四川省綿陽市2024-2025學年高一數(shù)學上學期期中試題含解析

Page2四川省綿陽市2024-2025學年高一數(shù)學上學期期中試題留意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學校、班級、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清晰，同時用2B鉛筆將考號精確填涂在答題卡“欄目”內(nèi).2.回答選擇題時，選出每小題答案后，考生用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合A的元素，依據(jù)元素和集合的關(guān)系以及集合間的關(guān)系，即可推斷出答案.【詳解】由題意知集合，故，A錯誤；，B錯誤；，C正確；，D錯誤,故選：C.2.下列命題中正確的是（）A.存在，使得x同時被2和3整除 B.有的三角形沒有外接圓C.冪函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù) D.任何實數(shù)都有算術(shù)平方根【答案】A【解析】【分析】利用特別值推斷A，依據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)推斷B，依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)推斷C，依據(jù)算術(shù)平方根的定義推斷D；全科免費下載公眾號-《中學僧課堂》【詳解】解：對于A：當時，因為同時被和整除，故存在，使得同時被和整除，故A正確；對于B：隨意三角形均有外接圓，故B錯誤；對于C：冪函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，故C錯誤；對于D：負數(shù)沒有算術(shù)平方根，故D錯誤；故選：A3.若，則下列選項錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】A.依據(jù)不等式性質(zhì)推斷；B.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷；C.舉例當時來推斷；D.利用的單調(diào)性推斷.【詳解】因為，則A.，則，，，A正確；B.在上單調(diào)遞增，當時，，B正確；C.當時，，C錯誤；D.當時，，D正確；故選：C.4.全稱量詞命題：“.”的否定為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)含有一個量詞的命題的否定，即可推斷答案.【詳解】全稱量詞命題：“.”的否定為存在量詞命題：，故選：D.5.下列選項中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性定義逐一推斷各個選項即可.【詳解】解：對于A，函數(shù)在上遞減，故A不符題意；對于B，函數(shù)在上是減函數(shù)，故B不符題意；對于C，函數(shù)，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C不符題意；對于D，函數(shù)，因為為奇函數(shù)，由函數(shù)在上遞增，且，函數(shù)在上連續(xù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，故D符合題意.故選：D.6.若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性求得的取值范圍．【詳解】函數(shù)的對稱軸為，由于在上是單調(diào)函數(shù)，所以，即．故選：B．7.如圖，函數(shù)與的部分圖象分別為，則正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合，，可解得答案．【詳解】由圖可知：在時是增函數(shù)，則，即；又，即．綜上，．在時是減函數(shù)，則，即；又，則，綜上，．故選：D．8.三個數(shù)之間的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先將化簡，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，設(shè)，此函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，∵∴∴.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列選項中，滿意p是q的充分條件的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)充分條件的定義依次推斷各選項即可.【詳解】對于A，由可推出，所以是的充分條件，A正確，對于B，由可推出，所以是的充分條件，B正確，對于C，由可推出，所以是充分條件，C正確，對于D，當，時，，但是，所以不是的充分條件，D錯誤，故選：ABC.10.設(shè)m，n是方程的兩根，則下面各式值等于8的有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可求，，結(jié)合指數(shù)運算推斷各選項對錯.【詳解】因為m，n是方程的兩根，所以由根于系數(shù)關(guān)系可得，，所以，，，，所以B，D正確，故選：BD.11.某外貿(mào)公司在30天內(nèi)A商品的銷售價格P（元）與時間t（天）的關(guān)系滿意下方圖象所示的函數(shù)，A商品的銷售量Q（萬件）與時間t（天）的關(guān)系為，則下列說法正確的是（）A.第15天的銷售額最大 B.第20天的銷售額最大C.最大銷售額為125萬元 D.最大銷售額為120萬元【答案】AC【解析】【分析】由函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法求出銷售價格P（元）關(guān)于時間t（天）的函數(shù)解析式，再求銷售額關(guān)于t的函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其最大值.【詳解】由圖象可得當時，可設(shè)，依據(jù)圖象知過點，所以，解得，所以，當，可設(shè)，依據(jù)圖象知過點，所以解得，所以，綜上可得，，又，設(shè)第天的銷售額為，則，化簡可得當時，，所以，當且僅當時等號成立；當時，，所以，當且僅當時等號成立；’綜上可得，第15日銷售額最大，最大值為125萬元，故選：AC.12.定義在R上的函數(shù)，對隨意的，都有，且當時，恒成立，下列說法正確的是（）A. B.函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為C.函數(shù)為奇函數(shù) D.函數(shù)為R上的增函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法求，推斷A，通過賦值，結(jié)合奇函數(shù)的定義推斷C，依據(jù)單調(diào)性的定義推斷BD.【詳解】因為對隨意的，都有，取，可得，所以，A正確；取，可得，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，C正確；任取實數(shù)，且，則，因為，所以，又當時，恒成立，所以，所以，所以，所以函數(shù)為R上的增函數(shù)，D正確，B錯誤，故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.