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應(yīng)力狀態(tài)

提要:由于構(gòu)件在不同的材料,不同的受力情況下,其破壞情況均不相同,為了對(duì)構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力情況有一個(gè)全面的了解,本章主要研究構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位截面上的應(yīng)力變化規(guī)律——應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題。7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念一.點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(stateofstressesatagivenpoint)在前面幾章中,在計(jì)算桿件內(nèi)的應(yīng)力時(shí),一般都是取桿的橫截面來(lái)研究的。并分析了桿件在各種基本變形時(shí)的應(yīng)力分布規(guī)律,由此建立了強(qiáng)度條件但是,不同的材料,在不同的受力情況下,其破壞面并不都是發(fā)生在橫截面上。例如,鑄鐵在軸向拉伸時(shí)其破壞面發(fā)生在橫截面上,但在軸向壓縮時(shí),卻是沿著大約的斜截面破壞(圖7.1(a),(b))。又例如,當(dāng)?shù)吞间撛谂まD(zhuǎn)受力時(shí),破壞面發(fā)生在橫截面上,如果是鑄鐵受扭,破壞面卻發(fā)生在約的螺旋面上(圖7.2(a),(b))。

(a)(b)

圖7.1鑄鐵受拉壓時(shí)的破壞情況(a)鑄鐵拉伸破壞;(b)鑄鐵壓縮破壞(a)(b)圖7.2低碳鋼和鑄鐵受扭破壞情況低碳鋼受扭破壞;(b)鑄鐵受扭破壞7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念如果桿件受到幾種基本變形的組合作用,破壞面也不都是發(fā)生在橫截面上。產(chǎn)生這些情況的原因說(shuō)明了斜截面上的應(yīng)力可能大于橫截面上的應(yīng)力,因此有必要對(duì)桿件內(nèi)某一點(diǎn)應(yīng)力情況有個(gè)全面的了解。一般來(lái)說(shuō),受力桿件內(nèi)某點(diǎn)處不同方位截面上的應(yīng)力的集合,稱(chēng)為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(stateofstressatapoint)。本章主要研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。為了研究受力桿件內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),通常圍繞該點(diǎn)取出一個(gè)無(wú)限小的正六面體——單元體(element)來(lái)研究。由于單元體的邊長(zhǎng)無(wú)限小,所以認(rèn)為單元體各面上的應(yīng)力是均勻分布的,且對(duì)應(yīng)兩平行平面上的應(yīng)力是相等的。7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念于是6個(gè)面上的應(yīng)力只要知道3個(gè)面上的應(yīng)力就可以了。如圖7.3(a),取桿件內(nèi)的A點(diǎn)作為單元體,其橫截面上的正應(yīng)力可由來(lái)確定,切應(yīng)力可由來(lái)確定。根據(jù)切應(yīng)力互等定理,(theoremofconjugateshearingstress)可同時(shí)確定上下兩面的應(yīng)力(圖7.3(b))。一般來(lái)說(shuō),單元體各面的法線與給定的坐標(biāo)軸平行,則該面上的應(yīng)力、寫(xiě)成、。7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念(a)(b)圖7.3梁內(nèi)A點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(a)受集中力的簡(jiǎn)支梁;(b)梁內(nèi)A點(diǎn)單元體應(yīng)力狀態(tài)7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念

二.主平面和主應(yīng)力的概念單元體上切應(yīng)力為0的面稱(chēng)為主平面(principalplane),主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力(principalstress)(圖7.4(a))。根據(jù)切應(yīng)力互等定理,當(dāng)單元體上某個(gè)面切應(yīng)力為0時(shí),與之垂直的另兩個(gè)面的切應(yīng)力也同時(shí)為0,即三個(gè)主平面是相互垂直的。由此,對(duì)應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力也是相互垂直的。主應(yīng)力通常用、、表示,按其代數(shù)值的大小排列。最大值為,最小值為。如某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力分別為,則三個(gè)主應(yīng)力的排列為:。當(dāng)其中一個(gè)主應(yīng)力為0時(shí),該主應(yīng)力也參加排列。如某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為:,則,,。7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念(a)(b)(c)(d)

