概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程多媒體參考的資料第一篇概率論

?工程數(shù)學(xué)一概率統(tǒng)汁簡(jiǎn)明教程。（第二版）一多媒體參考資料同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2011,12?第一篇概率論部分?第二篇統(tǒng)計(jì)部分信息時(shí)代與統(tǒng)計(jì)（代序〉2009年8月61丨的美國(guó)紐約U報(bào)有篇文章，題為:對(duì)如今的畢業(yè)生而言，就一個(gè)詞:統(tǒng)計(jì)學(xué).谷歌的首席經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈爾?瓦里安說(shuō):“我一直都說(shuō)，在未來(lái)10年，最具吸引力的工作將是統(tǒng)計(jì)師，”統(tǒng)計(jì)師地位的提高是近來(lái)電子數(shù)據(jù)爆炸式增長(zhǎng)的結(jié)果，至IJ2012年，全球電子數(shù)據(jù)約增長(zhǎng)5倍.3正如麻省理工學(xué)院的埃生克?布林約爾松所說(shuō),我們正在迅速進(jìn)入一個(gè)每件事都能被監(jiān)控和分析的世界，但問(wèn)題在于人類利用、分析和解釋數(shù)據(jù)的能力！這正反映了信息時(shí)代對(duì)統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)人才的強(qiáng)大需求，鮮活客觀的數(shù)據(jù)是解決長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)需求W題，以及確定重要政策的優(yōu)先程序的第一步.因而人們只有借助統(tǒng)計(jì)學(xué)這一重要丄具，使用計(jì)算機(jī)和縝密的數(shù)學(xué)模型，在大量數(shù)據(jù)中發(fā)掘重要信息，尋求其規(guī)律和決定對(duì)策.第一篇概率論部分5（一）事件的概率（二）條件概率與事件的獨(dú)立性（三）隨機(jī)變量及其分布（四）隨機(jī)變量的數(shù)字特征6(O事件的概率1.隨機(jī)事件2.概率的概念及性質(zhì)3.古典概型71.隨機(jī)事件?在隨機(jī)試驗(yàn)屮,對(duì)某些現(xiàn)象的陳述為隨機(jī)事件（也簡(jiǎn)稱事件）.?對(duì)于指定的一次試驗(yàn),一個(gè)特定的事件可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,這就是事件的隨機(jī)性.8?例1k第一章例,投擲一枚均勻骰子,觀察朝上面的點(diǎn)數(shù),我們關(guān)注“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于4”這個(gè)事件（記之為A）.當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)3點(diǎn)時(shí),事件發(fā)生；當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)5點(diǎn)時(shí),事件＞4不發(fā)生.總之,在試驗(yàn)前,無(wú)法判斷事件＞4是否發(fā)生.事件的關(guān)系(1)包含Zl);(2)A^B

(4與S相等)；(3)4與S互斥(4,S不能在一次試驗(yàn)屮M］時(shí)發(fā)生).ACBA與B互斥10例2Q第一章例7｝有兩門火炮同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,考察事件A=｛擊落飛機(jī)｝,依常識(shí),“擊落飛機(jī)”等價(jià)于“擊中駕駛員”或者“同時(shí)擊中兩個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)”,因此^是一個(gè)較復(fù)雜的事件.如記擊落第/個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)｝,/=1,2,擊中駕駛員｝,相對(duì)＞4而言,Bi.B2及C都較＞4為簡(jiǎn)單.我們可以用SrS2及C表示A4=B1B2UC這可以簡(jiǎn)化復(fù)雜事件A的概率計(jì)算.12事件分解的要點(diǎn)是:正確使用事件的運(yùn)算建立各簡(jiǎn)單事件之間的關(guān)系.13,-2.概率的概念及性質(zhì)?概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量.?概率的統(tǒng)計(jì)定義:概率是頻率的穩(wěn)定值，常常用于概率的近似計(jì)算，是非常有用的.但要注意，試驗(yàn)次數(shù)要足夠多.14概率的三條公理(1)0<P(A)<\.(2)

