高中數(shù)學(xué)課堂講義：圓錐曲線大題解題模板

高中數(shù)學(xué)課堂講義：圓錐曲線大題解題模板

目錄

1.判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系...............................................1

2.掌握基本知識(shí)...............................................................2

3.直線與圓錐曲線解題模板.....................................................4

3.1.模板1-圓錐曲線與直線....................................................4

3.2.模板2-弦長(zhǎng)與三角形面積相關(guān).............................................9

3.3.模板3-角度的處理與轉(zhuǎn)化.................................................12

3.4.模板4-垂直平分線相關(guān)...................................................15

3.5.模板5-定點(diǎn)定值問(wèn)題.....................................................17

3.6.模板6-與向量相關(guān)的問(wèn)題................................................21

3.7.模板7-范圍與最值問(wèn)題..................................................24

1.判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、尋找主直線：主直線有兩個(gè)要求：

①所給的直線條件中：有必過(guò)點(diǎn)(或者求證是否有必過(guò)點(diǎn))，給斜率或傾斜

角(或者與斜率、傾斜角有關(guān)的條件)；

②所給的直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。

2、從代數(shù)角度看，可通過(guò)將表示直線的方程，代入圓錐曲線的方程消元

后所得的情況來(lái)判斷，但要注意的是：對(duì)于橢圓方程來(lái)講，所得一元方程必是

一元二次方程，而對(duì)雙曲線方程來(lái)講未必。

F2

___v1

例如：將廣奴+M代入__＞0,。＞0)中整理得:

(b2-a2k2)x2-201kmx-a2/n2-a2b2=0.

(1)當(dāng)“時(shí)，該方程為一次方程，此時(shí)直線＞=丘+相與雙曲線的漸近

線平行；

3

(2)當(dāng)。時(shí)，該方程為二次方程，這時(shí)可以用判別式來(lái)判斷直線與雙

曲線的位置關(guān)系。

第1頁(yè)共28頁(yè)

3、從幾何角度看，可分為三類(lèi)：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及兩個(gè)相異

的公共點(diǎn)，具體如下：

(1)直線與圓錐曲線的相離關(guān)系，常通過(guò)求二次曲線上的點(diǎn)到已知直線的距

離的最大值或最小值來(lái)解決；

(2)直線與圓錐曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，對(duì)于橢圓，表示直線與其相切；對(duì)于

雙曲線，表示與其相切或與雙曲線的漸近線平行，對(duì)于拋物線，表示直線與其

相切或直線與其對(duì)稱(chēng)軸平行；

(3)直線與圓錐曲線有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)，表示直線與圓錐曲線相割，此時(shí)

直線被圓錐曲線截得的線段稱(chēng)為圓錐曲線的弦。

2.掌握基本知識(shí)

1、與一元二次方程?相關(guān)的知識(shí)(三個(gè)"二次”問(wèn)題):

(1)判別式：A=/-4ac；

b

(2)韋達(dá)定理：若此方程有兩個(gè)不同的根X、尤2,則I-a,

_-b±ylb2-4ac

(3)求根公式：若此方程有兩個(gè)不同的根土、々，貝丁”=公

2、與直線相關(guān)知識(shí)：

(1)直線方程的五種形式：

①一般式：&+為+c=o；②點(diǎn)斜式：=X。)；③斜截式：

x一否%+2=1

,二丘+6或x=④兩點(diǎn)式：刈一耳々一王；⑤截距式：a+~h=

(2)與直線相關(guān)的內(nèi)容：

①傾斜角與斜率％=tana,a^O,兀)；②點(diǎn)到直線的距離

|Ar0+By+C\k-k,.

a=-~/0tana=|—2——-1

辦2+京；③夾角公式：1+g。

(3)弦長(zhǎng)公式：直線^=丘+8上任意兩點(diǎn)4孫丹),B(如必),

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IAB|=J（X]-無(wú)2）2+（3-必）2=Jl+/，I斗-九2I

則i—/----------------I―r。

=J]+女-?J（X]+/）--4x,x2=Jl+-^--1y,—y21

⑷兩條直線Ly=3+〃傾斜角為a）和仇"3+4（傾斜角為p）的位

置關(guān)系：

①32=%%=T=la一吟;

（^2）/]〃，2=勺=月4工>2<=>a=B；

③4與，2關(guān)于與X0）軸平行或垂直的直線對(duì)稱(chēng)，則匕+%2=（）,a+2兀。

（5）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知%）、85，為）兩點(diǎn)，份是線段45的中

點(diǎn)，

均+々、，一%+為

則有2,」2。

3、圓錐曲線方程的形式：

（1）橢圓（焦點(diǎn)在》軸上）：

①定義方程：J（x+c）2+J+J（x-c）2+丁=2a；

蘭+f=1

②標(biāo)準(zhǔn)方程：?2『（a>/?>0）.

