蘇科版高一數(shù)學(xué)必修一第3章 3.2 3.2.2　基本不等式的應(yīng)用2024新高一暑假自學(xué)課堂含答案

蘇科版高一數(shù)學(xué)必修一第3章3.23.2.2基本不等式的應(yīng)用2024新高一暑假自學(xué)課堂含答案3.2.2基本不等式的應(yīng)用1．熟練掌握利用基本不等式求條件最值和多元最值．(重點(diǎn))2．會(huì)利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍．(重點(diǎn))3．會(huì)用基本不等式求解簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．由基本不等式求最值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．一養(yǎng)殖場(chǎng)想用柵欄圍成一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為a、b的矩形牧場(chǎng)，現(xiàn)在已有材料能做成lkm的柵欄，那么如何設(shè)計(jì)才能使圍成的矩形牧場(chǎng)面積最大？知識(shí)點(diǎn)基本不等式的應(yīng)用1．基本不等式的變形利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：(1)對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解．常用的方法有：拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等．(2)條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值．1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A．eq\f(7,2)B．4C．eq\f(9,2)D．5C[∵a＋b＝2，∴eq\f(a＋b,2)＝1．∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＝eq\f(5,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2a,b)＝eq\f(b,2a)，即b＝2a時(shí)，等號(hào)成立．故y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值為eq\f(9,2)．]2．應(yīng)用基本不等式解簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用題(函數(shù)類)(1)合理選擇自變量，建立函數(shù)關(guān)系；(2)尋找利用基本不等式的條件(和或積為定值)；(3)解題注意點(diǎn)：①設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；②根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；③在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍內(nèi)求解．2．某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x＝________．20[總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和y＝4x＋eq\f(400,x)×4＝4x＋eq\f(1600,x)≥2eq\r(4x·\f(1600,x))＝160，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝eq\f(1600,x)，即x＝20時(shí)取等號(hào)．]類型1利用基本不等式變形求最值【例1】(1)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值；(2)設(shè)a>b>0，求a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)的最小值．[解](1)法一：∵x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥6＋10＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，即x＝4，y＝12時(shí)，上式取等號(hào)．故當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16．法二：由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1可知x>1，y>9，∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2eq\r(x－1y－9)＋10＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝y(tǒng)－9＝3，即x＝4，y＝12時(shí)上式取等號(hào)，故當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16．(2)因?yàn)閍>b>0，所以a－b>0，a2－ab>0，則a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)＝(a2－ab)＋eq\f(1,a2－ab)＋eq\f(1,ab)＋ab≥2eq\r(a2－ab×\f(1,a2－ab))＋2eq\r(\f(1,ab)×ab)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a2－ab＝eq\f(1,a2－ab)且eq\f(1,ab)＝ab，即a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào)．∴a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)的最小值為4．[母題探究]若將本例(1)中條件換為：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．[解]法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x．∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝eq\f(2x,x－8)，∴x＋y＝x＋eq\f(2x,x－8)＝x＋eq\f(2x－16＋16,x－8)＝(x－8)＋eq\f(16,x－8)＋10≥2eq\r(x－8×\f(16,x－8))＋10＝18．當(dāng)且僅當(dāng)x－8＝eq\f(16,x－8)，即x＝12時(shí)，等號(hào)成立．∴x＋y的最小值是18．法二：由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1．∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))＝eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)＋10≥2eq\r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18．當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(8y,x)＝eq\f(2x,y)，即x＝2y＝12時(shí)等號(hào)成立．∴x＋y的最小值是18．1．基本不等式常見(jiàn)的變形技巧有：(1)配湊系數(shù)；(2)變符號(hào)；(3)拆補(bǔ)項(xiàng)．常見(jiàn)形式有y＝ax＋eq\f(b,x)(積定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型．2．多元最值問(wèn)題，可以通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元最值問(wèn)題來(lái)處理，注意消元后的變量的范圍．3．兩次同時(shí)應(yīng)用或兩次應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，多個(gè)等號(hào)必須同時(shí)取到．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是________．9[∵x＋y＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝1＋4＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)．∵x>0，y>0，∴eq\f(y,x)>0，eq\f(4x,y)>0，∴eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝4，∴5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥9．當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,\f(y,x)＝\f(4x,y)，))即x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)時(shí)等號(hào)成立．∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))min＝9．]2．已知正數(shù)x，y滿足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是________．3[由題意得y＝eq\f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq\f(3－x2,2x)＝eq\f(3x2＋3,2x)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號(hào)成立．]類型2利用基本不等式求參數(shù)取值范圍【例2】(1)已知函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)＋2的值構(gòu)成的集合為(－∞，0]∪[4，＋∞)，則a的值是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C．1 D．2(2)已知函數(shù)y＝eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若對(duì)于任意的x∈N*，y≥3恒成立，則a的取值范圍是________．(1)C(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞))[(1)由題意可得a＞0，①當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≥2eq\r(a)＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(a)時(shí)取等號(hào)；②當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≤－2eq\r(a)＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－eq\r(a)時(shí)取等號(hào)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1．故選C．(2)對(duì)任意x∈N*，y≥3，即eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3．設(shè)z＝x＋eq\f(8,x)，x∈N*，則z＝x＋eq\f(8,x)≥4eq\r(2)，當(dāng)x＝2eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立，又x＝2時(shí)z＝6，又x＝3時(shí)z＝eq\f(17,3)．∴a≥－eq\f(8,3)，故a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞))．]含參數(shù)不等式的求解策略1觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍.2在處理含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，往往將已知不等式看作關(guān)于參數(shù)的不等式，體現(xiàn)了主元與次元的轉(zhuǎn)化.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A．2 B．4C．6 D．8B[對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥1＋a＋2eq\r(a)＝(eq\r(a)＋1)2(x，y，a＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)y＝eq\r(a)x時(shí)取等號(hào)，所以(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值為(eq\r(a)＋1)2，于是(eq\r(a)＋1)2≥9恒成立．所以a≥4，故選B．]4．已知正數(shù)x，y滿足x＋2eq\r(2xy)≤λ(x＋y)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為_(kāi)_______．2[依題意得x＋2eq\r(2xy)≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))，即eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)的最大值為2．又λ≥eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)，因此有λ≥2，即λ的最小值為2．]