高中數(shù)學(xué)《不等關(guān)系與不等式》導(dǎo)學(xué)案

K第」X不等式____________________

DISANZHANG3.1不等關(guān)系與不等式

第1課時不等關(guān)系與不等式

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.不等式的定義所含的兩個要點

(1)不等符號叵］F，w,>,2或畫總.

(2)所表示的關(guān)系是圖不等關(guān)系.

2.比較實數(shù)46大小的依據(jù)

(1)文字?jǐn)⑹?/p>

如果a—1是畫JE數(shù),那么。>"；

如果a-b是畫委,那么a=b；

如果〃一"是畫貨數(shù),那么。<兒反之也成立.

(2)符號表示

a-Z?>0臺a幽次;

a-b=0<=>a陲］三。；

&-辰0臺a畫勁

(3)結(jié)論

確定任意兩個實數(shù)。、人的大小關(guān)系，只需確定回它們的差a—b與0的大

小關(guān)系.

3.比較大小的方法

(1)作差：比較數(shù)(式)的大小常用作差與國JL比較.

(2)作商：兩數(shù)(式)為同號時，作商與回]_比較.

F自診小測

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)實數(shù)。不大于一2,用不等式表示為。2—2.()

(2)某隧道入口豎立著“限高4.0米”的警示牌，則經(jīng)過該隧道的物體的高度

h應(yīng)滿足。<4.0.()

(3)若『>0,則x>0.()

(4)若x>l,則J?+2X與％2+2的大小關(guān)系為)

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

2.做一做

(1)(教材改編P74Tl⑵)一橋頭豎立的“限重40t”的警示牌，是提示司機(jī)要安

全通過該橋，應(yīng)使貨車總重量T不超過40t,用不等式表示為.

(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量/應(yīng)不少于3%,蛋白質(zhì)

的含量〃應(yīng)不少于2.5%,寫成不等式組就是.

(3)若則M=x2+y2~2x+2y的值與一2的大小關(guān)系為.

(4)^+3與2A-的大小關(guān)系為.

價3%，

答案(1)TW4。(2)(3)M>-2

[p32.5%

(4)J?+3>2X

卜課堂互動探究

探究1用不等式(組)表示不等關(guān)系

例1某中學(xué)為加強(qiáng)現(xiàn)代信息技術(shù)教學(xué)，擬投資建一個初級計算機(jī)房和一個

高級計算機(jī)房，每個計算機(jī)房只配置1臺教師用機(jī)，若干臺學(xué)生用機(jī).其中初級

機(jī)房教師用機(jī)每臺8000元,學(xué)生用機(jī)每臺3500元;高級機(jī)房教師用機(jī)每臺11500

元，學(xué)生用機(jī)每臺7000元.已知兩機(jī)房購買計算機(jī)的總錢數(shù)相同，且每個機(jī)房

購買計算機(jī)的總錢數(shù)不少于20萬元也不超過21萬元.則該校擬建的初級機(jī)房、

高級機(jī)房各應(yīng)有多少臺計算機(jī)？

解設(shè)該校擬建的初級機(jī)房有％臺計算機(jī)、高級機(jī)房有y臺計算機(jī)，則

f0.8+0.35(x-1)=1.15+0.7CV-1),

<20<0.8+0.35(x-1)<21,

120WL15+0.7(y—1)W21.

rx=2y,

55專

解得<

K13B幅5

x=56,x=58,

y均為整數(shù)，.二或

J=28)=29,

即該校擬建的初級機(jī)房、高級機(jī)房各應(yīng)有56,28或58,29臺計算機(jī).

拓展提升

將不等關(guān)系表示成不等式(組)的思路

(1)讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.

(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接，應(yīng)特別注意能否取等號.

(3)多個不等關(guān)系用不等式組表示.

【跟蹤訓(xùn)練1】已知甲、乙、丙三種食物的維生素A,B含量及成本如下

表：

--------------------------------X

甲乙內(nèi)

維生素A(單位/kg)600700400

維生素B(單位/kg)800400500

成本(元/kg)1194

若用甲、乙、丙三種食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使

混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.

試用x,y表示混合食物成本c元，并寫出x,y所滿足的不等關(guān)系.

解依題意得c=llx+9y+4z,又x+y+z=100,

.\c=400+7x+5y.

600x+700y+400zN56000,

由'及z=100——y,

800x+400y+500z263000x?

