八年級數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖及應(yīng)用重點突破訓(xùn)練

第12章：尺規(guī)作圖及應(yīng)用重點突破訓(xùn)練

典例體系

考點1：基本尺規(guī)作圖

典例：（2020?北京初三二模）下面是小明同學(xué)設(shè)計的“過直線外一點作已知直線的平行線"的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖，直線/和直線/外一點P.

求作：直線PQ,使直線P。//直線/.

作法：如圖，

①在直線I上任取一點A,作射線AP;

②以P為圓心，24為半徑作弧，交直線/于點3,連接

③以尸為圓心，長為半徑作弧，交射線AP于點。；分別以反。為圓心，大于長為半徑作弧,

2

在AC的右側(cè)兩弧交于點Q;

④作直線PQ;

所以直線PQ就是所求作的直線.

根據(jù)上述作圖過程，回答問題：

(1)用直尺和圓規(guī)，補全圖中的圖形；

(2)完成下面的證明：

證明：由作圖可知PQ平分NCP8,

ZCPQ=ZBPQ=；ZCPB.

又TPAMPB,

ZPAB=ZPBA.()(填依據(jù)1).

ZCPB=ZPAB+ZPBA,

ZPAB=NPBA=-/CPB.

2

NCPQ=NPAB，二直線尸0//直線/.()(填依據(jù)2).

方法或規(guī)律點撥

本題考查了尺規(guī)作圖，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作圖，然后再進行推理

論證.

鞏固練習(xí)

1.已知點C在/AOB的0B邊上，用尺規(guī)過點C作CN〃OA,作圖痕跡如圖所示.下列對弧FG的描述,

正確的是()

A.以點C為圓心，0D的長為半徑的弧

B.以點C為圓心，0M的長為半徑的弧

C.以點E為圓心，DM的長為半徑的弧

D.以點E為圓心，CE的長為半徑的弧

2.如圖，點C在NAOB的邊。8上，用直尺和圓規(guī)作/BCN=/AOC,這個尺規(guī)作圖的依據(jù)是（）

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

3.下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③過直線外一點作已

知直線的垂線；④作一條線段的垂直平分線，則對應(yīng)作法錯誤的是（）

①②③④

A.①B.②C.（3）D.④）

4.下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示，則對應(yīng)選項中作法錯誤的是（）

A.作一個角等于已知角

B.作一個角的平分線

C.\作一條線段的垂直平分線

D.|過直線外一點P作已知直線的垂線

7

5.下列尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角的平分線；②作一個角等于已知角;③作一條線段的垂直平分線.其

中作法正確的是（）

可用直尺成功地找到三角形角平分線交點的是()

D.

(1)?、偈且浴閳A心，任意長為半徑所畫的弧；

(2)?、谑且訮為圓心，任意長為半徑所畫的??；

(3)?、凼且訟為圓心，任意長為半徑所畫的??；

(4)?、苁且訮為圓心，任意長為半徑所畫的弧；

其中正確說法的個數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

8.如圖是作AABC的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是()

A.已知兩邊及夾角B,已知三邊C.已知兩角及夾邊D.已知兩邊及一邊對角

9.下面是小明同學(xué)設(shè)計的“作一個角等于已知角''的尺規(guī)作圖過程.

已知：ZO,

求作：一個角，使它等于NO.

作法：如圖：

①在NO的兩邊上分別任取一點A,B;

②以點A為圓心，0A為半徑畫??；以點B為

圓心，0B為半徑畫弧；兩弧交于點C;

③連結(jié)AC,BC,所以/C即為所求作的角.

請根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下列證明.

證明：連結(jié)AB,

：OA=AC,OB=,,

/.^OAB^ACAB()(填推理依據(jù)).

zc=zo.

典例：)如圖，已知銳角AABC,AB>BC.

(1)尺規(guī)作圖：求作AABC的角平分線BD；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)點￡在A3邊上且3c=3￡,請連接DE,求證：ZBED=NC.

方法或規(guī)律點撥

此題考查了基本作圖-角平分線的畫法，以及三角形全等的判定及性質(zhì).解題關(guān)鍵是掌握基本作圖.

鞏固練習(xí)

1.如圖，在zsABC中，BA=BC,ZB=SO°,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則乙DCE的度數(shù)為（）

A.60B.65C.70°D.75°

2.如圖，已知AB=AC,BC=6,尺規(guī)作圖痕跡可求出B￡>=()

A

A.2B.3C.4D.5

3.如圖，中，NABC=90°,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論錯誤的是（）

A.DB=DEB.AB=AEC.ZEDC=ABACD.NDAC=NC

4.如圖，在ZkABC中,/C=90。,以點B為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、BC于點M、N分別以點M、N

為圓心，以大于|MN的長度為半徑畫弧兩弧相交于點P過點P作線段BD,交AC于點D,過點D作DEAB

于點E,則下列結(jié)論①CD=ED;②NABD=；/ABC；③BC=BE;④AE=BE中，一定正確的是（）

A

A.①②③B.①②④C.①③?D.②③④

5.如圖，在RSABC中，ZB=90°,以頂點C為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC,BC于點E,F,

再分別以點E,F為圓心，大于《EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線CP交AB于點D.若BD=3,

AC=10,則AACD的面積是.