圖7.4單元體上的主應(yīng)力7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念根據(jù)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力不為0的數(shù)目,將應(yīng)力狀態(tài)分為三類(lèi):?jiǎn)蜗驊?yīng)力狀態(tài)(onedimensionalstateofstresses),一個(gè)主應(yīng)力不為0(圖7.4(b));(2)二向應(yīng)力狀態(tài)(planestateofstress),二個(gè)主應(yīng)力不為0(圖7.4(c));(3)三向應(yīng)力狀態(tài)(three-dimensionalstateofstress),三個(gè)主應(yīng)力不為0(圖7.4(d))。三向應(yīng)力狀態(tài)又稱(chēng)空間應(yīng)力狀態(tài),二向應(yīng)力狀態(tài)又稱(chēng)平面應(yīng)力狀態(tài),單向應(yīng)力狀態(tài)又稱(chēng)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài),本章主要研究平面應(yīng)力狀態(tài)。7.1應(yīng)力狀態(tài)的概念

7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法

一.任意斜截面上的應(yīng)力若單元體有一對(duì)平行平面上的應(yīng)力為0,即為平面應(yīng)力狀態(tài)(圖7.5(a)),由于z方向無(wú)應(yīng)力,可將單元體改成為圖7.5(b)的形式,在x、y面上存在、,且。下面根據(jù)單元體各面上已知應(yīng)力來(lái)確定任一斜截面上的未知應(yīng)力,從而找出在該點(diǎn)處的最大應(yīng)力及其方位。設(shè)任一斜面的外法線n與x軸的夾角為(角以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?,該斜面稱(chēng)為面(圖7.5(c)),在面上的應(yīng)力分別用表示,取出面一下部分為隔離體分析(圖7.5(d)),設(shè)以正向假定,斜面面積為,現(xiàn)分別對(duì)斜面的法線n和切線t取平衡方程:因?yàn)椋?方向已確定,所以沒(méi)有“-”號(hào))整理上式,得:7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法

(7.1)

(7.2)

上式即為平面應(yīng)力狀態(tài)下任一斜面上的計(jì)算公式。取另一斜面,面與面垂直(),由上式可得面的應(yīng)力7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法將和相加,得:由此可知,任意兩相互垂直面上的正應(yīng)力之和保持不變。

二.主平面和主應(yīng)力的確定7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法主平面切應(yīng)力為0的平面即為主平面,在式(7.2)中,當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的,則面即為主平面的方位。特別要注意的是,是最大主應(yīng)力與較大值的夾角。

(7.3)

2.主應(yīng)力對(duì)應(yīng)面上的正應(yīng)力即為主應(yīng)力,因?yàn)橹鲬?yīng)力是相互垂直的,根據(jù)任意兩相互垂直面上的正應(yīng)力之和保持不變的原則可知,主應(yīng)力就是單元體上的正應(yīng)力極值,它們將分別達(dá)到極大值和極小值。將換算成,以及和分別代入式(7.1)中,可得:

(7.4)7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法上式為主應(yīng)力計(jì)算公式,由此可以得到該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力。

三.最大切應(yīng)力因?yàn)槿我饨孛娴囊彩亲兞康暮瘮?shù),為了求出最大切應(yīng)力,根據(jù)式(7.2),將其對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法當(dāng)時(shí),使,則所在截面即為切應(yīng)力的極值,將代入上式

(7.5)

利用,上式可以求解出兩個(gè)角度,這兩個(gè)角度相差90°。又因?yàn)?,所?0°,即45°,說(shuō)明最大切應(yīng)力與主平面夾角45°。將式(7.5)中解出,代入式(7.2),求得切應(yīng)力的最大值和最小值7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法

(7.6)【例7.1】試計(jì)算圖7.6所示單元體上指定截面的應(yīng)力,已知,,,計(jì)算并求出主應(yīng)力及其方向。分析:因?yàn)橐阎獑卧w上x(chóng)面和y面上的應(yīng)力,且斜面的法線n與x軸的夾角30°,可以由式(7.1)和(7.2)計(jì)算出α面的正應(yīng)力和切應(yīng)力;再由式(7.4)求出主應(yīng)力。解:(1)先將,,和30°代入式(7.1)和(7.2),得圖7.6例7.1圖7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法(2)主平面與主應(yīng)力。確定主平面方位,根據(jù)式(7.3),將單元體已知應(yīng)力代入,得:得,即即為最大主應(yīng)力與x軸的夾角。

7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法主應(yīng)力為:于是可知:7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法

【例7.2】一受力桿件中某點(diǎn)的單元體如圖7.7所示,已知:試求:

60°斜面上的應(yīng)力;

30°斜面上的應(yīng)力;最大切應(yīng)力。7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法(a)(b)(c)(d)圖7.7例7.2圖分析:該單元體上只有正應(yīng)力沒(méi)有切應(yīng)力,利用式(7.1)、(7.2)和(7.6)時(shí),只要將tx=0代入即可。解:(1)求60°斜面上的應(yīng)力,可設(shè),由式(7.1)和(7.2),可得:7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法(2)求30°。斜面的應(yīng)力,同樣采用式(7.1)和(7.2),可得:

