高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (七)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（7）

單項(xiàng)選擇題（本大題共9小題，共45.0分）

己知三棱錐P-4BC中，AC1BC,且AC=6,BC=2V7，PC=

PB=2V14，當(dāng)三棱錐P-4BC的體積最大時,其外接球的表面積

等于（）

A.757r

B.507r

C.100兀

D.967r

2.已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,且AB=V5，BC=V7.AC=2,則此三棱錐的

外接球的體積為（）

8

32

-r16”n

A.37TB.爭C.-TtD-石兀

如圖，正方體的棱長為1,E,F分別是棱A4,CC1的中點(diǎn)，過點(diǎn)E,F的平

面分別與棱881，DDi交于點(diǎn)G,H,給出以下四個命題:

①平面EGFH與平面ABC。所成角的最大值為45。；

②四邊形EG/=77的面積的最小值為1；

③四棱錐G-EGFH的體積為定值3

④點(diǎn)名到平面EGFH的距離的最大值為

其中正確命題的序號為

A.②③B,①④C.①③④D.②③④

4.已知正三角形48c的三個頂點(diǎn)都在球心為0、半徑為3的球面上，且三棱錐。-ABC的高為2,

點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作球。的截面，則截面積的最小值為（）

A.手B.47rC.vD.37r

42

5.已知三棱錐P-ABC,^.BAC=pBC=b，P4_L平面ABC且24=2百，則此三棱錐的外接

球的體積為（）

A.B.4V3TTC.167rD.-1—

6.菱形ABC。的邊長為2,/.ABC=60°,沿對角線AC將三角形AC。折起，當(dāng)三棱錐。-4BC體

積最大時，其外接球表面積為（）

A.小兀B.源nC.胃兀D.弓兀

3393

7.已知三棱錐P-4BC的側(cè)棱P4,PB,PC與底面ABC所成的角均為60。，且AC=4,BC=3,

4B=5,則三棱錐P-4BC的四個面中，面積最大的面的面積為（）

A.6B.9C.交理D.12

4

8.在棱長為2的正方體4BC。一公8忑1。1中，點(diǎn)E,尸分別是棱BC、CC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯

誤的是（）

A.A.DLAF

B.三棱錐力-BCF外接球的表面積為97r

C.點(diǎn)C到平面4EF的距離為|

D.平面AE尸截正方體所得的截面面積為T

9.邊長為1的正方體力BCD-AiBiGDi的棱上有一點(diǎn)P,滿足|PB|+|PD/=6，則這樣的點(diǎn)共

有（）

A.6個B.9個C.12個D.18個

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，共12.0分）

10.已知一個三棱錐，有一個面是邊長為2的正三角形，兩個面為等腰直角三角形，則該三棱錐的

外接球的表面積可能是（）

A.6兀B.8兀C.等D.107T

11.如圖所示，正三角形ABC中，D,E分別為邊AB,AC的中點(diǎn)，其中AB=8,把△4DE沿著。E

翻折至4OE位置，使得二面角4-DE—B為60。，則下列選項(xiàng)中正確的是

A.點(diǎn)A到平面BCED的距離為3

B.直線AD與直線CE所成的角的余弦值為J

O

C.A'D1BD

D.四棱錐力-BCED的外接球半徑為旭

3

12.在棱長為2的正方體4BCD—&BiGDi中，點(diǎn)M,N,P分別是線段線段GC,線段上

的動點(diǎn)，且MCi=NCi#0,則下列說法正確的有（）

D,

A.三棱錐P—BBiM的體積為定值

B.異面直線與BG所成的角為60。

C.AP+PC1的長的最小值為&+V6

D.點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫鍮CD1的距離為等.

三、填空題（本大題共16小題，共80.0分）

13.已知正方體ABCD—4B1GD1的棱長為1,動點(diǎn)P在正方體的表面上

運(yùn)動，且與點(diǎn)A的距離為避.動點(diǎn)尸的集合形成一條曲線，這條曲線

3

在平面八3場山上部分的形狀是；此曲線的周長是

14.已知四棱錐的四個側(cè)面均是邊長為2的等邊三角形，則該四棱錐的高為

15.已知，如圖正三棱錐P-4BC中，側(cè)棱長為1,底面邊長為夜，。為AC中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，M

是PD上的動點(diǎn)，N是平面PCE上的動點(diǎn)，則AM+MN最小值是

16.仇章算術(shù)》中，將底面為長方形且由一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都

為直角三角形的三棱錐稱之為鱉牖.若三棱錐P-ABC為鱉席，P4_L平面ABC,PA=AB=

2,47=4,三棱錐P-4BC的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為.

17.已知直三棱柱4BC-&B1C1的底面是正三角形，AB=2w,。是側(cè)面3。6當(dāng)?shù)闹行模?。與

該三棱柱的所有面均相切，則直線4。被球。截得的弦長為.

