概率論與數理統(tǒng)計（慕課版第2版）課件 第3章 習題課+8

概率論與數理統(tǒng)計（慕課版）習題課第3章

多維隨機變量及其分布2??例1袋中有1個紅球、2個黑球與3個白球.

解（1）因為是有放回地取球,故（2）求二維隨機變量(X,Y)的概率分布.（1）求;別表示兩次取球所取得的紅球、黑球和白球的個數.回地從袋中取球兩次,每次取一個球,以X、

Y、Z分現有放3（2）根據題意,X、Y可能的取值為0,1,2,{X=1,Y=0}、{X=1,Y=1}、{X=2,Y=0}.

當(X,Y)的取值為{X=0,Y=0}時,表示取到了兩個白球,則(X,Y)可能的取值有{X=0,Y=0}、{X=0,Y=1}、{X=0,Y=2}、則二維隨機變量4同理可得，5因此，(X,Y)的聯合概率分布為XY01201/41/31/911/61/9021/3600

設隨機變量X與Y相互獨立,且X服從標準正態(tài)分??例26解布,Y的概率分布為

.機變量Z=XY的分布函數,則函數

的間斷點個數為().A.0B.1C.2D.3記

為隨7由于

x與

y相互獨立，故

（1）若z<0,則

所以z=0為間斷點，故有一個間斷點，應選B.8??方法歸納本題求間斷點的個數，實際上就是要求分布函數代入，寫出的表達式,再對中z的取值進行討論，進而確定間斷點的個數。首先將離散型隨機變量Y的不同取值分別隨機變量。的表達式，其中X為連續(xù)型隨機變量，Y為離散型??例39

設隨機變量相互獨立,其中X1與X2的概率分布為均服從標準正態(tài)分布,X3

（1）求二維隨機變量的分布函數,結果用標準正態(tài)分布函數表示.（2）證明隨機變量Y服從標準正態(tài)分布.解（1）

由二維隨機變量的分布函數的定義，可得10因為，則可將離散型隨機變量不同取值分情況代入，即

又因為X1，X2，X3相互獨立,故11（2）證明：12因此，Y服從標準正態(tài)分布.13??方法歸納本題也是一個即含有連續(xù)型隨機變量，又含有離散型隨機變量的混合表達式的隨機變量分布函數問題，對于此類問題有效的方法是：值代后展開，利用概率的計算公式，獲得僅含有連續(xù)型隨機變量的表達，再利用連續(xù)型隨機變量的已知條件求按照離散型隨機變量不同取解即可.??例414解

設二維隨機變量（X,Y）在區(qū)域

上服從均勻分布，令求二維隨機變量

的概率分布.

因為（X,Y）為區(qū)域D上的均勻分布,如圖所示,15區(qū)域D的面積為,故二維隨機變量（X,Y）的聯合密度函數為

根據

的定義,將分以下四種情況討論:16①②③④17因此,的概率分布為

Z1Z20101/4011/21/4??例5

設隨機變量X與Y相互獨立,且分別服從參數為1和4的指數分布,則___.

A.B.C.D.18解

又因為X與Y相互獨立,故

故應選A.??例619

設（X,Y）是二維隨機變量,X的邊緣概率密度為在給定X=x(0<x<1)的條件下，Y的條件概率密度為（1）求（X,Y）的概率密度

；（2）Y的邊緣概率密度

；（3）求.20解

（1）由題意知,（2）Y的邊緣概率密度為.當0<y<1時,.

故，Y的邊緣概率密度為21（3）??例7.如果隨機變量Z的定義如下

設X與Y是兩個相互獨立的隨機變量，且,求Z的分布律.22解

因X與Y兩個相互獨立，其聯合概率密度為

由此可得，;.Z01P因此,Z的分布律為??例823解

設二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布,令（1）寫出(X,Y)的概率密度函數;.

（1）由題意知，(X,Y)的聯合概率密度為（3）求Z=U+X的分布函數（2）問U與X是否相互獨立?24（2）設t為常數，且0<t<1,則因為

，所以

U與

X不相互獨立.25（3）當z<0時，

；

26綜上所述，Z的分布函數為27??方法歸納本題是一個綜合性的題目,考察了聯合概率密度函數、隨機變量的獨立性以及混合型隨機變量分布函數的求解.獨立性的討論中，首先對U與X的關系進行初步的判斷，因U與X有關，顯然是不獨立的，因此只需要找到一組反例，證明不獨立即可.

在

時，先根據U與X的在求

取值??例928

設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為解（1）求條件概率密度（2）求條件概率（1）關于X的邊緣概率密度為故條件概率密度

,即29（2）關于Y的邊緣概率密度為所以

因此,??例1030解

設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布,則___.A.與μ無關,與σ2有關B.與μ有關,與σ2無關

C.與μ、σ2都有關D.與μ、σ2都無關

由正態(tài)分布的性質可知X-Y服從正態(tài)分布，且,則

故因此，概率與μ關無,與σ2有關，應選A.??例1131解

設X與Y的聯合概率密度函數為求Z=X-Y的密度函數.的陰影部分,因此有

圖32

綜上所述,Z的概率密度為??例1233解求Z=X+Y的密度函數.設隨機變量X與Y相互獨立,且

.

由題意知X和Y的概率密度函數為

因Z=X+Y，則Z的取值范圍如下圖所示:34隨機變量X與Y相互獨立，利用卷積公式,可以求出Z的概率密度函數,即當z<0時,;

當z>1時，綜上所述，Z的概率密度為；.??例1335解

設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度為試求：（1）常數b的值；（2）邊緣概率密度

；（3）隨機變量

的分布函數.（1）由概率密度函數的性質36

可得.（2）當0<x<1時,因此，關于X的邊緣概率密度為37

當y>0時,（3）因為

，故X與Y相互獨立.

記X、Y、U的分布函數分別為

，

因此，關于Y的邊緣概率密度為根據最大值的分布公式有.利用(2)中求出的概率密度函數,可以求出,即38將X、Y的分布函數代入最大值的分布公式，可得39??例14

解

(1)由古典概率計

試求：

分布律為40(2)??例1541解

(1)由密度函數性質設二維隨機變量的聯合密度函數為其余

所以

.42(2)由已知得43

(3)如右圖所示:??例1644解設服從區(qū)域上的均勻分布,寫出的聯合密度函數以及(1)因區(qū)域

的面積為1,故由定義得聯合密度函數為:45(2)所求概率為

??例1746解(1)通過計算

的聯合分布函數為設二維隨機變量的聯合密度函數為

分別計算邊緣分布函數.47故與的邊緣分布函數分別為??例1848解已知,求

的密度函數.因為，又由正態(tài)分布的線性變換仍是正態(tài)分布知所以??例1949解（1）由二維離散型隨機變量邊緣分布律定義得50所以與的邊緣