22

③一般方程：=1（心°,〃>°且機(jī)="）;

卜=acos。

④參數(shù)方程：卜=初而°（0為參數(shù)1

（2）雙曲線（焦點(diǎn)在*軸上）：

①定義方程：IJ（x+c、）2+y2-J（x—c）2+y2|-2a.

22

土-2=1

/7>0

②標(biāo)準(zhǔn)方程：//（。>°，）;

221

=l

③一般方程：松+（/wi<o）o

（3）拋物線方程的形式（焦點(diǎn)在X軸正半軸上）：

①標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=2px（p>0）；

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\x=2pi1

②參數(shù)方程：1y=2m。為參數(shù))。

4、圓錐曲線的重要性質(zhì)：

空空

(1)通徑：橢圓二雙曲線丁，拋物線2p；

(2)焦點(diǎn)三角形公式：

①P在橢圓上時(shí)：cosQ大)=J2e2,|PFJI%l=]+cos。,

22

b<||.|PF21<a；SAH%=〃-tan^,/-c?4而.麗

2

_IPF,||PR|=^—S.FPF=b-cot-

②p在雙曲線上時(shí)1-cose,3%2O

3.直線與圓錐曲線解題模板

1、沒(méi)有尋找到主直線，就設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)運(yùn)算尋找等量關(guān)系，消元，

最后獲得結(jié)果。

2、有主直線：

兀兀

—a=——

(1)根據(jù)題意討論直線傾角a是否可取2,當(dāng)2時(shí)設(shè)直線方程為x=x°,

aM

當(dāng)2時(shí)設(shè)直線方程為y-y.=k(x-x.)或y=h+/；或直線傾角a是否可取

0,當(dāng)a=。時(shí)設(shè)直線方程為丁=%，當(dāng)。=0時(shí)設(shè)直線方程為X-%=%)或

%=e+/,其中優(yōu)為斜率的導(dǎo)數(shù)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程形成關(guān)于x或曠的一元二次方程：

px2+/+z=0或獷+qy+z=0,注意驗(yàn)證A>0；

_b

(3)設(shè)而不求：設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)4孫M)、8(孫％),則“*=一"、

C

為'二鼠

?

(4)根據(jù)題意進(jìn)一步求解。

3.1.模板1-圓錐曲線與直線

第4頁(yè)共28頁(yè)

---Fy~—1——t---=1

例1-1.（12分）橢圓G：2-,橢圓02：a2b2的

一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（后°）,斜率為1的直線/與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn),線段

的中點(diǎn)”的坐標(biāo)為（2，T）。

（1）求橢圓G的方程；

（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N在橢圓G上，且而=而+2而，則

直線OM與直線ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)

說(shuō)明理由。

審題路線圖：通過(guò)。、以。、e和必過(guò)點(diǎn)的相關(guān)關(guān)系及中點(diǎn)弦公式求出

葭c-＞寫(xiě)出方程；尋找主直線（沒(méi)有）-設(shè)點(diǎn)-利用等量關(guān)系消元求出定

值。

規(guī)范解答：

【解析】⑴橢圓02：/+乒=%＞。＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（后°）,

則C'=K,即有/_/=5①，1分

i.+2L=i4+應(yīng)=1

設(shè)4＞|,為）、8（X2，%）,則/方2,//,2分

（X]一々）（X1+*2）,（弘一。2）（）'|+%）_c

29―U

兩式相減：ay,3分

士也=2A±A=—1輸=江人岑=1

A2,2,則占一芍?-②，4分

蘭+T=1

由①②解得，。=屈,b=后,則橢圓C2的方程為1（）5一；5分

（2）設(shè)0（而%）,加的%），N（z，刃），

x

貝|Jo+2y=109x；+2y；=2,x：+=2,7分

第5頁(yè)共28頁(yè)