2x+3y>160,

得

3x—y2130.

〃2x+3yN160,

3元一日30,

Ax,y所滿足的不等關(guān)系為〈

、代0.

探究2作差法比較大小

例2⑴設(shè)m3〃，y=〃3〃?一〃4,比較X與y的大小.

(2)已知。>0且aWl,p=log?(a3+l),(/=log?(6(2+1),比較〃與q的大小.

解(1)x—y=(m4—nr'ti)—(n3m—n4)

=(tn—〃)機(jī)3—/(機(jī)—n)

=(in—/2)(7?z3—")

=(m—〃)2(m2+mn+〃2),

?二"?W屋,(m—n)2>0.

3/?2

Vm2+mn+/=卜??+^j24

又~T>0,

/.(m—n)2(m2+mn+/?2)>0.

y>0,.\x>y.

tz3+1

(2)p-q=log?(a3+1)—log”(/+1)=log。

cP+V

當(dāng)a>l時，a3+l>a2+U

./+1./-j-i

,再了1,???1崢層+1>0；

當(dāng)O?Z<1時，a3+l<?2+l,

.序+1.蘇+1

綜上，/?—(7>0,.'.p>q.

拓展提升

1.第(1)題通過分解因式和配方判斷差的符號，第(2)題通過分類討論判斷差的

符號.可以看到，用作差比較法時，判斷所作差的符號常用配方法、分解因式法、

分類討論法.

2.作差法比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)大小的步驟

第一步：作差并變形，其目標(biāo)應(yīng)是容易判斷差的符號.變形有兩種情形：

(1)將差式進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為幾個因式相乘.

(2)將差式通過配方轉(zhuǎn)化為幾個非負(fù)數(shù)之和，然后判斷.

第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系.

第三步：得出結(jié)論.

【跟蹤訓(xùn)練2]⑴比較f+V+l與2(x+y—1)的大小；

(2)設(shè)aWR且aWO,比較a與!的大小.

解(1)x1+y2+1—2(x+y-1)=X2—2X+1+V-2y+2=(犬-l)2+(y—I)2

+1>O,

.*.x2+y2+1>2(x+y-1).

1(6Z-1)(6/+1)

⑵由「「a，

當(dāng)a=±\時，a=5；

當(dāng)一IVaVO或a>l時，a*；

當(dāng)aV—1或OVaVl時，a<^.

探究3作商法比較大小

作商法

例3已知a>0,Z?>0且試比較a"護(hù)與a%”的大小.

解券=卡吁一。

=(如，

①當(dāng)a>b〉O時，石>1，a—b>0,；?(/"一兇1；

②當(dāng)0<a。時，0<f<l，a—h<0,1?

綜上可得(f)aP>1，二

拓展提升

作商法比較大小應(yīng)注意的問題

作商法：即通過判斷商與1的關(guān)系，得出結(jié)論，要特別注意當(dāng)商與1的大小

確定后必須對商式分子分母的正負(fù)做出判斷，這是用作商法比較大小時最容易漏

掉的關(guān)鍵步驟.

【跟蹤訓(xùn)練3]已知R+,試比較aabb與(")=的

大小.

a-〃

aba+bia~\~ba-bb-a-1"

abab

a+b=a—~~b—~2-=a—b~=

解(ab)工

①若a=/?>0,典」1=1皿一/>=0,,??々"6〃=(06)寧.

b

②若a>6>0,則/>1,。一6〉0.

b

a-b

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知傳)2>1,???“">(〃#.

③若OVaV仇則OV/V1,。一〃VO.

b

a-b

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知(方)2>1,.“八>("產(chǎn).

綜上所述，審.

1

f---------------------------1卻港外---------------------

［規(guī)律小結(jié)］

1.用不等式(組)表示不等關(guān)系時應(yīng)注意的問題

在用不等式(組)表示不等關(guān)系時，應(yīng)注意必須是具有相同性質(zhì)，可以進(jìn)行

比較時，才可用，沒有可比性的兩個(或幾個)量之間不能用不等式(組)來表示.

2.關(guān)于aWb或a，b的含義

(1)不等式aWA應(yīng)讀作小于或者等于,其含義是指“或者”匕或者

a=b"，等價于%不大于/,即，若a<b或。=8之中有一個正確，則aWb

正確.

