高一數學知識點總結下冊

高一數學知識點總結下冊

高一新生要依據自己的條件，以及高中階段學科學問交叉多、綜

合性強，以及考查的學問和思維觸點廣的特點，找尋一套行之有效的

（學習（方法））。下面給大家共享一些關于（高一數學）學問點（總

結）下冊，盼望對大家有所關心。

高一數學學問點總結1

集合的含義與表示

1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們

能意識到這些東西，并且能推斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

把討論對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為

集。

2、集合的中元素的三個特性：

⑴元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定

的：屬于或不屬于。

（2）元素的互異性：一個給定集合中的元素是的，不行重復的。

⑶元素的無序性:集合中元素的位置是可以轉變的，并且轉變位

置不影響集合

3、集合的表不：{...}

⑴用大寫字母表示集合：A={我校的（籃球）隊員},B={1,2,3,4,5}

⑵集合的表示方法：列舉法與描述法。

a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}

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b、描述法：

①區(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內

表示集合。

{x?R|x-32},{x|x-32}

②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

4、集合的分類：

⑴有限集：含有有限個元素的集合

⑵無限集：含有無限個元素的集合

⑶空集：不含任何元素的集合

5、元素與集合的關系：

⑴元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A

⑵元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：aCA

留意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N-或N+

整數集Z

有理數集Q

實數集R

6、集合間的基本關系

⑴?"包含"關系⑴一子集

定義：假如集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這

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兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。

二、函數的概念

函數的概念：設A、B是非空的數集，假如根據某個確定的對應

關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有確定的數

f(x)和它對應，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個函數.記

作：y=f(x),x0A.

(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；

(2)與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x回A}

叫做函數的值域.

函數的三要素：定義域、值域、對應法則

函數的表示方法：⑴解析法：明確函數的定義域

⑵圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續(xù)的曲

線、直線、折線、離散的點等等。

⑶列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。

4、函數圖象學問歸納

⑴定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x回A)中的x為橫坐

標，函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數y=f(x),(x(2A)

的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿意函數關系y=f(x),反過來，以滿

意y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.

⑵畫法

A、描點法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對稱變換，即

平移。

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(3)函數圖像平移變換的特點：

1)加左減右----------只對x

2)上減下加----------只對y

3)函數y=f(x)關于X軸對稱得函數y=-f(x)

4)函數y=f(x)關于Y軸對稱得函數y=f(-x)

5)函數y=f(x)關于原點對稱得函數y=-f(-x)

6)函數y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動

得

函數y=|f(x)|

7)函數y=f(x)先作x>0的圖像，然后作關于y軸對稱的圖像得函

數f(|x|)

三、函數的基本性質

1、函數解析式子的求法

(1、函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的

函數關系時一，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定

義域.

(2、求函數的解析式的主要方法有：

1)代入法：

2)待定系數法：

3)換元法：

4)拼湊法：

2.定義域:能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。

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求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

⑴分式的分母不等于零；

⑵偶次方根的被開方數不小于零；

⑶對數式的真數必需大于零；

⑷指數、對數式的底必需大于零且不等于1.

⑸假如函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，

它的定義域是使各部分都有意義的X的值組成的集合.

⑹指數為零底不行以等于零，

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證明際問題有意義.

3、相同函數的推斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數值

的字母無關);②定義域全都(兩點必需同時具備)

4、區(qū)間的概念：

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數軸表示

5、值域(先考慮其定義域)

⑴觀看法：直接觀看函數的圖像或函數的解析式來求函數的值域;

⑵反表示法：針對分式的類型，把Y關于X的函數關系式化成X

關于Y的函數關系式，由X的范圍類似求Y的范圍。

⑶配方法：針對二次函數的類型，依據二次函數圖像的性質來確

定函數的值域，留意定義域的范圍。

⑷代換法(換元法)：作變量代換，針對根式的題型，轉化成二次

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函數的類型。

6.分段函數

⑴在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

（2）各部分的自變量的取值狀況.

⑶分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并

集.

