2025高考物理總復(fù)習(xí)含彈簧的機(jī)械能守恒問(wèn)題

第六章機(jī)械能守恒定律微點(diǎn)突破3含彈簧的機(jī)械能守恒問(wèn)題目標(biāo)要求知道彈簧的彈性勢(shì)能與哪些因素有關(guān)，會(huì)分析含彈簧的機(jī)械能守恒問(wèn)題。1.由于彈簧發(fā)生形變時(shí)會(huì)具有彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的總動(dòng)能將發(fā)生變化，若系統(tǒng)除重力、彈簧彈力以外的其他力不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。2.彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(zhǎng)(或壓縮至最短)時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能有最大值。3.對(duì)同一彈簧，彈性勢(shì)能的大小為Ep＝

彈性勢(shì)能由彈簧的形變量決定，彈簧的伸長(zhǎng)量和壓縮量相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能相等。例1

(2024·江蘇省高郵中學(xué)期中)如圖甲所示，質(zhì)量不計(jì)的彈簧豎直固定在水平面上，t＝0時(shí)刻，將一金屬小球從彈簧正上方某一高度處由靜止釋放，小球落到彈簧上壓縮彈簧到最低點(diǎn)，然后又被彈起離開(kāi)彈簧，上升到一定高度后再下落，如此反復(fù)。通過(guò)安裝在彈簧下端的壓力傳感器，測(cè)出這一過(guò)程彈簧彈力F隨時(shí)間t變化的圖像如圖乙所示，則A.t1時(shí)刻小球動(dòng)能最大B.t2時(shí)刻小球動(dòng)能最大C.t2～t3這段時(shí)間內(nèi)，小球的動(dòng)能先增大后減小D.t2～t3這段時(shí)間內(nèi)，小球增加的動(dòng)能等于彈簧減少的彈性勢(shì)能√小球在接觸彈簧之前做自由落體運(yùn)動(dòng)。碰到彈簧后先做加速度不斷減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為0即重力大小等于彈簧彈力大小時(shí)加速度達(dá)到最大值，而后往下做加速度不斷增大的減速運(yùn)動(dòng)，與彈簧接觸的整個(gè)下降過(guò)程，小球的動(dòng)能和重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能。上升過(guò)程恰好是下降過(guò)程的逆過(guò)程。由題圖乙可知t1時(shí)刻開(kāi)始接觸彈簧，但在剛開(kāi)始接觸后的一段時(shí)間內(nèi)，重力大于彈簧彈力，小球仍做加速運(yùn)動(dòng)，所以此刻小球的動(dòng)能不是最大，A錯(cuò)誤；t2時(shí)刻彈力最大，小球處在最低點(diǎn)，動(dòng)能最小，B錯(cuò)誤；t3時(shí)刻小球往上運(yùn)動(dòng)恰好要離開(kāi)彈簧；t2～t3這段時(shí)間內(nèi)，小球先加速后減速，動(dòng)能先增大后減小，彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能和重力勢(shì)能，C正確，D錯(cuò)誤。例2如圖所示，質(zhì)量為M的小球套在固定傾斜的光滑桿上，原長(zhǎng)為l0的輕質(zhì)彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連，彈簧與桿在同一豎直平面內(nèi)。圖中AO水平，BO間連線(xiàn)長(zhǎng)度恰好與彈簧原長(zhǎng)相等，且與桿垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中點(diǎn)，θ＝30°?，F(xiàn)讓小球從A處由靜止釋放，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的有A.下滑過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒√下滑過(guò)程中小球的機(jī)械能會(huì)與彈簧的彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，因此小球的機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；在B點(diǎn)，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)，因此重力沿桿的分力提供加速度，根據(jù)牛頓第二定律可得mgcos30°＝ma，解得a＝

故B正確；到達(dá)B點(diǎn)時(shí)加速度與速度方向相同，因此小球還會(huì)加速，故C錯(cuò)誤；因?yàn)镃是AO′段的中點(diǎn)，θ＝30°，由幾何關(guān)系知當(dāng)小球到C點(diǎn)時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度與在A點(diǎn)時(shí)相同，故在A、C兩位置彈簧彈性勢(shì)能相等，小球重力做的功全部轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能，有mgl0＝故D錯(cuò)誤。例3

