專題26 正弦定理和余弦定理-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）原卷版

2/2專題26正弦定理和余弦定理（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)1】利用正、余弦定理解三角形 5【考點(diǎn)2】判斷三角形的形狀 6【考點(diǎn)3】和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題 7【分層檢測(cè)】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 11考試要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__Ceq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R常見(jiàn)變形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·全國(guó)·高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．四、解答題6．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．8．（2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．9．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．10．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．11．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．12．（2021·全國(guó)·高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】利用正、余弦定理解三角形一、單選題1．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江金華·三模）已知橢圓，、分別為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且，若的面積為，則（

）A． B．3 C． D．4二、多選題3．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（

）A． B．面積的最大值為C． D．邊上的高的最大值為三、填空題4．（2024·四川成都·三模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若且，則的值為四、解答題5．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別是，且.(1)求的值；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng).6．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．(1)求角；(2)若的角平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，求的面積．反思提升：(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過(guò)解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.【考點(diǎn)2】判斷三角形的形狀一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，面積為，若，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形2．（2024·河北秦皇島·三模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則（

）A．為直角三角形 B．為銳角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無(wú)法確定二、多選題3．（2021·黑龍江雞西·模擬預(yù)測(cè)）在中，有如下四個(gè)命題正確的有（

）A．若，則為銳角三角形B．若，則的形狀為直角三角形C．內(nèi)一點(diǎn)G滿足，則G是的重心D．若，則點(diǎn)P必為的外心三、填空題4．（2021·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，若，則，三角形的形狀為.四、解答題5．（2024·上海寶山·二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.(1)求角的大??；(2)若的面積為，求的最小值，并判斷此時(shí)的形狀.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為．(1)判斷的形狀，并證明；(2)求的最小值．反思提升：1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.2.無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.【考點(diǎn)3】和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題一、單選題1．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，若點(diǎn)D滿足，且，則（

）A． B．2 C． D．42．（2024·貴州遵義·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，D為的中點(diǎn)，已知，，且，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江西·二模）已知中，為的角平分線，交于點(diǎn)為中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．的面積為D．在的外接圓上，則的最大值為三、填空題4．（2024·山東·二模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且，則面積的最大值為．四、解答題5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是且向量滿足.(1)求A；(2)若，求BC邊上的高.6．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，．(1)求角A；(2)若的面積為，周長(zhǎng)為6，求．反思提升：與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則a的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，則的面積等于（

）A．3 B． C．5 D．3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，且，則是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形二、多選題5．（21-22高一下·江蘇南京·期中）三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列條件能判斷是鈍角三角形的有（

）A．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4 B．C． D．6．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，P，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．扇形的面積為C．D．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為7．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）若的三個(gè)內(nèi)角的正弦值為，則（

）A．一定能構(gòu)成三角形的三條邊B．一定能構(gòu)成三角形的三條邊C．一定能構(gòu)成三角形的三條邊D．一定能構(gòu)成三角形的三條邊三、填空題8．（2024·山東威?！ざ＃┰谥?，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則=．9．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，平分交于，，則面積的最小值為；若，則的面積為．10．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，且，則的面積為.四、解答題11．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．(1)求角；(2)若，求的值．12．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，的角平分線與相交于點(diǎn)，且.(1)求的大?。?2)求的值.【能力篇】一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則面積的最大值為（

）A． B． C．12 D．15.2．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）為了進(jìn)一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設(shè)了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道，已知扇形的半徑，圓心角，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是半徑上的動(dòng)點(diǎn)，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·寧夏銀川·三模）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)，若，且雙曲線E的離心率為，則（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若正三角形的一