18.如圖，ABCD-AWISDI為正方體，下面結(jié)論中正確的是.（把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填

上）

①AQ，平面映；

②BDi1平面ACBi；

③BA與底面BCC1B1所成角的正切值是企；

④過點(diǎn)A1與異面直線A。與CB［成60。角的直線有2條.

19.在直三棱柱力BC—4避傳1中，484。=120。且48=47=3,BB1=4,則此三棱柱外接球的表

面積為.

20.在棱長為1的正方體4BCD中，點(diǎn)G在棱441上，過點(diǎn)G作平面a與棱AB,AO分別

交于點(diǎn)E,F,且棱AB,4D,與平面a所成的角相等.點(diǎn)P在平面&8道1。1上，且PG//ACr,

則三棱錐P-EFG的體積的最大值為.

21.如圖，已知正方體的ABCD-41BlCl。i棱長為2,點(diǎn)M,N分別是棱BC,6外的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在

平面4$iGDi內(nèi)，點(diǎn)Q在線段&N上，若PM=b，則P0長度的最小值為.

22.棱長為1的正方體力BCD-4/￡必中，E,F,G分別是4B,BC,B￡的中點(diǎn).

①P點(diǎn)在直線8cl上運(yùn)動時，三棱錐A-￡）iPC體積不變；

②Q點(diǎn)在直線EF上運(yùn)動時.，直線GQ始終與平面AAiGC平行；

③平面&BD1平面4CD1；

④三棱錐。-EFG的體積為，

其中真命題的編號是.（寫出所有正確命題的編號）

23.已知四棱錐P-4BCC的底面ABC。是邊長為2的正方形，側(cè)棱長均為氣.以尸為球心，量為半

3

徑的球面與底面ABCD的交線總長度為.

24.在正四棱錐P-A8CD中，頂點(diǎn)P在底面的投影0恰為正方形ABC。的中心且48=2a，設(shè)點(diǎn)

M,N分別為線段尸。，尸。上的動點(diǎn)，已知當(dāng)4N+MN取得最小值時，動點(diǎn)M恰為尸。的中點(diǎn)，

則該四棱錐的外接球的表面積為.

25.如圖，Go是一種由60個碳原子構(gòu)成的碳原子簇，其結(jié)構(gòu)是以正五邊形和正六邊.

形組成的凸32面體，貝北60結(jié)構(gòu)中正六邊形個數(shù)為?這60個C原子在空間

進(jìn)行排列時，形成一個化學(xué)鍵最穩(wěn)定的空間排列位置，恰好與足球表面格的排列足球

一致，因此也被稱為足球烯.根據(jù)雜化軌道的正交歸一條件，兩個等性雜化軌道的最大值之間

的夾角0(0<9<180。)滿足a+0cos。+yQcos20-+6(|cos39—|cos。)=0式中a,￡,y,

6分別為雜化軌道中s,p,d,/軌道所占的百分?jǐn)?shù).已知C60中的雜化軌道為等性雜化軌道，且

無d,/軌道參與雜化，碳原子雜化軌道理論計(jì)算值為sp2-28,它表示參與雜化的S,P軌道數(shù)之

比為1:2.28,由此可計(jì)算得C60中兩個等性雜化軌道的最大值之間的夾角的正弦值為.

CM)

26.設(shè)P為多面體M的一個頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為1一2(“小(22+乙Q2PQ3+

…+4Qk_TPQk+乙QkPQi)，其中Q(i=l,2...k,k23)為多面體M的所有與點(diǎn)尸相鄰的頂

點(diǎn)，且平面Q/Q2,平面Q2PQ3,…，平面Qk-iPQk和平面QkPQi遍歷多面體M的所有以P為公

共點(diǎn)的面.

圖1圖2

如圖1,已知長方體4BiGA-ABC。，AB=BC=1,AAT=y.點(diǎn)P為底面A/iGDi內(nèi)的一

個動點(diǎn)，則四棱錐尸一ABC。在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值為:

圖2為對某個女孩面部識別過程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣

點(diǎn)，然后用短小的直線段連接相鄰三個采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格.區(qū)域a和區(qū)域/?中點(diǎn)的離散曲率

的平均值更大的是.（填寫“區(qū)域a”或“區(qū)域0”）

27.圓錐SO（其中S為頂點(diǎn)，。為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是2：1.則圓錐SO與它外接球（即

頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為.

28.已知三棱錐S-4BC內(nèi)接于半徑為4的球中，SA_L平面ABC,^BAC=45°,BC=2魚，則三

棱錐S-ABC體積的最大值為.

四、解答題（本大題共2小題，共24.0分）

29.一個幾何體的三視圖如下圖所示，求此幾何體的體積。

例視圖

30.如圖所示，三棱柱48(7-4/心中，44—平面A8C,D,E,F分別是8嶼，AB,441的中點(diǎn),

點(diǎn)G在線段BC上，AABC=AACB.

(1)求證：4D1平面B81GC；

(2)若平面EFG〃平面4BD,ABAC=90°,AB=AAr=4,求點(diǎn)名到平面FEG的距離.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題重點(diǎn)考查棱錐的外接球問題，屬于較難題.

