高中數(shù)學(xué)：8-5空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（學(xué)案）

第05講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.初步掌握空間直線與直線，直線與平面、平面與

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會用三種語言表示

平面的位置關(guān)系的條件.

直線與直線、直線與平面、平面與平面之間

2.掌握異面直線所成角的范圍.會求異面直線所成

的位置關(guān)系，能判斷出空間直線與直線，直

的角.

線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，會求民

3.能用定義判斷兩個(gè)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系.

面直線所成的角，能用平面幾何的解題策略

4,會用圖形語言、符號語言表示直線與平面、平面

解決空間幾何的問題.

與平面之間的位置關(guān)系.

趣知識精講

知識點(diǎn)

異面直線所成的角

1.兩條異面直線所成的角的定義

如圖，已知兩異面直線a,h,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O,分別作直線"〃a,b'//h,相交直線〃,

〃所成的銳角(或直角)叫做異面直線。與〃所成的角(或夾角).

(1)在定義中，空間一點(diǎn)。是任取的，根據(jù)等角定理，可以判定〃所成的角的大小

與點(diǎn)O的位置無關(guān).為了簡便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上.

(2)研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，即把求空間角

問題轉(zhuǎn)化為求平面角問題，這是研究空間圖形的一種基本思路.

2.異面直線所成的角的范圍

異面直線所成的角必須是銳角或直角，則這個(gè)角a的取值范圍為0<a?90.

3.兩條異面直線垂直的定義

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直

的異面直線a,6,記作aLb.

4.構(gòu)造異面直線所成角的方法

（1）過其中一條直線上的已知點(diǎn)（往往是特殊點(diǎn)）作另一條直線的平行線；

（2）當(dāng)異面直線依附于某幾何體，且直接平移異面直線有困難時(shí)，可利用該幾何體的特

殊點(diǎn)，將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)；

（3）構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來平移直線.注意，若求得的角為鈍角，則兩異面直線

所成的角應(yīng)為其補(bǔ)角.

5.求兩條異面直線所成的角的步驟

（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條，使其成為相交直線；

（2）證明：證明作出的角就是要求的角；

（3）計(jì)算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識）；

（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是

鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.

空間中直線與平面的位置關(guān)系

1.直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：

①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；

②直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

③直線與平面平行——沒有公共點(diǎn).

直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.

2.直線與平面的位置關(guān)系的符號表示和圖形表示

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)

直線。在平面

aGa有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

a內(nèi)

直線。與平面有且只有一個(gè)公

aQa=A

a相交共點(diǎn)

\

直線a與平面--a

a沒有公共點(diǎn)

a平行//

3.直線和平面位置關(guān)系的分類

（1）按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類：

直線和平面相交一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線和平面平行一沒有公共點(diǎn)

直線在平面內(nèi)一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)按是否平行分類:

直線與平面平行

直線與平面相交；

直線與平面不平行

直線在平面內(nèi)

(3)按直線是否在平面內(nèi)分類:

直線在平面內(nèi)

直線和平面相交.

直線不在平面內(nèi)(直線在平面外)

直線和平面平行

平面與平面之間的位置關(guān)系

1.兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系

兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：

(1)兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)；

(2)兩個(gè)平面相交——有一條公共直線.

2.兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系的圖形表示和符號表示

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)

兩個(gè)平面平行//無

%__/

斜交a=a有一條公共直線

兩個(gè)平三

面相交a

/--------7a-B,

垂直?a/有一條公共直線

J—/aA/3=a

3.兩個(gè)平行平面的畫法

畫兩個(gè)平行平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對應(yīng)邊平行，且把這兩個(gè)平行四

邊形上下放置.

【即學(xué)即練1】1.已知a,夕為不同的平面，a,b,c為不同的直線，則下列說法正確的是

()

A.若〃ua,buB,則。與b是異面直線B.若a與6異面，人與c異面，則a與c異面

C.若a,b不同在平面a內(nèi)，則a與方異面D.若a,〃不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則。與6

異面

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用直線和平面的位置關(guān)系和異面直線的定義判斷A、B、C、D的結(jié)論.

【詳解】

已知a,夕為不同的平面，a,b,c為不同的直線，

對于A：若aua,bu§,則a與b是異面直線或平行直線或相交直線，故A錯(cuò)誤；

對于B：若。與b是異面直線，b與。是異面直線，則。與c也可能是異面直線或平行直線，

故B錯(cuò)誤；

對于C：若。，b不同在平面a內(nèi)，則。與人是異面直線或平行直線或相交直線，故C錯(cuò)誤；

對于D：根據(jù)異面直線的定義，若。，b不同在任何一個(gè)平面a內(nèi)，則。與b是異面直線，

故D正確.