(2023·江蘇蘇州市八校聯(lián)盟月考)如圖所示，一根輕質(zhì)彈簧一端固定于光滑豎直桿上，另一端與質(zhì)量為m的滑塊P連接，P穿在桿上，一根輕繩跨過(guò)定滑輪將滑塊P和重物Q連接起來(lái)，重物Q的質(zhì)量為4m，把滑塊從圖中A點(diǎn)由靜止釋放后沿豎直桿上下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)時(shí)彈簧對(duì)滑塊的彈力大小相等，已知OA與水平面的夾角θ＝53°，OB長(zhǎng)為3L，與AB垂直，不計(jì)滑輪的摩擦，重力加速度為g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，滑塊P從A到B的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是A.滑塊P的加速度一直減小B.滑塊P的最大速度為C.輕繩對(duì)滑塊P做功為8mgLD.重力對(duì)重物Q做功的功率一直減小√根據(jù)題意可知，滑塊P從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，重物Q的速度為零，則重物Q重力的功率為零，當(dāng)滑塊P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，重物Q的速度也為零，此時(shí)重物Q重力的功率為零，則滑塊由A到B的過(guò)程中，重物Q重力的功率先增大后減小，故D錯(cuò)誤；在A點(diǎn)彈簧對(duì)P的彈力向上，在B點(diǎn)彈簧對(duì)P彈力向下，可知P先加速上升后減速上升，在A、B間某位置，合力為零，速度最大，則滑塊P的最大速度大于從A點(diǎn)到速度最大點(diǎn)，彈簧的彈力不斷減小，繩子拉力在豎直方向的分力也減小，可知加速度不斷減小，在從速度最大點(diǎn)到B點(diǎn)過(guò)程中，繩子拉力在豎直方向的分力越來(lái)越小，合力向下，可知P所受的合力越來(lái)越大，則加速度越來(lái)越大，故A、B錯(cuò)誤。例4如圖所示，A、B兩小球由繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線(xiàn)相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上?，F(xiàn)用手控制住A，并使細(xì)線(xiàn)剛剛拉直但無(wú)拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細(xì)線(xiàn)豎直、右側(cè)細(xì)線(xiàn)與斜面平行。已知A的質(zhì)量為4m，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細(xì)線(xiàn)與滑輪之間的摩擦不計(jì)。開(kāi)始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時(shí)，C恰好離開(kāi)地面。整個(gè)過(guò)程中A一直在斜面上且B未與滑輪相碰，求：由題意可知，當(dāng)A沿斜面下滑至速度最大時(shí)，C恰好離開(kāi)地面，A的加速度此時(shí)為零。由牛頓第二定律得4mgsinα－2mg＝0(1)斜面的傾角α；答案30°(2)A球獲得的最大速度vm的大小。初始時(shí)系統(tǒng)靜止且細(xì)線(xiàn)無(wú)拉力，彈簧處于壓縮狀態(tài)，設(shè)彈簧壓縮量為Δx，對(duì)B：kΔx＝mg因B、C的質(zhì)量均為m，則C球恰好離開(kāi)地面時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量也為Δx，故彈簧彈性勢(shì)能變化量為零，A、B、C三小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，例5

(2023·江蘇揚(yáng)州市新華中學(xué)三模)如圖所示，半徑為R的光滑半圓形導(dǎo)軌固定在豎直面內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，直徑AB與豎直方向的夾角為60°，導(dǎo)軌上的C點(diǎn)在A點(diǎn)的正下方，D點(diǎn)是軌道的最低點(diǎn)，質(zhì)量為m的圓環(huán)套在導(dǎo)軌上，圓環(huán)通過(guò)兩個(gè)相同的輕彈簧分別與A、B兩點(diǎn)連接，彈簧原長(zhǎng)均為R，對(duì)圓環(huán)施加水平向右的力F＝

可使其靜止在D點(diǎn)。(重力加速度為g)(1)求彈簧的勁度系數(shù)k：如圖甲所示，圓環(huán)在D點(diǎn)時(shí)，BD彈簧處于原長(zhǎng)，AD彈簧的伸長(zhǎng)量為x＝(－1)R對(duì)圓環(huán)受力分析，正交分解有F＝kxsin30°(2)由C點(diǎn)靜止釋放圓環(huán)，求圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的動(dòng)能Ek；C點(diǎn)與D點(diǎn)的高度差h＝0.5R圓環(huán)從C運(yùn)動(dòng)到D，在C點(diǎn)和D點(diǎn)兩彈簧彈性勢(shì)能的和相等，根據(jù)機(jī)械能守恒mgh＝Ek(3)由C點(diǎn)靜止釋放圓環(huán)，求圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的作用力FN。答案1.7mg，方向豎直向下對(duì)圓環(huán)受力分析如圖乙所示，正交分解有解得FN′＝1.7mg根據(jù)牛頓第三定律，圓環(huán)對(duì)軌道的作用力FN＝FN′＝1.7mg，方向豎直向下。跟蹤訓(xùn)練1.(2023·江蘇鹽城市階段練習(xí))如圖所示，“蹦極”運(yùn)動(dòng)中，游戲者身系彈性繩下落。不計(jì)空氣阻力，游戲者從圖中位置下落到最低點(diǎn)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是A.彈性繩原長(zhǎng)位置，彈性繩彈力等于游戲者重力B.游戲者速度最大時(shí)，彈性繩的彈性勢(shì)能為零C.彈性繩的彈性勢(shì)能最大時(shí)，游戲者速度最大D.彈性繩伸長(zhǎng)階段，其彈性勢(shì)能一直增大，游戲