P(Q)=1；(3)對(duì)任意一列兩兩互斥事件…有co

、pLkV'!=lJ=Z隊(duì)).n-l15事件的加法公式及推廣:對(duì)于任意事件我、B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)對(duì)任意n個(gè)事件4,A2,…,有<J4)=ZP(A)-zmA)+…k=lk=lJ^h+(]廣1[尸…a)+…+卜ir_!尸(a…a”:16例3(茗:幸例9、據(jù)資料獲悉某市店民私房擁有率力63%,私牟擁有率為27%,而既尤旃也尤車的占30%,求任怠抽資一戶,恰為既有出乂有車的概韋.解分別記V件如｛抽到的一戶有房｝,如｛抽到的一戶冇車bC=｛抽到的一戶行車、有房)由題SF(A)=0.63^(0>0.27F0.顯然WC=AB,且由對(duì)偶律及概率性質(zhì)3知尸(AuB)=1-P(A\JB)=I-P(AB)=1-0,3=0.7‘因此由性質(zhì)5,P(C)二尸(=尸(A)+尸(權(quán))-尸(AUB)=0.63+0.27-0.70=0,20.因此既有￥乂存房的概率為().20,173.古典概型?概型的要求①有限性:可能結(jié)果只有有限個(gè)；②等可能性:各個(gè)可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的.?概率的計(jì)算公式尸(A)=有利于A的樣本點(diǎn)數(shù)n樣本點(diǎn)總數(shù)18例4I第二章例1.設(shè)有批量為100的同型號(hào)產(chǎn)品，其中次品有30件.現(xiàn)按以下兩種方式隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品：(a)有放回抽取，即先任意抽取1件，觀察后放回，再?gòu)闹腥稳?件；(b)不放回抽取，即先任意抽取1件，觀察后不放回，從剩下的產(chǎn)品中再任取1件.試分別按這兩種抽樣方式求：(1)兩件都是次品的概率；(2)第1件是次品，第2件是正品的概率.19解容易驗(yàn)證滿足古典概型的要求記/!=｛兩件都是次品｝,B=｛第1件次品,第2件正品夂只討論有放回情況（不放回情況是類似的）,計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù),注意隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的試驗(yàn)可以看成有放回地二次抽取,每次取一件.而每次抽取均有100種可能結(jié)果,依原理,一共有n=100X100=10,000種可能結(jié)果,此即樣本點(diǎn)總數(shù).20而構(gòu)成事件/A的樣本點(diǎn)的條件必須每次抽取來(lái)自30件次品,因此每次有30種可能結(jié)果,因而有^=30X30=900種可能結(jié)果,于是Ay——=n900_10,0000.09同理,可得尸（萬(wàn)）=30x70=0,21,100x10021?^例Si第二章例5.（占位問(wèn)題）fl個(gè)球隨機(jī)地落入r個(gè)不同盒子屮（n＜r）T假設(shè)每個(gè)盒子足夠大，粹納的球數(shù)不限，于是/?個(gè)球在r個(gè)盒子屮的分布（-共有種）是等可能的，求：（1）沒(méi)有一盒有超過(guò)1個(gè)球的概率；（2）第一盒恰有J'個(gè)球的概率（1＜；＜/2）22解記H題(1),(2)涉及的隨機(jī)書件分別'W,(1)4發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)不同的球落入不冏的盒T,岡此a利丁4的樣本點(diǎn)數(shù)為不可重復(fù)排列數(shù)r(r-l)-(r-n+l)所以戸⑷=r(r-l)---(r-n+1)(2)第一盒的7個(gè)球來(lái)自個(gè)球的總體,一共介種4<同選抒:氣第一益的J個(gè)球選定Ki.剩卜的n-j個(gè)球落入剌F的r-l個(gè)盒子中,枝球在盒子的分布總數(shù)7j(r-l)rt'\因jfij<j-利r/J的樣本點(diǎn)數(shù)為-lf~y.敁S到(ny.(卜1)'~23（二）條件概率與事件的獨(dú)立性1.條件概率2.全概率公式和貝葉斯公式3.事件的獨(dú)立性241,條件概率計(jì)算公式:若P(B)>0,則P(A8)^P(AB)P(B)乘法公式:若P(B)>0,則P(AB)=推廣:^P(AB)>OtP(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB)25例6(第三章例3.一批零件共100件，其中次品有10件，今從中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次為次品，第二次為正品的概率.解=｛第一次為次品｝，B=｛第二次為正品｝，要求P(AB),由乘法公式，先求及戸⑺)己知P⑺)=0丄而P(SM)=90/99，因此P(AB)=P(A)P(BIA)=0.1X90/99=0.091.26例7ViA,BZjM個(gè)#件,且己知尸(A)二().\八/幻二0乂求尸(/?A)及尸(sAU^)-解因?yàn)镻(B|A)=^^1

P(A)P(B)~P(AB)^0)P(BA\JB)=尸(F(AUff))尸(AUS)尸(Afi)P{AB)__P(AB)尸(A)+尸(否)一尸(A)+尸(/W)~P(B)+P(AB)27依假設(shè)條件,只需求出P{AB)t即可求解.今p(b\a\jb)=0.21—0.4+0.2P(AB)-P(A