故選：D

【即學(xué)即練2】在正方體ABC。一44GA中，AR與80所成的角為（）

A.45B90

C60D120

【答案】C

【解析】如圖，連接8G、DC\,

在正方體ABC0-4BCQI中，由A8=￡）Q,AB//D1C1,可知

所以/QBCi就是異面直線AD\與BD所成的角，

在正方體48cA4BC1A中，BCi、8。和。。是其三個(gè)面上的對角線，它們相等.所以△

08G是正三角形，/DBO60。，故異面直線4。與8Q所成角的大小為60。.故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角及其求法，解決該類題目的基本思路是化空間角為

平面角.求解時(shí)，通過平移直線作出異面直線與8。所成的角，在三角形中即可求得.

【即學(xué)即練3】平面a上有不共線的三點(diǎn)到平面夕的距離相等，則a與夕的位置關(guān)系為

()

A.平行B.相交

C.平行或相交D.垂直

【答案】C

【解析】由題意，若三點(diǎn)分布在平面尸的同側(cè)，此時(shí)平面a〃平面￡；

若三點(diǎn)分布于平面夕的兩側(cè)時(shí)，此時(shí)平面a與平面夕相交，

綜上可知，平面a與平面尸平行或相交，故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中平面的位置關(guān)系的判定，其中根據(jù)三點(diǎn)在平面夕的同

側(cè)和異側(cè)，分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練4】如圖,在正四棱柱ABCD-AIBICIDI中，E、F分別是ABi、BCi的中點(diǎn),

則以下結(jié)論中不感目的是（填序號）.

①EF與BBi垂直；②EF與BD垂直：③EF與CD異面：④EF與AC異面.

【答案】④

【解析】

【分析】

觀察正方體，連8/C,則8/C交8。于F且尸為8。中點(diǎn)，可得EF〃AC,所以

分析可得答案.

連8/C,則8/C交8。于尸且尸為8。中點(diǎn)，三角形8泊C中E/〃AC,并且EF=gAC,

所以￡尸〃平面ABCQ,而8山_1_面ABCD,

所以EF與88/垂直；

又AULBD,所以EF與8。垂直，EF與CQ異面.

故④不成立.

故答案為④

【點(diǎn)睛】

本題考查了異面直線的判斷以及直線與直線垂直的判定，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于

基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練5】已知A,B,C表示不同的點(diǎn)，/表示直線，a,￡表示不同的平面，則下列推

理錯(cuò)誤的是（填序號）.

①/ua；

②Aca、Aw/3,Bea、Bc[}=a[3-AB-

③Ace,Ac夕na/3=A.

【答案】③

【解析】

【分析】

由點(diǎn)線、點(diǎn)面關(guān)系，根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷點(diǎn)面、線面關(guān)系即可.

【詳解】

①由A,8表示不同的點(diǎn)，A,Be/且A,Bea,即有/ua,故正確；

②由A,B表示不同的點(diǎn)，ABea且A,3e〃，即有a。=AB,故正確；

③由A撾％4￡,則Aeac￡,即＜zc0為經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線而不是點(diǎn)A,故aI/=A

錯(cuò)誤.

故答案為：③

【即學(xué)即練6】下列命題中，真命題的序號為.

①若兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合；

②若兩個(gè)平面相交，則分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也相交；

③若一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面平行.

【答案】③

【解析】

【分析】

命題①：從兩個(gè)平面交于直線入手，進(jìn)行判斷是否正確；

命題②：從是否能平行或者異面入手，進(jìn)行判斷是否正確；

命題③，根據(jù)面面平行的定義入手，進(jìn)行判斷是否正確.

【詳解】

兩個(gè)平面相交時(shí)也有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故①為假命題；兩個(gè)平面相交，分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩

條直線可以相交、異面、平行，故②為假命題；由平面平行的定義可知③為真命題.

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面的位置關(guān)系，分類討論、運(yùn)用定義是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練7】如圖，若尸是；ABC所在平面外一點(diǎn)，PAKPB,PN1AB,N為垂足.M為

AB的中點(diǎn)，求證：PN與MC為異面直線.

【答案】見解析

【解析】

根據(jù)點(diǎn)和直線、點(diǎn)和平面的位置關(guān)系,可證明CMu平面ABC,Ne平面ABC,而NeCM,即

可證明直線PN與MC為異面直線.