(2)不等式。2人應(yīng)讀作“a大于或者等于。"，其含義是指“或者a>b或者

a=b"，等價于%不小于方”，即，若a>"或之中有一個正確，則

正確.

3.作差法比較兩個實數(shù)大小的基本步驟

⑴作差.

(2)變形.將兩個實數(shù)作差后變形為：

①常數(shù)；

②幾個平方和的形式；

③幾個因式積的形式.

(3)定號.即判定所得差是大于0,小于0,還是等于0.

(4)結(jié)論.利用實數(shù)大小之間的關(guān)系得出結(jié)論.

注意：變形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段進(jìn)行恒等變

形.

4.作商法比較兩個實數(shù)大小的基本步驟

(1)作商；

(2)變形;

(3)比較商與1的關(guān)系.

注意：只有同號的兩數(shù)才適用于作商法比較大小.

［走出誤區(qū)］

易錯點A用不等式組表示實際問題時理解錯誤

［典例］兩種藥片有效成分見下表：

藥小、阿司匹林（mg）小蘇打（mg）可待因（mg）

A（1片）251

B（1片）176

>

若要求至少提供12mg阿司匹林、70mg小蘇打、28mg可待因，則兩種

藥片的數(shù)量應(yīng)滿足怎樣的不等關(guān)系？用不等式的形式表示出來.

［錯解檔案］設(shè)提供A藥片月片，B藥片y片，則由題意，得

j2r+y212,

15x+7y270,

Lr+6y228.

［誤區(qū)警示］以上不等式對藥品成分的限定額度是完全正確的，但是考慮

到問題的實際應(yīng)用性，還應(yīng)保證兩種藥片的數(shù)量均為非負(fù)整數(shù)，這一隱含條件

往往是容易被忽視的.

［規(guī)范解答］設(shè)提供A藥片x片，B藥片y片yGN）,

"2x+y212,

5x+7>》70,

則由題意，得《x+6y228,

x20（xeN）,

206，CN）.

［名師點津］用不等式（組）表示實際問題中不等關(guān)系的步驟：

（1）審題.通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量.

（2）列不等關(guān)系.列出待求量具備哪些不等關(guān)系（即滿足什么條件）.

（3）列不等式（組）.挖掘題意，建立已知量和待求量之間的關(guān)系式，并分析某

些變量的約束條件（包含隱含條件）.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測

1.設(shè)M=%2,N=-X-1,則M與N的大小關(guān)系是（）

A.M>NB.M=N

C.M<ND.與x有關(guān)

答案A

解析,.,M—N=x2+元+l=(x+g}+(〉0,

：.M>N.

2.高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為120km/h,行駛過程中，同一

車道上的車間距d不得小于10m,用不等式(組)表示為()

A.20km/h或10m

'oW120km/h,

B.1、

d^lOm

C.后120km/h

D.d20m

答案B

解析依據(jù)題意直接將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式，即。W120km/h,d210m,

注意兩個不等關(guān)系必須同時成立.

3.用“>、<、2、符號填空

(1)(2。+1)(a—3)(?一6)(2。+7)+45；

(2)屋+b12(tz—/?—1).

答案(1)<⑵2

解析(1)因為(2a+1)(。-3)—[(a—6)(2a+7)+45]=—6<0,所以(2a+1)(。一

3)<(a-6)(2a+7)+45.

(2)因為a2+Z?2—2(a—ft—l)=(a—1)2+(Z?+l)2^0,所以a2-\-b2^2(a—b—

1).

4.當(dāng)加>2時，加"與2"的大小關(guān)系是.

答案m,">2m

解析由于加">02">0,故可采用作商法，

?型=甌

??2，"一⑵?

?.加>2,.,.夕>1,：.徵">1.

即rnm>2m.

5.⑴當(dāng)X>1時，比較/與x+1的大??；

(2)已知：a<b,;判定a,b的符號.

解(l)x3-(x2-x+l)=x3-x2+x-1

1)+(九一l)=(x-l)(f+1),

因為x>l,所以(8—1)。2+1)>0,

所以X3>X2—x+1.

1111b—a

⑵因為4%,所以丁尸k。，①

因為4<兒所以〃一〃>0,②

綜合①②知ab<0,又因為a<b,所以a<O<b.

