債券組合市場VaR度量

債券組合市場VaR度量債券市場VaRVaR是指這樣的一種損失額，給定置信水平（1-%）和持有期限（t日），在持有期內(nèi)預(yù)計(jì)超過這一損失額的概率只有%。用公式表示為，

VaR度量的是頭寸價(jià)值的潛在變動(dòng)。影響債券價(jià)格的因素是即期利率，稱為風(fēng)險(xiǎn)因子。使用到期收益率計(jì)算VaR

債券價(jià)格等于預(yù)期現(xiàn)金流的現(xiàn)值。

(17.1)

t為現(xiàn)金流時(shí)刻，為t時(shí)刻的現(xiàn)金流，為該債券的到期收益率。到期收益率上升，債券價(jià)格下跌；到期收益率下降，債券價(jià)格上漲。單只債券VaR假設(shè)到期收益率的變動(dòng)服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，則給定置信水平

,最不利情形下的到期收益率為，

為實(shí)際的到期收益率，l是所選置信水平1-%（如）所對(duì)應(yīng)的分位數(shù)（如1.65）。利用這個(gè)到期收益率和公式（17.1）計(jì)算出未來的債券價(jià)格。則一年期的VaR為，

T年期的VaR為，例17.1

一只5年期，面值100，年息和到期收益率均為5%的政府債券（意味著債券的現(xiàn)價(jià)為100

）。假設(shè)到期收益率的變動(dòng)服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1%的正態(tài)分布。計(jì)算95%置信水平下，該債券的一年期VaR。解：95%置信水平下的最不利YTM為，若到期收益率變?yōu)?.65%，債券價(jià)格就會(huì)跌到93.77。則該債券的VaR為，五年的VaR為，債券組合考慮一債券組合，由n個(gè)債券組成，每種債券到期收益率的歷史數(shù)據(jù)形成如下矩陣,

計(jì)算它的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣,假如投資在某債券上的資金為（為該債券的持有數(shù)量），則該債券VaR為，全部VaRi構(gòu)成債券組合的VaR向量為，

于是，該債券組合的VaR為，

例17.2考慮2只債券構(gòu)成的組合,一只為例1中的債券，另外一只為2年期，年息3%的政府債券，到期收益率為4%，于是，可算出該債券的實(shí)際價(jià)格為98.11，再假設(shè)該債券的到期收益率變動(dòng)服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2%的正態(tài)分布。計(jì)算95%置信水平下，債券組合的一年期VaR。

解：對(duì)于新增債券，95%置信水平下的最不利YTM為，若到期收益率變?yōu)?.97%，債券價(jià)格就會(huì)跌到94.36。則債券的VaR為，若組合中這兩只債券到期收益率相關(guān)系數(shù)為1，則價(jià)值為的未分散組合的。但通常5年期政府債券的到期收益率與2年期政府債券的到期收益率只是高度相關(guān)，并非完全相關(guān)。假設(shè)相關(guān)系數(shù)為0.95，則組合的。這體現(xiàn)出了分散化投資會(huì)帶來收益。SAS程序：對(duì)于債券i進(jìn)行如下過程：

組合的一年期風(fēng)險(xiǎn)值為：

組合的T年期風(fēng)險(xiǎn)值為：

使用久期計(jì)算VaR麥考利久期與修正久期

債券久期衡量的是債券價(jià)格相對(duì)于到期收益率變動(dòng)的敏感性。麥考利久期定義為，

久期可用于估計(jì)債券價(jià)格相對(duì)于到期收益率的變動(dòng)幅度。債券價(jià)格對(duì)到期收益率求一階導(dǎo)數(shù)得，

兩邊同乘以得

稱為修正久期，它度量了給定到期收益率的變化水平，債券價(jià)格變動(dòng)的百分比。（17.3）式可變形為：可以看出，價(jià)格變動(dòng)表示為到期收益率變動(dòng)的線形函數(shù)。VaR計(jì)算單只債券

對(duì)于單只債券，假設(shè)到期收益率的變動(dòng)服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，則給定置信水平，最不利情形下的到期收益率變動(dòng)為，l是所選置信水平

（如）所對(duì)應(yīng)的分位數(shù)（如1.65）。利用到期收益率的變動(dòng)和公式（1.4）就可以計(jì)算出未來的債券價(jià)格變化量。則一年期的VaR為，T年期的VaR為，

例17.3.假定一債券的價(jià)格為100，修正久期為4.33，到期收益率變動(dòng)服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2%的正態(tài)分布。給定95%置信水平下，計(jì)算一年期VaR。解：最不利的情形下，到期收益率的變動(dòng)量為，