【詳解】

證明：必工尸為垂足是A8的中點(diǎn)，

...點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合

Ne平面ABC.P生平面ABC,CMu平面ABC,NiCM

由異面直線的判定定理可知，直線PN與MC為異面直線

【點(diǎn)睛】

本題考查了異面直線的判定，點(diǎn)和直線、點(diǎn)和平面的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.

Q能力拓展

考法01

空間兩直線的位置關(guān)系的判斷

空間兩直線的位置關(guān)系有平行、相交、異面三種情形，因此對于空間兩直線位置關(guān)系的

判斷，應(yīng)由題意認(rèn)真分析，進(jìn)而確定它們的位置關(guān)系.

【典例1】如圖，在正方體中，M、N分別為梭CiQi、CC的中點(diǎn)，

有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CG是相交直線；②直線AM與8N是平行直線；③直線

BN與MB是異面直線；④直線AM與。A是異面直線.其中正確的結(jié)論為

A.③④D.②④

【答案】A

【解析】M、C、G四點(diǎn)不共面，直線A例與CG是異面直線，故①錯(cuò)誤;

同理，直線AM與8N也是異面宜線，故②錯(cuò)誤；同理，直線8N與M田是異面直線，故③

正確；

同理，直線AM與。d是異面直線，故④正確.故選A.

【方法技巧】判定或證明兩直線異面的常用方法：

1.定義法：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

2.定理法：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.

3.推論法：一條直線上兩點(diǎn)與另一條與它異面的直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直

線.

4.反證法：證明立體幾何問題的一種重要方法.

證明步驟有三步：第一步是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步是由此假設(shè)推出與已知條件

或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步是推翻假設(shè)，從

而原命題成立.

【典例2］已知A是所在平面外的一點(diǎn)，E.F分別是5C,AO的中點(diǎn)，

(1)求證：直線EF與80是異面直線；

(2)若AC=BD,求EF與BO所成的角.

【解析】本題考點(diǎn)反證法證明異面直線，異面直線所成的角.

(1)證明：假設(shè)E尸與8。不是異面直線，則EF與8。共面，從而。尸與8E共面，即與

8c共面，所以A、3、C、。在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾.故

直線E尸與8。是異面直線.

(2)取C。的中點(diǎn)G,連接EG、FG,貝EG〃8O,所以直線與EG所成的角即為異面直

線EF與8。所成的角.在RtZXEG/中，由EG=FG=J_AC,可得/PEG=45。，即異面直

2

線EF與所成的角為45。.

【典例3】在正方體48CC-ABCR中，判斷下列直線間的位置關(guān)系:

①A3與；

②4B與耳C；

③。。與CE（E為GQ的中點(diǎn)）；

④AB與BC.

【答案】平行異面相交異面

【解析】

【分析】

根據(jù)空間中線線位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】

①在接\B與D,C,因?yàn)樵谡襟wABCD-AB￡R中，

BC//A〃且8C=AA,所以四邊形ABCD,為平行四邊形,

因此AB//RC；

②連接AC,BQ,由①知，AB/RC,

又A8Z平面BCR,CD,c平面B,CD,,

所以AB〃平面BCR,又B,Cu平面BC。,

所以AB與8c無交點(diǎn),且4田與8。不平行，

所以40與8c異面；

③連接CE,因?yàn)镃E與共面，且CE與。。不平行,

所以。。與CE相交；

④因?yàn)樵谡襟wABCO-ABCR中，

A3i平面ABCD,Cw平面ABCD,用《平面ABCD.

所以48與8c異面.

故答案為：①平行；②異面；③相交；④異面.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間中線線位置關(guān)系的判斷，屬于常考題型.

考法02

兩異面直線所成的角

通過平移直線至相交位置求兩條異面直線所成的角，是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，也是立

體幾何問題的一個(gè)難點(diǎn).

【典例4】如圖，在正方體4BCD-ABCQ中，E、尸分別是。0c上靠近點(diǎn)。的三

等分點(diǎn)，則異面直線EF與AG所成角的大小是.

【答案】60

【解析】

【分析】

連接CA，可得出EF〃CR,證明出四邊形ABCA為平行四邊形，可得A3//CR,可得出異

面直線所與AG所成角為NBAG或其補(bǔ)角，分析&418G的形狀，即可得出NBAG的大小,

即可得出答案.

【詳解】

DEDF1

連接C。、43、g,—-=—=-;.EFHCD^

X-Xx---Lzf

在正方體ABCO-ABCQ中，\DJJAD,AD/^BC,：.A.D^BC,

所以，四邊形ABC。為平行四邊形，.?.4B〃C。，

所以，異面直線“與AG所成的角為NA41G.

