人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)-第21章《一元二次方程》講義-第1講-一元二次方程認(rèn)識(shí)及解法(有答案)

人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第21章《一元二次方程》講義第1講一元二次方程認(rèn)識(shí)及解法（有答案）第2頁③配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時(shí)，方程的解為，若時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解。5、公式法：一元二次方程的根當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）6、因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。第二部分考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、一元二次方程的定義、一般形式例1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是()A．x2＋＝0

B．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1

D．3x2－2xy－5y2＝0例2、是關(guān)于的一元二次方程，則的值應(yīng)為（

）A.＝2

B.

C.

D.無法確定例3、方程4x2+7x-3=0的二次項(xiàng)是

，一次項(xiàng)系數(shù)是

，常數(shù)項(xiàng)是

．例4、若（m+1）x|m|+1-3x+4=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是．例5、已知關(guān)于x的方程．（1）m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).例6、一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0化為一般形式后為2x2-3x-1=0，試求a，b，c的值．舉一反三：1、下列關(guān)于的方程中，一定是一元二次方程的為(

)A．

B．

C．

D．2、下列關(guān)于的方程：①；②；③；④；⑤．其中是一元二次方程有（）A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)3、若方程（m-1）x|m|+1-2x=4是一元二次方程，則m=

．4、關(guān)于x的方程（m2-1）x3+（m-1）x2+2x+6=0，當(dāng)m=

時(shí)為一元二次方程．5、一元二次方程（1+3x）（x-3）=2x2+1化為一般形式為：______，二次項(xiàng)系數(shù)為：______，一次項(xiàng)系數(shù)為：______，常數(shù)項(xiàng)為：______．6、一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化為一般式后為3x2+2x-1=0，試求a2+b2-c2的值的算術(shù)平方根．考點(diǎn)2、方程的解例1、若x=3是方程的一個(gè)根，則m的值為（

）A．1

B．2

C．3

D．4例2、若關(guān)于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，則2019-a-b的值是（）

A．2023B．2019C．2019D．2019例3、已知一元二次方程的兩個(gè)根是1和3，則，的值分別是（

）A．=4,=－3

B．=3,=2

C．=－4,=3

D．=4,=3例4、若且，則關(guān)于的一元二次方程必有一個(gè)定根，它是______．例5、若方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足a+b+c=0，則方程必有一根為。舉一反三：1、關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a2-1=0的一個(gè)根是0，則a的值為（）

A．1B．－1C．1或－1D．0.52、一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0一根為0，則a的值為（）

A．1B．－1C．1或－1D．無法確定3、已知a是方程x2－3x－1＝0的一個(gè)根，則2a2－6a＋7＝_______．4、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+x-b=0的一根為-1，則a-b的值是

．考點(diǎn)3、直接開平方法例1、方程（x+1）2=9的解是（）

A．x=2B．x=-4C．x1=2，x2=-4D．x1=-2，x2=-4例2、形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，它的根是（）

A．x=±B．x=±m(xù)+C．x=±D．x=-m±例3、將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義=ad-bc，上述記號(hào)就叫做2階行列式．若=6，則x=

．例4、解一元二次方程：

①2x2-8=0；②x2-2x=4例5、若2y=（x-2）2+1，且y的算術(shù)平方根是，求：x+2y的值．舉一反三：1、一元二次方程x2-4=0的解是（）

A．x=2B．x=-2C．x1=2，x2=-2D．x1=，x2=-2、下列方程中，適合用直接開方法解的個(gè)數(shù)有（）

①x2=1；②（x-2）2=5；③（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2-3=x2+1；⑥y2-2y-3=0；⑦x2=x+3．

A．1B．2C．3D．43、若方程（x-2019）2=a有解，則a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)≥0B．a(chǎn)≤0C．a(chǎn)＞0D．無法確定4、解一元二次方程：（1）9x2-16=0（2）（3x-2）2=（2x-3）25、已知實(shí)數(shù)a、b滿足b=+-1，解方程ax2+b=0．考點(diǎn)4、配方法例1、用配方法解方程x2+x-5=0時(shí)，此方程變形正確的是（）

A．B．

C．（x+1）2=6D．（x+1）2=4例2、若方程9x2-（k+2）x+4=0的左邊可以寫成一個(gè)完全平方式，則k值為（）

A．10B．10或14C．-10或14D．10或-14例3、一元二次方程x2-4x-1=0可以配方成（x-2）2=

．例4、用配方法解下列方程（1）x2+4x-5=0（2）2x2+1=3x（3）2x2-4x+1=0例5、用配方法解下列方程：

（1）2x2-5x-7=0；（2）（3）（x+1）（x-1）=2x2-4x-6．舉一反三：1、用配方法解方程，以下變形正確的是（）

A．B．

C．D．2、把方程x2-6x+3=0化成（x+m）2=n的形式，則m、n的值是（）

A．3，12B．-3，6C．-3，12D．3，63、將方程x2+4x+2=0配方后的方程是

．4、用配方法解下列一元二次方程：（1）x2-8x+1=0（2）2x2-4x+1=0．5、用配方法解下列方程：

（1）x2-6x+9=0；（2）x2-6x-9=0；

（3）x2+8x=9；（4）x2-2x-2=0．考點(diǎn)5、公式法例1、用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0時(shí)，首先要確定a、b、c的值，下列敘述正確的是（）A.a=3，b=2，c=3B.a=-3，b=2，c=3C.a=3，b=2，c=-3D.a=3，b=-2，c=3例2、用公式法解一元二次方程x2-5x=6，解是（）

