高中數(shù)學(xué)教案范文

高中數(shù)學(xué)教案范文精選

教案，所謂備課，其主要內(nèi)容就是寫教案，它包括對教材進(jìn)行討

論、對同學(xué)進(jìn)行分析，周密考慮需要的教學(xué)手段、采納的（教學(xué)（方

法）），今日我在這給大家整理了數(shù)學(xué)教案大全，接下來隨著我一起來

看看吧！

數(shù)學(xué)教案（一）

指數(shù)與指數(shù)幕的運算教案

整體設(shè)計

教學(xué)分析

我們在學(xué)校的學(xué)習(xí)過程中，已了解了整數(shù)指數(shù)幕的概念和運算性

質(zhì).從本節(jié)開頭我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)

的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù).進(jìn)而推廣到有理數(shù)

指數(shù)，再推廣到實數(shù)指數(shù)，并將幕的運算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)塞推廣到實

數(shù)指數(shù)幕.

教材為了讓同學(xué)在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景，先給

出兩個詳細(xì)例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題.前一個問題,

既讓同學(xué)回顧了學(xué)校學(xué)過的整數(shù)指數(shù)累，也讓同學(xué)感受到其中的函數(shù)

模型，并且還有思想（教育）價值.后一個問題讓同學(xué)體會其中的函

數(shù)模型的同時，激發(fā)同學(xué)探究分?jǐn)?shù)指數(shù)毫、無理數(shù)指數(shù)塞的愛好與欲

望，為新學(xué)問的學(xué)習(xí)作了鋪墊.

本節(jié)支配的內(nèi)容蘊涵了很多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想

1

（指數(shù)基運算律的推廣）、類比的思想、靠近的思想（有理數(shù)指數(shù)幕靠近

無理數(shù)指數(shù)基）、數(shù)形結(jié)合的思想（用指數(shù)函數(shù)的圖象討論指數(shù)函數(shù)的

性質(zhì)）等，同時一，充分關(guān)注與實際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

依據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學(xué)中要留意發(fā)揮信息技術(shù)的力氣，盡量

利用計算器和計算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為同學(xué)的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維供

應(yīng)支持.

三維目標(biāo)

L通過與學(xué)校所學(xué)的學(xué)問進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)事的概念，進(jìn)

而學(xué)習(xí)指數(shù)事的性質(zhì).把握分?jǐn)?shù)指數(shù)幕和根式之間的互化，把握分?jǐn)?shù)

指數(shù)基的運算性質(zhì).培育同學(xué)觀看分析、抽象類比的力量.

2.把握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.通過運

算訓(xùn)練，養(yǎng)成同學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓同學(xué)了解數(shù)學(xué)

來自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理.

3.能嫻熟地運用有理指數(shù)幕運算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值，培育同學(xué)

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計算力量.

4.通過訓(xùn)練及點評，讓同學(xué)更能嫻熟把握指數(shù)幕的運算性質(zhì).展現(xiàn)

函數(shù)圖象，讓同學(xué)通過觀看，進(jìn)而討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓同學(xué)體驗

數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美.

重點難點

教學(xué)重點

⑴分?jǐn)?shù)指數(shù)幕和根式概念的理解.

⑵把握并運用分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運算性質(zhì).

2

(3)運用有理指數(shù)幕的性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值.

教學(xué)難點

⑴分?jǐn)?shù)指數(shù)幕及根式概念的理解.

(2)有理指數(shù)幕性質(zhì)的敏捷應(yīng)用.

課時支配

3課時

教學(xué)過程

第1課時

：路致芳

導(dǎo)入新課

思路L同學(xué)們在預(yù)習(xí)的過程中能否知道考古學(xué)家如何推斷生物

的進(jìn)展與進(jìn)化，又怎樣推斷它們所處的年月？(考古學(xué)家是通過對生物

化石的討論來推斷生物的進(jìn)展與進(jìn)化的，其次個問題我們不太清晰)

考古學(xué)家是根據(jù)這樣一條規(guī)律推想生物所處的年月的.老師板書本節(jié)

課題：指數(shù)函數(shù)一一指數(shù)與指數(shù)幕的運算.

思路2.同學(xué)們，我們在學(xué)校學(xué)習(xí)了平方根、立方根，那么有沒有

四次方根、五次方根...n次方根呢?答案是確定的，這就是我們本堂課

討論的課題：指數(shù)函數(shù)一一指數(shù)與指數(shù)塞的運算.

推動新課

新知探究

提出問題

⑴什么是平方根?什么是立方根?一個數(shù)的平方根有幾個，立方根

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呢？

⑵如x4=a,x5=a,x6=a,依據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢?

⑶依據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎？

(4)可否用一個式子表達(dá)呢？

活動：老師提示，引導(dǎo)同學(xué)回憶學(xué)校的時候已經(jīng)學(xué)過的平方根、

立方根是如何定義的，對比類比平方根、立方根的定義解釋上面的式

子，對問題⑵的結(jié)論進(jìn)行引申、推廣，相互溝通爭論后回答，老師準(zhǔn)

時啟發(fā)同學(xué)，詳細(xì)問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價同

學(xué)的思維.

爭論結(jié)果：(1)若x2=a,則x叫做a的平方根，正實數(shù)的平方根

有兩個，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為±2,負(fù)數(shù)沒有平方根,

同理，若x3=a,則x叫做a的立方根，一個數(shù)的立方根只有一個，如：

-8的立方根為-2.

⑵類比平方根、立方根的定義，一個數(shù)的四次方等于a,則這個

數(shù)叫a的四次方根.一個數(shù)的五次方等于a,則這個數(shù)叫a的五次方根.