易知AA|BG為等邊三角形，=60.

故答案為：60.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用平移直線法，選擇合適的三角形求解，考查計(jì)算

能力，屬于中等題.

【典例5】如圖，四棱錐P-ABCD中，ZABC=NB4O=90，BC=2AD,△PAB和

△PAD都是等邊三角形，則異面直線CO和尸3所成角的大小為

A.90B.75C.60D.45

【答案】A

【解析】設(shè)4)=1，則BC=2,過A作AE〃CD,則AD=CE,過E作EF〃PB，則

NA所或其補(bǔ)角即為異面直線CD和PB所成的角,如圖所示，過F作FG//CD，連接AG，

則四邊形AEFG是梯形，其中尸G〃AE,EF=-PB=-,AG=—,AE>FG過G作

222

GH//EF,則NG〃4=NA砂，

在/\GHA中，GH=EF^-,AH=AE-FG=y/2--=—,AG=—，則

2222

AG2=GH2+AH\所以NA￡E=90，故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間中異面直線所成角的求解，

其中根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，把空間中異面直線CD和所成的角轉(zhuǎn)化為平面角

ZAEF，放置在三角形中，利用解三角形的知識求解是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)

化與化歸思想和學(xué)生的推理、運(yùn)算能力，試題屬于基礎(chǔ)題.

考法03

直線與平面的位置關(guān)系

空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的

方法解決.

【典例6］已知平面a和直線/,則在平面a內(nèi)至少有一條直線與直線/()

A.平行B.垂直C.相交D.以上

都有可能

【答案】B

【解析】本題的考點(diǎn)是直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，若直線/與平面a

相交，則在平面a內(nèi)不存在直線與直線/平行，故A錯(cuò)誤；若直線/〃平面a,則在平面a

內(nèi)不存在直線與/相交，故C錯(cuò)誤；對于直線/與平面a相交，直線/與平面a平行，直線

/在平面a內(nèi)三種位置關(guān)系，在平面a內(nèi)至少有一條直線與直線/垂直，故選B.

【典例7】下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是()

①如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面相交，那么另一條直線也與這個(gè)平面相交；

②經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線有一個(gè)平面與另一條直線平行；

③已知兩條相交直線，其中一條與一個(gè)平面平行，則另一條一定與這個(gè)平面平行；

④分別與兩條異面直線平行的兩條直線是異面直線.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

借助長方體依次判斷即可得到答案.

【詳解】

易知①正確，

對②，如圖所示:

b//a,故②正確;

對③，如圖所示:

b與a相交，故③錯(cuò)誤;

對④，如圖所示:

b//d,此時(shí)c和d相交，故④錯(cuò)誤.

故選：c

【典例8】若直線aUa,則下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是（）

①a內(nèi)的所有直線與a異面；②a內(nèi)的直線與“都相交；③a內(nèi)存在唯一的直線與a平

行；④a內(nèi)不存在與a平行的直線.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】；直線aZa,或如圖，顯然①②③④都有反例，.?.應(yīng)選A.

【名師點(diǎn)睛】判斷一個(gè)命題是否正確要善于找出空間模型（長方體是常用的空間模型），另

外，考慮問題要全面，即注意發(fā)散思維.

考法04

平面與平面的位置關(guān)系

判斷兩平面之間的位置關(guān)系時(shí)，可把自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，搞清圖形間的相對位置

是確定的還是可變的，借助于空間想象能力，確定平面間的位置關(guān)系.

【典例9】已知a,夕是兩個(gè)不重合的平面，下面說法正確的是

A.平面a內(nèi)有兩條直線a,匕都與平面夕平行，那么a〃夕

B.平面a內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面夕，那么a〃夕

C.若直線a與平面a和平面夕都平行，那么a〃夕

D.平面a內(nèi)所有的直線都與平面￡平行，那么a〃夕

【答案】D

【解析】不能保證a,1無公共點(diǎn).如圖:

故A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

當(dāng)a〃a,“〃”時(shí)，a與￡可能相交.如圖:

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

平面a內(nèi)所有直線都與平面夕平行，說明a,A一定無公共點(diǎn)，則a〃從故D選項(xiàng)正確.

【名師點(diǎn)睛】兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：平行和相交.判斷兩個(gè)平面之間的位

置關(guān)系的主要依據(jù)是兩個(gè)平面之間有沒有公共點(diǎn).解題時(shí)要善于將自然語言或符號語言轉(zhuǎn)換

成圖形語言，借助空間圖形作出判斷.