由0P=0M+20N,可得：（如%）=（工3，%）+2（%>4）,

x0=x3+2X4

...1%=□+2”,8分

28

...宕+2尤=（x3+2X4）+2（y3+2yJ=x；+4x3-x4+4看+2y；+8y3-內(nèi)+>4

=（考+2$）+4（分工4+2%以）+4（考+2嫡=10+4（占.犬4+2力$）=1。，10

分

,..xi-x4+2y3-y4=0,

）勺.M=1

...與也2,即％*]]分

_2

???直線。加與直線ON的斜率之積為定值，且定值為一5。12分

構(gòu)建答題模板：

第一步：尋找主直線，沒(méi)有主直線的情況下設(shè)點(diǎn)、找等量關(guān)系、消元。

第二步：通過(guò)計(jì)算（主要的方法有消元法、點(diǎn)差法、換元法）解出定值。

第三步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范。

例1-2.（12分）已知定點(diǎn)C（T，°）及橢圓-+3）2=5,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與

橢圓相交于A、B兩點(diǎn)。

（1）若線段村中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一5,求直線村的方程；

（2）在X軸上是否存在點(diǎn)M,使而?標(biāo)為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

審題路線圖：設(shè)直線鉆的方程y="（x+D-待定系數(shù)法求4一寫(xiě)出方程；

設(shè)“存在即為（a°）-求忘?標(biāo)-在忘?標(biāo)為常數(shù)的條件下求優(yōu)。

規(guī)范解答：

【解析】（1）依題意，直線鉆的斜率存在，設(shè)直線他的方程為

y=Z（x+l）,1分

將y=%（x+1）代入?+3日=5,消去y整理得（3.+1）》:+6k2x+3--5=0,

2分

第6頁(yè)共28頁(yè)

A=36/-4(3左2+1)(3&2_5)>0,設(shè)A1,.)、B(x2,乃)，則

6k2

X.+x=----5——

2-3女2+1,4分

1x,+Xj3k21.1y/3

—------------=-------z=—k=土—

由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,得23K+12,解得3(可

取)，5分

.??直線他的方程為9ky+i=°或x-百y+『o；6分

(2)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)“(加，°),使百?標(biāo)為常數(shù)，

r+x6k2r丫3k2-5

①當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由⑴知)+小=-3/+1,…=3入1,

7分

2

.MA-MB=(xi-/ri)(x2-rri)+yx-y2=(x)-m)^-m)+A：(X]+1)(巧+1)

=(Z~+1)X],X2+(A2—+&)+左一+1TI~g/分

將氏+芍與％-2代入整理得：

1914

——(6777-1)P-52(2〃7-§)(3公+1)-2”一§

MA?MR=-------------------------------km=-------------------------------4-

3左2+13二+1

2個(gè)16m+14

-m+2m------------z-----

33(3公+1)

7

若瀛?贏是與人無(wú)關(guān)的常數(shù)，則有碗+14=0,3,此時(shí)

—*—*4

MAMB=-

9,10分

(-1,-^-)

②當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，6、

T),

7—*—*4

m=一一MA?MB=—

當(dāng)3時(shí)，也有9,11分

7八

M(—,0)—?—?

綜上，在X軸上存在定點(diǎn)3,使M4.M5為常數(shù)。12分

第7頁(yè)共28頁(yè)

構(gòu)建答題模板：

第一步：尋找主直線，根據(jù)模板進(jìn)行解題。

第二步：假設(shè)結(jié)論存在，以存在為條件，進(jìn)行推理求解。

第三步：明確規(guī)范表述結(jié)論。若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定正

確；若推出矛盾，即否定假設(shè)。

第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范。如本題中第(1)問(wèn)容

易忽略A>°這一隱含條件。第(2)問(wèn)容易忽略直線A8與x軸垂直的情況。

例1-3.(12分)已知拋物線C：丁=2、過(guò)(2,0)的直線/交c于A、B兩

點(diǎn)。圓”是以線段為直徑的圓。

(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓“上；

(2)設(shè)°”過(guò)「(4,-2),求/與圓M方程。

【解析】(1卜?拋物線C的方程為產(chǎn)=2"

(一,0)x=—

.?.C的焦點(diǎn)為2，準(zhǔn)線為2,1分

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即鉆垂直于x軸，此時(shí)A、3點(diǎn)橫坐標(biāo)均為2,