一(A—S))=P(A)-P(A-B)—1_

P^A)__

B)

—1_

0.3_

0.5—0-2所以p(b\a)=P(A)().4-0.2231-428.全概率公式和貝葉斯公式全概軍公式若事件砟,42,…,么兩兩互斥,HP（冬）>0,!</<?,令行=|_|全概率公式是已知“原岡”發(fā)生概率,求“結(jié)果”發(fā)生概率.貝葉斯公式設(shè)A,,.",么兩兩互斥,且P(4)>(),P(B)>0,"=u隊(duì)i=l則對(duì)任~1<r<?有/w如/⑷郵⑷YP(Ak)P(B\Ak)貝葉斯公式是己知“結(jié)果”,推斷該“結(jié)果”由某發(fā)生的概率。原F在貝葉斯公式中,稱...,p(/U為先驗(yàn)概率,而戶⑷舊),...,P(AnIB)為后驗(yàn)概率,它表示在有了試驗(yàn)結(jié)果S己發(fā)生的附加信息下,對(duì)先驗(yàn)概率的修正.31例8Q第三章例血液化驗(yàn)一項(xiàng)血液化驗(yàn)以概率0.95將帶菌病人檢出陽(yáng)性,但也有1%的概率誤將健康人檢出陽(yáng)性.設(shè)己知該種疾病的發(fā)病率為0.5%,求己知一個(gè)個(gè)體被此項(xiàng)血液化驗(yàn)檢出陽(yáng)性條件下,該個(gè)體確實(shí)患有此種疾病的概率.32解此例的“結(jié)果”是血液化驗(yàn)檢出是陽(yáng)性，產(chǎn)生此結(jié)果的兩個(gè)可能“原因”是:一、帶菌；二、健康人J'nj題是求從己知“結(jié)果”為陽(yáng)性條件下，而事實(shí)上是“帶菌”的條件概率:P(帶菌I陽(yáng)性)記8=｛陽(yáng)性｝，41=｛帶菌｝，A2=｛不帶菌｝■己知PGV:0+005，P(及|A)=0.95，尸(S|A)=0+01，要求/"(AIB).由貝葉斯公式得到0.005X0.950.323.0.005x0.95+0.995x0.0133為什么驗(yàn)出是“陽(yáng)性”，而事實(shí)上為“帶菌”的概率如此??？以下是平均總數(shù)為200人的分類表：其中數(shù)字0.95,L99是由假設(shè)條件及公式帶菌不帶菌總和陽(yáng)性0.951.992.94非陽(yáng)性0.05197.01197.06總和I1992000.95=1X0.951.99=199X0.01算出.因此已檢出陽(yáng)性條件下（總共2.94人）,帶菌（只有0.95人）的條件概率為Q5p（A|B）=^?0.323..11294:例9根據(jù)犯罪記錄,可確定的犯罪嫌疑人中70%是有罪的,假設(shè)有一些新證裾表明罪犯有某呰特征,但人群中有此特征的概率為03.如果查出犯罪嫌疑人有此特征,求他有罪的條件概率,解記A-［犯罪嫌疑人有罪｝,S=｛犯罪嫌疑人有此特征｝.依假設(shè)P(B|A)-1,P(BA)=0,3,P(A)=0.7,因此由貝葉斯公式有P(A\B)=P(A)P(B\A)P(A)P(B\A)+P(A)P(BA)0,7x10.7x1+03x0.30.7_059=0.886,也就是說(shuō),由于査出犯罪嫌疑人有此特征,使其有罪的概率從0.7上升到0.886.353,事件的獨(dú)立性稱事件/IS獨(dú)立,如果P(AB)=P(A)P(B)；A,S相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)P(B\A)=P(BA),其中0<P(A)<1.該公式表明:事件4發(fā)生與否，不影響事件S發(fā)生的概率，這正是事件獨(dú)立的含義.36推廣:三個(gè)事件相互獨(dú)立，如果P{AB)=P(A)P(B)，P(AC)=PM)P(C)，P(BC)=P(B)P{C)，且=P(A)P(B)P(C).注意到僅有前三個(gè)等式成立，稱亨件A.BX為兩兩獨(dú)立。兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立(見(jiàn)教材第三章例9).37若己知相獨(dú)、＞:,以下公式可簡(jiǎn)化相關(guān)事件概率的計(jì)兌:r(AU^Uc)=i-p(x5c)=l-P(A)P(B)P(C).38例說(shuō)｛第三章例！4)某公司生產(chǎn)一批同型號(hào)的IK療儀器，產(chǎn)品的80%無(wú)需調(diào)試即力合格品；而艽余20%需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后，其中70%為合格品，30%為次品.假設(shè)毎臺(tái)儀器的生產(chǎn)足相互獨(dú)立的.(1)求該批儀器的合格率：(2)義若從該批儀器中隨機(jī)地抽取3臺(tái)，求恰有一臺(tái)為次品的概率.39解分別記車件A=｛無(wú)需調(diào)試｝,B=｛合格品J,j4=｛;UIA｝,隨機(jī)抽取3臺(tái),價(jià)有1臺(tái)次品h(1＞由全槪率公式知P｛B)-P(A)P(BIA)+P(A)P(SIA)其中,已知P(A)=0.8,P(BIA)=1,P(BIA)=0.7.因此P(B｝=0.8x1+0.20x0.70=0.94t即儀器的合格率為0.94.(2)由于生產(chǎn)是獨(dú)立的,固此可以將該試驗(yàn)行成為H=3,^=1-0.94=0.06的伯努利試驗(yàn),其中p為儀器的次品率。于是x0,06x0,94-0,)59,P(C)^40例11獨(dú)立地?&投擲兩枚均~骰子,求兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和力4出現(xiàn)在點(diǎn)數(shù)之和為6之前的概率.解記點(diǎn)數(shù)之和為4出現(xiàn)在點(diǎn)數(shù)之和為6之前｝,人=｛前次投擲點(diǎn)數(shù)之和為4與6都不出現(xiàn),而第n次投擲出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為4｝.CO則A=(jAti.U諸4是兩兩互斥的,因而COcoP(A)=P(]jAti)=XPW^n=]41所以=[n=i3636P(A)=|l-—“I36但由于投擲是獨(dú)立進(jìn)行的,fl不論哪一次投擲,出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和35為4的概率為一,而出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為一.3636因而,對(duì)h>L有3|8-7j9313611V/7一9-3136II513642（三）隨機(jī)變量及其分布1.隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.離散型隨機(jī)變量的分布3.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布4.二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布5.隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布431,隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)X是隨機(jī)變量,一個(gè)取值子區(qū)間［0,1］的實(shí)值函數(shù)F（x）=P（X<X）（―00<JT<4w）稱為X的分布函數(shù).44巾)連續(xù)型隨機(jī)變量(X)分布函數(shù)的圖像,y=0及y=1是兩條漸近線45分布函數(shù)有如下性質(zhì):(1)0<F(x)<l:(2)單調(diào)不減，即當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x})<F(x.):(3)liniF(x)=0,IiniF(x)-1;.￥->+00(4)F(x)是一個(gè)右連續(xù)函數(shù)，即limF(jv)=F(x0).x—462.離散型隨機(jī)變量的分布離散型隨機(jī)變量的分布律沒(méi)隨機(jī)變雜X的取值為一4數(shù)Xi人，…，且記P-=P(X=xj?i=1,2,--，稱下述農(nóng)格所表示的函數(shù)力X的分布律:XX|'*?A-…概率PlP2