易錯(cuò)提示：

1.忽略異面直線所成的角的范圍致誤

【典例11］如圖，已知空間四邊形ABC。中，AD=BC,M,N分別為AB,CO的中點(diǎn)，且

直線8c與所成的角為30。，求BC與A。所成的角.

【錯(cuò)解】如圖，連接80，并取中點(diǎn)E,連接EN,EM,則EN〃BC,ME//AD,

故NRVM為8c與MN所成的角，NMEN為BC與所成的角，

NENM=30°.

又由A￡>=8C,知ME=EN,

：.NEMN=NENM=30。,

二AMEN=180°-30°-30°=120°.

即BC與AC所成的角為120°.

【錯(cuò)因分析】在未判斷出NMEN是銳角或直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩異面直

線所成的角，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角a的取值范圍是0<a<90，如果/MEN為鈍角，

那么它的補(bǔ)角才是異面直線所成的角.

【正解】以上同錯(cuò)解，求得NMEN=120。，即8c與4。所成的角為60。.

【誤區(qū)警示】求異面直線所成的角的時(shí)候，要注意異面直線所成的角a的取值范圍是

0<tz<90.

2.對直線與平面相交的概念理解不透徹致誤

【典例12］己知：直線?！╞,an平面a=P,求證：直線6與平面a相交.

【錯(cuò)解】如圖，因?yàn)閍〃b,所以a,〃確定一個(gè)平面，設(shè)該平面為人

因?yàn)閍Cl平面a=P,所以Pda,PGa,

所以PC仇即點(diǎn)P為平面a與6的一個(gè)公共點(diǎn)，

由此可知a與4相交于過點(diǎn)P的一條直線，記為c,即an/?=C.

在平面夕內(nèi)，a//b,aC\c=P.

由平面幾何知識可得人與。也相交，設(shè)〃fk=Q,則Qe8,QwC.

因?yàn)閏ua,所以。ea,所以直線b與平面a相交.

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中對直線與平面相交的概念理解不透徹，誤認(rèn)為直線和平面相交就是直線

和平面有一個(gè)公共點(diǎn).

【正解】因?yàn)樗詍6確定一個(gè)平面，設(shè)該平面為人

因?yàn)?I平面a=P,所以平面a與夕相交于過點(diǎn)P的一條直線，記為c,

因?yàn)樵谄矫妗皟?nèi)，c和兩條平行直線m〃中的?條直線。相交，所以c必和6相交，設(shè)交

點(diǎn)為Q,即”lc=Q.

乂直線b不在平面a內(nèi)（若b在平面a內(nèi)，則a與0過兩相交直線b和c,因此a與尸重合,

則。在a內(nèi)，與已知矛盾），所以直線8與平面a相交.

【名師點(diǎn)睛】直線與平面相交，要求直線與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即直線與平面有一個(gè)

公共點(diǎn)且直線不在平面內(nèi)，也就是直線既不與平面平行，又不在平面內(nèi).

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.若。，〃為兩條異面直線，a,夕為兩個(gè)平面，aua,bu/3,a\/3=l,則下列結(jié)論

中正確的是（）

A./至少與a,6中一條相交

B./至多與a,6中一條相交

C./至少與a,〃中一條平行

D./必與a,6中一條相交，與另一條平行

【答案】A

【解析】

【分析】

此種類型的題可以通過舉反例判斷正誤.

【詳解】

因?yàn)閍,b為兩條異面直線且“ua,bufi,a〃=/,所以a與/共面，b與/共面.

若/與。、方都不相交，則a〃/,b//1,a//b,與a、b異面矛盾，故A對；

當(dāng)。、。為如圖所示的位置時(shí)，可知/與“、b都相交，故B、C、D錯(cuò).

2.如圖，A8CD-A/B/G。/是正方體，E,F,G,H,M,N分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.G”和MN是平行直線；GH和EF是相交直線

B.GH和是平行直線：MN和EF是相交直線

C.GH和MN是相交直線；GH和E尸是異面直線

D.G”和EF是異面直線；和EF也是異面直線

【答案】B

【解析】

【分析】

結(jié)合平行直線、異面直線、相交直線的知識判斷出正確選項(xiàng).

【詳解】

VGHHAiB,而A/B//O/C,:.GHUDC又MNHDiC,J.GHHMN.

由異面直線的定義可知，GH與EF異面.

延長EF,MN,二者可以相交，故與MN為相交直線.

故選：B.

3.如圖，在直三棱柱48C-AAG中，。為4片的中點(diǎn)，AB=BC=2,BB『1,AC=26,

則異面直線8。與AC所成的角為（)

C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】

取BC的中點(diǎn)E,連接易得NBDE（或其補(bǔ)角）為異面直線BD與AC所成的角,

進(jìn)而求其大小即可.