(3)最大切應(yīng)力,由式(7.6),可得:7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法最大切應(yīng)力所在平面,45°,即45°角。在45°面上的正應(yīng)力為:

【例7.3】一鑄鐵材料的圓軸(圖7.8(a)),試分析扭轉(zhuǎn)時(shí)邊緣上點(diǎn)A的應(yīng)力情況。圖7.8例7.3圖7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法

解:由式(7.4)可得:分析:圓軸受扭時(shí),橫截面邊緣處切應(yīng)力最大,其值為:取邊緣上的點(diǎn)A分析(圖7.8(b)),因?yàn)閱卧w各面上正應(yīng)力為0,故該單元體屬于純切應(yīng)力狀態(tài),代入式(7.4)可求出邊緣上點(diǎn)A的主應(yīng)力。7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法

主應(yīng)力方向:7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法上述結(jié)果表明,在桿軸向±45°方向,主應(yīng)力分別達(dá)到最大和最小,一為拉應(yīng)力,一為壓應(yīng)力。圓軸在受扭時(shí),表面各點(diǎn)在主平面內(nèi)加連成傾角45°的螺旋面(圖7.2(b))。由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度低于抗壓強(qiáng)度,桿件將沿這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。解得:

在上節(jié)對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法中,已知單元體的,可由解析法計(jì)算出任一斜面上的應(yīng)力,下面將用圖解的方式來(lái)描述單元體上的應(yīng)力情況?,F(xiàn)將式(7.1)和(7.2)消去,將(a)改寫(xiě)為7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

(a)

將上兩式等號(hào)兩邊平方,再相加,得:因?yàn)槭且阎?,所以?b)是一個(gè)以為水平坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、圓心在()點(diǎn)、半徑為的圓,稱(chēng)這個(gè)由所構(gòu)成的圓為應(yīng)力圓(stresscircle),該應(yīng)力最早由德國(guó)工程師莫爾(OttoMohr,1835—1918)引入,故又稱(chēng)為莫爾應(yīng)力圓(Mohrcircleforstresses)7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

下面根據(jù)單元體上已知應(yīng)力(圖7.9(a))作出相應(yīng)的應(yīng)力圓(圖7.9(b))。(a)(b)圖7.9根據(jù)單元體作出的應(yīng)力圓(a)單元體應(yīng)力分布;(b)單元體應(yīng)力圓7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法在~直角坐標(biāo)系內(nèi),選取適當(dāng)比例,量取,,,得D2點(diǎn),連接D1D2兩點(diǎn),D1D2與軸相交于點(diǎn)C,以C為圓心,CD1為半徑作圓,即為單元體所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力圓。顯然,圓心C的坐標(biāo)為,半徑為或CD2,且。因?yàn)辄c(diǎn)D1的坐標(biāo)即代表單元體x面上的應(yīng)力,若要求單元體上某一面上的應(yīng)力和,只要從應(yīng)力圓的半徑按2同向轉(zhuǎn)動(dòng),得到半經(jīng),點(diǎn)E的坐標(biāo)即為所求。現(xiàn)證明如下:E點(diǎn)的坐標(biāo)7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法于是,同理,7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

在單元體上從x面的法線順時(shí)針轉(zhuǎn)即為主平面方位。也可以在應(yīng)力圓上過(guò)D1點(diǎn)作軸的平行線交圓周與E2點(diǎn),連E2A1線,在單元體上作E2A1的平行線,即為主平面的方位。因?yàn)閳A弧D1A1對(duì)應(yīng)的圓周角是同弧對(duì)應(yīng)的圓心角的一半。只要x面的法線與水平坐標(biāo)軸平行即可以很容易確定主平面的方位。二.主切應(yīng)力及方位單元體上最大切應(yīng)力(maximumshearingstress)可由解析法中式(7.6)求出,在應(yīng)力圓上,主切應(yīng)力在應(yīng)力圓的最高點(diǎn)Do和最低點(diǎn)Do′(圖7.10),該兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為兩個(gè)主切應(yīng)力的值。7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

由應(yīng)力圓可見(jiàn),DoA1圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為90°,從A1到Do逆時(shí)針轉(zhuǎn)向,在單元體上從主應(yīng)力逆時(shí)針轉(zhuǎn)45°得到正號(hào)主切應(yīng)力平面,順時(shí)針轉(zhuǎn)可得負(fù)號(hào)主切應(yīng)力平面。因此,主切應(yīng)力與主應(yīng)力夾45°角。【例7.4】一平面應(yīng)力狀態(tài)如圖7.11(a)所示,已知:用圖解法試求:(1)在截面上的應(yīng)力。(2)主應(yīng)力,并在單元體上繪出主平面位置及主應(yīng)力方向。(3)主切應(yīng)力,并在單元體上繪出主切應(yīng)力作用平面。7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