已知集合，，則______.【答案】【解析】【分析】化簡集合，結(jié)合交集的定義求即可.【詳解】不等式的解集為，所以，又，所以，故答案為：.14.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】函數(shù)，，．故答案為：．15.若奇函數(shù)在上的值域為，則該函數(shù)在區(qū)間上的值域為______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可．【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于原點對稱，∵函數(shù)在上的值域為，∴該函數(shù)在區(qū)間上的值域為．故答案為：．16.某學校安排在運動場內(nèi)規(guī)劃面積為的矩形區(qū)域ABCD用于全校師生核酸檢測.矩形區(qū)域內(nèi)布置成如右圖所示的三個檢測點（陰影部分）.已知下方是兩個相同的矩形檢查點，每個檢測點區(qū)域四周各留下寬的間隔，若上方矩形寬LO是下方矩形邊長EH的一半，為使三個檢測點面積之和達到最大值，則______m.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，利用變量，表示三個檢測點的面積和，結(jié)合矩形的面積為，利用基本不等式求其最大值，由此確定.【詳解】設(shè)，，則，，，，所以三個檢測點面積之和，因為矩形的面積為，所以，所以，所以，令，則，，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，即時，三個檢測點面積之和達到最大值，此時，故答案為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）當時，求；（2）若，且是的真子集，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B，可得其補集；依據(jù)集合的并集運算可得；（2）依據(jù)包含關(guān)系，列出相應(yīng)的不等式組，即可求得實數(shù)m的取值范圍.【小問1詳解】或，當時，，∴，或.【小問2詳解】∵，A是的真子集，又，，∴,解得,∴實數(shù)的取值范圍是.18.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法探討代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，利用這一方法，許多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，且，點C在線段OB上．設(shè)，．結(jié)合該圖形解答以下問題：（1）用a，b表示OF，OC，F(xiàn)C；（2）依據(jù)OF與FC的大小關(guān)系，結(jié)合（1）的結(jié)論可得到什么不等式？并證明是該不等式取等號的充要條件．【答案】（1），，；（2），當且僅當時取等號；證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)圖形在結(jié)合勾股定理求解即可.（2）首先依據(jù)題意得到，再證明充分性和必要性即可.【小問1詳解】因為，，可得圓O的半徑為，又由，在直角中，可得，．【小問2詳解】因為，所以，當且僅當時取等號．充分性：當時，，，所以；必要性：當時；平方得：，所以，所以．19.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞增.（1）求m和n的值；（2）求滿意不等式的a的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)可得，求得m,結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)即可求得n的值;（2）依據(jù)（1）的結(jié)論，可得，利用函數(shù)的性質(zhì)，可得關(guān)于a的不等式，求得答案.【小問1詳解】∵是冪函數(shù)，∴，解得m=3.由在上單調(diào)遞增得，解得.∵，∴或.當時，函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，符合題意.當時，函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，不合題意.綜上，，.【小問2詳解】由（1）得，，∴.∵函數(shù)在和上均單調(diào)遞減，∴當時，，當時，.∴滿意不等式的條件為或或，解得或，∴滿意不等式的的取值范圍.20.已知關(guān)于x的不等式的解集為或.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）當時，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程的解的關(guān)系列方程求實數(shù)a，b的值；(2)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求值域.【小問1詳解】因為不等式的解集為或，所以，，為方程的根，且，所以，，所以，，【小問2詳解】由(1)，任取實數(shù)，，設(shè)，則當時，，，，所以，當時，，，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以函數(shù)，的值域為.21.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年固定成本為300萬元，可變成本（萬元）與年產(chǎn)量x（件）的關(guān)系為，每件產(chǎn)品的售價為50萬元，且工廠每年生產(chǎn)的產(chǎn)品都能全部售完.（1）將年盈利額W（萬元）表示為年產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；（2）求年盈利額的最大值及相應(yīng)的年產(chǎn)量.【答案】（1）（2）當年產(chǎn)量為件時該廠盈利額最大，最大為萬元【解析】【分析】（1）分兩種狀況進行探討，當時，可變成本，依據(jù)年盈利額=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當時，變成本，依據(jù)年盈利額=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最終寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；

（2）依據(jù)年盈利額的解析式，分段探討函數(shù)的最值，當時，利用二次函數(shù)求最值，當0時，利用基本不等式求最值，最終比較兩個最值，即可得到答案．【小問1詳解】解：當時，當時，.∴【小問2詳解】解：①當時，，∴當時，取得最大值，最大值為900.②當時，.當且僅當，即時取得最大值，最大值為.綜上，當年產(chǎn)量為件時該廠盈利額最大，最大為萬元.22.設(shè)函數(shù)（，且）.（1）若，用定義證明為上的增函數(shù)；（