中檔大題規(guī)范練 概率與統(tǒng)計

中檔大題規(guī)范練4概率與統(tǒng)計1.(2016·北京)A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)試估計C班的學(xué)生人數(shù)；(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；(3)再從A，B，C三個班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25(單位：小時).這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1的大小(結(jié)論不要求證明).解(1)C班學(xué)生人數(shù)約為100×eq\f(8,5＋7＋8)＝100×eq\f(8,20)＝40.(2)設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”，i＝1，2，…，5，事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”，j＝1，2，…，8.由題意可知P(Ai)＝eq\f(1,5)，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝eq\f(1,8)，j＝1，2，…，8.P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,40)，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8.設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”，由題意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×eq\f(1,40)＝eq\f(3,8).(3)μ1＜μ0.2.某學(xué)校為準(zhǔn)備參加市運(yùn)動會，對本校甲、乙兩個田徑隊(duì)中30名跳高運(yùn)動員進(jìn)行了測試，并用莖葉圖表示出本次測試30人的跳高成績(單位：cm).跳高成績在175cm以上(包括175cm)定義為“合格”，成績在175cm以下定義為“不合格”.鑒于乙隊(duì)組隊(duì)晚，跳高成績相對較弱，為激勵乙隊(duì)隊(duì)員，學(xué)校決定只有乙隊(duì)中“合格”者才能參加市運(yùn)動會開幕式旗林隊(duì).(1)求甲隊(duì)隊(duì)員跳高成績的中位數(shù)；(2)如果將所有的運(yùn)動員按“合格”與“不合格”分成兩個層次，用分層抽樣抽取“合格”與“不合格”的人數(shù)共5人，則各層應(yīng)抽取多少人？(3)若從所有“合格”運(yùn)動員中選取2名，用X表示所選運(yùn)動員中甲隊(duì)能參加市運(yùn)動會開幕式旗林隊(duì)的人數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的均值.解(1)由莖葉圖知，甲田徑隊(duì)12名隊(duì)員的跳高成績從小到大排列后中間的兩個成績?yōu)?76、178，故中位數(shù)為eq\f(1,2)(176＋178)＝177.(2)由莖葉圖可知，甲、乙兩隊(duì)合格人數(shù)為12，不合格人數(shù)為18，所以抽取五人，合格人數(shù)為eq\f(5,30)×12＝2，不合格人數(shù)為eq\f(5,30)×18＝3.(3)X＝0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,4),C\o\al(2,12))＝eq\f(16,33)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,12))＝eq\f(14,33).故X的分布列為X012Peq\f(1,11)eq\f(16,33)eq\f(14,33)E(X)＝0×eq\f(1,11)＋1×eq\f(16,33)＋2×eq\f(14,33)＝eq\f(4,3).3.安排5個大學(xué)生到A，B，C三所學(xué)校支教，設(shè)每個大學(xué)生去任何一所學(xué)校是等可能的.(1)求5個大學(xué)生中恰有2個人去A校支教的概率；(2)設(shè)有大學(xué)生去支教的學(xué)校的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列.解(1)5個大學(xué)生到三所學(xué)校支教的所有可能為35＝243(種)，設(shè)“恰有2個人去A校支教”為事件M，則有Ceq\o\al(2,5)·23＝80(種)，∴P(M)＝eq\f(80,243).即5個大學(xué)生中恰有2個人去A校支教的概率為eq\f(80,243).(2)由題意得：ξ＝1，2，3，ξ＝1?5人去同一所學(xué)校，有Ceq\o\al(1,3)＝3(種)，∴P(ξ＝1)＝eq\f(3,243)＝eq\f(1,81)，ξ＝2?5人去兩所學(xué)校，即分為4，1或3，2有Ceq\o\al(2,3)·(Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5))·Aeq\o\al(2,2)＝90(種)，∴P(ξ＝2)＝eq\f(90,243)＝eq\f(30,81)＝eq\f(10,27)，ξ＝3?5人去三所學(xué)校，即分為3，1，1或2，2，1有(eq\f(C\o\al(3,5)·C\o\al(1,2)·1,2！)＋eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3)·1,2！))·Aeq\o\al(3,3)＝150(種)，∴P(ξ＝3)＝eq\f(150,243)＝eq\f(50,81).∴ξ的分布列為ξ123Peq\f(1,81)eq\f(10,27)eq\f(50,81)4.甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設(shè)一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙兩人在A點(diǎn)投中的概率都是eq\f(1,2)，在B點(diǎn)投中的概率都是eq\f(1,3)，且在A，B兩點(diǎn)處投中與否相互獨(dú)立，設(shè)定甲、乙兩人先在A處各投籃一次，然后在B處各投籃一次，總得分高者獲勝.(1)求甲投籃總得分ξ的分布列和均值；(2)求甲獲勝的概率.解(1)設(shè)“甲在A點(diǎn)投中”為事件A，“甲在B點(diǎn)投中”為事件B，根據(jù)題意，ξ的可能取值為0，2，3，5，則P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝P(Aeq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝P(eq\x\to(A)B)＝(1－eq\f(1,2))×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝5)＝P(AB)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).所以ξ的分布列為ξ0235Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＝2.(2)同理，乙的總得分η的分布列為ξ0235Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)甲獲勝包括：甲得2分、3分、5分三種情形，這三種情形之間彼此互斥.因此，所求事件的概率為P＝P(ξ＝2)×P(η＝0)＋P(ξ＝3)×P(η<3)＋P(ξ＝5)×P(η<5)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×(eq\f(1,3)＋eq\f(1,3))＋eq\f(1,6)×(1－eq\f(1,6))＝eq\f(13,36).5.某學(xué)校高一年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在[50，100]內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表，規(guī)定：A、B、C三級為合格等級，D為不合格等級.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD為了解該校高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示.(1)求n和頻率分布直方圖中x，y的值；(2)根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高一學(xué)生中任選3人，求至少有1人成績是合格等級的概率；(3)在選取的樣本中，從A、C兩個等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取了3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，記ξ表示所抽取的3名學(xué)生中為C等級的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值.解(1)n＝eq\f(6,0.012×10)＝50，x＝eq\f(2,50×10)＝0.004，y＝eq\f(1－0.04－0.1－0.12－0.56,10)＝0.018.(2)成績是合格等級人數(shù)為(1－0.1)×50＝45，抽取的50人中成績是合格等級的頻率為eq\f(9,10)，故從該校學(xué)生中任選1人，成績是合格等級的概率為eq\f(9,10)，設(shè)在該校高一學(xué)生中任選3人，至少有1人成績是合格等級的事件為A，則P(A)＝1－Ceq\o\al(0,3)×(1－eq\f(9,10))3＝eq\f(999,1000).(3)由題意可知C等級的學(xué)生人數(shù)為0.18×50＝9，A等級的學(xué)生人數(shù)為3，故ξ的取值為0，1，2，3，則P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,220)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(108,220)＝eq\