取BC的中點(diǎn)H,連接產(chǎn)〃，利用當(dāng)平面ABC時，三棱錐的體積最大，連接OP,MH,過。作

0N1PH于點(diǎn)N,則四邊形0M印V為矩形，從而求出外接球半徑，進(jìn)一步可得其表面積.

解：如圖，取8c的中點(diǎn)H,連接PH,貝IJPH_LBC,因?yàn)閆L4BC的面積為定值，

所以當(dāng)PH1平面ABC時，三棱錐的體積最大，

因?yàn)?48C為直角三角形，

故其外接圓圓心為AB的中點(diǎn)M,

則。MJ_平面ABC,

又PH，平面ABC,

所以O(shè)M//PH,連接OP,MH,過。作ONJLPH于點(diǎn)N,則四邊形OMAN為矩形,

ON=MH,在4aBe中，MH=\AC=3,AB=\/AC2+CB2=8）所以MB=8,

連接。B,設(shè)三棱錐的外接球半徑為上OM=d,

則在AOMB中，R2=d2+16,①,

在UPON中，OP2=ON2+NP2,即R2=32+(7—(//，②,

聯(lián)立①②并求解得d=3,所以產(chǎn)=32+16=25,

所以三棱錐的外接球的表面積為：4兀?R2=I。07r.

故選：C.

2.答案：B

解析：

本題給出三棱錐的空間特征及外接球問題，屬于中檔題.

依題三棱錐可以補(bǔ)成長方體，則長方體的外接球同時也是三棱錐P-4BC外接球.求出P4=1,PC=

V3,PB=2,算出長方體的對角線，即球直徑，進(jìn)而利用球的體積公式求解.

解：1??AB=V5.BC=V7,AC=2,

貝IJP42+PB2=5,PB2+PC2=7,PA2+PC2=4

二解得PA=1,PC=V3,PB=2,

以PA、PB、PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體如圖，

則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球.

「長方體的對角線長為VI+3+4=2V2,

.?.球直徑為2或，半徑R=V2.

因此三棱錐P-4BC外接球的體積是射R3=疑*(V2)3=竽兀,

故選B.

3.答案：D

解析：

本題考查棱錐的體積、空間中的距離及直線與平面所成角，屬于較難題.

根據(jù)正方體的特征及棱錐的體積計(jì)算、空間中的距離及直線與平面所成角逐項(xiàng)計(jì)算驗(yàn)證即可.

解：對于①，平面EGFH與平面ABCD所成的最大角為NDiBD,不為45。，故①錯誤；

對于②，由迎WGHW百，可得菱形EGFH的面積的最小值為1,故②正確；

對于③，四棱錐6-后6尸”的體積為1/=2%1_注尸=2%―6尸(；1=2乂9乂：乂：=3，故③正確;

對于④，設(shè)BG=x,XG[0,1]>VB^EFG=^E-BrFG=|X|X1X(1-X)X1(0<X<1),

設(shè)Bl到平面EGFH的距離為d,可得/LEFG=idxixV2x/—倒,

/_IT_t_1z

所以而彳=再不=成百其中"一辦

當(dāng)x=0即t=l時，〃取得最大值號,故④正確.

4.答案:A

解析：

本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過正三角形中點(diǎn)的最小截面圓的面積.著重考查了

勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)等知識，屬于較難題.

設(shè)正△力BC的中心為Oi，連接01。、。1(7、01。、OD.根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股

定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出0。，而經(jīng)過點(diǎn)。的球。的截面，當(dāng)截面與。。垂直時截面圓的半徑最小，

相應(yīng)的截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值.

解：設(shè)正△ABC的中心為。1，連接01。、0★、。]。、OD,

???01是正AABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，

01。1平面ABC,結(jié)合。1CU平面ABC,可得。1010道,

???球的半徑R=3,010=2,

Rt△O^OC^,OrC=V5.

又?.?。為BC的中點(diǎn)，RMO/C中，O、D=汐區(qū)=*

???/?￡△OOi。中，OD=14+|=

???過。作球。的截面，當(dāng)截面與。。垂直時，截面圓的半徑最小，

???當(dāng)截面與。。垂直時，截面圓的面積有最小值.

此時截面圓的半徑r=小告=苧,可得截面面積為S=兀產(chǎn)=等.

故選A.

5.答案：D

解析:

本題考查三棱錐的外接球問題，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理求出三角形ABC外接圓半徑，結(jié)合勾股

定理求出球半徑，屬于較難題.

可得球心到平面ABC的距離等于PA的一半，由正弦定理可求得三角形A8C外接圓半徑，即可根據(jù)

勾股定理求得球半徑，得出體積.