⑷常用的分段函數有取整函數、符號函數、含肯定值的函數

7.映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，假如按某一個確定的對應

法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有確定的

元素y與之對應，那么就稱對應f：A—B為從集合A到集合B的一個

映射。記作“f（對應關系）:A（原象）一B（象）”

對于映射f：A玲B來說，則應滿意：

（1）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是的；

⑵集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；

⑶不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

留意：映射是針對自然界中的全部事物而言的，而函數僅僅是針

對數字來說的。所以函數是映射，而映射不肯定的函數

8、函數的單調性（局部性質）及最值

（1、增減函數

（1）設函數y=Wx）的定義域為I,假如對于定義域I內的某個區(qū)間D

內的任意兩個自變量xl,x2,當xl

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(2)假如對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值xl,x2,當xl

留意：函數的單調性是函數的局部性質;函數的單調性還有單調

不增，和單調不減兩種

(2、圖象的特點

假如函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)

在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左

到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

(3、函數單調區(qū)間與單調性的判定方法

(A)定義法:

任取xl,x2回D,且xl

作差f(xl)-f(x2);

變形(通常是因式分解和配方)；

定號(即推斷差f(xl)-f(x2)的正負)；

下結論(指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復合函數的單調性

復合函數：假如y=f(u)(u回M),u=g(x)(xt3A),則y=f[g(x)]=F(x)(xOA)稱為

f、g的復合函數。

復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性

親密相關，其規(guī)律：“同增異減〃

留意：函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調性

相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

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9：函數的奇偶性(整體性質)

(1、偶函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都有fbx)=f(x),

那么f(x)就叫做偶函數.

(2、奇函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-x)=—f(x),

那么f(x)就叫做奇函數.

(3、具有奇偶性的函數的圖象的特征

偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.

利用定義推斷函數奇偶性的步驟：

a、首先確定函數的定義域，并推斷其是否關于原點對稱;若是不

對稱，則是非奇非偶的函數;若對稱，則進行下面推斷；

b、確定f(-x)與f(x)的關系；

c、作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=O,則f(x)是偶函數;

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=O,則f(x)是奇函數.

(4)利用奇偶函數的四則運算以及復合函數的奇偶性

a、在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；

奇函數的加減仍為奇函數；

奇數個奇函數的乘除認為奇函數；

偶數個奇函數的乘除為偶函數；

一奇一偶的乘積是奇函數；

a>復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。

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留意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.

首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶

函數.若對稱，

(1)再依據定義判定；

(2)由f(-x)±f(x)=O或f(x)/f(-x)=±l來判定；

(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.

10、函數最值及性質的應用

(1、函數的最值

a利用二次函數的性質(配方法)求函數的(小)值

b利用圖象求函數的(小)值

c利用函數單調性的推斷函數的(小)值：

假如函數y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調遞增，在區(qū)間［b,c］上單調遞

減則函數y=f(x)在x=b處有值f(b);

假如函數y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調遞減，在區(qū)間［b,c］上單調遞

增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

(2、函數的奇偶性與單調性

奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性；

偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性。

(3、推斷模糊單調性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)

分在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。

⑷肯定值函數求最值，先分段，再通過各段的單調性，或圖像求

最值。

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⑸在推斷函數的奇偶性時候，若已知是奇函數可以直接用f(0)=0,

但是f(0)=0并不肯定可以推斷函數為奇函數。(高一階段可以利用奇

函數f(0)=0)。

高一數學學問點總結2

定義域

(高中函數定義)設A,B是兩個非空的數集，假如按某個確定的

對應關系f,使對于集合A中的任意一個數X,在集合B中都有確定

的數f(x)和它對應，那么就稱f：A-B為集合A到集合B的一個函數，

記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫

作函數的定義域；

值域

名稱定義

函數中，應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域，在

數學中是函數在定義域中應變量全部值的集合

常用的求值域的方法

(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合);(3)函數單調性法;(4)配方法;(5)換

元法;⑹反函數法(逆求法);⑺判別式法;⑻復合函數法;⑼三角代換

法;(10)基本不等式法等

關于函數值域誤區(qū)

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本"元件"。平常數

學中，實行"定義域優(yōu)先〃的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，

在強化定義域問題的同時一，往往就減弱或談化了，對值域問題的探究,

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造成了一手“硬〃一手"軟〃，使同學對函數的把握時好時壞，事實上,

定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者

隨時處于相互轉化之中（典型的例子是互為反函數定義域與值域的相

互轉化）。假如函數的值域是無限集的話，那么求函數值域不總是簡

單的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必需聯(lián)系函數的奇

偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值狀況。才能獲得正

確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實

踐證明，假如加強了對值域求法的討論和爭論，有利于對定義域內函

的理解，從而深化對函數本質的熟悉。

“范圍"與"值域"相同嗎?