(a)(b)(c)圖7.11例7.4圖7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

分析:因?yàn)橐阎獑卧w上x(chóng)面和y面上的應(yīng)力,根據(jù)該兩面上的應(yīng)力先作出應(yīng)力圓,由斜面的法線n與x軸的夾角,過(guò)應(yīng)力圓上的半徑逆時(shí)針轉(zhuǎn),交圓周點(diǎn)E,E的坐標(biāo)即為所求。應(yīng)力圓在軸上的交點(diǎn)A1,A2即為主應(yīng)力,應(yīng)力圓在縱坐標(biāo)的最高點(diǎn)即為。再根據(jù)D1和A1所夾圓心角和和A1的夾角,可確定和的方向。解:首先在(圖7.11(b))坐標(biāo)內(nèi)按比例確定D1(50,20)H和D2(0,-20)兩點(diǎn),連D1和D2,交軸于C點(diǎn),以C為圓心,為半徑作圓,此為所求應(yīng)力圓。7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

(1)求面的應(yīng)力。在應(yīng)力圓上,由的半徑逆時(shí)針轉(zhuǎn)120°交圓周于E點(diǎn),量取E的坐標(biāo)值,,此為面上的應(yīng)力。(2)求主應(yīng)力。在應(yīng)力圓上,圓周與軸的交點(diǎn)是A1,和A2,該兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是單元體的兩個(gè)主應(yīng)力,量取其大小,得:因?yàn)閺腄1到A1,的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為:7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法在單元體上順時(shí)針轉(zhuǎn)即可得主平面方向。也可以作圖得出,過(guò)D1作軸的平行線交應(yīng)力圓圓周的點(diǎn)D1′,連D1′A1,因?yàn)榕c軸的夾角即為,在單元體上作的平行線,即為的方向。(3)求主切應(yīng)力。主切應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的位置在應(yīng)力圓上的Do和Do′點(diǎn),量取其大小因?yàn)镈o與A2夾90°角,即與夾45°角,又因?yàn)镈o與D1的夾角為:可在單元體中由x面逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到的平面,負(fù)號(hào)主切應(yīng)力面垂直(圖7.11(c))。7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

分析:因?yàn)閱卧w上各方向的應(yīng)力都在應(yīng)力圓的圓周上,面和y面的應(yīng)力也在圓周上。因此,在坐標(biāo)上,按比例確定面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D1(25,10)和y面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D2(5,-5)。連D1D2,作D1D2的垂直平分線,交軸于C,以C為圓心,為半徑作圓,即為該單元體對(duì)應(yīng)的應(yīng)力圓(圖7.13(a))【例7.5】已知單元體(圖7.12)中面和y面上的應(yīng)力

,。試求:(1)單元體上的主應(yīng)力及其方向。(2)單元體上x(chóng)面上的應(yīng)力。7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法解:(1)量取,得,量取,得。再量取D1A1對(duì)應(yīng)的圓心角,在單元體上的面順時(shí)針轉(zhuǎn)30°得主應(yīng)力所在平面。量取D1A2對(duì)應(yīng)的圓心角,在單元體上的y面逆時(shí)針轉(zhuǎn)30°得主應(yīng)力所在平面(圖7.13(b))。因?yàn)槊媾cx面夾角60°,過(guò)半徑,量取,交圓周于E(圖7.13(c)),E點(diǎn)的坐標(biāo)即為x面的應(yīng)力,量取E的坐標(biāo)值,。

此題也可以由解析法求出主應(yīng)力,請(qǐng)讀者自行練習(xí)。7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

圖7.13例7.5圖解法7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

7.4梁的主應(yīng)力與主應(yīng)力跡線梁在橫力彎曲時(shí),除橫截面上下邊緣各點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)外,其余各點(diǎn)均產(chǎn)生正應(yīng)力和切應(yīng)力,由于橫截面上無(wú)擠壓,故,且橫截面正應(yīng)力,切應(yīng)力,梁內(nèi)任一點(diǎn)的主應(yīng)力計(jì)算式:一.梁的主應(yīng)力不論是拉還是壓,主應(yīng)力只有和,,且一為主拉應(yīng)力,一為主壓應(yīng)力。

(7.7)