解：如圖，設(shè)球心為0,三角形A8C外接圓心為01,

vPA1平面ABC,。3=\PA=V3,

設(shè)球半徑為R，圓01的半徑為〃

_BC75c

則在三角形ABC中，由正弦定理可得2r=左嬴=三=2,即

2

r=1,

在直角三角形4。。1中，0因+AOl=0A2,即（V3）2+r2=/?2>

解得R=2,

則外接球的體積為三腔=言,

故選:D.

6.答案：D

解析:

本題考查了空間兒何體外接球的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

由題意得得平面4BC1平面AQC,三棱錐體積最大，找出此三棱錐外接球的球心和半徑，即可求得

外接球表面積.

解:

由題意可知，當(dāng)三棱錐D-ABC的體積最大時，平面平面ADC,取AC的中點(diǎn)E,連接OE,

EB,

由面面垂直的性質(zhì)可知。E1平面42C,

所以△ABC與A40C均為等邊三角形，三棱錐4co高為次.

三角形AS外接圓半徑r=氈，

3

設(shè)外接球半徑為七球心與圓心的距離為d,

d24-r2=/?2,①

(V3-d)2+(y)2=/?2.②

由①②解得：R2=1

外接球的表面積s=4nR2=等.

7.答案：C

解析：

本題主要考查了直線與平面所成的角，幾何體面積問題，考查學(xué)生計(jì)算能力與空間想象能力，屬于

中檔題；

根據(jù)題意過P作PHJ"平面ABC,垂足為H,得到=|,PA=PB=PC=5.4C=4,

BC=3,AB=5,計(jì)算面積即可得解.

解：過戶作PH1平面ABC,垂足為”.

因?yàn)镹PAH=乙PBH=乙PCH=60°,

可得△PAH=LPBHmAPCH,得4H=BH=CH,PA=PB=PC.

又AC=4,BC=3,AB=5,

所以△力BC為直角三角形，故點(diǎn)”為斜邊A8的中點(diǎn)，如圖.

所以/M=HB=HC=喬人=PB=PC=5.AC=4,BC=3,AB=5,

所以SARP=2V21-SABCP=等，SMBC=9x3x4=6,ShABP=|x5x5x^=^.

則這個三棱錐的四個面中，面積最大的面的面積為竺遺.

4

故選C.

8.答案：A

解析：

本題考查了簡單多面體及其結(jié)構(gòu)和球的表面積和線面垂直以及棱錐體積等知識，屬于較難題.

取DDi中點(diǎn)G,連接GF,GA,可證A/l平面AFG,則&D_L4G,但正方形中，G是中

點(diǎn)，不可能有4014G,A錯；

求出三棱錐力-BCF外接球的半徑可判斷，B正確；利用等體積法求C到平面AM的距離可判斷C

正確；由平面AE尸截正方體所得的截面即為等腰梯形力QFE,求出面積即可判斷。正確.

解：如圖，取DO1中點(diǎn)G,連接GF,GA,由于F是CC1中點(diǎn)，

GF//DC,

而DC■!平面力。。出，

GF11平面4DD14，

又&Du平面4。。遇1，

GF1

若A1D1AF,由于力FnGF=F,

???4。1平面4FG,

又4Gu平面AFG,

??

?AXD1AG,

但正方形4DD1&中，G是CD1中點(diǎn),

不可能有4。_LAG,A錯；

設(shè)AC與8。交于點(diǎn)M,

則例是A4BC的外心，取4尸中點(diǎn)N,連接NM,

貝ljNM〃CF,

NM平面ABCD,

???N是三棱錐力-BCF外接球的球心，

NA=\AF=4+(2⑨2=|)

球表面積為S=4兀x(|)=9?r，B正確；

C.S?AEC=|XECxAB=|x2xl=l,

VF-AEC=lsBAEC-FC=^xlX1=-,

在AAEF中，AE=V22+I2=V5.EF=6AF=3,

AE2+EF2-AF1

則eos/.AEF

2AE-EF

5+2-9y/lQsm^AEF=^-

2Xy[5Xyf210

1T-tITr?八口口?￡[RSV/IO3

Q1,i-AtE-EFsinNAEF=—xv5xv2x--------=—,

22102

設(shè)C到平面AE尸的距離為〃，

則外"-AEC=%TEF得另Xy八=王八=],ClE確；

。.連接FDLDM，易證得/Di〃BQ〃EF,

平面AEF截正方體所得的截面即為等腰梯形4D]E,

ADt=2VLEF=V2,AE=DrF=遙，

梯形的高為〃=J響2_（穿=苧，

即S=[x（2+2直）*誓=1D正確.

故選：A.

9.答案：C

解析：

本題考查橢圓的定義的運(yùn)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

在棱長為1的正方體中，點(diǎn)尸到B和5的距離之和等于定值通，可得滿足條件的

點(diǎn)的全體構(gòu)成一個橢球面，由此能求出結(jié)果.

解：在邊長為1的正方體4BCD—ABiGDi中，

點(diǎn)尸到B和％的距離之和等于定值通的點(diǎn)的全體構(gòu)成一個橢球面，

該橢球面的焦點(diǎn)即為8和。1，

橢球的長半軸為匹，

2

焦距為正方體的對角線的一半，即爭

所以短半軸為Jg)2_g)2=當(dāng)，

所以該橢球面和正方體的棱有12個交點(diǎn).