將x=2代入曲線方程，解得丫二12,此時(shí)圓半徑為2,坐標(biāo)原點(diǎn)在圓M

上，2分

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y="*—2),

y2=2x

聯(lián)立=2)得：心2_(4%2+2?+4/=0,A>0恒成立，3分

設(shè)A(xi，%)、B(X2,%),

4k2+2

x+x

...04=(再，%),OB=(X2,y2)i2~r,x,-x2=4)4分

..OA?OB=jq?々+y?%=%]?尤2+—2)?k(x2-2)

=(1+Zc)X1,x?—2k-+當(dāng))+4k-

=(1+22)X4-2%2'竺M^+4%2=0

2

k9

?.?瓦布=0,

第8頁(yè)共28頁(yè)

：.OA1OB,又AB為直徑，

...坐標(biāo)原點(diǎn)°在圓M上；6分

（2），?圓加過(guò)點(diǎn)「（4,一2）,

APAA.PB,即西?麗=0,

由（1）知（七一4）（工2-4）+（兇-4）（%-4）=0,

即西?々+兇+々）+2（必+%）+20=0,

由于y+%=%（%-2）+%52-2）=%（玉+々）-4%,

則/+%一2=0,解得％=-2或％=1,8分

9

①當(dāng)&=-2時(shí)，直線/的方程為y=-2（x-2）,內(nèi)+"5,

91

X）=-Vn=--

二點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4,則,°2,

（x—）+（y—）=—

.?.圓加的方程為4216,10分

②當(dāng)人=1時(shí)，直線/的方程為，=工-2,百+々=6,

???點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為與=3,則%=1,

??，

.|MP|=5/l2+32=7io

,,，

.?.圓”的方程為宜—3）2+（尸1）2=1°。12分

3.2.模板2-弦長(zhǎng)與三角形面積相關(guān)

”,＞,21娓

例2-1.（12分）己知橢圓C：a2b2"＞人＞。）的離心率為3,且

經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5'5）。

（1）求橢圓C的方程。

第9頁(yè)共28頁(yè)

（2）過(guò)點(diǎn)P（°，2）的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求AAQ3（。為原點(diǎn)）面積的最

大值。

審題路線圖：設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程-根據(jù)〃、葭c、e的關(guān)系列方程組f解

方程組寫(xiě)出方橢圓程；設(shè)直線點(diǎn)斜式方程一代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一根據(jù)根與系

數(shù)關(guān)系求玉+々與百飛-根據(jù)圖象求出關(guān)于的等式并用g一即表示-根

據(jù)均值不等式求最值。

規(guī)范解答：

222

2a-b,b2b6

【解析】⑴由礦a-3得a3①，1分

319?17

由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)弓'5）得/+方=②，2分

聯(lián)立①②，解得匕=1,a=后，

x22,

—I-y=1

...橢圓C的方程是3；4分

（2）由題意可知直線他一定存在斜率，設(shè)其方程為、=丘+2,5分

y=kx+2

￡,2=1

聯(lián)立［3+'-消去'得：（1+3G）/+12丘+9=0,6分

則△=144廿一36（1+342）＞。，得廿＞1,設(shè)4（不兇）、區(qū)區(qū)，乃），7分

12k9

X.-FX.=-------------7Xi-X7=----------

則■1+3廿,-1+3/,8分

SgOB=1—^APOA|=~XIXj—%21=1不一々I..

2，9分

3636（/-1）

—12k2

（X|—X）~=（%+々）—-x—（—

221+3口1+3公-（1+3新）2

10分

,、236r36363

2…際"開(kāi)

設(shè)&j=，U>0）,則

11分

9r=-t=-k2=-＞\

當(dāng)且僅當(dāng)r,即3時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)3,可取,

第10頁(yè)共28頁(yè)

此時(shí)AAO3面積取得最大值2。12分

構(gòu)建答題模板：

第一步：根據(jù)過(guò)定點(diǎn)和。、葭。、e的關(guān)系求圓錐曲線方程。

第二步：設(shè)直線方程并與曲線方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求玉+々與

第三步：根據(jù)圖象分析所求圖形的等量關(guān)系，并用均值不等式求最值。

第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范。如本題中第（1）問(wèn)如

不知道焦點(diǎn)位置應(yīng)設(shè)圓錐曲線的一般方程。第（2）問(wèn)應(yīng)用換元可是計(jì)算更加簡(jiǎn)

