高中所有數(shù)學公式

中學數(shù)學常用公式與結(jié)論

1元素與集合的關(guān)系：xeA<=>X^CUA9XGQA=00A<=>A^0

2集合｛《,％,…4｝的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個;非空子集有2〃-1個；非空的

真子集有2"_2個.

3二次函數(shù)的解析式的三種形式：

(1)一般式/(x)=ad+陵+。(〃。0)；

(2)頂點式/(力=心-/?)2+線加0);(當已知拋物線的頂點坐標仇外時，設(shè)為此式)

(3)零點式/(x)=a(x-xt)(x-x2)(a#0)；(當已知拋物線與x軸的交點坐標為(西,0),(%,0)

時，設(shè)為此式)

2

(4)切線式：f(x)=a(x-x?)+(h:+d),(a^0)o(當已知拋物線與直線y=fcv+d相切且切

點的橫坐標為％時，設(shè)為此式)

4真值表：同真且真，同假或假

5常見結(jié)論的否定形式;

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一一個也沒有

個

都是不都是至多有一至少有兩個

個

大于不大于至少有〃至多有(〃-1)個

個

小于不小于至多有“至少有(〃+1)個

個

對全部X,成立存在某X,不成p或q—p-q

立

對任何X,不成存在某X,成立P且q—p或-

立

6四種命題的相互關(guān)系(下圖)：(原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.)

充要條件：(1)、則P是q的充分條件，反之，q是P的必要條件;

(2)、p=q,且q#>p,則P是q的充分不必要條件;

(3)、pW>p,且qnp,則P是q的必要不充分條件;

4、p#＞p,且q#＞p,則P是q的既不充分又不必要條件。

7函數(shù)單調(diào)性：

增函數(shù)：（1）、文字描述是：y隨x的增大而增大。

（2）、數(shù)學符號表述是：設(shè)f（x）在e上有定義，若對隨意的小電€。，且^＜W,都

有

"王）＜/（々）成立，則就叫f（x）在e上是增函數(shù)。D則就是f（X）的遞增區(qū)間。

減函數(shù)：（1）、文字描述是：y隨X的增大而減小。

（2）、數(shù)學符號表述是：設(shè)f（x）在G上有定義，若對隨意的公％€。，且為＜々，

都有

/（玉）＞/（々）成立，則就叫f（x）在€上是減函數(shù)。D則就是f（X）的遞減區(qū)間。

單調(diào)性性質(zhì)：（1）、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；（2）、減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；

（3）、增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；（4）、減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；

注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般狀況下是要變的，是等號左邊兩個函數(shù)定義域的交集。

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

數(shù)單調(diào)性

單調(diào)

內(nèi)層函數(shù)tt1

外層函數(shù)tIt

復(fù)合函數(shù)ttII

等價關(guān)系:

⑴設(shè)百4”,可,工產(chǎn)七則

（王-々）［/（藥）-/（冬）］〉oO-"r）＞oOf（X）在［a，U上是增函數(shù)；

玉一々

（內(nèi)-砧［/3）-/（々）］＜。=/（%）:/（々）＜o。f（x）在卜㈤上是減函數(shù).

（2）設(shè)函數(shù)y=/（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),假如尸（x）〉0,則/（x）為增函數(shù)；假如尸（x）＜0,

則/（x）為減函數(shù).

8函數(shù)的奇偶性：(注：是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必需關(guān)于原點對稱)

奇函數(shù)：

定義：在前提條件下，若有/(-犬)=-/3)或/1(-尤)+/0)=0,

則f(x)就是奇函數(shù)。

性質(zhì)：(1)、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；

(2)、奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相同的單調(diào)區(qū)間；

(3)、定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)=0.

偶函數(shù)：

定義：在前提條件下，若有/(-x)=/(x),則f(X)就是偶函數(shù)。

性質(zhì)：(1)、偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

(2)、偶函數(shù)在x>0和x<0上具有相反的單調(diào)區(qū)間；

奇偶函數(shù)間的關(guān)系：

(1)、奇函數(shù)?偶函數(shù)=奇函數(shù)；(2)、奇函數(shù)?奇函數(shù)=偶函數(shù)；

(3)、偶奇函數(shù)?偶函數(shù)=偶函數(shù)；(4)、奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)(也有例外得偶函數(shù)

的)

(5)、偶函數(shù)士偶函數(shù)=偶函數(shù)；(6)、奇函數(shù)土偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，假如一個函數(shù)的圖象

關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)是奇函數(shù)；假如一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是

偶函數(shù).