所以P的個數(shù)為12.

故選C.

10.答案：ABC

解析：

本題考查三棱錐外接球的表面積，考查分類討論思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等核

心素養(yǎng)，屬于較難題.

分三種情況討論，分別利用正弦定理、補(bǔ)體法和外接球直徑的相關(guān)知識求出球半徑，即可得其表面

積.

解：情況一：如圖⑴，△BCD是邊長為2的正三角形，△48。和44BC是等腰直角三角形，AB1BD,

AB1BC.

則AB=BC=CD=BD=2,AC=AD=2A/2.

設(shè)△ABC和△BCD的外接圓半徑分別為q,z該三棱錐的外接球半徑為R

由題意易得q==V2.

在△BCD中，由正弦定理，得高=20則「2=看

2

由題意可得/?2=*—(與)+將=2—1+]=$

因此該三棱錐的外接球的表面積S=4TTR2=等.

情況二：如圖⑵，△BCD是邊長為2的正三角形，ZkABC和AABO是等腰直角三角形，ABVAC,

AB14C.

則AB=AC=AD=y/2,BC=CD=BD=2,

則△4BC,&ABD,Zi/ICD均是等腰直角三角形，因此可以利用補(bǔ)體法來解決.

將三棱錐A-8C。放在棱長為企的正方體中，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R,

則有(2R)2=(V2)2+(V2)2+(72)2，解得辟=

因此該三棱錐的外接球的表面積S=4TTR2=6兀.

圖(2)

情況三：如圖(3),△BCD是邊長為2的正三角形，AACO和AABC是等腰直角三角形，AB1BC,

AD1CD.

則AB=AD=BC=CD=BD=2,AC=2近,

則△ABD也是等邊三角形，易知AC的中點(diǎn)即為三棱錐4-BCO的外接球的球心.

設(shè)該三棱錐的外接球半徑為R,貝洋=y=V2,

因此該三棱錐的外接球的表面積S=4nR287r.

2

圖（3）

故選ABC.

11.答案：ABD

解析：

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，異面直線的夾角，點(diǎn)到平面的距離，二面角，錐體的外接球問題，屬于

較難題.

取BC的中點(diǎn)分別為F,G,連接FG,取FG的中點(diǎn)為“，通過題中的數(shù)據(jù)，結(jié)合線面垂直的

性質(zhì)得出A'HJ■平面2CEZ）,從而分析各選項(xiàng)即可.

解：如圖，取E。，8c的中點(diǎn)分別為F,G,連接尸G,取尸G的中點(diǎn)為H,連接4H,

因?yàn)檎切蜛BC中，。，E分別為邊AB,4c的中點(diǎn)，

所以AE=AO,DELA'F,又易知DEIFG,A'FdFG=F,A'F,FGu平面A'FG,

所以。El平面4FG,且乙4'FG為4-DE-B的二面角，即/A'FG=60。,

由48=8可知4F=FG=2百，所以△力'尸G為正三角形，所以4H1FG,

又DEI平面AFG4'Hu平面AFG,所以DE1AH,

又DECFG=F,DE,FGu平面所以AH工平面BCEQ,

在Zk/rFG中，因?yàn)?F=FG=2W，所以4"=3,故A正確；

連接EG,DG,因?yàn)镈E=CG且DE〃CG,所以四邊形ECGC為平行四邊形，故EC//DG,NA'DG即

為直線AD與直線CE所成的角，

可知4'。=4,A'G=A'F=2痘,DG=DB=4,故cos/ADG=，"土?=三，故B正確；

2X4X48

易知A'B=y/A'H2+BH2=>JA'H2+GB2+HG2=J9+42+（V3）2=2迎,

即A'Z52+3。2=32*AB2,故4D與8。不垂直，故C錯誤；

易知GB=GC=GD=GE=4,所以四棱錐A-BCE。的外接球球心。在過G點(diǎn)且與平面BCEQ垂

直的直線上，

記0G=X,四棱錐4'一BCED的外接球半徑為R,

則有=（HH—0G）2+HG2=R2,即”=產(chǎn)+42=（3—x）2+3,

解得H=—京此時。在平面A"下4i.Uj負(fù)）,R竿?，故。正確.

M<5

12.答案：BC

解析：

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積、表面積和

體積，線面垂直的性質(zhì)，異面直線所成角和空間中的距離，屬于較難題.