一個數(shù)的六次方等于a,則這個數(shù)叫a的六次方根.

⑶類比⑵得到一個數(shù)的n次方等于a,則這個數(shù)叫a的n次方根.

(4)用一個式子表達(dá)是，若xn=a,則x叫a的n次方根.

老師板書n次方根的意義：

一般地，假如xn=a,那么x叫做a的n次方根(nthroot),其中

nl且成正整數(shù)集.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

4

提出問題

⑴你能依據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎?（多媒體顯

示以下題目）.

①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方

根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根.

（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應(yīng)

的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點?4,±8,16,-32,32,0,a6

分別對應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù)，有什么特點？

（3）問題⑵中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負(fù)，

還有零，結(jié)論有一個的，也有兩個的，你能否（總結(jié)）一般規(guī)律呢？

⑷任何一個數(shù)a的偶次方根是否存在呢？

活動：老師提示同學(xué)切實緊扣n次方根的概念，求一個數(shù)a的n

次方根，就是求出的那個數(shù)的n次方等于a,準(zhǔn)時點撥同學(xué)，從數(shù)的

分類考慮，可以把詳細(xì)的數(shù)寫出來，觀看數(shù)的特點，對問題⑵中的

結(jié)論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的同學(xué)準(zhǔn)時表揚，對

回答不精確的同學(xué)提示引導(dǎo)考慮問題的思路.

爭論結(jié)果：（1）由于±2的平方等于4,±2的立方等于±8,±2的4

次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于

0,a2的立方等于a6,所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方

根，32的5次方根，-32的5次方根，。的7次方根，a6的立方根分

別是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.

⑵方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點是有奇數(shù)和偶數(shù).總的來看，這些

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數(shù)包括正數(shù)，負(fù)數(shù)和零.

⑶一個數(shù)a的奇次方根只有一個，一個正數(shù)a的偶次方根有兩個,

是互為相反數(shù).0的任何次方根都是0.

⑷任何一個數(shù)a的偶次方根不肯定存在，如負(fù)數(shù)的偶次方根就不

存在，由于沒有一個數(shù)的偶次方是一個負(fù)數(shù).

類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的爭論，歸納出一般情形，

得到n次方根的性質(zhì)：

①當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，

正的n次方根用na表示，假如是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用-na表示，正

的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成士na(aO).

?n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是

一個負(fù)數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示.

③負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是零.

上面的文字語言可用下面的式子表示：

a為正數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根有一個為na,n為偶數(shù)，

a的n次方根有兩個為士na.

a為負(fù)數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根只有一個為na,n為偶數(shù)，

a的n次方根不存在.

零的n次方根為零，記為n0=0.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例.

思索

依據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說明上述幾種狀況？

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活動：老師提示同學(xué)對方根的性質(zhì)要分類把握，即正數(shù)的奇偶次

方根，負(fù)數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡

察同學(xué)，隨機(jī)給出一個數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根

等，看是否有意義，留意觀看方根的形式，準(zhǔn)時訂正同學(xué)在舉例過程

中的問題.

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2,-27

的5次方根為5-27,而-27的4次方根不存在等.其中5-27也表示方

根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式子na一個名稱一一根式.

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù).

如3-27中，3叫根指數(shù)，-27叫被開方數(shù).

思索

nan表示an的n次方根，式子nan=a肯定成立嗎?假如不肯定成

立，那么nan等于什么？

活動：老師讓同學(xué)留意爭論n為奇偶數(shù)和a的符號，充分讓同學(xué)

多舉實例，分組爭論.老師點撥，留意歸納整理.

［如3卜3)3=3-27=3,4(-8)4=|-8|=8).

解答：依據(jù)n次方根的意義，可得：(na)n=a.

通過探究得到：n為奇數(shù)，nan=a.

n為偶數(shù)，nan=|a|=a,-a,a>0,aO.

因此我們得到n次方根的運算性質(zhì)：

①(na)n=a.先開方，再乘方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù).

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@n為奇數(shù)，nan=a.先奇次乘方，再開方(同次)，結(jié)果為被開方

n為偶數(shù)，nan=|a|=a,-a,a>0,aO.先偶次乘方,再開方(同次),

結(jié)果為被開方數(shù)的肯定值.

應(yīng)用示例

思路1

例求下列各式的值：

(l)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-n)4;(4)(a-b)2(ab).

活動：求某些式子的值，首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求

是什么，都用到哪些學(xué)問，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個

題目認(rèn)真分析.觀看同學(xué)的解題狀況，讓同學(xué)展現(xiàn)結(jié)果，抓住同學(xué)在

解題過程中消失的問題并對癥下藥.求下列各式的值實際上是求數(shù)的

方根，可按方根的運算性質(zhì)來解，首先要搞清晰運算挨次，目的是把

被開方數(shù)的符號定準(zhǔn)，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，假如是奇數(shù),

無需考慮符號，假如是偶數(shù)，開方的結(jié)果必需是非負(fù)數(shù).

解：⑴3(-8)3=-8;

(2)(-10)2=10;

⑶4(3H)4=7T-3;

(4)(a-b)2=a-b(ab).

點評：不留意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導(dǎo)致問題

消失的一個重要緣由，要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)，記熟，會用，活用.

變式訓(xùn)練

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求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a<l);

(3)4(3a-3)4.

解：(1)7卜2)7=-2,

(2)3(3a-3)3(a<l)=3a-3,

(3)4(3a-3)4=

點評：本題易錯的是第⑶題，往往忽視a與1大小的爭論，造成

錯解.