…Pi…其中Pi=P{X

=?)且滿足2^八_=1.47X的分布函數(shù)可用分布律表示如下:作)=E(-0C<X<+00):而.9.如己知x的分布函數(shù)及取值｛aJ，也可求出分布律Pi=F(Xi)-F(x7)G=l，2，".)其中F?)為F(x)在人處左極限.例12k第四章例5.袋中有5個(gè)球，分別編號(hào)1,2,3,4,5.從中同時(shí)取出3個(gè)球，以X表示取出的球的最小號(hào)碼，求X的分布律與分布函數(shù).解由于X表示取出的3個(gè)球中的最小號(hào)碼，因此X的所有可能取值為1,2,3,{%=!}表示3個(gè)球中的最小號(hào)碼為1，那么另外兩個(gè)球可在2,3,4,5中任取2個(gè)，這樣的可能取法有⑵種；而在5個(gè)球中取3個(gè)球的可能取法共有種.49由古典概型it算公式可知:P(X=<3、同樣可得：P(X=2)=>^4=—,P(廣5.10所以，X的分布汴為X12概率0.60.3X的分布函數(shù)為0,JT<1,0,6,1<x<2,(16+0.3=(19,2<jc<3,1.x>3.30.11050常用離散型分布(1)0-1分布5(1,P),0<P<1X01概率P(2)二項(xiàng)分布S(/i,p),0<p<\(3)參數(shù)為p的幾何分布,X0…k…n概率(卜P)"…Tl