者的動(dòng)能先增大后減小√1234彈性繩原長(zhǎng)位置，彈性繩彈力為零，小于游戲者重力，故A錯(cuò)誤；彈性繩伸長(zhǎng)過(guò)程，一開(kāi)始彈力小于重力，游戲者向下做加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)彈力等于重力時(shí)，游戲者速度達(dá)到最大；之后游戲者繼續(xù)下落，彈力大于重力，游戲者向下做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，彈性繩伸長(zhǎng)量最大，此時(shí)彈性繩的彈性勢(shì)能最大；可知彈性繩伸長(zhǎng)階段，其彈性勢(shì)能一直增大，游戲者的動(dòng)能先增大后減小，故B、C錯(cuò)誤，D正確。12342.(2023·江蘇南通市海安高級(jí)中學(xué)檢測(cè))如圖所示，原長(zhǎng)為l的輕質(zhì)彈簧，一端固定在O點(diǎn)，另一端與一質(zhì)量為m的小球相連。小球套在豎直固定的粗糙桿上，與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5。桿上M、N兩點(diǎn)與O點(diǎn)的距離均為l，P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為

OP與桿垂直。當(dāng)小球置于桿上P點(diǎn)時(shí)恰好能保持靜止。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為g。小球以某一初速度從M點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，在此過(guò)程中，彈簧始終在彈性限度內(nèi)。下列說(shuō)法正確的是1234C.從M點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球受到的摩擦力

先變小后變大D.從M點(diǎn)到P點(diǎn)和從P點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球

受到的摩擦力做功相同√1234根據(jù)題意，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，在P點(diǎn)時(shí)，由于球置于桿上P點(diǎn)時(shí)恰好能保持靜止，則有F1＝FN，mg＝μFN1234由平衡條件有FN′＝F′sin45°，由牛頓第二定律有mg＋F′cos45°－μFN′＝ma，1234桿上M、N兩點(diǎn)與O點(diǎn)的距離均為l，所以小球在M和N點(diǎn)時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，小球從M到P過(guò)程中，彈簧的壓縮量增大、彈力增大，彈簧彈力在水平方向的分力增大、摩擦力增大；小球從P到N過(guò)程中，彈簧的壓縮量減小、彈力減小，彈簧彈力在水平方向的分力減小、摩擦力減小，故從M點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球受到的摩擦力先變大后變小，故C錯(cuò)誤；關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，小球受到的摩擦力相同，所以從M點(diǎn)到P點(diǎn)和從P點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球受到的摩擦力做功相同，故D正確。12343.(2023·江蘇揚(yáng)州市一模)如圖所示，在一直立的光滑管內(nèi)放置一輕質(zhì)彈簧，上端O點(diǎn)與管口A的距離為2x0，一質(zhì)量為m的小球從管口由靜止下落，將彈簧壓縮至最低點(diǎn)B，壓縮量為x0，已知彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式Ep＝

重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，則1234√小球下落到最低點(diǎn)時(shí)重力勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，此時(shí)彈性勢(shì)能最大，且有Epmax＝3mgx0，故A正確；根據(jù)選項(xiàng)A和彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式有當(dāng)小球的重力等于彈簧彈力時(shí)，小球有最大速度，則有mg＝kx1，再根據(jù)彈簧和小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒有mg(x1＋2x0)

解得最大速度為vmax＝

，故B錯(cuò)誤；小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)有kx0－mg＝ma，解得a＝5g，故D錯(cuò)誤。12344.(2023·江蘇鎮(zhèn)江市階段練習(xí))如圖所示，傾角θ＝37°的光滑且足夠長(zhǎng)的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個(gè)半徑和質(zhì)量不計(jì)的光滑定滑輪D，質(zhì)量均為m＝1kg的物體A和B用一勁度系數(shù)k＝120N/m的輕彈簧連接，物體B被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板P擋住。用一不可伸長(zhǎng)的輕繩使物體A跨過(guò)定滑輪與質(zhì)量為M的小環(huán)C連接，小環(huán)C穿過(guò)豎直固定的光滑均勻細(xì)桿，當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)靜止時(shí)，環(huán)C位于Q處，繩與細(xì)桿間的夾角α＝53°，且物體B對(duì)擋板P的壓力恰好為零。圖中SD水平且長(zhǎng)度為d＝0.4m，位置R與位置Q關(guān)于位置S對(duì)稱(chēng)，輕彈簧和定滑輪右側(cè)的繩均與斜面平行，現(xiàn)讓環(huán)C從位置R由靜止釋放，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。求：1234(1)小環(huán)C的質(zhì)量M；1234答案0.72kg先以A、B組成的整體為研究對(duì)象，A、B整體受到重力、支持力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力為FT＝2mgsinθ＝2×1×10×sin37°＝12N以C為研究對(duì)象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態(tài)，如圖則FT·cos53°＝Mg代入數(shù)據(jù)得M＝0.72kg1234(2)小環(huán)C運(yùn)動(dòng)到位置Q的速率v；1234環(huán)從位置R運(yùn)動(dòng)到位置Q的過(guò)程中，小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒1234vA＝vcosα(3)小環(huán)