所以債券價(jià)格變化量為，

也就是說價(jià)格會(huì)下降8.66，即預(yù)測(cè)價(jià)格為債券組合考慮一債券組合，由個(gè)債券組成，每種債券到期收益率的歷史數(shù)據(jù)形成如下矩陣，

據(jù)此，可以計(jì)算它的協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)矩陣

假如投資在某債券上的資金為（為該債券的持有數(shù)量），則該債券VaR為,全部VaRi構(gòu)成債券組合的VaR向量,于是，該債券組合的VaR為，T年期的VaR為，

例17.4

假設(shè)組合P包含兩只債券。第一只為上例中的債券。假定第二只債券的價(jià)格為98.11，修正久期為5，到期收益率變動(dòng)服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1%的正態(tài)分布。假定這兩只債券之間的相關(guān)系數(shù)為0.95，計(jì)算95%置信水平下，債券組合的一年期VaR。

解：SAS程序：datagendat;inputPsigmaVDm;cards;1000.01214.3398.110.0115;datacorrmat;inputc1c2;cards;10.950.951;%macromdurmbVaR(n,alpha,gendat,corrmat,T);prociml;use&gendat;readallvar{P}intoP;readallvar{sigma}intoS;readallvar{Dm}intoDm;/*Dm為修正久期*/readallvar{V}intoV;use&corrmat;readallvar('c1':"c&n")intoC; l=probit(1-&alpha);dYTM=j(&n,1,0);dP=j(&n,1,0);VaR1=j(&n,1,0);doi=1to&n;

dYTM[i,]=l*S[i,];

dP[i,]=-P[i,]*dYTM[i,]*Dm[i,]; VaR1[i,]=V[i,]*abs(dP[i,]);end;VaRp1=sqrt(t(VaR1)*C*VaR1);VaRpT=VaRp1*sqrt(&T);printdYTM

dPVaR1VaRp1VaRpT;%mendmdurmbVaR;%mdurmbVaR(2,0.05,gendat,corrmat,1);使用久期與凸性計(jì)算VaR久期反映了價(jià)格與到期收益率之間的線形關(guān)系，給定到期收益率的變動(dòng)幅度，無論上升還是下降，久期方法計(jì)算出的價(jià)格漲跌是對(duì)稱的。但由于因收益率變動(dòng)而引起的價(jià)格漲跌存在不對(duì)稱性，所以價(jià)格與收益率之間并非完全線性，因此引入凸性的概念。凸性衡量的是價(jià)格與收益率之間的曲線關(guān)系，用公式表示如下，

凸性導(dǎo)致的價(jià)格變動(dòng)（凸性效應(yīng)）為（參見下頁P(yáng)PT）,VaR計(jì)算單只債券對(duì)于單只債券，假設(shè)到期收益率的變動(dòng)服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，則給定置信水平，最不利情形下的到期收益率變動(dòng)為，是所選置信水平（如）所對(duì)應(yīng)的分位數(shù)。利用這個(gè)到期收益率的變動(dòng)和公式（17.5）就可以計(jì)算凸性效應(yīng)引起的債券價(jià)格變化量。

則一年期的VaR就等于，

T年期的VaR為，例17.5.假定一債券的價(jià)格為，修正久期為4.33，凸性為26.3894。到期收益率的變動(dòng)服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2%的正態(tài)分布。計(jì)算95%置信水平下，該債券的一年期VaR.解：給定95%置信水平，最不利的情形下到期收益率的變動(dòng)量為，則久期效應(yīng)引起的債券價(jià)格變化量為,凸性效應(yīng)引起的債券價(jià)格變化量為，所以一年期的VaR為，債券組合債券組合的VaR計(jì)算和前面17.2.2中方法類似，只是有一點(diǎn)變動(dòng)，全部構(gòu)成債券組合的VaR向量于是，該債券組合的VaR為，T年期的VaR為，例17.6假設(shè)組合P包含兩只債券。第一只為上例中的債券。假定第二只債券的價(jià)格為98.11，修正久期為5，凸性為30.1234，到期收益率變動(dòng)服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1%的正態(tài)分布。假定這兩只債券之間的相關(guān)系數(shù)為0.95，計(jì)算95%置信水平下，債券組合的一年期VaR。