【詳解】

如圖，取的中點(diǎn)E,連接BE,DE,則AC//A.CJ/DE,則ZBDE（或其補(bǔ)角）即為異

面直線5。與AC所成的角.

由條件知：BD=DE=EB=6，則N8￡)E=60。,

故選：C.

4.如圖，三棱柱ABC-A4G中，底面三角形A4G是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列

敘述正確的是（）

A.直線CG與直線是異面直線B.直線eq與直線AE是共面直線

C.直線AE與直線8c是異面直線D.直線AE與直線是共面直線

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)異面直線的判定定理求解即可.

【詳解】

由于CG與與E均在平面BCC蜴內(nèi)，不是異面直線，故A錯(cuò)誤；

CGc平面ABC=C,Afu平面A8C,點(diǎn)C不在直線AE■上，所以和AE是異面直線，

故B錯(cuò)誤；

他c平面BCGB|=E,B￡u平面BCG耳，點(diǎn)E不在直線與G上，則AE與是異面

直線，故C正確；

AEc平面BCGA=E,B、Bu平面BCC圈，點(diǎn)E不在直線用3上，則AE與B避是異面直

線，故D不正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：判斷兩條直線是否為異面直線，第一兩條直線平行或相交，則兩條直線共面，第

二若一條直線與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面

直線，這是判斷兩條直線是異面直線的方法，要根據(jù)題目所提供的線線、線面關(guān)系準(zhǔn)確的做

出判斷.

5.下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①如果兩條平行直線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條也和這個(gè)平面相交；

②一條直線和另一條直線平行，它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行；

③若直線。在平面a外，則a〃a.

A.0B.I

C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用模型可判斷①的正誤；利用線面的位置關(guān)系可判斷②的正誤；利用線面位置關(guān)系的定義

可判斷③的正誤.

【詳解】

在正方體ABCD-ABCR中，

AA與平面ABC。相交，則與平面45CD相交，①正確；

若兩條直線平行，則它們共面，因此這條直線可能在經(jīng)過另一條直線的平面內(nèi)，故②不正確;

對于③，包括兩種情形，直線W/a或直線。與。相交，故③不正確.

故選：B.

6.若直線“與平面a不垂直，則平面a內(nèi)與直線。垂直的直線有（）

A.0條B.1條C.無數(shù)條D.不確定

【答案】C

【解析】

【分析】

若直線a與平面a不垂直，有三種情況：直線平面a,直線au平面a,直線a與平面a

相交但不垂直，分別研究這三種況下，在平面a內(nèi)與直線。垂直的直線的條數(shù)，能夠得到結(jié)

果.

【詳解】

解：若直線。與平面a不垂直，

當(dāng)直線a〃平面a時(shí)，在平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與直線a是異面垂直直線；

當(dāng)有線au平面a時(shí)，在平面a內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線a相交且垂直；

直線。與平面a相交但不垂直，在平面a內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線。垂直.

二若直線a與平面a不垂直，那么在平面a內(nèi)與直線a垂直的直線有無數(shù)條.

故選：C.

7.設(shè)加、〃是兩條不同的直線，a是平面，/、”不在a內(nèi)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.mA-a,n//a,則加_L〃B.mA.a,nA.a,則

C.mVa,m±n,則〃〃aD.mVn,nlla,則

【答案】D

【解析】

利用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；由線面垂直的性質(zhì)定理

可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)已知條件判斷直線〃與平面a的位置關(guān)系，可判斷C選項(xiàng)的正

誤；根據(jù)已知條件判斷直線與平面口的位置關(guān)系，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對于A,■,〃〃a,由線面平行的性質(zhì)定理可知，過直線〃的平面乃與平面a的交線/平行于〃，

.m±a,Icza,,:.mln,故A正確；

對于B,若機(jī)_La,nla,由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得W/〃，故B正確；

對于C,若加_La,mLn,則〃〃a或〃ua,乂〃<xe,nlla,故C正確；

對于D,若nz_L”，nlla,則或m與a相交或機(jī)ua,

而則“?〃口或機(jī)與a相交，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：對于空間線面位置關(guān)系的組合判斷題，解決的方法是“推理論證加反例推斷“，即

正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明，錯(cuò)誤的結(jié)論需要通過舉出反例

說明其錯(cuò)誤，在解題中可以以常見的空間兒何體（如正方體、正四面體等）為模型進(jìn)行推理

或者反駁.