思路2

例1下列各式中正確的是()

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.aO=l

D.10(2-l)5=2-l

活動：老師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性

質(zhì)，應(yīng)首先考慮依據(jù)方根的意義和運算性質(zhì)來解，既要考慮被開方數(shù),

又要考慮根指數(shù)，嚴(yán)格按求方根的步驟，體會方根運算的實質(zhì)，同學(xué)

先思索哪些地方簡單出錯，再回答.

解析：(l)4a4=a,考查n次方根的運算性質(zhì)，當(dāng)n為偶數(shù)時，應(yīng)

先寫nan=|a|,故A項錯.

(2)6(-2)2=3-2,本質(zhì)上與上題相同，是一個正數(shù)的偶次方根，依

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據(jù)運算挨次也應(yīng)如此，結(jié)論為6(-2)2=32,故B項錯.

⑶aO=l是有條件的，即awO,故C項也錯.

(4)D項是一個正數(shù)的偶次方根，依據(jù)運算挨次也應(yīng)如此，故D項

正確.所以答案選D.

答案：D

點評：本題由于考查n次方根的運算性質(zhì)與運算挨次，有時極易

選錯，選四個答案的狀況都會有，因此解題時千萬要細(xì)心.

例23+22+3-22=.

活動：讓同學(xué)們樂觀思索，溝通爭論，本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無

關(guān)，但認(rèn)真一想，我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是方根，這里是帶有雙重根號的式

子，去掉一層根號，依據(jù)方根的運算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵，因此將

根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手?需

利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式.正確分析題意是

關(guān)鍵，老師提示，引導(dǎo)同學(xué)解題的思路.

解析：由于3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1,

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1,

所以3+22+3-22=22.

答案：22

點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式,

是A±2B形式的式子，我們總能找到方法把其化成一個完全平方式.

思索

上面的例2還有別的解法嗎?

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活動：老師引導(dǎo)，去根號經(jīng)常利用完全平方公式，有時平方差公

式也可，同學(xué)們觀看兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并溝通爭

論，一個是一個是"，去掉一層根號后，相加正好抵消.同時借

助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊

平方即可，探討得另一種解法.

另解：利用整體思想，x=3+22+3-22,

兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8,

所以x=22.

點評：對雙重二次根式，特殊是A±2B形式的式子，我們總能找

到方法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外

對A+2B士A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公

式和平方差公式去解.

變式訓(xùn)練

若a2-2a+l=a-：L,求a的取值范圍.

解：由于a2-2a+l=a-l,a2-2a+l=(a-l)2=|a-l|=a-l,

即a-l>0,

所以a>l.

點評：利用方根的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去肯定值符號，是解題的關(guān)鍵.

知能訓(xùn)練

(老師用多媒體顯示在屏幕上)

1.以下說法正確的是()

A.正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)

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B.負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示(以上nl且n國正整數(shù)集)

答案：C

2.化簡下列各式：

(l)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案：(l)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|.

3.計算7+40+7-40=.

解析：7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

=(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案：25

拓展提升

問題：nan=a與(na)n=a(nl,n國N)哪一個是恒等式，為什么？請舉

例說明.

活動：組織同學(xué)結(jié)合前面的例題及其解答，進(jìn)行分析爭論，解決

這一問題要緊扣n次方根的定義.

通過歸納，得出問題結(jié)果，對a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)時，n為

奇數(shù)時爭論一下.再對a是負(fù)數(shù)，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時爭論一下,

就可得到相應(yīng)的結(jié)論.

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解：(l)(na)n=a(nl,n團(tuán)N).

假如xn=a(nl,且n團(tuán)N)有意義，則無論n是奇數(shù)或偶數(shù)，x=na肯

定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立.

例如：(43)4=3,(3-5)3=-5.

(2)nan=a,|a|,當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù).

當(dāng)n為奇數(shù)時，a國R,nan=a恒成立.

例如：525=2,5(-2)5=-2.

當(dāng)n為偶數(shù)時，a回R,an?O,nan表示正的n次方根或0,所以假

如a20,那么nan=a.例如434=3,40=0;假如a0,那么nan=|a|=-a,如

(-3)2=32=3,

§P(na)n=a(nl,n回N)是恒等式，nan=a(nl,n回N)是有條件的.

點評：實質(zhì)上是對n次方根的概念、性質(zhì)以及運算性質(zhì)的深刻理

解.

課堂小結(jié)

同學(xué)認(rèn)真溝通爭論后，在筆記上寫出本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲，老師用

多媒體顯示在屏幕上.

1.假如xn=a,那么x叫a的n次方根，其中nl且應(yīng)正整數(shù)集.

用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數(shù)，n叫根指數(shù).

(1)當(dāng)n為偶數(shù)時，a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n

次方根用na表示，假如是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用-na表示，正的n

次方根與負(fù)的n次方根合并寫成士na(aO).

(2)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是

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一個負(fù)數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示.

⑶負(fù)數(shù)沒有偶次方根.0的任何次方根都是零.

2.把握兩個公式：n為奇數(shù)時，(na)n=a,n為偶數(shù)時，nan=|a|=a,

-a,a>0,a0.

作業(yè)

課本習(xí)題2.1A組1.

補(bǔ)充作業(yè)：

L化簡下列各式：

(I)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

解:(1)681=634=332=39;

(2)15-32=-1525=-32;

⑶6a2b4=6(|a|?b2)2=31a|?b2.

2.若5a8,則式子(a-5)2-(a-8)2的值為.p=

解析：由于5a8,所以(a-5)2-(a-8)2=a-5-8+a=2a-13.p=

答案:2a-13

3.5+26+5-26=.