9函數(shù)的周期性：

定義：對函數(shù)f(X),若存在T*0,使得f()(x),則就叫f(x)是周期函數(shù)，其中，T

是f(x)的一個周期。

周期函數(shù)幾種常見的表述形式：

(1)、f()=-f(x),此時周期為2T；

(2)、f()(),此時周期為2|/〃-〃|

(3)、/(x+n?)=!一，此時周期為2m。

/(無)

10常見函數(shù)的圖像：

11對于函數(shù)y=/(x)(xe2?),f(x+a)=f(b-x)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是x=等；

兩個函數(shù)y=/(》+“)與、=f(h-X)的圖象關(guān)于直線X=^對稱.

12分數(shù)指數(shù)幕與根式的性質(zhì)：~

巴.—

(1)an=yjam(ci>G,m,nwN",且〃>1).

上11

(2)an=—=—=(?>0,m,neN\且〃>1).

aH'a

(3)(』)"=〃.

a，aQ

(4)當〃為奇數(shù)時，ga;當〃為偶數(shù)時，^=\a\=i-.

-a,a<0

13指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：logaN=bod=N(a>0,aw1,N>0).

指數(shù)性質(zhì)：

(1)1、ap=—；(2)、a°=l(awO)；(3)、

ap

絲i—

(4)>優(yōu).a'="+'(a>0,r,SGQ)；(5)、a"=而"；

指數(shù)函數(shù)：

(1)、、=優(yōu)(。>1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、尸優(yōu)(0<a<l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注：指數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(0,

對數(shù)性質(zhì)：

⑴、log“M+Iog“N=log“(MN)；⑵、log?M-log,N=log?;

(N

(3)、logb'"=m'logb；(4)>logb"=--\ogb;(5)、log1=0

aflamaa

los,,b

(6)、logna=1；(7)、a-b

對數(shù)函數(shù)：

(1)、y=log〃x(a>l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、y=log/(0<a<l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注：對數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(1,

0)

(3)、logflx>0。a,xe(0,1)或a,xe(1,+oo)

(4)、lOgflX<0<=><7e(0,l)Wl]xG(1,+00)或〃€(1,+8)貝心€(0,1)

14對數(shù)的換底公式:log“NJ%N3>0,且4Hl，m>o,且相R],N>0).

log,”a

對數(shù)恒等式：a嚙w=N3>0,且a/l,N>0).

推論log=&k)g“"(a>0,且"1,N>0).

am

15對數(shù)的四則運算法則:若a>0,a#LM>0,N>0,則

(1)10gAMN)=log?M+log“N;(2)log“果=log,,M-log,,N；

(3)logM"=nlogM(He/?)；(4)logN"=—log,N(n,meR)o

u(("m(

16平均增長率的問題(負增長時p<0)：

假如原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,則對于時間x的總產(chǎn)值y,有

y=N(l+p)'.

17等差數(shù)列：

通項公式：（1）an=at+（n-\）d,其中q為首項，d為公差，n為項數(shù)，q為末項。

（2）推廣：4“=%.+（〃-%）"

（3）4=S“-S,I5N2）（注：該公式對隨意數(shù)列都適用）

前n項和：（1）S.=〃"%）；其中為為首項，n為項數(shù)，《，為末項。

（2）s.=叫+叫/

（3）S“=S,i+%（”22）（注：該公式對隨意數(shù)列都適用）

（4）S,,=4+%++/（注：該公式對隨意數(shù)列都適用）

常用性質(zhì)：⑴、若，則有am+an=ap+av；

注：若a,“是的等差中項，則有2aM=a“+a?u>n、m、P成等差。

（2）、若｛4｝、也｝為等差數(shù)列,則也±仇｝為等差數(shù)列。

（3）、｛%｝為等差數(shù)列，S〃為其前n項和，則S,“,S2”,—黑,S3,“—S2,“也成等差數(shù)歹h

（4）、咻=q,4=p,則?！?0;

（5）1+2+3+…D

2

等比數(shù)列:

通項公式：（1）4=而1==伽￡心,其中為為首項，n為項數(shù)，q為公比。

q

nk

(2)推廣:an=ak-q-

(3)%=S「S”〃22)（注：該公式對隨意數(shù)列都適用）

前n項和：⑴S“=S,i+a“(〃22)（注：該公式對隨意數(shù)列都適用）

(2)S〃=Q]+%++（注：該公式對隨意數(shù)列都適用）

nax(q=D

(3)S-<

n(<7*1)

.i-q

常用性質(zhì)：（1）、若，則有am-arl=ap-a1）；

注：若a,“是%,的等比中項，則有a；=a,?%on、m、p成等比。

（2）、若｛q｝、出｝為等比數(shù)列，則｛4?2｝為等比數(shù)列。

18分期付款（按揭貸款）：每次還款了=嗎空元（貸款"元，〃次還清，每期利率為6）.