二.主應(yīng)力跡線取梁內(nèi)任一截面m-m,沿高度選取1、2、3、4、5個(gè)點(diǎn)(圖7.14),根據(jù)各點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力,利用應(yīng)力圓來(lái)確定這些點(diǎn)處主應(yīng)力的數(shù)值與主平面位置。在m-m

截面處,1、5兩點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài),3點(diǎn)處于純切應(yīng)力狀態(tài),2、4點(diǎn)處于雙向應(yīng)力狀態(tài)。從這些點(diǎn)的單元體和應(yīng)力圓上可以看出,主應(yīng)力方向沿梁的高度是連續(xù)變化的。梁內(nèi)主應(yīng)力方向的變化規(guī)律就是主應(yīng)力跡線,主應(yīng)力跡線是一條曲線,也就是該曲線的切線與該點(diǎn)主應(yīng)力方向一致。7.4梁的主應(yīng)力與主應(yīng)力跡線

圖7.14梁內(nèi)m-m截面各點(diǎn)主應(yīng)力方向7.4梁的主應(yīng)力與主應(yīng)力跡線

在梁上取等距離的若干截面1、2、3…(圖7.15(a)),在a點(diǎn)求得該點(diǎn)的主應(yīng)力,并延長(zhǎng)到2截面交于b點(diǎn),再求b點(diǎn)主應(yīng)力方向,并延長(zhǎng)交于3截面c點(diǎn),以此類(lèi)推,可得a、b、c…的折線,這就是主應(yīng)力的軌跡線。相鄰截面越近,跡線也越真實(shí)。同樣可得出主應(yīng)力的跡線(圖7.15(b)),實(shí)線代表,虛線代表。梁的主應(yīng)力跡線在中性層的交角都是45°,在梁的上下邊緣,主應(yīng)力與梁軸線平行或垂直,兩主應(yīng)力跡線在交點(diǎn)處的切線是垂直的。7.4梁的主應(yīng)力與主應(yīng)力跡線

圖7.15主應(yīng)力跡線(a)主應(yīng)力軌跡線;(b)主應(yīng)力、跡線知道了梁的主應(yīng)力方向的變化規(guī)律,在工程設(shè)計(jì)中是很有用的。如在鋼筋混凝土梁中,按照主應(yīng)力的跡線可判斷裂縫發(fā)生的方向,適當(dāng)?shù)呐渲娩摻?,以承?dān)梁內(nèi)各點(diǎn)的最大拉應(yīng)力。7.4梁的主應(yīng)力與主應(yīng)力跡線

7.5三向應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)單元體上三個(gè)主應(yīng)力均不為0時(shí),就稱(chēng)為三向應(yīng)力狀態(tài)。如低碳鋼在拉伸時(shí),斷口處的應(yīng)力狀態(tài)就是三向應(yīng)力狀態(tài)(圖7.16(a))。用與拉桿的橫截面和縱截面平行的截面取一單元體(圖7.16(b)),因?yàn)檫@三個(gè)相互垂直的平面都是主平面,拉伸時(shí)三個(gè)主應(yīng)力都是拉應(yīng)力的三向應(yīng)力狀態(tài)。下面利用應(yīng)力圓來(lái)確定該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。圖7.16低碳鋼拉伸斷口處的應(yīng)力

先研究一個(gè)與主應(yīng)力平行的斜截面上的應(yīng)力情況(圖7.17(a)),因?yàn)榕c該截面平行,所以該斜截面上的應(yīng)力、與無(wú)關(guān),只由主應(yīng)力和決定。于是,可由和所作的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來(lái)表示。該圓的最大最小正應(yīng)力分別是和。同理,在平行于和的斜截面上的,也可以分別由(,),(,)所作的應(yīng)力圓來(lái)表示(圖7.17(b))。當(dāng)與三個(gè)主應(yīng)力都不平行的任意斜截面(圖7.17(c))上的應(yīng)力、(a,b,c截面)必處在三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影范圍之內(nèi)的某D點(diǎn)。由于D點(diǎn)的確定較為復(fù)雜且不常用,這里不再作進(jìn)一步的介紹。7.5三向應(yīng)力狀態(tài)

(a)(b)(c)圖7.17三向應(yīng)力狀態(tài)與主應(yīng)力平行的斜截面應(yīng)力情況;(b)應(yīng)力圓;(c)與三個(gè)主應(yīng)力均不平行的斜截面應(yīng)力狀態(tài)7.5三向應(yīng)力狀態(tài)