解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開

方的前提下才可能解出，由此提示我們想方法去掉一層根式，

不難看出5+26=(3+2)2=34-2.

同理5-26=(3-2)2=32

所以5+26+5-26=23.

答案：23

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設(shè)計感想

同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的

推廣，本節(jié)課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的

概念時，要結(jié)合已學(xué)內(nèi)容，列舉詳細(xì)實例，根式na的講解要分n是

奇數(shù)和偶數(shù)兩種狀況來進(jìn)行，每種狀況又分aO,aO,a=0三種狀況,

并結(jié)合詳細(xì)例子講解，因此設(shè)計了大量的類比和練習(xí)題目，要敏捷處

理這些題目，關(guān)心同學(xué)加以理解，所以需要用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教

學(xué).

第2課時

：郝云靜

導(dǎo)入新課

思路L碳14測年法.原來宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳

14,并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入全部活組織，先為植物汲取，再為

動物汲取，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地汲取碳14在機(jī)

體內(nèi)保持肯定的水平.而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會停止汲取碳14,其組

織內(nèi)的碳14便以約5730年的半衰期開頭衰變并消逝.對于任何含碳

物質(zhì)只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年月（半衰期:

經(jīng)過肯定的時間，變?yōu)樵瓉淼囊话耄?引出本節(jié)課題：指數(shù)與指數(shù)幕的

運算之分?jǐn)?shù)指數(shù)惠.

思路2.同學(xué)們，我們在學(xué)校學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)幕及其運算性質(zhì)，那

么整數(shù)指數(shù)幕是否可以推廣呢?答案是確定的.這就是本節(jié)的主講內(nèi)

容，老師板書本節(jié)課題一一指數(shù)與指數(shù)幕的運算之分?jǐn)?shù)指數(shù)幕.

15

推動新課

新知探究

提出問題

⑴整數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)是什么？

(2)觀看以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：aO,

①；

(2)a8=(a4)2=a4=,;

(3)4al2=4(a3)4=a3=;

@2al0=2(a5)2=a5=.

(3)利用⑵的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？

,,,(xO,m,n團(tuán)正整數(shù)集，且nl).

⑷你能用方根的意義來解釋⑶的式子嗎？

⑸你能推廣到一般的情形嗎？

活動：同學(xué)回顧學(xué)校學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)幕及運算性質(zhì)，認(rèn)真觀看,

特殊是每題的開頭和最終兩步的指數(shù)之間的關(guān)系，老師引導(dǎo)同學(xué)體會

方根的意義，用方根的意義加以解釋，教導(dǎo)啟發(fā)同學(xué)類比⑵的規(guī)律表

示，借鑒⑵(3),我們把詳細(xì)推廣到一般，對寫正確的同學(xué)準(zhǔn)時表揚，

其他同學(xué)鼓舞提示.

爭論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)：an=a?a?a?...?a,

aO=l(a*O);OO無意義；

a-n=lan(a*O);am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

⑵①a2是alO的5次方根;②a4是a8的2次方根;③a3是al2

16

的4次方根;④a5是alO的2次方根.實質(zhì)上①5a10=,②a8=,

③4a12=，④2a10=結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了105,82,

124,105,形式上變了，本質(zhì)沒變.

依據(jù)4個式子的最終結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能

被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)幕形

式).

(3)利用⑵的規(guī)律,453=,375=,5a7=,nxm=.

(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，

xm的n次方根是.

結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是相通的.

(5)假如a0,那么am的n次方根可表示為nam=,即=nam(a0,

m,n團(tuán)正整數(shù)集，nl).

綜上所述，我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，老師板書：

規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是=nam(a0,m,應(yīng)正整數(shù)集，

nl).

提出問題

⑴負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義是怎樣規(guī)定的？

⑵你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義嗎？

⑶你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義？

⑷綜合上述，如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義？

⑸分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義中，為什么規(guī)定a0,去掉這個規(guī)定會產(chǎn)生

什么樣的后果?

17

⑹既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)

指數(shù)基的運算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)幕呢？

活動：同學(xué)回想學(xué)校學(xué)習(xí)的情形，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會回答，

依據(jù)零的整數(shù)指數(shù)塞的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義來類比，把正分?jǐn)?shù)

指數(shù)基的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義融合起來，與整數(shù)指數(shù)累的運算

性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)，老師在黑板上板書，同學(xué)合

作溝通，以詳細(xì)的實例說明aO的必要性，老師準(zhǔn)時作出評價.

爭論結(jié)果：⑴負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義是：a-n=lan(a*O),n0N+.

⑵既然負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指

數(shù)塞的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義.

規(guī)定：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是==lnam(aO,m,nl3=N+,

nl).

⑶規(guī)定：零的分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義是：零的正分?jǐn)?shù)次基等于零，零

的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞沒有意義.

⑷老師板書分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義就是：

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是=nam(aO,m,n國正整數(shù)集，nl),

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是==lnam(aO,m,應(yīng)正整數(shù)集，nl),

零的正分?jǐn)?shù)次幕等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

(5)若沒有aO這個條件會怎樣呢？

如=3-1=-1,=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子消失了截然不

同的結(jié)果，這只說明分?jǐn)?shù)指數(shù)塞在底數(shù)小于零時是無意義的.因此在

把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時，切記要使底數(shù)大于零，如無aO的條件，比

18

如式子3a2=,同時負(fù)數(shù)開奇次方是有意義的，負(fù)數(shù)開奇次方時，應(yīng)

把負(fù)號移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，也就是說,

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕在有意義的狀況下總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)只是

消失在指數(shù)上.