A．x1=3，x2=2B．x1=-6，x2=-1

C．x1=6，x2=-1D．x1=-3，x2=-2例3、方程ax2+bx+c=0（a＜0）有兩個(gè)實(shí)根，則這兩個(gè)實(shí)根的大小關(guān)系是（）例4、用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac=

，x1=

，x2=

．例5、用公式法解方程（1）2x2+2x=1（2）2x2-7x+3=0舉一反三：1、方程x2+3x=2的正根是（）

A．B．C．D．2、若方程x2+x+c=0的一個(gè)根為，則另一根為

．3、方程（2x+1）（x+2）=6化為一般形式是

；b2-4ac=

；

用求根公式求得x1=

，x2=

；x1+x2=

，x1?x2=

．4、（1）2x2+x-3=0（用公式法）（2）已知a、b、c均為實(shí)數(shù)且，求方程ax2+bx+c=0的根．5、用公式法解下列方程．

（1）（x+1）（x+3）=6x+4；（2）x2+2（+1）x+2=0；

（3）

x2-（2m+1）x+m=0．考點(diǎn)6、因式分解法例1、方程（x-3）（2x+5）=0的解是（）

A．x=3B．x=0C．x=-2.5或x=3D．以上都不對(duì)例2、關(guān)于x的方程2x2+mx-n=0的二根是-1和3，則2x2+mx-n因式分解的結(jié)果是（）

A．（x+1）（x-3）B．2（x+1）（x-3）

C．（x-1）（x+3）D．2（x-1）（x+3）例3、已知一元二次方程的兩根分別為x1=3，x2=-4；則這個(gè)方程為（）

A．（x-3）（x+4）=0B．（x+3）（x-4）=0

C．（x+3）（x+4）=0D．（x-3）（x-4）=0例4、方程x3-4x=0的解是x1=

，x2=

，x3=

．例5、用因式分解法解方程（1）x2-4x=0

（2）3（x-2）+x2-2x=0例6、用因式分解法解方程（1）x（x-1）=5（x-1）（2）（2x-1）-x（1-2x）=0

（3）（x+1）（x+8）=-12；

（4）（x+1）2-3

（x+1）+2=0．舉一反三：1、一元二次方程x2-x=0的根為（）

A．x=1B．x=0C．x1=0，x2=1D．x1=1，x2=-12、一個(gè)三角形的兩邊長為3和6，第三邊的邊長是方程（x-2）（x-4）=0的根，則這個(gè)三角形的周長是（）

A．11B．11或12C．13D．11和133、方程（x+1）（x-2）=x+1的解是（）

A．2B．3C．-1，2D．-1，34、若方程x2-px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是2，-3，則二次三項(xiàng)式x2-px+q可以分解為

．5、用因式分解法解方程（1）x2-2x-24=0；（2）x2-x-n2+n=0．第三部分課堂小測1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（

）A．

B．C．

D．

2、若關(guān)于x的一元二次方程x2-x-m=0的一個(gè)根是x=1，則m的值是（）A、1 B、0 C、-1 D、23、若x2-6x+11=（x-m）2+n，則m，n的值分別是（）

A．m=3，n=-2B．m=3，n=2C．m=-3，n=-2D．m=-3，n=24、將方程x2+6x=1配方后，原方程變?yōu)椋ǎ?/p>

A．（x+3）2=5B．（x+6）2=7C．（x+3）2=10D．（x+6）2=95、方程x（x-2）=0的根為（）

A．x=0B．x=2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=-26、若方程（m-2）x|m|-2x+1=0是一元二次方程，則方程的根是（）

A．B．

C．D．以上答案都不對(duì)7、方程x（x+1）=（x+1）的根為（）

A．x1=1，x2=-1B．x1=0，x2=-1C．x=0D．x=-38、解下列方程：①3x2-27=0；②2x2-3x-1=0；③2x2-5x+2=0；④2（3x-1）2=3x-1．較簡便的方法是（）