根據(jù)以上分析,在三向應(yīng)力圓中,和所作的應(yīng)力圓是三個(gè)應(yīng)力圓中最大的應(yīng)力圓,又稱(chēng)極限應(yīng)力圓。是該點(diǎn)的最大正應(yīng)力,而是該點(diǎn)的最小正應(yīng)力。單元體中任意斜截面的應(yīng)力一定在和之間。而最大切應(yīng)力則等于最大應(yīng)力圓上B點(diǎn)的坐標(biāo),即該應(yīng)力圓的半徑為:

(7.8)

且所在平面與的方向平行,與和的主平面交45°角。7.5三向應(yīng)力狀態(tài)

【例7.6】一空間應(yīng)力狀態(tài)單元體如圖7.18(a)所示,已知,試求該單元體的正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。圖7.18例7.6圖7.5三向應(yīng)力狀態(tài)

分析:這是三向應(yīng)力狀態(tài),已知所在平面是主平面,即是一個(gè)主應(yīng)力。因此,只要根據(jù)X、Y面上的應(yīng)力、、作出應(yīng)力圓,即可求出其余兩個(gè)主應(yīng)力(圖7.18(b))。解:由圖解法(圖7.18(b))可得:可見(jiàn)最小正應(yīng)力為:最大切應(yīng)力為和所組成的應(yīng)力圓的最高點(diǎn)B7.5三向應(yīng)力狀態(tài)

7.6廣義胡克定律四.材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能一般細(xì)長(zhǎng)桿件壓縮時(shí)容易產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象,因此材料的壓縮試件一般做成短而粗。金屬材料的壓縮試件為圓柱,混凝土、石料等試件為立方體。圖2.20低碳鋼壓縮時(shí)的曲線圖低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力―應(yīng)變曲線如圖2.20所示。為了便于比較,圖中還畫(huà)出了拉伸時(shí)的應(yīng)力―應(yīng)變曲線,用虛線表示。可以看出,在屈服以前兩條曲線基本重合,這表明低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量E、屈服極限等都與拉伸時(shí)基本相同。

不同的是,隨著外力的增大,試件被越壓越扁卻并不斷裂,如圖2.21所示。由于無(wú)法測(cè)出壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限,所以對(duì)低碳鋼一般不做壓縮實(shí)驗(yàn),主要力學(xué)性能可由拉伸實(shí)驗(yàn)確定。類(lèi)似情況在一般的塑性金屬材料中也存在,但有的塑性材料,如鉻鉬硅合金鋼,在拉伸和壓縮時(shí)的屈服極限并不相同,因此對(duì)這些材料還要做壓縮試驗(yàn),以測(cè)定其壓縮屈服極限。圖2.21低碳鋼壓縮時(shí)的變形示意圖7.6廣義胡克定律

脆性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能與壓縮時(shí)有較大區(qū)別。例如鑄鐵,其壓縮和拉伸時(shí)的應(yīng)力―應(yīng)變曲線分別如圖2.22中的實(shí)線和虛線所示。由圖可見(jiàn),鑄鐵壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限比拉伸時(shí)大得多,約為拉伸時(shí)強(qiáng)度極限的3~4倍。鑄鐵壓縮時(shí)沿與軸線約成45°的斜面斷裂,如圖2.23所示,說(shuō)明是切應(yīng)力達(dá)到極限值而破壞。拉伸破壞時(shí)是沿橫截面斷裂,說(shuō)明是拉應(yīng)力達(dá)到極限值而破壞。其他脆性材料,如混凝土和石料,也具有上述特點(diǎn),抗壓強(qiáng)度也遠(yuǎn)高于抗拉強(qiáng)度。因此,對(duì)于脆性材料,適宜做承壓構(gòu)件。7.6廣義胡克定律

綜上所述,塑性材料與脆性材料的力學(xué)性能有以下區(qū)別:塑性材料在斷裂前有很大的塑性變形,而脆性材料直至斷裂,變形卻很小,這是二者基本的區(qū)別。因此,在工程中,對(duì)需經(jīng)鍛壓、冷加工的構(gòu)件或承受沖擊荷載的構(gòu)件,宜采用塑性材料。(2)塑性材料抵抗拉壓的強(qiáng)度基本相同,它既可以用于制作受拉構(gòu)件,也可以用于制作受壓構(gòu)件。在土木工程中,出于經(jīng)濟(jì)性的考慮,常使用塑性材料制作受拉構(gòu)件。而脆性材料抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)高于其抗拉強(qiáng)度,因此使用脆性材料制作受壓構(gòu)件,例如建筑物的基礎(chǔ)等。但是材料是塑性還是脆性是可以隨著條件變化的,例如有些塑性材料在低溫下會(huì)變得硬脆,有些塑性材料會(huì)隨著時(shí)間的增加變脆。溫度、應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變速率等都會(huì)使其發(fā)生變化。7.6廣義胡克定律