便，但要注意新元的范圍。

練習(xí)2-2.（12分）已知拋物線）人的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線交拋物線

于A、8兩點(diǎn)。

（1）若4尸=3所，求直線鉆的斜率；

（2）設(shè)加點(diǎn)在線段A8上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)°關(guān)于〃的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,求四邊形

OAC3面積的最小值。

【解析】（1）由題意可知，直線AS的傾角不為0,設(shè)A8的方程為:

*=%+1,1分

x=my+\

<

與拋物線聯(lián)立b'2=4x得：/一4〃?y_4=0,2分

設(shè)4再，y）、8（孫必）,貝|」乂+%=4〃7、%.為=-4,3分

______加2_J_

m

?.?AF=3FBny=_3y23,4分

???直線"的斜率為百或一石；5分

（2）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，得M是線段℃的中點(diǎn),

???點(diǎn)。與點(diǎn)C到直線A5的距離相等，6分

SOACB=2sA408=2XgXIOFIXI兇_%1=+%f-町?％=J16*+16>4

9分

???當(dāng)加=。時(shí)，四邊形OAC8的面積最小，最小值為4。10分

第11頁(yè)共28頁(yè)

—+—=1

練習(xí)2-2.（12分）已知橢圓/b2的一個(gè)焦點(diǎn)為產(chǎn)⑵。），且離心率為

V6

To

（1）求橢圓方程。

（2）過(guò)點(diǎn)加（3,0）且斜率為％的直線與橢圓交于A6兩點(diǎn)，點(diǎn)AA關(guān)于x軸的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)為C,求&173c面積的最大值。

_c_屈

【解析】⑴依題意有。=2,/可得Y=6,反=2,故橢圓方程

上+4=1

為62；3分

（2）直線/的方程為y=%（x-3）,

代入橢圓方程消去得：（3公+1*-18產(chǎn)X+27M-6=0,4分

儂227k2-6

設(shè)A（X］,必）、8*2,%）,則、+不=3%2+1,-3爐+1,5分

不妨設(shè)玉<々，顯然玉、々均小于3,則：6分

SSAMC=^-12^|<3-X］）HI-（3-X］）7分

SMBC=712芳卜（電—百）=|yj-（々—X］）

2,8分

S/MBC=lS^Bc一S^MCRM卜（3-々）引“N3-X1）（3-々）

,,,rQ2,,-?_3M<31kl_V3

=陽(yáng)（9-3區(qū)+々）+咐］=許《赤—，I。分

左2=12

等號(hào)成立時(shí)可得3,此時(shí)方程為2Y-6X+3=0,滿足△>（）,11分

73

??.&W3C面積S的最大值為2。12分

3.3.模板3-角度的處理與轉(zhuǎn)化

講解：在圓錐曲線大題中出現(xiàn)垂直、直角、銳角、鈍角等題設(shè)或者問(wèn)題,

一般都轉(zhuǎn)化成向量:

第12頁(yè)共28頁(yè)

（]）AB_LC￡>=ABC￡）=O=X1+y?%=0.

（2）ZABC=90°nAB-3。=0=百々+y?%=0.

（3）車(chē)屯角^^BC>90AB'BC>0西,巧+y?%>。.

（4）ZABC為銳角=43C<90°nA8-3C<0=>X]?巧+Y?為〈0。

22

工+匕=1

例3-1.（12分）如圖所示，橢圓J?2b2（。>人>0）的左右頂點(diǎn)分

別為4、42,上下頂點(diǎn)分別為片、生，四邊形AfM?/的面積為4,周長(zhǎng)為

4后。直線/：?=履+啦與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P和。。

（1）求橢圓的方程；

（2）若。尸~L°Q,求％的值。

（3）若NP°Q為銳角，求出的取值范圍。

【解析】（1）四邊形的面積為加）=4

分

---by=1

又。那>0,解得。=2,b=l,故橢圓的方程為4-；3分

（2）將丫=丘+近代入橢圓方程，整理得（1+4爐）/+8揚(yáng):x+4=0①，4分

21

A=128^2-16（4A:2+1）=16（4A:2-1）>0,解得45分

86k4

設(shè)尸（如立。（如必）,由方程①，得、+"-1+4&2,%'々=1+4%2

②，6分

2

又Y,%=（依+夜）（優(yōu)+y/2）=k--x2+6k（X[+々）+2③，y分

OPJ_OQnOPOQ=0=>石?&+y?%=0,8分

八，八4二,，-8以、?6-4/

（1+k-）----5+以（一、?）+2=----=0

即\+4k21+4/1+4%-7,9分

.23.21,,V6

k~——k~>一k=±

解得2,顯然4滿足，故2；10分

第13頁(yè)共28頁(yè)