使用RiskMetrics現(xiàn)金流計(jì)算VaR債券分解前面介紹過用到期收益率為債券定價(jià)，隱含著這樣一個(gè)假定，即每一時(shí)點(diǎn)的即期利率都為相同的到期收益率（也就是所支付的利息又以同樣的到期收益率水平再投資）。通常，事實(shí)并非如此，實(shí)際中的即期利率是隨時(shí)間變化的。但對(duì)于零息債券，即期利率與到期收益率是相同的。零息債券在期限內(nèi)不支付利息，這樣就避免了利息再投資問題。把債券分解為一系列零息債券，用合適的貼現(xiàn)因子——即期收益率來把這些現(xiàn)金流折現(xiàn)，就可以更準(zhǔn)確地為債券定價(jià)。即期收益率即期收益率就是一給定期限上的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)率，只要市場上發(fā)行有不同期限的零息債券，利用該零息債券的市場價(jià)格就可以推導(dǎo)出即期收益率曲線。由于各種期限的零息債券并非一定會(huì)在市場上發(fā)行，所以若市場中不存在某一期限的零息債券，該期限對(duì)應(yīng)的即期收益率必須用其他方法推導(dǎo)。下面舉例說明。假設(shè)市場上有1年期和2年期的零息債券，據(jù)此可以推導(dǎo)出1年期和2年期的即期收益率為4%和5%。但不存在3年期的零息債券，為推導(dǎo)3年期的即期收益率，需要找一只3年期的付息債券。假設(shè)市場上有一只票面利率為5%的3年期債券，市場價(jià)格為98.5?？梢缘贸鋈缦率阶樱?/p>

其中為3年期的即期收益率。這樣就可以計(jì)算出3年期的即期收益率。一旦得知所有期限的即期收益率，就可以通過即期收益率進(jìn)行現(xiàn)金流貼現(xiàn)計(jì)算出債券價(jià)格，進(jìn)而算出該債券的VaR。但是測(cè)算所有期限的即期收益率本身就有一定的難度，而且計(jì)算VaR時(shí)還需要測(cè)算出這些即期收益率的標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)矩陣，這給VaR的計(jì)算帶來很大不便，基于簡化計(jì)算難度，RiskMetrics引入現(xiàn)金流映射來解決這個(gè)難題。現(xiàn)金流映射

14種RiskMetrics

標(biāo)準(zhǔn)期限:1m,3m,6m,12m,2yr,3yr,4yr,5yr,7yr,9yr,10yr,15yr,20yr,30yr

若一筆現(xiàn)金流沒有對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)匹配期限，則需要需要把該現(xiàn)金流分配在兩個(gè)相鄰的標(biāo)準(zhǔn)期限上。兩個(gè)相鄰標(biāo)準(zhǔn)期限上的現(xiàn)金流被分配的權(quán)重要滿足下面三個(gè)條件：1.市場價(jià)值不變：RiskMetrics現(xiàn)金流的總市場價(jià)值與初始現(xiàn)金流的市場價(jià)值相等；2.市場風(fēng)險(xiǎn)不變：RiskMetrics現(xiàn)金流的風(fēng)險(xiǎn)與初始現(xiàn)金流的風(fēng)險(xiǎn)一樣；3.符號(hào)不變：RiskMetrics現(xiàn)金流的符號(hào)與初始現(xiàn)金流的符號(hào)相同。

下面說明把初始現(xiàn)金流轉(zhuǎn)化為RiskMetrics現(xiàn)金流的步驟.

假設(shè)一債券組合在未來第6年產(chǎn)生正的現(xiàn)金流，于是，相近的標(biāo)準(zhǔn)期限為5年和7年。5年和7年的即期收益率及其波動(dòng)性和相關(guān)系數(shù)分別是假設(shè)權(quán)重分別為和，，初始現(xiàn)金流轉(zhuǎn)化為RiskMetrics現(xiàn)金流的具體步驟如下。

1.根據(jù)5年和7年的即期收益率，用線形插值法計(jì)算6年期的即期收益率。由于第6年到第5年和第7年距離相等，所以取簡單平均，

2.計(jì)算初始現(xiàn)金流的現(xiàn)值（不妨設(shè)初始現(xiàn)金流為1），

3.計(jì)算初始現(xiàn)金流的波動(dòng)性（標(biāo)準(zhǔn)差），

4.從下面的等式計(jì)算出各自的權(quán)重，簡化上式為，其中解得，

該方程有兩個(gè)解，但第一個(gè)解不滿足條件（即條件3符號(hào)不變），所以選。把6年期初始現(xiàn)金流的現(xiàn)值（0.9374）分成兩個(gè)部分，其中的分配給5年期，分配給7年期。最后得到兩筆標(biāo)準(zhǔn)期限現(xiàn)金流，與初始現(xiàn)金流具有相同的現(xiàn)值、風(fēng)險(xiǎn)和符號(hào)。上面的例子介紹了怎樣把一個(gè)簡單的現(xiàn)金流映射成RiskMetrics現(xiàn)金流。在實(shí)際中，債券組合產(chǎn)生大量的現(xiàn)金流，其中的每一個(gè)都用上面的方法進(jìn)行映射，這樣就會(huì)得出組合的RiskMetrics現(xiàn)金流。計(jì)算出債券組合的RiskMetrics現(xiàn)金流后，結(jié)合RiskMetrics提供的標(biāo)準(zhǔn)期限的收益率，就可以利用前面介紹過的方法計(jì)算出債券組合的VaR。考慮面值回歸效應(yīng)的VaR計(jì)算面值回歸