前面已經(jīng)討論了軸向拉伸或壓縮時(shí),桿件的應(yīng)力計(jì)算和材料的力學(xué)性能,因此可進(jìn)一步討論桿的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。一.許用應(yīng)力由材料的拉伸或壓縮試驗(yàn)可知:脆性材料的應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限時(shí),會(huì)發(fā)生斷裂;塑性材料的應(yīng)力達(dá)到屈服極限(或)時(shí),會(huì)發(fā)生顯著的塑性變形。斷裂當(dāng)然是不容許的,但是構(gòu)件發(fā)生較大的變形一般也是不容許的,因此,斷裂是破壞的形式,屈服或出現(xiàn)較大變形也是破壞的一種形式。材料破壞時(shí)的應(yīng)力稱(chēng)為極限應(yīng)力(ultimatestress),用表示。塑性材料通常以屈服應(yīng)力作為極限應(yīng)力,脆性材料以強(qiáng)度極限作為極限應(yīng)力。7.6廣義胡克定律

根據(jù)分析計(jì)算所得構(gòu)件的應(yīng)力稱(chēng)為工作應(yīng)力(working

stress)。為了保證構(gòu)件有足夠的強(qiáng)度,要求構(gòu)件的工作應(yīng)力必須小于材料的極限應(yīng)力。由于分析計(jì)算時(shí)采取了一些簡(jiǎn)化措施,作用在構(gòu)件上的外力估計(jì)不一定準(zhǔn)確,而且實(shí)際材料的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)試樣可能存在差異等因素可能使構(gòu)件的實(shí)際工作條件偏于不安全,因此,為了有一定的強(qiáng)度儲(chǔ)備,在強(qiáng)度計(jì)算中,引進(jìn)一個(gè)安全系數(shù)(factorofsafety),設(shè)定了構(gòu)件工作時(shí)的最大容許值,即許用應(yīng)力(allowablestress),用[]表示

(2.14)

式中是一個(gè)大于1的系數(shù),因此許用應(yīng)力低于極限應(yīng)力。7.6廣義胡克定律

確定安全系數(shù)時(shí),應(yīng)考慮材質(zhì)的均勻性、構(gòu)件的重要性、工作條件及載荷估計(jì)的準(zhǔn)確性等。在建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中傾向于根據(jù)構(gòu)件材料和具體工作條件,并結(jié)合過(guò)去制造同類(lèi)構(gòu)件的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和當(dāng)前的技術(shù)水平,規(guī)定不同的安全系數(shù)。對(duì)于各種材料在不同工作條件下的安全系數(shù)和許用應(yīng)力,設(shè)計(jì)手冊(cè)或規(guī)范中有具體規(guī)定。一般在常溫、靜載下,對(duì)塑性材料取n

=1.5~2.2,對(duì)脆性材料一般取n

=3.0~5.0甚至更大。7.6廣義胡克定律

一.強(qiáng)力條件為了保證構(gòu)件在工作時(shí)不至于因強(qiáng)度不夠而破壞,要求構(gòu)件的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力,于是得到強(qiáng)度條件(strengthcondition)為≤

(2.15)

對(duì)于軸向拉伸和壓縮的等直桿,強(qiáng)度條件可以表示為

(2.16)

≤式中,為桿件橫截面上的最大正應(yīng)力;為桿件的最大軸力,A為橫截面面積;為材料的許用應(yīng)力。7.6廣義胡克定律在研究單向拉伸與壓縮時(shí),已經(jīng)知道了當(dāng)正應(yīng)力未超過(guò)比例極限時(shí),正應(yīng)力與線應(yīng)變成線性關(guān)系。橫向線應(yīng)變根據(jù)材料的泊松比可得出:7.6廣義胡克定律本節(jié)將研究在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下,應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系——廣義胡克定律。

當(dāng)受力桿件內(nèi)一點(diǎn)A處的三個(gè)主應(yīng)力、、均在比例極限以?xún)?nèi)時(shí),利用疊加原理,可以認(rèn)為三向應(yīng)力狀態(tài)單元體是由三個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)單元體疊加而成的(圖7.19(a))。(a)(b)(c)(d)圖7.19三向應(yīng)力狀態(tài)的疊加(a)三向應(yīng)力狀態(tài);(b)單獨(dú)作用;(c)單獨(dú)作用;(d)單獨(dú)作用7.6廣義胡克定律