利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得點(diǎn)M到平面PBB］的距離為2,再利用錐體的體積公式,計(jì)算對4進(jìn)行判斷，

利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合異面直線所成角得異面直線用N與BG所成的角就是直線與BG所

成的角，對B進(jìn)行判斷，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得AP=PH］，或《4P42和BiGl平面力BB1a,

再利用線面垂直的性質(zhì)BiGlPBi，從而得PQ=〃必+4,對C進(jìn)行判斷，利用正方體的結(jié)構(gòu)特

征，結(jié)合點(diǎn)面距對。進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：對于4、因?yàn)檎襟w4BCD-4a的。］是棱長為2的正方體，

連接PM、PBi、MB1和MB,而點(diǎn)M是線段GDi上的動點(diǎn)，

所以點(diǎn)M到平面PBB］的距離為2,

=X

因此/-BBIM=VM-PBBI32S&PBB［,

又因?yàn)辄c(diǎn)尸是線段上的動點(diǎn)，在平面PBB1內(nèi)，

點(diǎn)當(dāng)?shù)街本€PB的距離為在，

所以SAPBBI=^PB，因此S“BBi不是定值，

所以外>_BB［M=§SAPBBI不是定值，因此A不正確；

對于8、連接Z\C,因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別是線段G%、線段GC的動點(diǎn)，且MCi=NCi#0,

所以MN//5C,而D】C〃4B,因此MN〃4B,

因此異面直線MN與BG所成的角就是直線與BG所成的角，

而直線與Bq所成的角為60。，

所以異面直線MN與BCi所成的角為60。，因此8正確；

對于C、因?yàn)檎襟w48CD-4B1GD1是棱長為2的正方體，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn),

所以AP=PBi，且魚《4P《2.

又因?yàn)楫?dāng)C1JL平面ABB遇1，PGu平面4BB送1，所以當(dāng)口12當(dāng)，

因此PG={PB：+B?=VW+%

因此當(dāng)AP最小時，PC1也最小，而魚《4P42,

所以4P+PCi的長的最小值為或+J(V2)2+4=V2+V6＞因此C正確；

對于。、因?yàn)辄c(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫鍮CD1的距離就是點(diǎn)名到平面BC/Mi的距離，

而點(diǎn)名到平面BCD1&的距離為企，

所以點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫鍮e%的距離為近，因此。不正確.

故選BC.

13.答案：圓??；逝

2

解析：

【試題解析】

首先要弄清楚曲線的形狀，再根據(jù)曲線的性質(zhì)及解析兒何知識即可求出長度.

本題以正方體為載體，考查軌跡，考查曲線的周長，涉及圓的截面，圓弧的計(jì)算，屬于較難題目.

解：由題意，此問題的實(shí)質(zhì)是以A為球心、半徑為4的球在正方體4BC0-4B1C1D1各個面上交線

的長度計(jì)算.

因?yàn)榍虬霃叫∮?,所以球面只與平面

ABCD,44山。1，44/Bi相交，

因平面4BCD.4A1DD1，他叫為過球

心的截面，截痕為圓弧，各弧圓心角為梟

故各段弧長為巴x^=畫.

236

.??這條曲線周長為3又亙=叵.

62

故答案為：圓??；旦.

2

14.答案：V2

解析：

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征和棱錐的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

首先判斷該四棱錐的底面是邊長為2的正方形，頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心，即可用性質(zhì)求解.

解：由題意可知，該四棱錐的底面是邊長為2的正方形，

頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心，

則該四棱錐的高h(yuǎn)=V2^2=V2.

故答案為近.

15.答案：蛆也

4

解析：

本題考查空間幾何體中的最值問題，考查空間思維能力，考查分析與計(jì)算能力，屬于較難題.

由題取CB中點(diǎn)F,連接力尸交CE于點(diǎn)0,易證得。。1面PCE,要求4M+MN最小，需MN最小,

計(jì)算得(4M+MN)mm=AN'=PA-sin75°,即可求解.

解：取CB中點(diǎn)F,連接OF交CE于點(diǎn)0,易證得。。1面PCE,

要求4M+MN最小，需最小，此時可得MN,嚴(yán)解CE,

又可證明MN〃。凡再把平面POQ繞PO旋轉(zhuǎn)，與面PDA共面，又可證得NPOO=90°.

1111111

VPD=-AC=-,DO=iDF=-X-AB=-AB=2

2222244

?"8。=器.即4PD=30。，

/.APN'=45°+300=75",可得sin75°=

4

_\/6+V2

(AM+MN)min=AN'=PA-sin75-4

故答案為等

16.答案：20TT

解析：

本題考查了幾何體的外接球和球的表面積，設(shè)鱉麝的外接球的半徑為廣，可知PC為外接球的直徑,

由勾股定理求出球的直徑即可求出球的表面積.

解：如圖所示，P4J?平面ABC,AB1BC,PA=AB=2,

設(shè)鱉腌的外接球的半徑為r,可知PC為外接球的直徑,

由勾股定理得2r=PC=V22+42=2V5>

該鱉席的外接球的表面積為4兀產(chǎn)=20兀，

故答案為207r.

17.答案:嚕

解析:

【試題解析】

本題考查直三棱柱的內(nèi)切球問題、弦長問題，考查了空間想象能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

由題意，根據(jù)球。與直三棱柱48。-41%(71的所有面均相切，以及直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征與三角形的

相關(guān)知識得到球的半徑，進(jìn)而將所求弦長問題放在三角形中解決.