kli,p0-?)<k)…pnP(X=nXlp(n=…),其中I-pt51<4）泊松分布尸（乂）,/1>02P（X=k）=^e-A（大=0丄…XA<5）超幾何分布設(shè)為正整數(shù),Ilm<N,（t=0,1,"+,'7）,其中約定當(dāng)k<O-Hr<k時(shí)=0.稱欠服從以n,N,M為參數(shù)的超幾kj何分布.52例1\第四章例6］從學(xué)校乘汽車到火車站的途屮有3個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的氣件是相互獨(dú)立的,并且概率都為1,設(shè)X為途中遇4到紅燈的次數(shù),求隨機(jī)變:htx的分布律及至多遇到一次紅燈的概韋。解從7校到火乍站的途中竹3個(gè)交通崗ti毎次遇紅燈的概率為i,可認(rèn)為途中遇到紅4燈的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(3,其分布律為4即力罕多遇到一次紅燈的概率為S3P(x<1)=P(X=O)+P(X=1)=^十三=三646432<3、3-JtP(X=-幻=(卜O，1X0123概率27279164646464例14設(shè)一條萵速公路在一年內(nèi)發(fā)生總外交通半故的次數(shù)X服從參數(shù)為/I的泊松分布,且假設(shè)毎一次故至多只有一名司機(jī)死亡,死亡概率為P。求一年內(nèi)恰有名司機(jī)在事故中死亡的概率.解記A葉一年內(nèi)恰冇k名司機(jī)在事故中死亡則冇P(A)P(ACi{X=r})^^P(X=r)P(A|X=r)r-kr=k因在X二r條件下,司機(jī)死亡數(shù)服從二項(xiàng)分布B(r,,因而*57P(A)=X-r-Jt='yiw-p)rk]ap)k

c-A_ap)k

c^P(r-k)l)kl~kl■所以一年內(nèi)在事故中死亡的司機(jī)人數(shù)服從參數(shù)為Ap的泊松分布.54例15已知甲乙兩箱中裝有同型號(hào)產(chǎn)品，甲箱有3件合格、3件次品，乙箱裝的3件都為合格品.今從甲箱屮任取3件放入乙箱，且記此吋乙箱中的次品件數(shù)為兄求：（1）X的分布律：（2）再?gòu)囊蚁渲腥稳?件是次品的概率.解（1）顯然;（的可能值為0,1,2,3,且對(duì)任何00,事件｛X^k｝=｛從甲箱任取3件，怡好取到）H牛次品｝.因此（3V3.P｛X=k）:、?:）（k=0，l，2,3）,<3;即x有分布律:X0123概率0.050.450.450.05(2)記待求概率的奉件為A,則有r=0r=01231=O.O5xO+O.45x—+0.45x二+0.05*二=一.666433P(A)^P(A

門{X=r})=[P(X=r)Z>(A|X=r)563.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布?概率密度函數(shù)設(shè)隨機(jī)變黽X有分布函數(shù)F(x),荇存在f(x)>0使得F(x)=j/'(fjt/r,對(duì)所有一co<x<+oo成立，則稱/GO為x的概平密嗖函數(shù)，11稱x為迕續(xù)％隨機(jī)變a?f(x)為果個(gè)X的密度函數(shù)的必要條件是:(1)/(jv)

>0(-co<x<+oo):(2)

r/(x)dx=I,J—?S7?X為連續(xù)型的隨機(jī)變fi,則其分布函數(shù)F(X)處處連續(xù),且P(a<X</?)=P(a

<X=f/(jc)dr.58常用連續(xù)型分布(I)均勻分布/?(?,/?),則:呤’a<jc<I),其它；(2)指數(shù)分布￡⑷,x>0,其它;(3)正態(tài)分布N(^ct2)(-QO<X<+00).59例16｛第四章例！6.設(shè)打一次電話所奮的時(shí)間（單位：分鐘）服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布，如果有人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間并開(kāi)始打電話（假定公用電話間只有一部電話機(jī)可供通話），試求你將等待（1）超過(guò)5分鐘的概率；（2）5分鐘到10分鐘之間的概率.解令X表示電話間中那個(gè)人打電話所占有的時(shí)間，由題意知，X服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布，因此Y的密度函數(shù)為所求概率分別為:=<()0.2戶2x>0,,:v<0.P(X>5)=0,2e^2xdx=,P(5<X<