類型3利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題【例3】“足寒傷心，民寒傷國(guó)”，精準(zhǔn)扶貧是鞏固溫飽成果、加快脫貧致富、實(shí)現(xiàn)中華民族偉大“中國(guó)夢(mèng)”的重要保障．某地政府在對(duì)山區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)實(shí)施精準(zhǔn)扶貧的工作中，準(zhǔn)備投入資金將當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品二次加工后進(jìn)行推廣促銷(xiāo)，預(yù)計(jì)該批產(chǎn)品銷(xiāo)售量Q萬(wàn)件(生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等)與推廣促銷(xiāo)費(fèi)x萬(wàn)元之間的函數(shù)關(guān)系為Q＝eq\f(x＋1,2)(其中推廣促銷(xiāo)費(fèi)不能超過(guò)3萬(wàn)元)．已知加工此批農(nóng)產(chǎn)品還要投入成本2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Q＋\f(1,Q)))萬(wàn)元(不包含推廣促銷(xiāo)費(fèi)用)，若加工后的每件成品的銷(xiāo)售價(jià)格定為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(20,Q)))元/件．那么當(dāng)推廣促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，此批產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？(利潤(rùn)＝銷(xiāo)售額－成本－推廣促銷(xiāo)費(fèi))[解]設(shè)該批產(chǎn)品的利潤(rùn)為y，由題意知y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(20,Q)))·Q－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Q＋\f(1,Q)))－x＝2Q＋20－2Q－eq\f(2,Q)－x＝20－eq\f(2,Q)－x＝20－eq\f(4,x＋1)－x＝21－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)＋x＋1))，0≤x≤3．∵21－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)＋x＋1))≤21－2eq\r(4)＝17，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，上式取“＝”，∴當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝17．即當(dāng)推廣促銷(xiāo)費(fèi)投入1萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大為17萬(wàn)元．應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的思路和方法(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫(xiě)出答案．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])5．近年來(lái)大氣污染防治工作得到各級(jí)部門(mén)的重視，某企業(yè)現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本y(單位：萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x(單位：噸)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8，現(xiàn)為了配合環(huán)境衛(wèi)生綜合整治，該企業(yè)引進(jìn)了除塵設(shè)備，每噸產(chǎn)品除塵費(fèi)用為k萬(wàn)元，除塵后當(dāng)日產(chǎn)量為1噸時(shí)，總成本為142萬(wàn)元．(1)求k的值；(2)若每噸產(chǎn)品出廠價(jià)為48萬(wàn)元，試求除塵后日產(chǎn)量為多少時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？[解](1)設(shè)除塵后的每日生產(chǎn)總成本為μ萬(wàn)元，由題意，除塵后μ＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8＋kx＝2x2＋(15－3k)x＋120k＋8，∵當(dāng)日產(chǎn)量為1噸時(shí)，總成本為142萬(wàn)元，代入計(jì)算得k＝1．(2)由(1)μ＝2x2＋12x＋128，總利潤(rùn)L＝48x－(2x2＋12x＋128)＝36x－2x2－128(x>0)，每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)為eq\f(L,x)＝36－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(64,x)))≤36－4eq\r(x·\f(64,x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(64,x)，即x＝8時(shí)取等號(hào)，∴除塵后日產(chǎn)量為8噸時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為4萬(wàn)元．1．設(shè)x>0，則3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3B．3－2eq\r(2)C．－1D．3－2eq\r(3)D[∵x>0，∴3x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(3x·\f(1,x))＝2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)取等號(hào)，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤－2eq\r(3)，則3－3x－eq\f(1,x)≤3－2eq\r(3)，故選D．]2．已知eq\f(x2－x＋1,x－1)(x>1)在x＝t時(shí)取得最小值，則t等于()A．1＋eq\r(2) B．2C．3 D．4B[eq\f(x2－x＋1,x－1)＝eq\f(xx－1＋1,x－1)＝x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立．]3．若正數(shù)m、n滿足2m＋n＝1，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為_(kāi)_______．3＋2eq\r(2)[∵2m＋n＝1，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(2m＋n)＝3＋eq\f(2m,n)＋eq\f(n,m)≥3＋2eq\r(2)，即最小值為3＋2eq\r(2)．]