解：因?yàn)榍?與直三棱柱力BC-4B1G的所有面均相切且直三棱柱的底面為正三角形，

所求球心。為該直三棱柱上、下底面三角形重心連線的中點(diǎn)，

連接AE,00',OD,DE,貝lj。。'1底面ABC,

因?yàn)?。是?cè)面BCG/的中心，所以四邊形OO'ED為正方形，

設(shè)球。的半徑為r,

則結(jié)合48=2存可得「=27^梟＞1,

連接。4，易得AD=Jr2+(2V3Xy)2=V10>OA=Jr2+(2>/3xyx|)2=V5>

OD2+AD2-OA23

所以cos/ODA=

2ODDA瑞

故所求弦長為2rcosNOLM=@.

5

故答案為出.

5

18.答案：①②④

解析：

本題主要考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定，直線與直線，直線與平面所成角，考查了空

間想象能力，屬于中檔題.

運(yùn)用線線垂直，線面垂直，判斷定理和性質(zhì)定理，以及異面直線所成角，求解異面直線所成角的步

驟：先平移找到角，再證明，最后綜合分析即可求解

解：由題意，ACUBiDi，因?yàn)锽0_L面&Gu面為B1GD1，

所以BB1L41G，又Bi%nBB］=&，8必瞄u平面BA，

所以Aig_L平面BO1，故①對；

由三垂線定理可知，BDilABt,BDilCBi,

ABrnCBi=B1,AB1,CB1u面4%。，

所以面4BiC,故②對；

由①②可知，為BD］與面BCCWi的所成角，所以tanNGBDi=*=建，所以③錯；

在正方體中CBJ/&D,所以過久與異面直線CB】所成角為與直線&D所成角，將圖形抽象出來如下

圖所示：

有上下兩條直線分別直線為D,4〃所成角為60",

故過點(diǎn)A1與異面直線AD和CB［成60。角的直線有2條，所以④對.

故答案為①②④.

19.答案：527T

解析:

本題考查了直三棱柱的性質(zhì)、勾股定理、正弦定理、球的表面積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于中檔題.

設(shè)AABC與的外接圓的圓心分別為0],02,半徑為r.連接。1。2，取中點(diǎn)為。，則。為此三

棱柱外接球的球心.在A/IBC中，利用正弦定理可得0]B=r=工.利用勾股定理可得R=

12sinl20

22

OB=yj0rB+OjO.

解：設(shè)△力BC與△為B1G的外接圓的圓心分別為?！?2,半徑為八

連接。1。2，取中點(diǎn)為。，則O為此三棱柱外接球的球心.

在44BC中，BC2=AB2+AC2-2-AB-AC-cos^BAC

=32+32-2x3x3x(-3=27,BC=3V3,

所以°】B=r=：x1n^r=3.

2222

AR=0B=yjO1B+O1O=V3+2=V13.

;此三棱柱外接球的表面積=47rx(>/13)2=527r.

故答案為：527r.

20.答案：2

解析：

本題是立體幾何與函數(shù)結(jié)合的綜合題，難度較大.

根據(jù)題意，AG^x,(0<x<l),利用相似三角形可得SAQG=更(&無￥=隹M，再利用線面垂直

42

關(guān)系得PG，平面EFG,從而有4_EFG=-x3),再利用導(dǎo)數(shù)求最大值可得.

解：設(shè)力G=x,(0<x<1),連接BQ、ArD,

因?yàn)槠矫鍱FG//平面418。，平面4BC0C平面EFG=EF,平面ABC。n平面=BD,

則EF〃B。，同理GF〃4。，GE〃A\B.

因?yàn)?1。=BD=ArB=V2,則4EFG為正三角形，

由相似三角形知今=需得臺務(wù)

所以EF=V2x,則EF=EG=FG=岳,

所以SAEFG=號(近X)2=yX2.

又因?yàn)镻G〃/1C「則罪'=恭=票，

即箸中嗡，

所以PG=V3(l-x).

由正方體可知，1平面4B。，則1平面EFG,

即PG_L平面EFG,

故三棱錐P—EFG的體積為Vp_EFG=1X-y%2,8(1—X)=g(%2—X3).

記/(久)=|(x2—x3)(0<x<1).

則/'(x)=i%(2-3x).

當(dāng)0<x<|時，f(x)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>：時，(Q)<0,函數(shù)/Q)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=|時，f(x)取最大值,且/。)max=居)=、?_1)=春

故答案為M

21.答案：越-1

5

解析：

本題考查線段長的最小值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識、運(yùn)算求

解能力、空間想象能力，屬于中檔題.

