2025年高考數(shù)學一輪復習-8.2-空間點、直線、平面之間的位置關系【課件】

8.2空間點、直線、平面之間的位置關系【課程標準】1.借助長方體,在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上,抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義,了解四個基本事實和一個定理.2.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題.知識梳理·思維激活【必備知識精歸納】1.四個基本事實基本事實1:過不在__________上的三個點,有且只有一個平面.符號:A,B,C三點________?存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事實2:如果一條直線上的________在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).符號:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?_____.基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們______________過該點的公共直線.符號:P∈α,且P∈β?α∩β=l,且_____.一條直線不共線兩個點l?α有且只有一條P∈l基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線______.符號:a∥b,b∥c?_____.2.基本事實的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線____一點,有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條______直線,有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條______直線,有且只有一個平面.平行a∥c外相交平行點睛(1)直線不在平面內(nèi)包括直線與平面平行和直線與平面相交.(2)兩直線沒有公共點包括平行和異面兩種位置關系.4.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別__________,那么這兩個角相等或______.點睛若兩角的兩邊分別對應平行且方向都相同或都相反,則這兩個角相等;若兩角的兩邊分別對應平行且一邊方向相同而另一邊方向相反,則這兩個角互補.對應平行互補5.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任意一點O作直線a'∥a,b'∥b,把a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:_________.【常用結(jié)論】

1.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.2.過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.3.過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.4.過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.【基礎小題固根基】教材改編結(jié)論應用易錯易混1,2341.(教材變式)(多選題)若直線l∥平面α,直線a?α,則l與a的位置關系可以是(

)A.l與a相交

B.l⊥a C.l∥a

D.l與a異面【解析】因為直線l∥平面α,所以直線l與平面α無公共點,又因為直線a?α,所以直線l與直線a無公共點,所以由線與線的位置關系可知,直線l與直線a平行或者異面,也可能異面垂直.BCD2.(教材提升)(多選題)如圖,是正方體的平面展開圖,則在這個正方體中,以下命題中,正確的是(

)A.BM與ED平行B.CN與BM成60°角C.CN與BE是異面直線D.DM與BN是異面直線BD【解析】正方體的直觀圖如圖所示:很顯然,BM與ED不平行,A錯誤;連接AN,AC,易知△ACN是等邊三角形,CN與BM的夾角即為∠ANC=60°,B正確;很顯然,CN∥BE,C錯誤;連接DM,BN,DM與BN是異面直線,D正確.3.(結(jié)論2)下列命題中正確的是(

)A.過直線外一點有且只有一個平面與這條直線平行B.過一點有且只有一個平面與已知直線垂直C.過已知平面外一點,有且只有一個平面與已知平面垂直D.過已知平面外一條直線,必能作出與已知平面平行的平面B【解析】對于A,如圖在正方體中,過直線AB外一點D1有兩個平面,平面A1B1C1D1,平面DCC1D1都與直線AB平行,故錯誤;對于B,由于垂直同一條直線的兩個平面平行,故過一點有且只有一個平面與已知直線垂直,故正確;對于C,如圖在正方體中,過平面ABCD外一點D1有兩個平面,平面DCC1D1,平面A1ADD1都與平面ABCD垂直,故錯誤;對于D,當直線與平面相交時,過該直線,不能作出與已知平面平行的平面,故錯誤.

題型一

平面的基本性質(zhì)及應用角度1

證明點、線共面[典例1](1)(2023·濰坊模擬)下列四個命題中的真命題是(

)A.如果一條直線與另兩條直線都相交,那么這三條直線必共面B.如果三條直線兩兩都相交,那么它們能確定一個平面C.如果三條直線相互平行,那么這三條直線在同一個平面上D.如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線確定一個平面核心題型·分類突破D【解析】對于A,B,當三條直線交于同一點時,三條直線可能不共面,故A,B錯誤,對于C,當三條直線相互平行時,三條直線可能不共面,故C錯誤,對于D,一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線確定一個平面,故D正確.(2)(2022·聊城模擬)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E,F分別為棱AA1,CC1的中點.求證:B,E,D1,F四點共面.【證明】如圖所示:連接BE,BF,D1E,D1F,取BB1的中點為M,連接MC1,ME,因為E為AA1的中點,所以EM∥A1B1∥C1D1,且EM=A1B1=C1D1,所以四邊形EMC1D1為平行四邊形,所以D1E∥MC1,又因為M為BB1的中點,所以BM∥C1F,且BM=C1F,所以四邊形BMC1F為平行四邊形,所以BF∥MC1,所以BF∥D1E,所以B,E,D1,F四點共面.【方法提煉】點、線共面的常用判定方法(1)納入平面法:要證明“點共面”或“線共面”,可先由部分點或直線確定一個平面,再證其余點或直線也在這個平面內(nèi).(2)輔助平面法:先證明有關的點、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.