⑹規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到

了有理數(shù)指數(shù).

有理數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運

算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(aO,r,sE]Q),

(2)(ar)s=ars(a0,r,s回Q),

(3)(a?b)r=arbr(a0,bO,唱Q).

我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義和有理數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)可以解

決一些問題，來看下面的例題.

應(yīng)用示例

例1求值：⑴乂2);(3)12-5;⑷.

活動：老師引導(dǎo)同學(xué)考慮解題的方法，利用幕的運算性質(zhì)計算出

數(shù)值或化成最簡根式，依據(jù)題目要求，把底數(shù)寫成幕的形式，8寫成

23,25寫成52,12寫成2-1,1681寫成234,利用有理數(shù)幕的運算性

質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展現(xiàn)出來.

解：⑴=22=4;

(2)=5-1=15;

(3)12-5=(2-l)-5=2-lx(-5)=32;

19

(4)=23-3=278.

點評：本例主要考查幕值運算，要按規(guī)定來解.在進(jìn)行幕值運算

時,要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟識的根式運算,

如=382=364=4.

例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的形式表示下列各式.

a3?a;a2?3a2;a3a(aO).

活動：同學(xué)觀看、思索，依據(jù)解題的挨次，把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)

幕，再由幕的運算性質(zhì)來運算，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕時，要由里往外

依次進(jìn)行，把握好運算性質(zhì)和挨次，同學(xué)爭論溝通自己的解題步驟,

老師評價同學(xué)的解題狀況，鼓舞同學(xué)留意總結(jié).

解：a3?a=a3?=;

a2?3a2=a2?=;

a3a=.

點評：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義和有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)進(jìn)行根

式運算時，其挨次是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，再由幕的運算性質(zhì)

來運算.對于計算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特殊

要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式來表示，但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有

根式，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù).

例3計算下列各式(式中字母都是正數(shù)).

(1)；

(2).

活動：先由同學(xué)觀看以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算

20

的挨次是先算乘方,再算乘除，最終算加減,有括號的先算括號內(nèi)的，

整數(shù)塞的運算性質(zhì)及運算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)基后，其運算挨次仍符

合我們以前的四則運算挨次，再解答，把自己的答案用投影儀展現(xiàn)出

來，相互溝通，其中要留意到⑴小題是單項式的乘除運算，可以用單

項式的乘除法運算挨次進(jìn)行，要留意符號，第⑵小題是乘方運算，可

先按積的乘方計算，再按幕的乘方進(jìn)行計算，熟識后可以簡化步驟.

解：⑴原式=[2x(-6)+(-3)]=4ab0=4a;

(2)=m2n-3=m2n3.

點評：分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法.

有了分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，就可把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式，用分?jǐn)?shù)指數(shù)

累的運算法則進(jìn)行運算了.

本例主要是指數(shù)幕的運算法則的綜合考查和應(yīng)用.

變式訓(xùn)練

求值：(1)33?33?63;

(2)627m3125n64.

解：⑴33?33?63==32=9;

(2)627m3125n64==9m225n4=925m2n-4.

例4計算下列各式：

(1)(325-125)4-425;

(2)a2a?3a2(a0).

活動：先由同學(xué)觀看以上兩個式子的特征，然后分析，化為同

底.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕計算，在第⑴小題中，只含有根式，且不是同次

21

根式，比較難計算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕再計算，這樣就簡便

多了，第⑵小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕后再由運算法則計算,

最終寫出解答.

解：(1)原式=

==65-5;

(2)a2a?3a2==6a5.

知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí)1,2,3

【補(bǔ)充練習(xí)】

老師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓同學(xué)解答，老師巡察，

啟發(fā)，對做得好的同學(xué)賜予表揚鼓舞.

1.(1)下列運算中，正確的是()

A.a2?a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2

C.(a-l)O=OD.(-a2)3=-a6

(2)下歹U各式①4(-4)2n,@4(-4)2n+l,③5a4,④4a5(各式的n回N,

a國R)中，有意義的是()

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

(3)(34a6)2?(43a6)2等于()

A.aB.a2C.a3D.a4

(4)把根式-25(a-b)-2改寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式為()

A.B.

C.D.

22

⑸化簡的結(jié)果是()

A.6aB.-aC.-9aD.9a

2.計算：(1)—17-2+-3-l+(2-l)0=.

⑵設(shè)5x=4,5y=2,則52x-y=.

3.已知x+y=12,xy=9且xy,求p=的值.

答案：l.(l)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)8

3.解：.

由于x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4x27.

又由于xy,所以x-y=-2x33=-63.p=

所以原式==12-6-63=33.

拓展提升

1.化簡：.

活動：同學(xué)觀看式子特點，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解

題思路，應(yīng)對原式進(jìn)行因式分解，依據(jù)本題的特點，留意到：

x-l=-13=;

x+l=+13=;

構(gòu)建解題思路老師適時啟發(fā)提示.

解：

23

點撥：解這類題目，要留意運用以下公式,

=a-b,

=a±+b,

=a±b.

2.已知，探究下列各式的值的求法.

(l)a+a-l;(2)a2+a-2;(3).

解：⑴將，兩邊平方，得a+a-l+2=9,即a+a-l=7;

⑵將a+a-l=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;

(3)由于,

所以有=a+a-l+l=8.

點撥：對"條件求值”問題，肯定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后

實行"整體代換"或"求值后代換"兩種方法求值.