：

債券的一個(gè)顯著性質(zhì)是，隨著到期期限的臨近，它的價(jià)格會(huì)收斂到面值，這就是債券的“面值回歸”。這種“面值回歸”效應(yīng)導(dǎo)致債券價(jià)格的波動(dòng)性隨到期日的臨近而逐漸下降，最終收斂到0，稱之為“波動(dòng)性逐降”效應(yīng)。這些效應(yīng)在前面介紹的幾種VaR計(jì)算方法中并未考慮到，所以會(huì)引起VaR估計(jì)的失真。VaR計(jì)算面值回歸效應(yīng)導(dǎo)致高估風(fēng)險(xiǎn)，舉例說明如下：假設(shè)有一個(gè)1年期，面值為100的零息債券。1年期的即期收益率為9%，該零息債券價(jià)格的日變化量服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差（波動(dòng)性）為0.05%的正態(tài)分布。零息債券現(xiàn)在價(jià)格為，于是，95%的置信水平下，1年期VaR為，這顯然高估了該債券的風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)闊o論即期收益率和波動(dòng)性處于何種水平，在到期日，債券價(jià)格都會(huì)等于面值100（面值回歸效應(yīng)），所以VaR應(yīng)等于0，而不是1.45。要合理估計(jì)VaR，就必須把面值回歸效應(yīng)，及其引起的價(jià)格波動(dòng)性逐降效應(yīng)考慮進(jìn)來?？刹扇∪缦碌姆椒ㄓ?jì)算發(fā)生在未來T天后的現(xiàn)金流的t天風(fēng)險(xiǎn)值。（1）選取新的貼現(xiàn)率計(jì)算債券價(jià)格。利用期限的即期收益率，將T天后發(fā)生的現(xiàn)金流折現(xiàn)，記現(xiàn)值為；

（2）選取新的波動(dòng)性計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)值。利用期限的債券價(jià)格波動(dòng)性求出VaR為，

例如計(jì)算上例中債券6個(gè)月的VaR，需要選取6個(gè)月（）的即期收益率，和6個(gè)月期零息債券的波動(dòng)性。例17.7

假設(shè)有一個(gè)1年期，面值為100的零息債券。1年期的即期收益率為9%，該零息債券價(jià)格的日變化量服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差（波動(dòng)性）為0.05%的正態(tài)分布。在95%的置信水平下，計(jì)算該債券6個(gè)月的VaR。解：

SAS程序：%macropullpar(alpha,YTMr,t1,t2,sigma,Par);prociml;l=probit(1-&alpha);th=&t1-&t2;/*t1isT,t2ist*/sigmath=&sigma*sqrt(th/360);rth=&YTMr*th/360;/*thindays*/Vth=&Par/(1+rth);VaRt=Vth*l*sigmath*sqrt(&t2);printrth

Vth

VaRt;%mendpullpar;%pullpar(0.05,0.09,360,180,0.0005,100);模擬法前面介紹的方法基于對(duì)收益率變動(dòng)量的正態(tài)分布假設(shè)，即.在蒙特卡羅模擬中，可以對(duì)收益率進(jìn)行更靈活的假設(shè)，然后基于隨機(jī)生成的收益率過程來考察債券價(jià)格的變動(dòng)軌跡。當(dāng)然也可以直接對(duì)債券價(jià)格進(jìn)行建模，蒙特卡羅模擬法的結(jié)果依賴于對(duì)模型的假設(shè)。蒙特卡羅模擬模型模型1：為了保證價(jià)格不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值的情況，利用價(jià)格的對(duì)數(shù)來建模。

由上式得，

這就保證了的非負(fù)性。服從正態(tài)分布，則服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。模型1隱含這樣的假設(shè)，即不隨時(shí)間變化。若放松這個(gè)假設(shè)后得到下面模型2。模型2：

前面兩個(gè)模型都是對(duì)債券價(jià)格進(jìn)行建模的。這類模型存在一個(gè)缺陷，忽略了債券價(jià)格的面值回歸現(xiàn)象。即隨著債券到期日的臨近，債券價(jià)格會(huì)收斂到它的面值，從而債券價(jià)格的波動(dòng)性也會(huì)收斂到0。下面利用債券收益率的對(duì)數(shù)來建模。除了面值回歸現(xiàn)象以外，利用