A．依次為：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法

B．依次為：因式分解法，公式法，配方法，直接開平方法

C．①用直接開平方法，②，③用公式法，④用因式分解法

D．①用直接開平方法，②用公式法，③④用因式分解法9、一元二次方程（1+3x）（x-3）=2x2+1化為一般形式為

．10、已知關(guān)于x的方程（a-1）x2-2x+1=0是一元二次方程，則a的取值范圍是______．11、將下列各式配方：

（1）x2-4x+（

；（2）x2+12x+（

；

（3）

；（4）

．12、若方程3x2-5x-2=0有一根是a，則6a2-10a=

．13、若關(guān)于x的方程（m-3）x2+5x+m2-3m-18=0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值等于

．14、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

（1）x2-8x=20；（2）2x2-6x-1=0：

（3）；（4）（x-2）2-4（x-2）=-4．15、當(dāng)m是何值時(shí)，關(guān)于x的方程（m2+2）x2+（m-1）x-4=3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x=-2是它的一個(gè)根，求m的值．16、用適當(dāng)方法解下列方程：

（1）（3x-1）2=1；（2）2（x+1）2=x2-1；

（3）（2x-1）2+2（2x-1）=3；（4）（y+3）（1-3y）=1+2y2．17、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx-6=0與ax2+2bx-15=0都有一個(gè)根是3，試求出a、b的值，并分別求出兩個(gè)方程的另一個(gè)根．第四部分提高訓(xùn)練1、觀察以下方程：①x2+x-2=0；②2x2-x-1=2；③3x2-4x+1=0；④4x2-7x+3=0．

（1）上面四個(gè)方程的各系數(shù)有一個(gè)共同特點(diǎn)，你知道是什么嗎？

（2）若上述方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0），請(qǐng)用代數(shù)式表示它們的共同特點(diǎn)；

（3）由（2）可知，上述各方程必有一個(gè)公共根，你知道這個(gè)公共根嗎？2、試證明關(guān)于x的方程（a2-8a+20）x2+2ax+1=0無論a取何值，該方程都是一元二次方程．3、x2a+b-2xa+b+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，求a與b的值．第五部分課后作業(yè)1、已知關(guān)于x的方程：（1）ax2+bx+c=0；（2）x2-4x=8+x2；（3）1+（x-1）（x+1）=0；（4）（k2+1）x2+kx+1=0中，一元二次方程的個(gè)數(shù)為（）個(gè)．

A．1B．2C．3D．42、關(guān)于x的方程ax2-3x+3=0是一元二次方程，則a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)＞0B．a(chǎn)≠0C．a(chǎn)=1D．a(chǎn)≥03、若m是一元二次方程x2-5x-2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則2019-m2+5m的值是（）A、2019 B、2019C、2019 D、20194、關(guān)于x的方程(m＋1)x2＋2mx－3＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．任意實(shí)數(shù)B．m≠－1C．m＞1D．m＞05、用配方法解方程x2-6x+2=0時(shí)，下列配方正確的是（）

A．（x-3）2=9B．（x-3）2=7C．（x-9）2=9D．（x-9）2=76、已知2是關(guān)于x的方程x2-2mx+3m=0的一個(gè)根，并且等腰三角形ABC的腰和底邊長恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，則△ABC的周長為（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或107、已知點(diǎn)A（m2-5，2m+3）在第三象限角平分線上，則m=（）

A．4B．-1C．4或-2D．-28、把一元二次方程（x+1）（1-x）=2x化成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的一般式是

，其中二次項(xiàng)系數(shù)是

，一次項(xiàng)的系數(shù)是

，常數(shù)項(xiàng)是

；9、我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的四種解法：直接開平方法，配方法，公式法和因式分解法．請(qǐng)從以下一元二次方程中任選兩個(gè)，并選擇你認(rèn)為適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@個(gè)方程．

①（x+1）2=4x；②3x2-6x=0；③x2+x-1=0；④2x2=6x+8

【解析】選______．

選______．10、若關(guān)于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x-1=0是一元二次方程，則m=

．11、將方程配方成（x+m）2=n，則m=

，n=

．12、以下四個(gè)方程中，

①x2-2x+1=0；

②x2+x+1=0；

③2x2+8x+8=0；

④-x2+6x-9=0．

請(qǐng)觀察并思考，方程

（填序號(hào)）與其它三個(gè)不同，理由是

．13、方程（1）m取何值時(shí)是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m取何值時(shí)是一元一次方程．14、解方程：

（1）（x+1）2-4=0（2）3（x-2）=5x（x-2）．

（3）2x2-5x+1=0（4）x2-4x+3=0．15、若0是關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，

（1）求m的值，

（2）請(qǐng)根據(jù)所求m值，討論方程根的情況，并求出這個(gè)方程的根．16、用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?/p>

（1）3x2-27=0（2）x2-2x-1=0

（3）x（2x+1）-6（2x+1）=0．17、解方程．

（1）x2-6x+5=0（配方法）

（2）2x2-x=1（公式法）

（3）x2-4x-3=0