6.如圖，AB//CD,以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交A3,AC于點E、F,再分別

以E、尸為圓心，大于的同樣長為半徑作圓弧，兩弧交于點P,作射線AP,交CD于點M,則射

線AP為_____________;若NA8=110°,則的度數(shù)為.

7.如圖，以點3為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交A8,BC兩邊于點。,E.分別以點RE為圓心，

以大于1DE的長度為半徑畫弧，兩弧交于點F.已知點F到邊AB的距離為3,則點F到邊BC的距離

2

為.

考點3：利用尺規(guī)作圖作三角形

典例：數(shù)學(xué)課上，老師提出問題，任意畫兩條長度不等的線段a、b,利用尺規(guī)作圖作Rt/iABC,使線段a、

b分別為三角形的一條直角邊和斜邊，小勇所作之圖如下：

請你回答下列問題：

(1)在以下作圖步驟中，小勇的作圖順序可能是；(只填序號)

①以B為圓心，BA的長為半徑畫弧，交射線AG于點D.

②畫直線BF.

③分別以點A,D為圓心，大于線段AB的長為半徑畫弧，交于點F.

④以點A為圓心，線段b的長為半徑畫弧，交直線BF于點C,聯(lián)結(jié)AC.

⑤畫射線AG,并在AG上截取線段AB=a

(2)/ABC=90。的理由是.

方法或規(guī)律點撥

本題考查了尺規(guī)作圖——復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)等，掌握基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.尺規(guī)作圖：如圖，作一個直角三角形ABC,使其兩條直角邊分別等于已知線段m,n.(保留作圖痕跡,

不寫作法)

2.如圖，已知：點P和直線BC.

求作：等腰直角三角形MPQ,是ZPMQ=45。，點M落在BC上.

P

13

3.用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：線段c,求作RSABC,使NC=90。，BC=c,AB=2c.

4.已知/a,線段a,b,求作：4ABC,使NB=/a,AB=2a,BC=b.（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法及證明）

5.（用直尺和圓規(guī)作圖）

已知：線段a,c,Na,求作：AABC,使=AB=c,ZABC=a.

.a

6.如圖，已知"ABC,用直尺與圓規(guī)作△OER使得多ZVIBC.（不要寫作法，保留作圖痕跡.）

7.已知：線段a,Ne,求作：A4BC,使AB=AC=a,N5=Na.

8.已知：線段a,c（a<c）,求作，RtAABC,使NC=90°,AB^c,BC=a.

一ac-

考點4：利用尺規(guī)作圖作其它圖形

典例：如圖，已知點D為AABC的邊AB上一點

(1)請在邊AC上確定一點E,使得SABCD=SABCE(要求：尺規(guī)作圖、保留作圖痕跡、不寫作法);

(2)根據(jù)你的作圖證明SABCD=SABCE.

方法或規(guī)律點撥

本題考查了尺規(guī)作圖一作平行線、三角形的面積等知識，掌握平行線間的距離相等是解答本題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.如圖，一塊大的三角板ABC,D是AB上一點，現(xiàn)要求過點D割出一塊小的三角板ADE,使DE

〃BC,請用尺規(guī)作出DE和/A的平分線.(不寫作法，留下作圖痕跡，要有結(jié)論)

2.在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：

已知：Za,直線/和/上兩點4,B.

求作：R2ABC,使點C在直線/的上方，且NABC=90。，ZBAC^Za.

小剛的做法如下：

①以Na的頂點。為圓心，任意長為半徑作弧，交兩邊于M,N;以A為圓心，同樣長為半徑作弧，交直線

I于點P；

②以P為圓心，的長為半徑作弧，兩弧交于點。，作射線AQ；

③以B為圓心，任意長為半徑作弧，交直線/于E,F；

④分別以E,尸為圓心，大于」EF長為半徑作弧，兩弧在直線/上方交于點G,作射線BG;

2

⑤射線AQ與射線BG交于點C.RMABC即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

連接PQ

在AOMN和"QP中，

?：ON=AP,PQ=NM,OM=AQ

:AOMN^/^AQP（）（填寫推理依據(jù)）

：.ZRAQ=ZO=a

VCE=CF,BE=BF

：.CB±EF（）（填寫推理依據(jù)）

3.如圖，利用尺規(guī)在AABC的邊AC上方作NC4Z）=NACB,并說明：AO〃CB.（尺規(guī)作圖要求保留

作圖痕跡，不寫作法）

A