8.如圖，在四面體ABCD中，E,尸分別是AC與8力的中點(diǎn)，若CD=2AB=4,EFLBA,則

EP與C￡>所成的角為（）

A

A.90°B.45°C.60°D.30°

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)G為AQ的中點(diǎn)，連接GF,GE,由:角形中位線定理可得GE/3,GE^CD,則/GFE

即為EF與C￡＞所成的角，結(jié)合48=2,CD=4,EFVAB,在aGE尸中，利用三角函數(shù)即可

得到答案.

【詳解】

解：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接G凡GE

貝!]GF,GE分別為△AB。，△AC。的中線.

GF/AB,且G/=gAB=l,GE^CD,且GE=；CD=2,則E尸與CD所成角的度數(shù)等于

￡廠與GE所成角的度數(shù)

XEF1AB,GF^AB

/.EFLGF

則AGE尸為直角三角形，GF=1,GE=2,ZGFE=90°

：.在直角△GEF中，s譏NGEF=，

NGEF=30°.

9..已知平面a外不共線的四點(diǎn)AB,C,。到平面a的距離都相等，則正確的結(jié)論是

()

A.平面ABCD必與平面a平行

B.平面A8C。必與平面a相交

C.不存在滿足條件的平面A3C。

D.存在*4?。的一條中位線平行于平面或在平面內(nèi)

【答案】D

【解析】

根據(jù)點(diǎn)與面的位置關(guān)系，結(jié)合題意，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

c￡o.

圖1圖加

如圖1所示，在正方體A網(wǎng)A-DCC.D,中，

分別取A。，BC,B￡,A2的中點(diǎn)產(chǎn)，

E，H,G,將平面EFG”看作是平面口,則AB,C,。四點(diǎn)到平面a的距離相等，

此時(shí)平面ABCO與平面a相交，存在的一條中位線在平面a內(nèi)，

故A,C錯(cuò)誤；

如圖2所示，在正方體A8C￡>-4gGA中，分別取M，BB、,CC,,DQ的中點(diǎn)

F,G,H,E,將平面EFG”看作是平面a,

則AB,C,。四點(diǎn)到平面a的距離相等，

此時(shí)平面ABCO與平面心平行，的三條中位線都平行于平面a,

故8錯(cuò)誤.

綜上所述，只有。正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中點(diǎn)與面，面與面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題：本題中，繪制示意圖來說明問題,

是一種很好的方法.

10.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①平面a與平面/?,7都相交，則這三個(gè)平面有2條或3條交線

②兩個(gè)平面平行，各任取兩平面內(nèi)的一條直線，它們不相交；

③直線a不平行于平面a,則a不平行于a內(nèi)的任何條直線；

④如果a//，alia,那么a〃￡.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

三個(gè)平面有可能相交于一條直線，則①錯(cuò)誤；

兩個(gè)平面平行，則兩平面沒有公共點(diǎn)，各任取兩平面內(nèi)的一條直線也沒有公共點(diǎn)，則②正確;

當(dāng)直線a在平面a內(nèi)時(shí)，平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與直線“平行，則③錯(cuò)誤；

當(dāng)直線。在平面夕內(nèi)時(shí)，也有a〃￡,alia,則④錯(cuò)誤.

【詳解】

①錯(cuò)誤，平面a與平面夕，/都相交，則這三個(gè)平面有可能有2條或3條交線，還有可能只

有1條交線.

②正確，兩平行平面無公共點(diǎn)，任取的直線也無公共點(diǎn)，即不相交.

③錯(cuò)誤，直線a不平行于平面a,則。有可能在平面a內(nèi)，此時(shí)可以與平面內(nèi)無數(shù)條直線平

行.

④錯(cuò)誤，如果a〃夕，alia,那么a〃"或6

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面與平面，直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

11.下圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形A8CD為正方形，"DC,\PBC,ARAB,

APD4為全等的等邊三角形，E、F分別為以、戶。的中點(diǎn).在此幾何體中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的

為

A.直線8E與直線C尸共面B.直線酩與直線A尸是異面直線

C.平面BCEJ_平面24。D.面PAD與面PBC的交線與8c平行

【答案】C

【解析】

【詳解】

由題意可知，A,直線BE與直線CF共面，正確，

因?yàn)镋,F是PA與PD的中點(diǎn)，可知EF〃AD,

所以EF〃BC,直線BE與直線CF是共面直線；

B,直線BE與直線AF異面；滿足異面直線的定義，正確.

C,因?yàn)?PAB是等腰三角形，BE與PA的關(guān)系不能確定，所以平面BCEJ_平面PAD,不

正確.

D,：AD〃BC,，AD〃平面PBC,...面PAD與面PBC的交線與BC平行，正確.