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.某校對高一劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高

于380分，體育成績z超過45分，用不等式組表示為()

-295,I卜295,

止380,B-y>380,

1

.z>45、z245

x>95,產(chǎn)95,

y>380,D.<y>380,

lz>45

招45

答案D

解析無不低于95分，是x295；y高于380分，是y>380；z超過45分，

是z>45.

2.若a<*0,則下列不等式不能成立的是()

A.->|B.2a>2b

ab

c.\a\>\h\D?》曲

答案B

解析:av/j,丫=2工單調(diào)遞增，二2"<2。.故選B.

3.如果a,b,c滿足c<b<a,且ac<0,那么下列選項中不一定成立的是()

A.ab>acB.bc>ac

C.cb1<ab1D.ac(〃-c)<0

答案C

解析c<b<a,且ac<09〃>0,c<0.

.\ah—ac=a(b—c)>09bc—ac=(b—a)c>0,ac(a—c)<0,A,B,D均正確.

?1b可能等于0,也可能不等于0.

.?.仍2<0。2不一定成立.故選C.

4.某品牌彩電廠家為了打開市場，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對生產(chǎn)的某種型號的彩

電降價銷售，現(xiàn)有4種降價方案：

(1)先降價“％，再降價b％;

(2)先降價。％,再降價。％；

(3)先降價4"％；再降陪線；

(4)一次性降價(a+/?)%,其中a>0,b>0,a#b.

上述方案中，降價幅度最小的是()

A.方案(1)B.方案(2)C.方案(3)D.方案(4)

答案C

解析設(shè)該品牌彩電的原價為“1”，降價后的彩電價格依次為XI,X2,X3,X4,

則X1=(1-O%)(1-/?%),X2=(l—a%),

.?.xi=X2否定A,B.

光3=(1—W"%),X4=l—(?+/?)%,X3—X4=*(a+8)%F〉O.故降價幅度最小

的是C.

二、填空題

5.用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m,要

求菜園的面積不小于216m2,靠墻的一邊長為xm,其中的不等關(guān)系可用不等式

(組)表示為.

’0318,

答案'(X)、

415-]戶216

解析由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm,而墻長為18m,.,.0<xW18,

30—Xr

這時菜園的另一條邊長為萬一=15—宗

.,.菜園面積S=x(15一牙，依題意S2216,

即x(15216,

。4W18,

，題中的不等關(guān)系用不等式組表示為(X、

x[1512216.

6.b克糖水中有a克糖3>a>0),若再添上m克糖(〃2〉0),則糖水就變甜了,

試根據(jù)此事實提煉一個不等式：.

a+〃?a

答案

b+n「b

..a+〃?a(”十加)上一。3+加)(b—a)m.a+〃za

'b+mb{b-\-m)b(Z?+〃z)/?>°''b+ir^b'

ba-b

7.若規(guī)定—ad—bc(a,bgR?a卉6),則

db

(填=”或"V")

答案＞

解析

a~haa

/+凡=ab~(-ab)=

bbb

Zab,

a~ba-a

a1+〃2—2ab=(a—6)2.

bbb

a-ba-a

???aW6,???(a-6)2>0,,?.>

bbb

三'解答題

8.已知a>0,b>0,aWb,且〃22,比較a"+〃與曖一環(huán)+""一|的

大小.

解(a"+b")一(a"-1。1)=a"」(a—b)+護(hù)-1(b—a)=(a—b)(a"-1—護(hù)-1),

①'?當(dāng)a>b>0時，an~l>lf~l,，(a—b)(a"」一〃r)>0；

②;?當(dāng)OVaV。時，〃-I：.(a-bXany-bn~')>Q；

對任意a>0,b>0,aWb,總有(。一份3廠1—〃廠|)>0..,.a"+b">a"-%+

abnx.

9.若X<y<0,試比較(W+V)。-y)與(/—y2)(x+y)的大小.

解(f+j2)。一y)—(f—v)(x+y)

=(^+/)(x-y)-(x-y)(x+^)2

二(x—y)[(/+V)—(x+yA]

=-2xy(x—y).

\'x<y<09/.%—y<0,肛>0,

/.—2x)<0,—2xy(x—y)>0,

即a2+y2)(x-y)>a2-y2)(x+y).

10.某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)，需包車前往.甲車隊說：“如領(lǐng)隊買

全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”，乙車隊說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的

8折優(yōu)惠”.這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩

車隊的收費哪家更優(yōu)惠.

解設(shè)該單位職工有八人(〃￡N