(3)由(2)知,NF。。為銳角=＞0尸0。＞°=＞與?巧+%%＞0,即

6-4k2八

--r>°

1+以一,11分

k2<-k2>--<k2<-

解得2,又4,

12分

構(gòu)建答題模板：

第一步：根據(jù)過(guò)定點(diǎn)和〃、以。、e的關(guān)系求圓錐曲線方程。

第二步：要求”的值”，因此需要構(gòu)建關(guān)于左的方程。

第三步：根據(jù)已知oP，oQ=opoQ=on百.々+%％=0很容易得出計(jì)算

分步目標(biāo)：

(1)直線和橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求的小和玉+々的表達(dá)式；

(2)計(jì)算八＞。得到一個(gè)火的范圍；

(3戶(hù),々+%%=o,通過(guò)^=丘+及的關(guān)系式求出力力，計(jì)算％的值，并

驗(yàn)證。

第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范。

__|_2--=]J—

練習(xí)3-1.(12分)已知橢圓C：?23一(。＞6)的離心率為2。

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/經(jīng)過(guò)C的左焦點(diǎn)耳且與C相交于8、。兩點(diǎn)，以線段為直

徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)尸2,求/的方程。

【解析】(1)由題意得°=石，％=彳，a2=b2+c2,解得”=指,

22

土+匕=1

???橢圓C方程為63；2分

(2)由題目可知/不是直線，二°,且片(-后°)、尸2("。)，3分

設(shè)直線/的方程為、='")’一追，點(diǎn)以孫必)、0(*2,%),4分

第14頁(yè)共28頁(yè)

代入橢圓方程，整理得：（療+2）丁-2后iy-3=0,△＞（）恒成立，5分

2鬲3

/+為=訴?①,*%=-贏^②，6分

_46_6-6m2

由％二四廠6，々=，"%一石得：.+七一川+2③,蘇+2④,

8分

.齊=（x「6,X）,尸2"=（々-6%），由題意知為3,丹。=°,10分

...玉?々-同芭+X2）+%%+3=o,將①②③④代入上式并整理得病=7,

...m=±V7,11分

因止匕直線/的方程為》一6）'+石=0或了+b）'+行=0。12分

3.4.模板4-垂直平分線相關(guān)

講解：在圓錐曲線大題中出現(xiàn)垂直平分線等題設(shè)或者問(wèn)題，設(shè)主直線的方

程（斜率4存在且不為°）,再設(shè)垂直平分線的方程（斜率&2存在且不為0）,求中

點(diǎn)坐標(biāo)，再利用姑質(zhì)=T建立關(guān)系式，求出問(wèn)題。

例4-1.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E到兩點(diǎn)片（-1，0）、鳥(niǎo)（1，0）

的距離之和為2式，設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C。

（1）寫(xiě)出C的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)BQQ）的斜率為％（左/0）的直線/與曲線C交于不同的兩點(diǎn)加、

N,點(diǎn)P在y軸上，且IPMHPNI,求點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍。

［解析】（1）由題設(shè)知|￡F'I+IEF?\=2血＞W(wǎng)BI,

根據(jù)橢圓的定義，E的軌跡是焦點(diǎn)為"、尸2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2后的橢圓，2

分

/+￡=1

設(shè)其方程為/b2（。＞6＞0）,貝k=后，c=l,解得。=1,

X2.