課堂小結(jié)

活動：老師，本節(jié)課同學(xué)們有哪些收獲?請把你的學(xué)習(xí)收獲記錄

在你的(筆記本)上，同學(xué)們之間相互溝通.同時老師用投影儀顯示

本堂課的學(xué)問要點：

⑴分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義就是：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是

=nam(aO,m,應(yīng)正整數(shù)集，nl),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義是=

=lnam(aO,m,n團(tuán)正整數(shù)集，nl),零的正分?jǐn)?shù)次幕等于零，零的負(fù)

分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

⑵規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到

24

了有理數(shù)指數(shù).

⑶有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r,s,均有下面的

運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(aO,r,s回Q),

(2)(ar)s=ars(a0,r,s回Q),

(3)(a?b)r=arbr(a0,bO,r回Q).

(4)說明兩點：

①分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明

這種規(guī)定的合理性，其中沒有推出關(guān)系.

②整數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)對任意的有理數(shù)指數(shù)塞也同樣適用.因

而分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式可以互化，也可以利用=am來計算.

作業(yè)

課本習(xí)題2.1A組2,4.

設(shè)計感想

本節(jié)課是分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義的引出及應(yīng)用，分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念

的又一次擴(kuò)充，要讓同學(xué)反復(fù)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義，教學(xué)中可以通

過根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀看、

歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋，因此

多支配一些練習(xí)，強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固學(xué)問，要幫助以信息技術(shù)的手段來

完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù).

第3課時

：鄭芳鳴

25

導(dǎo)入新課

思路L同學(xué)們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)

推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和

數(shù)的推廣一樣，究竟有沒有無理數(shù)指數(shù)幕呢？回顧數(shù)的擴(kuò)充過程，自

然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分?jǐn)?shù)(有理數(shù))，有理數(shù)到實數(shù).并且知道，在有理

數(shù)到實數(shù)的擴(kuò)充過程中，增加的數(shù)是無理數(shù).對無理數(shù)指數(shù)幕，也是

這樣擴(kuò)充而來.既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：老師板書本堂

課的課題〔指數(shù)與指數(shù)幕的運算(3))之無理數(shù)指數(shù)幕.

思路2.同學(xué)們，在學(xué)校我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的學(xué)問，對函數(shù)有了一個

初步的了解，到了高中，我們又對函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，

有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡潔的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次

函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿意我

們的需要，隨著科學(xué)的進(jìn)展，社會的進(jìn)步，我們還要學(xué)習(xí)很多函數(shù)，

其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的學(xué)問，我們必需學(xué)習(xí)實數(shù)指

數(shù)累的運算性質(zhì)，為此，我們必需把指數(shù)累從有理數(shù)指數(shù)基擴(kuò)充到實

數(shù)指數(shù)幕，因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí)：指數(shù)與指數(shù)塞的運算⑶之無理數(shù)指

數(shù)累，老師板書本節(jié)課的課題.

推動新課

新知探究

提出問題

(1)我們矢口道2=1.41421356...,那么1.41J.414J.4142,1.41421,

是2的什么近似值?而1.42,1.415,1.4143,1.41422,是2的什么近

26

似值?

(2)多媒體顯示以下圖表：同學(xué)們從上面的兩個表中，能發(fā)覺什么

樣的規(guī)律？

2的過剩近似值

的近似值

1.511.18033989

1.429.829635328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.738517752

的近似值

2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.41421

27

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

(3)你能給上述思想起個名字嗎？

⑷一個正數(shù)的無理數(shù)次塞究竟是一個什么性質(zhì)的數(shù)呢?如，依據(jù)

你學(xué)過的學(xué)問，能作出推斷并合理地解釋嗎？

⑸借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎？

活動：老師引導(dǎo)，同學(xué)回憶，老師提問，同學(xué)回答，樂觀溝通,

準(zhǔn)時評價同學(xué)，同學(xué)有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示幫助內(nèi)容:

問題⑴從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方

面從小于2的方向.

問題⑵對圖表的觀看一方面從上往下看，再一方面從左向右看,

留意其關(guān)聯(lián).

問題⑶上述方法實際上是無限接近，最終是靠近.

問題⑷對問題賜予大膽猜想，從數(shù)軸的觀點加以解釋.

問題⑸在(3乂4)的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特別到一般.

爭論結(jié)果:⑴1.41,1.414,1.4142,1.41421,...這些數(shù)都小于2,稱

2的不足近似值,而1.42,1.415,1.4143,1.41422,這些數(shù)都大于

2,稱2的過剩近似值.

(2)第一個表：從大于2的方向靠近2時，就從

28

51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于的方向靠近.

其次個表：從小于2的方向靠近2時，就從

51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,即小于的方向靠近.

從另一角度來看這個問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點，數(shù)軸上

的數(shù)字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…，即小

于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.414

22,即大于的方向接近，可以說從兩個方向無限地接近，即

靠近，所以是一串有理數(shù)指數(shù)451.4,51.41,51.414,51.4142,51.414

21,和另一串有理數(shù)指數(shù)累51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,...?

按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實上表示這些數(shù)的點從兩個方向向表

示的點靠近，但這個點肯定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是肯

定是一個實數(shù),即51.451.4151.41451.414251.41421....51.414

2251.414351.41551.4251.5.

充分表明是一個實數(shù).

⑶靠近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的學(xué)問.

(4)依據(jù)(2)⑶我們可以推斷是一個實數(shù)，猜想一個正數(shù)的無理數(shù)

次事是一個實數(shù).

⑸無理數(shù)指數(shù)幕的意義：

一般地，無理數(shù)指數(shù)幕aa(aO,a是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).

