)系中畫出它的大致圖象

/b、2b2-4ac

27/八\y=。（尤—）--------

2、二次函數(shù)丁="%經(jīng)配方得：2a4a

3、應(yīng)用二次函數(shù)圖象，利用配方法求函數(shù)最值

（一）定軸定區(qū)間

3、1、頂點在給定區(qū)間內(nèi)

例1、已知函數(shù)丁=-2一+4》-1,

（1）若xeR,求：該函數(shù)的最大值或最小值

（2）若xe[-l，2],求：該函數(shù)的最大值或最小值

2、頂點在給定區(qū)間外

（3）若x€[-l，0],求；該函數(shù)的最大值或最小值。

（二）動軸定區(qū)間

例2、已知：函數(shù),=/+6+1（“6砌，若xe[2,4],

求：該函數(shù)的最大值或最小值。

（三）定軸動區(qū)間

思考題：已知：函數(shù)y=-2/+4x-l,若X