10)=^02eA}2xdx=-e一1.60標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布/V(O,1)的密度函數(shù)圖像61用表示/V(OJ)的分布函數(shù)?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有如下性質(zhì):(1)0(—%)-1-<I)(x),(^O<X<OO)；(2)設(shè)X-N(OJ),則有尸(|X卜1)=0.6826,P(|X|<2)-0.9544,P(|X|<3)=0.9974.這表明,一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變M,其分布的載荷幾乎集屮在區(qū)間[-3,3j之中.62?標(biāo)準(zhǔn)化變換Y設(shè)X-7V(/z,cr2),則^=--7V(O,1)(T因此P(X<x)^Phl=4)lCTJIJ后者町通過(guò)汽標(biāo)準(zhǔn)上態(tài)分布衣,得到相應(yīng)的數(shù)ffi而不必計(jì)算.63例17i第四章例19、某地抽樣調(diào)查結(jié)果表面,考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）X服從正態(tài)分布7V（72,rr2）,且96分以上的考生占考生總數(shù)的23%,試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0至84分之間的概率.解本題中A-72分,（T2末知,flI通過(guò)題中已知的條件P（X>96）=0.023可求得a=12.所以P(60<X<84)=0<84-72.k1260-72.i2;=①⑴一(!)(-1)=0.6826-644.:維隨機(jī)變W的聯(lián)合分布和邊緣分布?聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=<jr,y<y)(-oo<x,y<+oo).聯(lián)合分布困數(shù)爲(wèi)苻以下性質(zhì):(1)O￡fUy)￡l；(2)F(x,y)分別關(guān)于及y單調(diào)不城；(3)FUy)分別關(guān)于j及y右連續(xù):(4)limF(x,y)=0.limF(x,y)=0,limF(x,t)=0,limF(x.v)=1.JT—-x—?^co"'JT—woy—>"00y—>+w?邊緣分布函數(shù)Fx(x)=P(X<x)=F(X4-OO)(-co<x<+ao).v)=<y)=F(+ao,y)(~ao<y<+<o)t65?聯(lián)合密度和邊緣密度(1)如存在>0(-oc<x,y<+oc),使得F(x,y)=JJ/(m,v)d//dv(-qo<jr,y<+oo),那么/(A\y)為(X,r)的聯(lián)合密度函數(shù).(2)稱fx(義)=[/(A,y)dy(-oo<x<-ho)；為X的邊緣密度；(-oo<y<+x))為r的邊緣密度.66例18t第五章例4.例7、設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域G上解易見(jiàn)G的面積為1,因此聯(lián)合密度為/(.U)=0<x<1,1y|<x,其他■A(^)=C/(^^)dy0<x<1,其他.67服從均勻分布,其中G=（O<x<l,|y|<x},求（1）（X,K）的聯(lián)合密度函數(shù)（2）關(guān)于X,關(guān)于r的邊緣密度函數(shù).■

?<1他■^其例19沒(méi)隨機(jī)變最y服從參數(shù)A=I的泊松分布,對(duì)火=L2,定義隨機(jī)變錯(cuò)X,=,求(XrX2)的聯(lián)合分布什.解依假i^p(Y=i)=-ei(卜(U2,…),IIP(Xl=(XX1P(Y=O)^P(Y^\)=2&\p(x,=o,x;-i)=p(r<hr>2)-of尸二1,X,二O)=P(Y>IY<2)=P(\<Y<2)=P(Y=2)=-c\1"2p(x,=i,x2=i)=p(y>i,r>2)=P(y>2)=I-P(K=0)—P(Y=1)—P(Y=2)=)_2e-,-leH=l--e-1.223,KI,Y>k,68因此(Xt,X?)有聯(lián)合分布律:0102e'01丄，12e-21269?隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性如果與J7的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)f如果對(duì)任意實(shí)數(shù)成立巧義,y)=廠%(-^)/^(y),則稱隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立。?如果Ocy)有聯(lián)合密度函數(shù)則x與r相互獨(dú)立,當(dāng)且僅當(dāng)/■(yh/xM/rG),對(duì)任意iy70(—oc<?r,y<+qo).即;V?R此邊緣分布與參數(shù)z?無(wú)關(guān)■由此可知:?二維正態(tài)分布/V（川,巧,〆,^^,/?）設(shè)（x,y）有二元正態(tài)分布,其聯(lián)合密度為可求得兄r的邊緣密度分別為則:忐el,則=士/了,(■^卜~~Lr^c2丌(T'(T、^1-/9JX>-^2),(y-ju,r4

J邊緣分布并不能完全確定聯(lián)合分布.715.隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布沒(méi)離敗型隨機(jī)變敁X分布什力x2概率PlPlPig(X)是一已知的函數(shù),^iY^g(X)H分布律為/=咐)尺U,)P(Y=g(xt))P]PiPi若以的俏屮心相等的,則悶把郵#相等的值分別合井,M時(shí)把對(duì)W的概率卩相加.發(fā)(X])g(X2)72例20（第六章例I）設(shè)X的分布伴為X-101252概率11\33510101010則r=x2的分布律可這樣計(jì)算:=P(xa