也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個實數(shù)，這樣

指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴(kuò)充過程中，我們知道有理數(shù)和無

理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)幕的意義，知道它是一個確

29

定的實數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)累，那么，指數(shù)幕就從有理數(shù)指數(shù)

幕擴(kuò)充到實數(shù)指數(shù)累.

提出問題

⑴為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)幕的意義時，必需規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？

⑵無理數(shù)指數(shù)塞的運算法則是怎樣的?是否與有理數(shù)指數(shù)幕的運

算法則相通呢？

⑶你能給出實數(shù)指數(shù)基的運算法則嗎？

活動：老師組織同學(xué)互助合作，溝通探討，引導(dǎo)他們用反例說明

問題，留意類比，歸納.

對問題⑴回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義時對底數(shù)的規(guī)定，舉例

說明.

對問題⑵結(jié)合有理數(shù)指數(shù)基的運算法則，既然無理數(shù)指數(shù)幕

aa（aO,a是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)基的運算法

則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)塞的運算法則類似，并且相通.

對問題⑶有了有理數(shù)指數(shù)塞的運算法則和無理數(shù)指數(shù)塞的運算

法則，實數(shù)的運算法則自然就得到了.

爭論結(jié)果：（1）底數(shù)大于零的必要性，若a=-l,那么act是+1還是

；就無法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指

數(shù)塞aa是一個確定的實數(shù)，就不會再造成混亂.

⑵由于無理數(shù)指數(shù)惠是一個確定的實數(shù)，所以能進(jìn)行指數(shù)的運算,

也能進(jìn)行幕的運算，有理數(shù)指數(shù)事的運算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)

指數(shù)幕.類比有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)幕的運算

30

法則：

①ar?as=ar+s(aO,r,s都是無理數(shù)).

@(ar)s=ars(aO,r,s都是無理數(shù)).

③(a?b)r=arbr(aO,bO,r是無理數(shù)).

⑶指數(shù)塞擴(kuò)充到實數(shù)后，指數(shù)幕的運算性質(zhì)也就推廣到了實數(shù)指

數(shù)幕.

實數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)：

對任意的實數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(aO,r,sE]R).

(2)(ar)s=ars(aO,r,s0R).

(3)(a?b)r=arbr(aO,bO,r0R).

應(yīng)用示例

例1利用函數(shù)計算器計算.(精確到0.001)

(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3);(4).

活動：老師教會同學(xué)利用函數(shù)計算器計算，熟識計算器的各鍵的

功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對于(1),可先按底數(shù)0.3,再按

xy鍵，再按幕指數(shù)2.1,最終按=,即可求得它的值；

對于(2),先按底數(shù)3.14,再按xy鍵，再按負(fù)號-鍵，再按3,最

終按=即可；

對于(3),先按底數(shù)3」，再按xy鍵，再按3+4,最終按=即可；

對于(4),這種無理指數(shù)累，可先按底數(shù)3,其次按xy鍵，再按

鍵，再按3,最終按=鍵.有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功

31

能去運算.

同學(xué)可以相互溝通，挖掘計算器的用途.

解：(1)0.32.1-0.080;(2)3.14-3~0.032;(3)=2.336;⑷=6.705.

點評：嫻熟把握用計算器計算幕的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技

術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會;用四舍五入法求近似值，

若保留小數(shù)點后n位，只需看第(n+1)位能否進(jìn)位即可.

例2求值或化簡.

(l)a-4b23ab2(a0,b0);

(2)(a0,b0);

(3)5-26+7-43-6-42.

活動：同學(xué)觀看，思索，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，

若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達(dá)到最簡，對既有分?jǐn)?shù)指數(shù)事又有根

式的式子，應(yīng)當(dāng)把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，便于運算，老師

有針對性地提示引導(dǎo)，對⑴由里向外把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，要緊扣

分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義和運算性質(zhì)，對⑵既有分?jǐn)?shù)指數(shù)幕又有根式，應(yīng)當(dāng)

統(tǒng)一起來，化為分?jǐn)?shù)指數(shù)塞，對(3)有多重根號的式子，應(yīng)先去根號,

這里是二次根式，被開方數(shù)應(yīng)湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成

(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2,并對同學(xué)作準(zhǔn)時的評價，留意總結(jié)解題的

方法和規(guī)律.

解：⑴a-4b23ab2==3b46all.

點評：根式的運算經(jīng)?；墒碌倪\算進(jìn)行，計算結(jié)果如沒有特別

要求，就用根式的形式來表示.

32

⑵

=425a0b0=425.

點評：化簡這類式子一般有兩種方法，一是首先用負(fù)指數(shù)塞的定

義把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù)，另一個方法是采納分式的基本性質(zhì)把負(fù)指數(shù)

化成正指數(shù).

(3)5-26+7-43-6-42

=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2

=3-2+232+2=0.

點評：考慮根號里面的數(shù)是一個完全平方數(shù)，千萬留意方根的性

質(zhì)的運用.

例3已知,n回正整數(shù)集，求(x+l+x2)n的值.

活動：同學(xué)思索，觀看題目的特點，從整體上看，應(yīng)先化簡，然

后再求值，要有預(yù)見性，與具有對稱性，它們的積是常數(shù)1,為我

們解題供應(yīng)了思路，老師引導(dǎo)同學(xué)考慮問題的思路，必要時賜予提示.

這時應(yīng)看到l+x2=,

這樣先算出l+x2,再算出1+X2,代入即可.

解：將代入1+X2,得l+x2=,

所以(x+l+x2)n=

==5.

33

點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵，要深刻

理解這種做法.

知能訓(xùn)練

課本習(xí)題2.1A組3.