“范圍〃與“值域〃是我們在學習中常常遇到的兩個概念，很多同學

經常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念?！爸涤颉ㄊ侨亢?/p>

數值的集合（即集合中每一個元素都是這個函數的取值），而"范圍”則

只是滿意某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不肯定都滿

意這個條件）。也就是說：“值域〃是一個"范圍〃，而“范圍”卻不肯定是

“值域"。

高一數學學問點總結3

1.進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特別狀

況，不要遺忘了借助數軸和文氏圖進行求解.

2.在應用條件時，易A忽視是空集的狀況

3.你會用補集的思想解決有關問題嗎？

4.簡潔命題與復合命題有什么區(qū)分？四種命題之間的相互關系是

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什么？如何推斷充分與必要條件？

5.你知道"否命題"與"命題的否定形式”的區(qū)分.

6.求解與函數有關的問題易忽視定義域優(yōu)先的原則.

7.推斷函數奇偶性時一，易忽視檢驗函數定義域是否關于原點對稱.

8.求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，易忽視標注該函

數的定義域.

9.原函數在區(qū)間卜a,a］上單調遞增，則肯定存在反函數，且反函數

也單調遞增;但一個函數存在反函數，此函數不肯定單調.例如：.

10.你嫻熟地把握了函數單調性的證明方法嗎?定義法（取值，作差,

判正負）和導數法

11.求函數單調性時，易錯誤地在多個單調區(qū)間之間添加符號“國〃

和“或〃；單調區(qū)間不能用集合或不等式表示.

12.求函數的值域必需先求函數的定義域。

13.如何應用函數的單調性與奇偶性解題？①比較函數值的大

小;②解抽象函數不等式;③求參數的范圍（恒成立問題）.這幾種基本

應用你把握了嗎？

14.解對數函數問題時，你留意到真數與底數的限制條件了嗎？

（真數大于零，底數大于零且不等于1）字母底數還需爭論

15.三個二次（哪三個二次?）的關系及應用把握了嗎？如何利用二

次函數求最值？

16.用換元法解題時易忽視換元前后的等價性，易忽視參數的范

圍。

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"."實系數一元二次方程有實數解〃轉化時一，你是否留意到：當時,

“方程有解〃不能轉化為。若原題中沒有指出是二次方程，二次函數或

二次不等式，你是否考慮到二次項系數可能為的零的情形？

18.利用均值不等式求最值時，你是否留意到："一正;二定;三等〃.

19.肯定值不等式的解法及其幾何意義是什么？

20.解分式不等式應留意什么問題?用“根軸法〃解整式（分式）不等

式的留意事項是什么？

21.解含參數不等式的通法是"定義域為前提，函數的單調性為基

礎，分類爭論是關鍵〃，留意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解

集是……〃.

22.在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果肯定要用集合

或區(qū)間表示;不能用不等式表示.

23.兩個不等式相乘時，必需留意同向同正時才能相乘，即同向同

正可乘;同時要留意"同號可倒"即abO,a0.

24.解決一些等比數列的前項和問題，你留意到要對公比及兩種

狀況進行爭論了嗎？

25在"已知，求〃的問題中，你在利用公式時留意到了嗎?（時,應有）

需要驗證，有些題目通項是分段函數。

26.你知道存在的條件嗎?（你理解數列、有窮數列、無窮數列的概

念嗎?你知道無窮數列的前項和與全部項的和的不同嗎？什么樣的無

窮等比數列的全部項的和必定存在？

27.數列單調性問題能否等同于對應函數的單調性問題?（數列是

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特別函數，但其定義域中的值