取&G中點(diǎn)。，則M。1面即MOJ.OP,可得點(diǎn)尸在以。為圓心，以1為半徑的位于平

面4/GD1內(nèi)的半圓上.即。到4N的距離減去半徑即為P。長度的最小值L

解：如圖，取B1G中點(diǎn)。，且M為8c中點(diǎn)，

則M。平面4聲道1。1，且OPu平面力iBiG?！?/p>

???MO1OP,

???PM=V5，則OP=J(通尸-22=1，

???點(diǎn)P在以。為圓心，以1為半徑的位于平面4B1GD1內(nèi)的半圓上.

可得。到4N的距離減去半徑即為P。長度的最小值，

作OH1&N于H,

&ON的面積為2x2-1x2xlx2-T><lxl=|,

；NxOH=；,可得0H=還，：.PQ長度的最小值為述一1.

NN55

故答案為：延_1.

5

22.答案：①②③

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，三棱錐的體積，線面平行的判定及面面垂直的判定，屬于中檔題.

①P在直線BG上運(yùn)動時，三角形面積不變，C到平面4BG5的距離不變，即可判斷；

②Q在直線EF上運(yùn)動時一，可證平面GEF〃平面4&C1C,GQu平面GEF,從而判定是否成立；

③由面面垂直的判定定理，即可判斷是否成立；

④由Vp-EFG=^G-DEF=]XS^DEF-GF,從而判定真假.

解：如圖：

對于①，

P在直線上運(yùn)動時，三角形面積為矩形i的面積的一半，

點(diǎn)C到平面4865的距離不變，則三棱錐A-5PC的體積不變，故①正確;

對于②，

。在直線EF上運(yùn)動時，EF//AC,EFC平面/UiGC,ACu平面441CiC,

則EF〃平面441GC,

GF/fC^C,GFC平面441GC,QCu平面a&QC,

則GF〃平面44CC,EFC\GF=F,

得平面GEF〃平面AAiGC,GQu平面GEF,

可得GQ始終與平面A4】GC平行，故②正確：

對于③，

AC1BD,AC1BBy,BDCBBi=B,BD,B&u平面咯么。,

可得AC_L平面BBiDi。，

ACu平面ACDi，即有平面BiBC1平面ZCDi，故③正確：

對于④，

__1

VD-EFG=VG-DEF=§XS“DEF'GF

=9(1X1-111111

-x1x-x2--X-X-X1=8

22222,

故④不正確.

故答案為：①②③

23.答案：士臣7T

9

解析：

【試題解析】

本題考查空間幾何體和球的綜合問題，屬于較難題，解題時先計(jì)算出四棱錐的高，再求出球和底面

截面圓半徑，然后確定截面的弧所對的圓心角，最后求出弧長。

解：設(shè)正方形ABC。中心為。，由題意可知|0川=企，設(shè)四棱錐的高為人

則九=J(V6)2-(V2)2=2，設(shè)球尸被正方形ABCD所截的圓面半徑為r

則r=J(竽)2_九2=|舊,如圖所示，球面與底面ABCD的交線即圖中的圓。在正方形A8CD內(nèi)

的部分

由r=?■?值可知ZOEF為正三角形，所以弧E尸所對的圓心角為7T,

則圓。在正方形ABC。內(nèi)部所對的圓心角之和為27r-4x彳一號

依次交線的總長度為rxN的7T

39

故答案為兇k。

9

647r

24.答案:

解析：

本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的位置關(guān)系，球的表面積計(jì)算，屬于中檔題.

在PC上取對應(yīng)的點(diǎn)M',進(jìn)一步可得當(dāng)M'為PC的中點(diǎn)時，AM'LPC,計(jì)算棱錐的高，利用勾股定

理計(jì)算球的半徑，從而得出球的表面積.

解：依題意知，四棱錐P-4BCD是正四棱錐，在PC上取點(diǎn)V,使得PM，=PM,

則MN=M'N,

當(dāng)月M'1PC時,4W取得最小值,

即AN+NAT的最小值為AW,

為P。的中點(diǎn)，

故而W為PC的中點(diǎn)，

PA=AC=4,P0=7PA2一衲=2電,

設(shè)外接球的半徑為r,

則"=(2^3—r)2+4>

解得：r=延，

3

???外接球的表面積為4兀/647r

3

故答案為

*,

25.答案：20；上叵

57

解析：

本題考查學(xué)生閱讀理解的能力，考查合情推理的能力，屬于難題.

根據(jù)題意設(shè)一個C60中的凸32面體結(jié)構(gòu)中共有x個五邊形,)，個六邊形,可得手=60,又x+y=32,

求出x,y的值，再根據(jù)題意即可求出cos。，即可求出答案.

解：設(shè)一個中的凸32面體結(jié)構(gòu)中共有x個五邊形，y個六邊形，

因?yàn)槊總€頂點(diǎn)都是三個面的公共點(diǎn)，故有手=60,又x+y=32.

解得x=12,y=20,所以共有20個六邊形;

又因?yàn)橹?魏，￡=舞，y=60,

所以會+會8$。=0,解得cosJ=—|^

3.Zo3,Zo57

因?yàn)椤！?lt;