利用投影儀投射下列補(bǔ)充練習(xí)：

L化簡：的結(jié)果是()

A.B.

C.D.

解析：依據(jù)本題的特點，留意到它的整體性，特殊是指數(shù)的規(guī)律

性，我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?

由于，所以原式的分子分母同乘以.

依次類推，所以.

答案：A

2.計算2790.5+0.1-2+-3n0+9-0.5+490.5x2-4.

解：原式=

=53+100+916-3+13+716=100.

3.計算a+2a-l+a-2a-l(a21).

解：原式=(a-l+l)2+(a-l-l)2=a-l+l+1a-1-1|(a>l).

本題可以連續(xù)向下做，去掉肯定值，作為思索留作課下練習(xí).

4.設(shè)a0,,則(x+l+x2)n的值為.

解析：l+x2=.

這樣先算出l+x2,再算出1+X2,

34

將代入1+X2,得l+x2=.

所以(x+l+x2)n=

==a.

答案：a

拓展提升

參照我們說明無理數(shù)指數(shù)幕的意義的過程，請你說明無理數(shù)指數(shù)

塞的意義.

活動：老師引導(dǎo)同學(xué)回顧無理數(shù)指數(shù)幕的意義的過程，利用計

算器計算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，依據(jù)這些

近似值計算的過剩近似值和不足近似值，利用靠近思想，"逼出〃的

意義，同學(xué)合作溝通，在投影儀上展現(xiàn)自己的探究結(jié)果.

解：3=1.73205080...,取它的過剩近似值和不足近似值如下表.

3的過剩近似值

的過剩近似值

3的不足近似值

的不足近似值

1.83.4822022531.73.249009585

1.743.3403516781.733.317278183

1.7333.3241834461.7313.319578342

1.73213.322110361.73193.321649849

1.732063.3220182521.732043.3219722

1.7320513.3219975291.7320493.321992923

35

1.73205093.3219972981.73205073.321996838

1.732050813.3219970911.732050793.321997045

我們把用2作底數(shù)，3的不足近似值作指數(shù)的各個基排成從小到

大的一列數(shù)

21.7,21.72,21.731,21.7319,

同樣把用2作底數(shù)，3的過剩近似值作指數(shù)的各個幕排成從大到

小的一列數(shù)：

21.8,21.74,21.733,21.7321,不難看出3的過剩近似值和不足

近似值相同的位數(shù)越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值

和不足近似值為指數(shù)的幕2a會越來越趨近于同一個數(shù)，我們把這個

數(shù)記為，

即21.721.7321.73121.7319……21.732121.73321.7421.8.

也就是說是一個實數(shù)，=3.321997…也可以這樣解釋：

當(dāng)3的過剩近似值從大于3的方向靠近3時一，23的近似值從大

于的方向靠近；

當(dāng)3的不足近似值從小于3的方向靠近3時，23的近似值從小

于的方向靠近.

所以就是一串有理指數(shù)募21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另

一串有理指數(shù)塞21.8,21.74,21.733,21.7321,…，按上述規(guī)律變化的結(jié)

果,即=3.321997.

課堂小結(jié)

36

(1)無理指數(shù)幕的意義.

一般地，無理數(shù)指數(shù)幕aa(aO,a是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).

⑵實數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)：

對任意的實數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(aO,r,s回R).

(2)(ar)s=ars(a0,r,s!3R).

(3)(a?b)r=arbr(aO,bO,r0R).

⑶靠近的思想，體會無限接近的含義.

作業(yè)

課本習(xí)題2.1B組2.

設(shè)計感想

無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，教學(xué)中要讓同學(xué)通過多

媒體的演示，理解無理數(shù)指數(shù)塞的意義，教學(xué)中也可以讓同學(xué)自己通

過實際狀況去探究，自己得出結(jié)論，加深對概念的理解，本堂課內(nèi)容

較為抽象，又不能進(jìn)行推理，只能通過多媒體的教學(xué)手段，讓同學(xué)體

會，特殊是靠近的思想、類比的思想，多作練習(xí)，提高同學(xué)理解問題、

分析問題的力量.

備課資料

【備用習(xí)題】

1.以下各式中成立且結(jié)果為最簡根式的是()

A.a?5a3a?10a7=10a4

B.3xy2(xy)2=y?3x2

37

C.a2bb3aab3=8a7bl5

D.(35-125)3=5+125125-235?125

答案：B

2.對于aO,r,s回Q,以下運算中正確的是()

A.ar?as=arsB.(ar)s=ars

C.abr=ar?bsD.arbs=(ab)r+s

答案：B

3.式子x-2x-l=x-2x-l成立當(dāng)且僅當(dāng)()

A.x-2x-l>0B.xwlC.xlD.x>2

解析：方法一：

要使式子x-2x-l=x-2x-l成立，需x-10,x-2>0,即x>2.

若x>2,則式子x-2x-l=x-2x-l成立.

故選D.

方法二：

對A,式子x-2x-120連式子成立也保證不了，尤其X-2W0,x-10

時式子不成立.

對B,x-10時式子不成立.

對C,xl時x-1無意義.

對D正確.

答案：D

4.化簡b-(2b-l)(lb2).p=

解：b-(2b-l)=(b-l)2=b-l(lb2).p=

38

5.計算32+5+32-5.

解：令x=32+5+32-5,

兩邊立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5),即x3=4-3x,

x3+3x-4=0.團(tuán)(x-l)(x2+x+4)=0.

回x2+x+4=x+122+1540,0x-l=O,即x=l.

團(tuán)32+5+32-5=1.

數(shù)學(xué)教案(二)

三角函數(shù)的周期