在正應(yīng)力單獨(dú)作用時(shí)(圖7.19(b)),單元體在方向的線應(yīng)變,在主應(yīng)力和單獨(dú)作用時(shí)(圖7.19(c)、(d)),單元體在方向的線應(yīng)變分別為:在、、共同作用下,單元體在方向的線應(yīng)變?yōu)椋?.6廣義胡克定律

這就是三向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的廣義胡克定律(generalizedHook’slaw),分別與主應(yīng)力的方向一致,稱(chēng)為一點(diǎn)處的主應(yīng)變。三個(gè)主應(yīng)變按代數(shù)值的大小排列,,其中,分別是該點(diǎn)處沿各方向線應(yīng)變的最大值和最小值。(7.9)7.6廣義胡克定律

一般情況下,在受力桿件內(nèi)某點(diǎn)處的單元體,各面上既有正應(yīng)力也有切應(yīng)力。由彈性理論可以證明,對(duì)于各向同性材料,在線彈性范圍內(nèi),處于小變形時(shí),一點(diǎn)處的線應(yīng)變只與該點(diǎn)的正應(yīng)力有關(guān),而切應(yīng)變只與該點(diǎn)的切應(yīng)力有關(guān)。因此,求線應(yīng)變時(shí),可不考慮切應(yīng)力的影響,求切應(yīng)變時(shí)不考慮正應(yīng)力的影響。于是只要將圖7.19中的換成,即可得到單元體沿方向的線應(yīng)變:(7.10)7.6廣義胡克定律

在平面應(yīng)力狀態(tài)時(shí),即當(dāng)時(shí),上式成為:(7.11)(7.12)7.6廣義胡克定律

在平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí),即時(shí),。由上式可以看出,在平面應(yīng)力狀態(tài)下,;在平面應(yīng)變狀下,,這是值得注意的。同理,切應(yīng)變也可由切應(yīng)力得出:(7.12)7.6廣義胡克定律

【例7.7】如圖7.20所示鋼梁,在梁的A點(diǎn)處測(cè)得線應(yīng)變,

試求:A點(diǎn)處沿X、Y方向的正應(yīng)力和Z方向的線應(yīng)變。已知彈性模量,泊松比。圖7.20例7.7圖7.6廣義胡克定律

分析:因?yàn)锳點(diǎn)的單元體上,該單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài),將代入式(7.11)中,即為所求。解:解得7.6廣義胡克定律

再由7.6廣義胡克定律

7.7三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能一.體積應(yīng)變當(dāng)單元體處在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí),其體積也將發(fā)生變化。設(shè)單元體各邊長(zhǎng)分別為,變形前單元體的體積為變形后單元體的體積變?yōu)?/p>

略去二階以上微量,得故單元體單位體積的改變或體積應(yīng)變(volumetricstrain)為將式(7.9)中的三個(gè)主應(yīng)變代入上式,得(7.14)(7.15)7.7三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能

上式表明,任意一點(diǎn)處的體積應(yīng)變?nèi)Q于三個(gè)主應(yīng)力之和,而不取決于它們之間的大小比例。對(duì)于純剪切的平面應(yīng)力狀態(tài),因?yàn)?,由?7.14)可知,其體積應(yīng)變。對(duì)于一般形式的空間應(yīng)力狀態(tài),切應(yīng)力對(duì)體積應(yīng)變無(wú)影響,體積應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān),于是:(7.16)當(dāng)單元體各面上的三個(gè)主應(yīng)力相等時(shí),,則式(7.15)變?yōu)椋?.7三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能

式中,

稱(chēng)為體積變形系數(shù)。若將圖7.21(a)所示單元體分解為圖7.21(b)和圖7.21(c)兩種應(yīng)力情況的疊加,則在圖7.21(b)中,單元體各面上作用著數(shù)值相等的主應(yīng)力,該單元體各邊長(zhǎng)按同比例伸長(zhǎng)或縮短,所以單元體只發(fā)生體積改變而不發(fā)生形狀改變。(7.17)7.7三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能

圖7.21單元體變形包括體積改變和形狀改變7.7三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能

在圖7.21(c)中,三個(gè)主應(yīng)力分別為這三個(gè)主應(yīng)力之和為即,該單元體只發(fā)生形狀改變而不發(fā)生體積改變。由此可知,圖7.21(a)中所示的單元體的變形將同時(shí)包括體積改變和形狀改變。7.7三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能

二.三向應(yīng)力狀態(tài)下的彈性變形比能在對(duì)各種基本變形桿件變形能分析時(shí),變形比能就是單位體積內(nèi)儲(chǔ)存的變形能,在單向應(yīng)力狀態(tài)下:對(duì)于圖7.21(a)所示的三向應(yīng)力狀態(tài)下的單元體,其變形

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