0)=P(X=0)=^(p^P(X^4)=P(X-2)--,p:=P(X^^)=P(X^)=A73例21—設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故陣工作時(shí)間X服從參數(shù)A=02的指數(shù)分布,設(shè)格定時(shí)開(kāi)機(jī),出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī);而在無(wú)故障情況下,工作2小時(shí)便關(guān)機(jī),試求該設(shè)備每次幵機(jī)后,觀察到的無(wú)故陴T.作時(shí)間y的分布函數(shù).解依假設(shè)X,2,X

<2y<()時(shí),-p(yy)二0當(dāng)時(shí),Fr(y)^P(Y<y)^\90<y<2時(shí),FY(y)—P(Y<)’)=P(min{X,2}<y)=1—P(min{X,2}>y)T-足,r的分布函數(shù)為=RP(X>^)=P(X<y)=l-e'a2vFr(y)=h-e-ft2\y<0,0<y<2i戶2.74設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,有密度函數(shù)f(x),如果y^g(x)是單調(diào)函數(shù),且有反函數(shù)a=h(y),則r=g(x)的密度函數(shù)為75設(shè)X?吟，a2，則當(dāng)々類0時(shí)，Y=kX+b~N^+b，k2a2.特別地，-/V(O,1).(J76例n｛第六章例8、設(shè)x與r獨(dú)立同分布，且X^2V(o,l),則z=x+y有分布娥數(shù)^(z)=P(x+y^)=^l=f:/dv‘因此x+r有密度函數(shù)fz(z>_^e4，即Z-N(0,2).77設(shè)V,…,足相!丨:獨(dú)立,且X,有分布函數(shù)F.()=L…,n).r=min{X},Z=max{X}則z有分布函數(shù):Fz(Z)=F\Z<z)=P(Xi

<zj

=1■…，'/)=F^zyFiiz)**Fti(z)

(-oo<^<+?);y的分布函數(shù)t/；(y)=P(Y<y)

-1-P(tnin{X.}>y)=l-P(Xi>y)P(X2

>y)…P(A\>y)=I-(1-/=；

(y?(1-F2(>))■■(1-/;((y))(-co<y<-ko).78若均為連續(xù)型的,且有公共密度函數(shù)f（x）.則y,z分別荇分布函數(shù)及密度函數(shù)/^(z)=(F⑵)"(-OO<Z</7(y)=1-(1-F(y)/(-co<y<+oo);fz(Z)=h(/(Z))(F(z))?,(-00<Z<-H=o),A(y)="(/(?)(卜廠(?廣1(-^<}<初0),其中為X,,…,X?的公共分布函數(shù).79例23獨(dú)立,；(服從參數(shù)A=1的指數(shù)分布,/服從區(qū)間(?,1)h均勻分布。U:max(X.F)TV=min(XTy)e分別求UV的密度函數(shù),解依股設(shè)x/i分布鬧數(shù)Fa(x)=x>(),x<0:0,y4(分布函數(shù)Fr

(v)=<y.y<0,0<y<I,0,而/；(u)=P(G<u)=P(max{X,y}<u)=/^(M)/v(u)=^(l-e_tf)?,卜e人u<0,0<w<1,u>

i；Fv(v)-尸(V<v)=P(min{Xt/}<p)=l-(l-^(v)Xl一FVM)0,v￡0.=d—(】-v)e_v,0<v<1,hv>i.80［馳,tUf密度函數(shù)0,人(")=1邏e-\Vff密吱函數(shù)h<0,0<w<hM>1;(2-v)e'0,0<v<l,其他.81（四）隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.數(shù)學(xué)期望2.7』若:和標(biāo)準(zhǔn)差3.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4.大數(shù)定律和中心極限定理821.數(shù)學(xué)期望?如果X有概率密度/(.r)，且J；；|x|/(x)dA<oo,則定義E(X)=|為的期璧，?如果X有分布律:X工1xy