4．把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是________cm2．2eq\r(3)[設(shè)兩段長(zhǎng)分別為xcm，(12－x)cm，則S＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－x,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(\r(3),36)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋12－x2))≥eq\f(\r(3),36)×eq\f(x＋12－x2,2)＝2eq\r(3)．當(dāng)且僅當(dāng)x＝12－x，即x＝6時(shí)取等號(hào)，故兩個(gè)正三角形面積之和最小值為2eq\r(3)cm2．]5．設(shè)計(jì)用32m2的材料制造某種長(zhǎng)方體車(chē)廂(無(wú)蓋)，按交通法規(guī)定廂寬為2m，則車(chē)廂的最大容積是________m3，此時(shí)廂高與廂長(zhǎng)之和為_(kāi)_______m．166[設(shè)車(chē)廂的長(zhǎng)為bm，高為am．由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝eq\f(16－2a,a＋1)，∴V＝a·eq\f(16－2a,a＋1)·2＝2·eq\f(16a－2a2,a＋1)．設(shè)a＋1＝t，則V＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－2t－\f(18,t)))≤2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－2\r(2t·\f(18,t))))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)t＝3，即a＝2，b＝4時(shí)等號(hào)成立．a(chǎn)＋b＝6．]回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題．1．利用基本不等式求最值的方法是什么？你是怎樣理解的？[提示]和定積最大、積定和最?。魓，y為正數(shù)，x＋y＝S(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取最大值；若x，y為正數(shù)，xy＝P(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y取得最小值．2．求解應(yīng)用題的方法與步驟是什么？[提示]①審題②建模(列式)③解模④作答．教師用書(shū)獨(dú)具等號(hào)的由來(lái)相等(equal)是數(shù)學(xué)中最重要的關(guān)系之一．等號(hào)表示相等的含義．等號(hào)(SignofEquality)的出現(xiàn)與方程有關(guān)，數(shù)學(xué)于萌芽時(shí)期已有了方程的記載，因此亦有了表示相等關(guān)系的方法．“方程”的概念早于中國(guó)古代已出現(xiàn)，但它是以“列表”(算籌布列)的方法解答，并不需等號(hào)，而書(shū)寫(xiě)時(shí)則以漢字“等”或“等于”表示．在15、16世紀(jì)的英文數(shù)學(xué)書(shū)中，還用單詞代表兩個(gè)量的相等關(guān)系．例如在當(dāng)時(shí)的一些公式里，常常寫(xiě)著aequaliter這個(gè)單詞，其含義是“相等”．1557年，英國(guó)數(shù)學(xué)家列科爾德，在其論文《智慧的磨刀石》中說(shuō)：“為了避免枯燥地重復(fù)isaequalleto(等于)這個(gè)單詞，我認(rèn)真地比較了許多的圖形和記號(hào)，覺(jué)得世界上再也沒(méi)有比兩條平行而又等長(zhǎng)的線段意義更相同了．”于是，列科爾德有創(chuàng)見(jiàn)性地用兩條平行且相等的線段“＝”表示“相等”，“＝”叫作等號(hào)．用“＝”替換單詞表示相等是數(shù)學(xué)上的一個(gè)進(jìn)步．由于受當(dāng)時(shí)歷史條件的限制，這個(gè)符號(hào)的推廣很緩慢，列科爾德發(fā)明的等號(hào)，并沒(méi)有馬上為大家所采用．不過(guò)，其后的著名人物，如開(kāi)普勒、伽利略與費(fèi)馬等人常以文字或縮寫(xiě)語(yǔ)如aequals，aeqantar，ae，esgale等表示相等；1637年，數(shù)學(xué)家笛卡兒在1637年出版的《幾何學(xué)》一書(shū)中，曾用“∞”表示過(guò)“相等”，以“＝”表示現(xiàn)代“±”號(hào)之意．直到17世紀(jì)末期，德國(guó)的數(shù)學(xué)家萊布尼茲，在各種場(chǎng)合下大力倡導(dǎo)使用“＝”，他還在幾何學(xué)中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等．由于他在數(shù)學(xué)界頗負(fù)盛名，等號(hào)漸漸被世人所公認(rèn)．課時(shí)分層作業(yè)(十一)基本不等式的應(yīng)用一、選擇題1．若a＞1，則a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2 B．a(chǎn)C．eq\f(2\r(a),a－1) D．3D[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋eq\f(1,a－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3．]2．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x<0)，則f(x)有()A．最大值為0 B．最小值為0C．最大值為－4 D．最小值為－4C[∵x<0，∴f(x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2－2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1時(shí)取等號(hào)．]3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，則m＋n的最小值是()A．3B．4C．5 D．6B[由題意知ab＝1，∴m＝b＋eq\f(1,a)＝2b，n＝a＋eq\f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)．]4．已知正數(shù)x，y滿足eq\f(8,x)＋eq\f(1,y)＝1，則x＋2y的最小值是()A．18B．16C．8 D．10A[x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)))＝10＋eq\f(16y,x)＋eq\f(x,y)≥10＋2eq\r(16)＝18，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(16y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝4y＝12時(shí)，等號(hào)成立．]