(3)證明四點共面常通過證明四點組成的四邊形為平行四邊形或梯形來解決.

【方法提煉】證明三線共點的思路先證兩條直線交于一點,再證明第三條直線經(jīng)過這點,把問題化歸為證明點在直線上的問題,通常是先證兩條直線的交點在兩個平面的交線上,而第三條直線恰好是兩個平面的交線.角度3

證明三點共線[典例3](2023·六安模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點O,AC,BD交于點M,E為AB的中點,F為AA1的中點.求證:C1,O,M三點共線.【證明】因為A1C∩平面BDC1=O,所以O∈A1C,O∈平面BDC1;又因為A1C?平面ACC1A1,所以O∈平面ACC1A1;因為AC,BD交于點M,所以M∈AC,M∈BD;又AC?平面ACC1A1,BD?平面BDC1,所以M∈平面ACC1A1,M∈平面BDC1;又C1∈平面ACC1A1,C1∈平面BDC1;所以C1,O,M三點在平面ACC1A1與平面BDC1的交線上,所以C1,O,M三點共線.【方法提煉】證明三點共線的兩種方法(1)首先找出兩個平面,然后證明這三點都是這兩個平面的公共點,則這三點都在交線上,即三點共線.(2)選擇其中兩點確定一條直線,然后證明另一點也在這條直線上,從而得三點共線.【對點訓練】1.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為棱D1C1的中點.設AM與平面BB1D1D的交點為O,則(

)A.D1,O,B三點共線,且OB=2OD1B.D1,O,B三點不共線,且OB=2OD1C.D1,O,B三點共線,且OB=OD1D.D1,O,B三點不共線,且OB=OD1A

2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AA1的中點.(1)求證:CE,D1F,DA三線交于點P;(2)在(1)的結(jié)論中,G是D1E上一點,若FG交平面ABCD于點H,求證:P,E,H三點共線.【證明】(1)連接A1B,CD1,EF,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AA1的中點,所以EF∥A1B且EF≠A1B,因為CD1∥A1B且CD1=A1B,所以EF∥CD1且EF≠CD1,所以EC與D1F相交,設交點為P,因為P∈EC,EC?平面ABCD,所以P∈平面ABCD;又因為P∈FD1,FD1?平面ADD1A1,所以P∈平面ADD1A1,所以P為兩平面的公共點,因為平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,所以P∈AD,所以CE,D1F,DA三線交于點P;(2)在(1)的結(jié)論中,G是D1E上一點,FG交平面ABCD于點H,則FH?平面PCD1,所以H∈平面PCD1,又H∈平面ABCD,所以H∈平面PCD1∩平面ABCD,同理,P∈平面PCD1∩平面ABCD,E∈平面PCD1∩平面ABCD,所以P,E,H都在平面PCD1與平面ABCD的交線上,所以P,E,H三點共線.題型二

空間線面位置關系角度1

空間位置關系的判斷[典例4](1)(多選題)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,則以下四個結(jié)論中,正確的有(

)A.直線AM與CC1是相交直線B.直線BN與MB1是異面直線C.AM與BN平行D.直線A1M與BN共面BD【解析】A選項,因為A,M,C,C1四點不共面,所以根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CC1是異面直線,故A錯誤;B選項,因為B,N,M,B1四點不共面,所以根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MB1是異面直線,故B正確;C選項,取DD1的中點E,連接AE,EN,則有AB∥EN,AB=EN,所以四邊形ABNE是平行四邊形,所以AE∥BN,因為AM與AE交于點A,所以AM與AE不平行,則AM與BN不平行,故C錯誤;D選項,連接A1M,MN,BA1,CD1,因為M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,所以MN∥D1C,由正方體的性質(zhì)可知:BA1∥D1C,所以MN∥A1B,所以A1,B,M,N四點共面,所以直線A1M與BN共面,故D正確.(2)(2022·濰坊模擬)a,b,c是空間中互不重合的三條直線,下面給出四個命題:①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;④若a?平面α,b?平面β,則a,b一定是異面直線;上述命題中正確的是________(只填序號).

答案:①【解析】①根據(jù)空間直線平行的平行公理可知,若a∥b,b∥c,則a∥c,所以①正確;②在空間中,若a⊥b,b⊥c時,a與c可以相交、平行,也可以異面,所以②錯誤;③在空間中,若a與b相交,b與c相交,a與c可以相交、平行,也可以異面,所以③錯誤;④若a?平面α,b?平面β,并不能說明a與b不在同一個平面內(nèi),a與b可以平行、相交,也可能是異面直線,所以④錯誤.【方法提煉】兩直線位置關系的判斷方法(1)異面直線的判斷:①反證法;②判定定理法.(2)平行直線的判斷:①平面圖形的性質(zhì)(三角形、梯形的中位線,平行四