----by2=1

??.C的方程為2；4分

（2）設(shè)直線/方程為＞=%（xT）,

第15頁(yè)共28頁(yè)

代入橢圓方程消去y得：（2二+1?2-4k2工+2公-2=0.5分

尤+X-軟2

△=8二+8>0,設(shè)M（孫必）、N（X2,%），則.+%一2二+1,

2k1-2

!=2P+1,7分

2一,___J

設(shè)"N的中點(diǎn)為Q,貝產(chǎn)=2二+1,為一血一一一2二+1,

Q（/_____J）

即2/+1'2k2+1,9分

30,

,?k=1（X2k2）

二直線用N的垂直平分線方程為‘+定17一一二"一2二+1,I。分

k1

力=汨T￡I

令x=0解得，k,

當(dāng)我>。時(shí)，

..2及+：22后

.。<仆當(dāng)

??~9

當(dāng)k<0時(shí)，

2k+-<-2y[2

k

[---,0）U（0,—]

綜上P縱坐標(biāo)的取值范圍是44。12分

22

工+匕=1

練習(xí)4-1.（12分）已知橢圓C：/b2（a>8>0）四個(gè)頂點(diǎn)恰好是邊

長(zhǎng)為2,一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)。

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線>=履交橢圓C于A、B兩點(diǎn),在直線/：X+y_3=0上存在點(diǎn)

第16頁(yè)共28頁(yè)

P,使得火鉆為等邊三角形，求出的值。

X22」

rr-----Fy=1

【解析】（1）由題意可知.=,3,、=1,橢圓C的方程為3-；3分

（2）設(shè)A?，必）,則3（一-y）,

當(dāng)直線鉆的斜率為°時(shí)AB的垂直平分線就是軸，4分

軸與直線/：工+k3=0的交點(diǎn)為PQ3）,

..\AB1=273|PO|=3

?，，

=60。，5分

??HA8是等邊△,

.?.直線鉆的方程為尸°,6分

當(dāng)直線轉(zhuǎn)的斜率存在且不為。時(shí)，設(shè)A5的方程為曠=依，代入橢圓方程消

去丫得,7分

(3二+1比2=3

8分

__2

設(shè)河的垂直平分線為）"一層',它與直線/：x+y-3=°的交點(diǎn)記為

P（知為）,9分

3k3|。。|=

("1)2

&T,k-\,則

曲為等邊三角形，

...應(yīng)有|「。|=6|4。|,

10分

W+9萬(wàn)愣2+3

代入得到?*T）213r+1,解得2=0（舍）或％=-1,

此時(shí)直線鉆的方程為y=r,11分

綜上，直線鉆的方程為）'=°或x+y=°。12分

3.5.模板5-定點(diǎn)定值問(wèn)題

第17頁(yè)共28頁(yè)

—+—=1

例5-1.（12分）已知橢圓C：//力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

旦

耳、尸2,離心率為7,以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線

x-y+&=0相切。

（1）求橢圓C的方程；

（2）若斜率為4的直線/與x軸、橢圓。順次相交于點(diǎn)A、M、N（A

點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)的右側(cè)），且滿足NNBG=

/MBA,①求證：直線/過(guò)定點(diǎn)（2，。），②求斜率%的取值范圍。

_c_>[2

【解析】⑴由題意知"="=亍，

2

e2—.?__b_—_1

一/-2,即/=2〃，2分

,41

又...J1+1,

.?.a=2,〃=1,故橢圓C的方程為2；4分

（2）由題意，設(shè)直線/的方程為丁=丘+加心*0）,知（孫弘）、'（孫力）,5

分

代入橢圓方程，消去y得：（2-1）/+4公加+（2加2-2）=0,6分

4km_2in2-2

△=16%2機(jī)2_4（242+1）（2〃/_2）>0,貝X|'X2=^rT7,7

分

得m2<2k2+1,

?.?NNB6=NgA,且NgAw90°

...^MF2+^NF2=0,8分

又B（i,o）,

一?%一0k%+m?3+J。

?X|—1%2-1g|JXj-1%2~~1

第18頁(yè)共28頁(yè)

化簡(jiǎn)得：2白々+（加一Q（%+々）-2%=0,10分

將西+*2和王.々代入上式得機(jī)=-2Z（滿足△>0）,

即直線/的方程為>=丘一2左，即直線過(guò)定點(diǎn)（2。），11分

將機(jī)=一2%代入m2<2d+1得4%2<2公+1,且女工0,

（--,0）U（0,—）

從而直線/的斜率左的取值范圍是22。12分

練習(xí)5-1.（12分）已知橢圓C：/b2心〉8>0）的左、右焦點(diǎn)分別

為《、尸2,點(diǎn)例（。，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，“々MB是等腰直角三角形。