（1+/>）-1

19三角不等式：

（1）若xw（O3）,則sinxvxvtanx.

2

（2）若x￡（0,工），貝!11<sinx+cosxW四?

2

（3）|sin^|+1cosx|>1.

20同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin20+cos20-l,tan6=^2,

COS。

21正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）

22和角與差角公式

（協(xié)助角。所在象限由點（。向的象限確定，tan/=3）.

23二倍角公式與降嘉公式

24三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（（yx+e）,x￡R與函數(shù)y=cos（ox+e）,x￡R（A,3,。為常數(shù)，且A#0）的周

期T=V；函數(shù)y=tan（<yx+e）,xw版"+工，keZ（A,3,0為常數(shù)，且A#0）的周期

1。12

T=—.

三角函數(shù)的圖像：

25正弦定理：-^=—=—=2/?（R為MBC外接圓的半徑）.

sinAsinBsinC

26余弦定理:

27面積定理:

(1)S=—ahc<<-=—b"hh=r/—chc(h>hh>4分另(J表示a、b>c邊上的高).

(2)S=—ahsinC=—hcsinA=—casinB.

222

(3)S：=^(\OA\\OB\)2-(OAOB)2.

28三角形內(nèi)角和定理：\

在△中,有A+8+C=)oC=4一(A+8)

29實數(shù)與向量的積的運算律:設(shè)入、u為實數(shù)，貝!I：

(1)結(jié)合律：入(口L)=(人口)a；

⑵第一安排律：(入+□)片人4+口&；

(3)其次安排律：入(〃+。)=入〃+入〃.

30。與人的數(shù)量積(或內(nèi)積)：d?bdbcos0。

31平面對量的坐標運算：

(1)設(shè)3區(qū),%)6(x2,y2),則ab(不+%,%+%)?

(2)設(shè)。(為，必)》(x2,y2),則&/?-x2,yt-y2).

⑶設(shè)A(X1,yJ,B(x2,y2),JJOAB=OB-OA=(x2-^,y2-y1).

(4)設(shè)a=(x,y),4eR,貝!j2a=(/lx,/ly).

(5)設(shè)a(X］，M)6(x2,y2),則d,b={xxx2+yxy2).

32兩向量的夾角公式：

33平面兩點間的距離公式：_______________

dA,n=\AB|=JAB.AB=->(A(%,y),B(%,%))?

34向量的平行與垂直s設(shè)d(如%)502，%)，且bwO,則:

abob\aox}y2-x2y}=0.(交叉相乘差為零)

alb(Aw0)oa?Z?=0?>x1x2+=0.(對應(yīng)相乘和為零)

35線段的定比分公式：設(shè)［(公,)，￡(%，%)，P?y)是線段耳鳥的分點，尤是實數(shù)，且

_X,+AX2

qp=%PA,則1+2=OP=

.J+以l+A

-1+2

36三角形的重心坐標公式：△三個頂點的坐標分別為A(%,力)、B(x2.y2).(：63，丫3),則^

的重心的坐標是G(X|+&+X3,M+及+%.

33

37三角形五“心”向量形式的充要條件：

設(shè)。為A4BC所在平面上一點，角A,3,C所對邊長分別為d"c,則

(1)。為AABC的外心=。/=。8=。?！?

(2)。為MBC的重心o0A+08+0C=0.

(3)。為AA5C的垂心=QA0B=030C=0CQ.

(4)。為A/WC的內(nèi)心=qO4+bO6+cOC=0.

(5)。為AABC的ZA的旁心oaOA=〃OB+cOC.

38常用不等式：

(1)4,。67?=>/+從之2時(當且僅當2=1)時取“=”號).

（2）4,/,€/?+=色也2疝（當且僅當2=1）時取“=”號）.

2

（3）tz3+/?3+c3>3abe（a>0,Z?>0,c>0）.

（4）同一國<|4+〃區(qū)同+國.