故答案選C.

12.已知在空間四邊形ABC。中，NAC〃=N8DC=90。，且4?=2,CD=\,則A8與8

所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】

/.?ABCD

先利用已知條件計(jì)算ABCD，再利用cos[AB,CD）=,..,計(jì)算項(xiàng)與8所成角的余弦

值，然后確定角度.

【詳解】

根據(jù)已知ZACD=NBDC=90°,得4cCO=DBCD=0，

AB.CD=[AC+CD+DB\CD=ACCD+\CC^+DBCD=\,

;.cos(AB,CQ)=ABCD

HR2，

...Aa與CD所成的角為60。.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線夾角的計(jì)算，較容易，轉(zhuǎn)化為求向量間的夾角計(jì)算即可.

題組B能力提升練

1.正方體ABC。-ABCA中，M、N分別為A。、AC上的點(diǎn)，且滿足4。=3加￡）,

AN=2NC,則異面直線MN與G0所成角的余弦值為（）.

A.立B.立C.述D.在

5453

【答案】C

【解析】

取AD上一點(diǎn)E,使AE=2￡D,結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征可得NE〃C￡>,進(jìn)而可得NE〃CQ,

FN

所以*E為異面直線.與3所成角，在HMNEN，。。辦3曲,即可求解.

【詳解】

取線段A0上一點(diǎn)E,使AE=2ED,連接ME,NE,如圖所示,

MDCNDE1

因?yàn)?AN=2NC,所以二7；=言=赤=不

ZliDZBZB

所以NE//CD,ME//AAt,又因?yàn)镃D//CR,

所以NMNE為異面直線MN與CR所成角，

21

設(shè)該正方體的棱長為3”，則￡W=§C￡>=2a,ME=-AAt=a,

所以在RtAMNE中，MN=y]ME2+EN2=荷+（2前=島,

所以cosNMNE=里=半=還,

MN&5

故選：C

【點(diǎn)睛】

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問

題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

（I）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,^,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)

角作為兩條異面直線所成的角.

2.（多選題）在正方體A88-44GA中，E,尸分別是A￡?，C2的中點(diǎn)，。為正方形ABCD

的中心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.直線ER。。是異面直線且

B.直線0。,與B是異面直線且OD、#B、B

C.直線E￡0A是相交直線且=

D.直線0。,片B是相交直線且OR=旦3

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)題意畫出圖象，再判斷防和的位置關(guān)系和長度，。烏和B中的位置關(guān)系和長度即

可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意畫出圖像如圖所示，

由圖像易知,0汁和aB在矩形8BQQ匕

和與B是相交直線，且。。*與8,故選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤;

。為正方形A8CZ）的中心，E為AO的中點(diǎn)，

所以O(shè)E〃CD,且OE=lc。，

2

又點(diǎn)尸為GR的中點(diǎn)，所以。尸〃C。，且AF=gc。，

所以。E〃RF,且OE=RF,四邊形OER尸是平行四邊形,

則EF和。。是-OED、F的兩條對角線，

所以E尸和OR是相交直線，F(xiàn)l.EF=ODt.

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確.

故選：ABD.

3.（多選題）如圖ABC。-481GA為正方體，下列說法中正確的是（）

A.三棱錐A-4CR為正四面體

B.8。與A"互為異面直線且所成的角為45

C.A。與A,8互為異面直線且所成的角為60

D.AA與8a互為異面直線且所成的角為90

【答案】ACD

【解析】

根據(jù)三棱錐瓦-ACR各條棱相等即可判斷A；連接BCt,可知BC與BtC所成角即為B,C4

A。所成角，求出即可判斷B；可知乙4RC即為AA與AB所成角，求出可判斷C；由懼

平面A4CQ可判斷D.

【詳解】

對于A,因?yàn)槿忮F鳥-ACR的各條棱都是正方體表面正方形的對角線，即各條樓相等，

故三棱錐4-AC"為正四面體，故A正確；

對于B,連接BG，可知在正方體中，ABCD^C^,所以四邊形ABGR是平行四邊形，所

以BGPA0,因?yàn)锽Q，gC,故異面直線與AR所成角為90,故B錯(cuò)誤；

H

對于C,由圖可得A。與AB互為異面直線，連接4田，易得四邊形48cA是平行四邊形，

則ABPCR,則ZARC即為所成角，由-ARC是等邊三角形可得NAqc=60，故C正確;

對于D,由圖可知AA,與4。互為異面直線，因?yàn)樵谡襟w中，A4,，平面AgGR，且BQU

平面A