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)M分別作直線M4,MB交橢圓于A、3兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分

（__-2）

別為勺、的，且4+&=8,證明：直線.過(guò)定點(diǎn)2'0

【解析】⑴依題意可知b=c=2,

Jv2

.??。=2拉，則橢圓方程為84,3分

（2）依題意易知直線/的斜率存在，可設(shè)直線鉆的方程為）'=丘+m，

（帆/2）,4分

,_）'|_2與_%_2

4不M）、B（x2,%）,則有‘百、?,

X-2+乃-2=&kx、+m-2+優(yōu)+m-2=8

即西々o芭x2,6分

化簡(jiǎn)整理得：（2?_8崗%2+（祖一2）（內(nèi)+》2）=0,①

將直線方程代入橢圓方程消去丁整理得：（1+2公）/+4.x+2（〃/-4）=0,

8分

A=16左2/-8（1+2k2）（m2-4）>0。病<&爐+4

-4km2（tn2-4）

x.+x=----^?/二---------『…

貝I」-71+2公，-1+2二，②9分

第19頁(yè)共28頁(yè)

2(-2—4)(2——8)[(%—2)(TA:/n)0

2

把②代入①得：1+2廿i+2k—=,10分

化簡(jiǎn)得(加一2)(%—2加—4)=0,而機(jī)r2,貝ijZ=2m+4,口分

???直線?方程為>=(2團(tuán)+4)x+m，即y=帆(2x+1)+4x,

_2)

即直線回過(guò)定點(diǎn)2'。12分

練習(xí)52(12分)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)/(1,0),。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，A、8為拋物線C上異于。的兩點(diǎn)。

(1)求拋物線方程；

(2)若直線。4、。8的斜率之積為一5,求證：直線43過(guò)x軸上一定點(diǎn)。

[解析】(1卜?拋物線丁=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(I，。)，

一?

2,即P=2,

???拋物線。的方程為)'2=4'2分

(2)證明：

22

4(—/)B(—,—?)

①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)4、4,3分

...直線。4、08的斜率之積為一5,

Z_1

17r一一5

44,

化簡(jiǎn)得戶(hù)=32,

...A(8,4近)、8(8,-4&),此時(shí)直線A8的方程為x=8,5分

②當(dāng)直線⑷?的斜率存在時(shí)，設(shè)直線鉆的方程為：y=kx+b,6分

y=kx+b

<

2

聯(lián)立l/=4x并化簡(jiǎn)得：ky-4y-4h=0f

__4_4b

設(shè)A*i，%)、倒出為)，則”+為一工，不，&分

第20頁(yè)共28頁(yè)

??.直線。4、的斜率之積為一5,

—"—=-17n區(qū).甚+2y.曠2=0

.?.須々2,即西-々+2%%=°,即44,9分

，，=竺=-32

解得M?%=0（舍去）或％為=-32,即3）2-工-、，即-=一跳,io

分

:,y=kx-3k,即y=Z（x-8）,正分

綜合①②可知，直線轉(zhuǎn)過(guò)x軸上一定點(diǎn)（&°）。12分

3.6,模板6-與向量相關(guān)的問(wèn)題

例6-1.（12分）已知橢圓G：彳+>=1,橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，

焦點(diǎn)在y軸上，與G有相同的離心率，且過(guò)橢圓G的長(zhǎng)軸端點(diǎn)。

（1）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)°為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、3分別在橢圓C|和G上，若麗=2次，求直

線鉆的方程。

【解析】（1）由G方程可得G的離心率「一2’依題意可設(shè)橢圓C2的方程

2=1

為“4（。>2）,2分

_V|2_^2-4_3

由已知G的離心率也為"下，則有,解得/=16,4分

蘭+金=1

故橢圓G的方程為164；5分

（2）設(shè)A（X|，y）、3（々，）2）,

由而=2次及⑴知0、A、8三點(diǎn)共線且點(diǎn)A、3不在》軸上，6分

X22i24

I---by=1Xi=----y

可設(shè)直線鉆的方程為>=依，將其代入4-中，解得?1+4/,8

第21頁(yè)共28頁(yè)

xy2_16__

將尸奴代入花+彳=中，解得當(dāng)=/，又由為=2函得x；=4x；,

10分