湖南樞所學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

湖南省多所學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷留意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號，座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊、其次冊占30%，選擇性必修第一冊占70%。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.傾斜角為135°，在軸上的截距為1的直線方程是A. B.C. D.2.A. B. C. D.3.下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是A.零向量與隨意向量平行B.隨意兩個空間向量肯定共面C.零向量是隨意向量的方向向量D.方向相同且模相等的兩個向量是相等向量4.若方程表示橢圓，則的取值范圍為A. B. C. D.5.空間中有三點，，，則點P到直線MN的距離為A. B. C.3 D.6.某地舉辦“喜迎二十大，奮進新時代”主題攝影競賽，9名評委對某攝影作品的評分如下：97，90，，95，92，85，87，90，94.去掉一個最高分和一個最低分后，該攝影作品的平均分為91分，后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法分辨，以表示，則A.84 B.86 C.89 D.987.已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，是上一點，且位于第一象限，，則的縱坐標為A.1 B.2 C. D.8.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點，H是內(nèi)的動點（含邊界），且平面ACD，則的取值范圍是A. B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則A.的圖象關(guān)于軸對稱 B.的最小正周期是C.的圖象關(guān)于點對稱 D.在上單調(diào)遞減10.如圖，平面內(nèi)的小方格均為邊長是1的正方形，A，B，C，D，E，F(xiàn)均為正方形的頂點，P為平面外一點，則A. B.C. D.11.已知拋物線：的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于，兩點，的中點為M，A，M，B在直線上的投影分別為P，N，Q，則A. B. C. D.12.已知曲線：，則A.曲線圍成的面積為B.曲線截直線所得弦的弦長為C.曲線上的點到點的距離的最大值為D.曲線上的點到直線的距離的最大值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知向量，，，若，，共面，則__________.14.已知圓和圓的半徑都為1，圓心分別為，，寫出一個與圓和圓都相切的圓的方程：__________.15.古希臘宏大的數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“靠近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.如圖，某種橢圓形鏡子根據(jù)實際面積定價，每平方米200元，小張要買的鏡子的外輪廓是長軸長為1.2米且離心率為的橢圓，則小張要買的鏡子的價格為__________元.（結(jié)果精確到整數(shù)）16.足球起源于中國古代的蹴鞠嬉戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早是外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，如圖所示.已知某“鞠”的表面上有四個點P，A，B，C，滿意，平面ABC，，若三棱錐的體積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為___________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（10分）為豐富學(xué)生的校內(nèi)生活，提升學(xué)生的實踐實力和綜合素養(yǎng)，培育學(xué)生的愛好愛好，某校安排借課后托管服務(wù)平臺，開設(shè)書法愛好班.為了解學(xué)生對這個愛好班的寵愛狀況，該校隨機抽取了本校100名學(xué)生，調(diào)查他們對這個愛好班的寵愛狀況，得到數(shù)據(jù)如下.寵愛不寵愛合計男402060女301040合計7030100（1）從這100名學(xué)生中隨機抽取1人，求該學(xué)生是女學(xué)生且寵愛書法愛好班的概率；（2）從該校隨機抽取1名男學(xué)生和1名女學(xué)生，求這2名學(xué)生中恰有1人寵愛書法愛好班的概率.18.（12分）已知圓經(jīng)過點，，.（1）求圓的標準方程；（2）過點向圓作切線，求切線方程.19.（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面夾角的余弦值.20.（12分）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.21.（12分）已知雙曲線：的離心率為，且焦點到漸近線的距離為1.（1）求雙曲線的方程；（2）若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.22.（12分）如圖，菱形的邊長為2，，E為AB的中點.將沿DE折起，使A到達，連接，，得到四棱錐.（1）證明：.（2）當(dāng)二面角在內(nèi)改變時，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.高二數(shù)學(xué)試卷參考答案1.B因為直線的傾斜角為135°，所以斜率為-1.因為直線在軸上的截距為1，所以所求直線方程為，即.2.D3.C在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，C錯誤.4.D因為方程表示橢圓，所以，，且，解得.5.A因為，所以的一個單位方向向量為.因為，所以點到直線的距離為.6.C當(dāng)時，，則不符合題意；當(dāng)時，，則不符合題意；當(dāng)時，，解得.7.C因為，所以.由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為.設(shè)的縱坐標為，的面積為，解得.8.B設(shè)F，G分別為AB，BD的中點，連接FG，EF，EG.易得，，因為平面，平面，，，所以平面平面.因為平面，所以H為線段FG上的點.易得平面，因為，所以平面，，.因為，所以，..因為，所以.9.BCD將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則.則A錯誤，B正確.令，，解得，，當(dāng)時，.則C正確.令，，解得，，則D正確.10.ABD在平面內(nèi)選取兩個相互垂直的單位向量，，且，則，，，則，.所以，.，.11.ACD拋物線的焦點為，準線方程為.設(shè)直線的方程為，，，則，.聯(lián)立方程組得，則，.因為，所以，，所以，所以，故A正確；因為，所以，故C正確，B錯誤；因為，所以，故D正確.12.ABD當(dāng)，時，曲線：；當(dāng)，時，曲線：；當(dāng)，時，曲線：；當(dāng)，時，曲線：.畫出曲線，如圖所示.曲線圍成的面積為，A正確.曲線截直線所得弦的弦長為，B正確.以為圓心作圓與曲線相切，設(shè)其中一個切點為，則曲線上的點到點的距離的最大值為，C錯誤.數(shù)形結(jié)合可得，曲線上到直線距離最大的點在第一象限，到直線的距離，曲線上的點到直線的距離的最大值為，D正確.13.1因為，，共面，所以，即，則，解得，，.14.（或或）與圓和圓都相切的圓如圖所示，分別為，，.15.151設(shè)鏡子的外輪廓對應(yīng)的橢圓的長半軸長與短半軸長分別為米，米，則故小張要買的鏡子的價格為元.16.如圖所示，取的中點，過作，且，因為平面，所以平面.因為，所以，所以，所以是三棱錐外接球的球心，為球的半徑.因為，所以.因為，所以球的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，所以，故所求表面積的最小值為.17.解：（1）從這100名學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生是女學(xué)生且寵愛書法愛好班的概率為.（2）由題意可知該校男學(xué)生寵愛書法愛好班的頻率為.由題意可知該校女學(xué)生寵愛書法愛好班的頻率為.故所求概率.18.解：（1）設(shè)圓的方程為，則解得，，，所以圓的方程為，故圓的標準方程為.（2）當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即.由，解得，所以切線方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或.19.解：（1）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.（2），設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.易知是平面的一個法向量，由，得平面與平面夾角的余弦值為.20.解：（1）由正弦定理可得，即.因為，所以，即.因為，所以，.因為，所以.（2）.因為為銳角三角形，所以，則.所以，.故的取值范圍為.21.（1）解：設(shè)雙曲線的一個焦點為，一條漸近線的方程為，所以焦點到漸近線的距離為.因為，所以，，所以雙曲線的方程為.（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，.當(dāng)直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線：，且斜率，聯(lián)立方程組得，由，得，聯(lián)立方程組得.不妨設(shè)直線與的交點為，則.同理可求，所以.因為原點