…x.…概率AP2

…Pi

一且玄?<0°,則定義E(X)=ZxtPl為X的期望-83期望的性質(zhì)設(shè)a,b,c都是常數(shù).(1)E(c)=c^(2)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)；(3)當(dāng)Y與y相互獨(dú)立時(shí),E{XY)^E(XE(Y).840-1分布s(l，p):E(X)二p'二項(xiàng)分布B(n.p):E(X)=np；泊松分布P(A):E(X)=2；均勻分布R(a,b):指數(shù)分布E(2):￡(X)=j;A正態(tài)分布A/|/Z,cr2):E(X)=卜85隨機(jī)變量函數(shù)的期望（1）X有概率密度/（X）,則￡Wx))O)/(x)ck(2)X有分布律pk=P、X=xk、,炎=1,2,…,則E(g(x))=^S(xk)Prk86例24(.第七章例5)分賭本問(wèn)題(pointproblem)甲乙二人各有賭本a元，約定誰(shuí)先勝三局贏得全部賭本2a元，假定屮、乙二人毎一局的取勝概率相等.現(xiàn)已賭三局結(jié)果是：甲二勝一負(fù).由于某種原因賭博中止，問(wèn)如何分2a元賭本才合理？提示如果甲乙兩人平均分，對(duì)甲是不合理的；能否依據(jù)現(xiàn)在的勝負(fù)結(jié)果2:1來(lái)分呢？但仔細(xì)推算也是不合理的，當(dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)合理的分法是：如果賭局繼續(xù)下去，他們各自的期望所得就是他們應(yīng)該分得的.87若記x為甲最終所得,y為乙的最終所得,容易得到x,y的分布律為x概率02ay1/43/4概率02a3/41/4問(wèn)題歸結(jié)為計(jì)算甲、乙期望所得E(X)及E(K).88例25｛第七章例11.把n個(gè)球放進(jìn)M只盒子，假定每只球落入各個(gè)盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.提示本例不宜直接求E(X),而是將X分解成X^X.,其中?=|1,盒廣”0,第/個(gè)盒J*沒(méi)球?yàn)槭拘宰兞?，而x,.的期望容易求得:e(xj=i~(i-—r.M應(yīng)用期望的性質(zhì)，即得E(X)=YE(Xi)=M[l-(l-—y]TTM89中位數(shù)也是描述分布的中心位罝的-個(gè)數(shù)字特征.其定義如下:如X是,個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,稱滿足條件PfX<5)==(15的實(shí)數(shù)凡,5為兄的中位數(shù).例設(shè)X-R(a.b)t則蛣知X的+位數(shù)為凡__,=￥,hi數(shù)學(xué)期申值相同.902?方差和標(biāo)川設(shè)有兩批鋼筋（每批10根）它們的抗拉強(qiáng)度為:第一批110,120,120,125,125，125,130,130，135,140,第二批90，100,120,125,125,130,135,145,145，145.可tl?算出兩批數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是126,但直觀上第二批數(shù)據(jù)比第一批數(shù)據(jù)與平均值126有較大的偏離.因此，欲描述一組數(shù)據(jù)的分布單單有中心位置的指標(biāo)示不夠的，尚需有一個(gè)描述相對(duì)于屮心位置的偏離程度的指標(biāo)，對(duì)于隨機(jī)變fi也冇相同的問(wèn)題，除了使用期望描述分布的屮心位置以外，尚需一個(gè)描述相對(duì)于期望的分散程度的指標(biāo).91?定義:D(X)=E(X-Em)2稱D(X)為X的方差，j/XX)為X的標(biāo)準(zhǔn)差.?計(jì)算公式D(X)=E(X2)-(E(X))2.920-1分布B(1，P):D(x)=p(l-p);二項(xiàng)分布B(n，p):D(X)=np(\-p);泊松分布P(2):￡>(%)=A;均勻分布R(a，b):D(X)=(’〒:)-;指數(shù)分布￡(A):P(X)=-^;正態(tài)分布AH//，:D(X)-CT2.93方差的性質(zhì):設(shè)a與r都足常數(shù)，(I)￡)(c)=0:(2)D(aX)=a2D(X);(3)x與y獨(dú)立，則n(x±y)=D(x)+n(y),例設(shè)XltX2,-^X/t獨(dú)立同分布，￡(%!)=AZXXJ-cr2,_1n_—2則對(duì)算術(shù)平均X^-Yxi，有￡(X)="，D(X)=—.n這衷明，作為中心位置指標(biāo)Y與單個(gè)；^有相同的期望值，但Y的精度高于單個(gè)94例26設(shè)X,相互獨(dú)立,且?服從正態(tài)分布/V(L2),求隨機(jī)變黽Z=\X-Y\的期望和賺解令W=X-Y.Wx,K獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(l,2),故IV服從正態(tài)分布,RE(W)=Q,D(W)=4^￡(Z)=￡|W|=472^而E(Z~)=E(W-)=D(W)

+(E(W))2=4r168所以D(Z)-E(Z2