5．(多選題)已知a>0，b>0，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，則m的可能取值為()A．8B．7C．6 D．5CD[由已知，可得6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝1，∴2a＋b＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))×(2a＋b)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)＝54，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2a,b)＝eq\f(2b,a)時(shí)，即a＝b＝18等號(hào)成立，∴9m≤54，即m≤6，故選CD．]二、填空題6．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，則(1＋x)(1＋y)的最大值為_(kāi)_______．25[(1＋x)(1＋y)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1＋x＋1＋y,2)))2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2＋x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋8,2)))eq\s\up12(2)＝25，因此當(dāng)且僅當(dāng)1＋x＝1＋y，即x＝y(tǒng)＝4時(shí)，(1＋x)(1＋y)取最大值25．]7．為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C(單位：mg·L－1)隨時(shí)間t(單位：h)的變化關(guān)系為C＝eq\f(20t,t2＋4)，則經(jīng)過(guò)________h后池水中該藥品的濃度達(dá)到最大．2[C＝eq\f(20t,t2＋4)＝eq\f(20,t＋\f(4,t))．因?yàn)閠>0，所以t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(t·\f(4,t))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)t＝\f(4,t)，即t＝2時(shí)等號(hào)成立))．所以C＝eq\f(20,t＋\f(4,t))≤eq\f(20,4)＝5，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(4,t)，即t＝2時(shí)，C取得最大值．]8．如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72dm2(圖中陰影部分)，上下空白各寬2dm，左右空白各寬1dm，則四周空白部分面積的最小值是________dm2．56[設(shè)陰影部分的高為xdm，則寬為eq\f(72,x)dm，四周空白部分的面積是ydm2．由題意，得y＝(x＋4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(72,x)＋2))－72＝8＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))≥8＋2×2eq\r(x·\f(144,x))＝56(dm2)．當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(144,x)，即x＝12dm時(shí)等號(hào)成立．]三、解答題9．已知a>b>0，求a2＋eq\f(16,ba－b)的最小值．[解]∵a>b>0，∴b(a－b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2,4)，∴a2＋eq\f(16,ba－b)≥a2＋eq\f(64,a2)≥16．當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝a－b，,a2＝8，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝\r(2)))時(shí)取等號(hào)．故a2＋eq\f(16,ba－b)的最小值為16．10．為了改善居民的居住條件，某城建公司承包了棚戶區(qū)改造工程，按合同規(guī)定在4個(gè)月內(nèi)完成．若提前完成，則每提前一天可獲2000元獎(jiǎng)金，但要追加投入費(fèi)用；若延期完成，則每延期一天將被罰款5000元．追加投入的費(fèi)用按以下關(guān)系計(jì)算：6x＋eq\f(784,x＋3)－118(千元)，其中x表示提前完工的天數(shù)，試問(wèn)提前多少天，才能使公司獲得最大附加效益？(附加效益＝所獲獎(jiǎng)金－追加費(fèi)用)[解]設(shè)城建公司獲得的附加效益為y千元，由題意得y＝2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(784,x＋3)－118))＝118－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(784,x＋3)))＝118－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4x＋3＋\f(784,x＋3)－12))＝130－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4x＋3＋\f(784,x＋3)))≤130－2eq\r(4x＋3·\f(784,x＋3))＝130－112＝18(千元)，當(dāng)且僅當(dāng)4(x＋3)＝eq\f(784,x＋3)，即x＝11時(shí)取等號(hào)．所以提前11天，能使公司獲得最大附加效益．11．(多選題)已知不等式(x＋my)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)m的值可以是()A．3B．4C．5D．6BCD[因?yàn)閤>0，y>0，m>0，所以(x＋my)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝1＋m＋eq\f(my,x)＋eq\f(x,y)≥1＋m＋2eq\r(m)．因?yàn)?x＋my)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立．所以1＋m＋2eq\r(m)≥9，解得eq\r(m)≥2．即m≥4．]12．若a>0，b>0,3a＋b＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(a＋1,b)的最小值為()A．8B．7C．6 D．5A[∵a>0，b>0,3a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(a＋1,b)＝eq\f(3a＋b,a)＋eq\f(a＋3a＋b,