（5）之上4J拓4土心6歸笆（當且僅當a=b時取"=”號）。

a+b2Y2

39極值定理：已知羽），都是正數(shù)，則有

（1）若積q是定值P，則當x=.v時和x+），有最小值2而；

（2）若和x+y是定值s,則當x=），時積￥有最大值!st

（3）已知a,b,x,yeR+,若以+外=1則有

（4）已知n,b,x,yeR+,若色+2=1則有

xy

40一元二次不等式以2+6x+c>0（或<0）（4聲0,A=從一4仇、>0）,假如a與o^+bx+c同號，

則其解集在兩根之外；假如。與a?+bx+c異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號

兩根之外，異號兩根之間.即：

41含有肯定值的不等式：當a>0時，有

N><70%2>/0或％v—a.

42斜率公式：

43直線的五種方程：

（1）點斜式y(tǒng)-j,=k（x-xt）（直線/過點[（X|,y）,且斜率為左）.

（2）斜截式y(tǒng)=^+）（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點式——二=*'（%工%）（5（X]，X）、2（孫力）（玉**2，,產(chǎn)力））.

y2f”為

兩點式的推廣：區(qū)-％）（）,-必）--y）（x-X|）=O（無任何限制條件!）

（4）截距式￡+2=1（”、匕分別為直線的橫、縱截距，°工0、6聲0）

ab

（5）一般式Ar+By+C=O（其中A、B不同時為0）.

直線Ar+B），+C=O的法向量：1=（A,B）,方向向量：/=（￡-4）

44夾角公式：

&—k、

(1)tana=|?(4：y=占x+4，liy-kx+b,kk*-l)

1+攵2匕222x2

A〕B、-B、

(2)tana-\|:+B[y+G=0,4：A2x+82y+G=o，44+43,H0)?

A+B、B、

直線/2時，直線1l與12的夾角是].

454到4的角公式:

（1）tana=?（4：y=2聲+4，4：N=的工+打，女人工一。

（2）tan。~（《：Ag+qy+G=0,/:A,x+By+C=0,人人+用層工0）.

A[+8]B]222

直線4u時，直線Z到12的角是三.

2

46點到直線的距離：4」―/+為。+。1（點2（/,,）,直線/：不+為+c=0）.

y/A2+B2

47圓的四種方程：

（1）圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

（2）圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（￡>2+E2-4F>0）.

（3）圓的參數(shù)方程廠=：+嗎.

yy=b+rsm^

（4）圓的直徑式方程。-占心-4）+（）」）。（廣力）=0（圓的直徑的端點是3方）、8（4,），2））.

48點與圓的位置關(guān)系：點P（Xo，%）與圓（x-a）2+（y-b）2=/的位置關(guān)系有三種：

若d=J（a-x（））2+（b-乂），則點P在圓外；

d=r=點P在圓上；d<ro點P在圓內(nèi).

49直線與圓的位置關(guān)系：直線Ax+By+C=O與圓（x-a）2+（y-〃）2=/的位置關(guān)系有三種

5”）：

50兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為0”02,半徑分別為n,r2,\OtO2\=d,

則：

51橢圓上+[=1（。>8>0）的參數(shù)方程是「=：cos;離心率C

ab[y=bsm0a\a-

準線到中心的距離為且，焦點到對應(yīng)準線的距離（焦準距）°=生。

CC

過焦點且垂直于長軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：2.%.

a

22

52橢圓W+與=1（“>b>0）焦半徑公式與兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積：

ab

53橢圓的的內(nèi)外部：

（1）點?（%0,%）在橢圓,+方=1（4>。>0）的內(nèi)部o咚+選<1>

2222

（2）點P?,%）在橢圓0+相=1.>匕>0）的外部o4+普>1.

a~b~a~b~

54橢圓的切線方程：

22

（1）橢圓0+3=1（。>人>0）上一點P（X。,為）處的切線方程是辮+萍”

a~b~ab~

（2）過橢圓±+[=1外一點P（x0,為）所引兩條切線的切點弦方程是警+岑=1.

a~b-ab

（3）橢圓5+￡=l（a>8>0）與直線4v+3），+C=O相切的條件是A2/+B2〃=C、2.

55雙曲線￡-1=13>0/>0）的離心率<?=￡=、1^,準線到中心的距離為《，焦點到

ab'a\a~c

對應(yīng)準線的距離（焦準距）p=￡。過焦點且垂直于實軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：2.廿.

ca

22

焦半徑公式|P用=|e（x+?Ha+ex|,歸周=|e（?■-x）|=|a-ex\,

兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積％.”=/c°t芻竺。

56雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系：

(1)若雙曲線方程為馬-In漸近線方程：4-4=0?y=±-x.

a~b'a'b'a

(2)若漸近線方程為y=±2x-±±2=0=雙曲線可設(shè)為￡—匕=入.

aabab

?222

(3)若雙曲線與「-與=I有公共漸近線，可設(shè)為二—與=九