概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版第2版）課件 張?zhí)斓?第3章 多維隨機(jī)變量及其分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）本章導(dǎo)學(xué)第3章多維隨機(jī)變量及其分布2很多隨機(jī)試驗的結(jié)果往往受到多個因素的影響.上一章我們學(xué)習(xí)了單個隨機(jī)變量,稱為一維隨機(jī)變量.在許多實際問題中,但是,一維隨機(jī)變量不能滿足研究的需要,在打靶時,飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個隨機(jī)變量(三個坐標(biāo))??日?，F(xiàn)象舉例命中點的位置是由一對隨機(jī)變量(兩個坐標(biāo))來確定的.來確定的.3我們把與隨機(jī)試驗結(jié)果相對應(yīng)的多個隨機(jī)變量稱為由于從二維推廣到更多維無實質(zhì)性的困難,n維隨機(jī)變量n維隨機(jī)向量多維隨機(jī)變量.我們主要研究二維隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律,兩個隨機(jī)變量之間的相互關(guān)系.因此本章并介紹4二維隨機(jī)變量的大部分概念、內(nèi)容和方法都屬于一維除了必須具備一維隨機(jī)變量的基礎(chǔ)知識,而且需要用到高等數(shù)學(xué)中的多元微積分內(nèi)容.預(yù)備知識——高等數(shù)學(xué)（微積分）極限??重積分??偏導(dǎo)數(shù)??的推廣.5學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第1講二維隨機(jī)變量及其分布第3章多維隨機(jī)變量及其分布8到目前為止,從二維隨機(jī)變量開始我們只討論了一維隨機(jī)變量及其分布.但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個隨機(jī)變量來描述還不夠,而需要用多個隨機(jī)變量來描述.第1講

二維隨機(jī)變量及其分布01二維隨機(jī)變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機(jī)變量04二維連續(xù)型隨機(jī)變量本講內(nèi)容則稱(X,Y)為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)變量10

??定義表示？幾何意義？01

二維隨機(jī)變量如何描述二維隨機(jī)變量的概率特性二維隨機(jī)變量大部分內(nèi)容與一維類似.離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)概率密度11及其每個隨機(jī)變量之間的關(guān)系？??一維隨機(jī)變量：分布律首先介紹二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù).01

二維隨機(jī)變量01二維隨機(jī)變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機(jī)變量04二維連續(xù)型隨機(jī)變量本講內(nèi)容為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù),簡稱為分布函數(shù).設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,聯(lián)合分布函數(shù)13??定義稱對于任意的02

聯(lián)合分布函數(shù)??結(jié)論聯(lián)合分布函數(shù)描述了所有二維隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律.(x,y)xy分布函數(shù)的幾何意義14用平面上的點(x,y),表

示二維隨機(jī)變量(X,Y)則F(x,y)表示(X,Y)的取值落入的一組可能的取值，下圖中角形區(qū)域的概率.02

聯(lián)合分布函數(shù)①對每個變量單調(diào)不減②對每個變量右連續(xù)③xy(x,y)15聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)02

聯(lián)合分布函數(shù)(X,Y)落在矩形區(qū)域x1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)yxo16利用分布函數(shù)求概率可用分布函數(shù)表示內(nèi)的概率02

聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中

A,B,C

為常數(shù).17（1）確定A,B,C

；（2）求??例102

聯(lián)合分布函數(shù)(1)18解02

聯(lián)合分布函數(shù)19(2)02

聯(lián)合分布函數(shù)2002

聯(lián)合分布函數(shù)解

試問：函數(shù)??例2是否可作為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)？然F(x,y)單調(diào)不減且關(guān)于

x和

y都是右連續(xù).又且但因為對于(0,0),(2,2)有因此函數(shù)F(x,y)不能作為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù).01二維隨機(jī)變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機(jī)變量04二維連續(xù)型隨機(jī)變量本講內(nèi)容若二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能的取值為有限個或要描述二維離散型隨機(jī)變量的概率特性及其每個隨機(jī)變量之間的關(guān)系，常用其聯(lián)合分布律和邊緣分布律.二維離散型隨機(jī)變量2203二維離散型隨機(jī)變量??定義則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.??注無限可列個,設(shè)(X,Y)的所有可能的取值為或分布律.為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布,簡稱概率分布顯然,2303二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律x1xi

XYy1yj2403二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律的求法聯(lián)合分布律2503二維離散型隨機(jī)變量??利用乘法公式??利用古典概型等方法.已知聯(lián)合分布律可以求概率G0xy2603二維離散型隨機(jī)變量盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,2703二維離散型隨機(jī)變量在其中任??例3取4只球,以X

表示取到黑球的只數(shù),以X

表示取到黑球的只數(shù),以Y

表示取到紅球的只數(shù),求(X,Y)的聯(lián)合分布律.2803二維離散型隨機(jī)變量解取4只球X

Y01230001020??注求分布律方法：先定值再求概率0只黑球,2只紅球,2只白球1只黑球,1只紅球,2只白球2903二維離散型隨機(jī)變量1只黑球,2只紅球,1只白球X

Y012300010203003二維離散型隨機(jī)變量

1001000.200.200.150200250設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為0.100.050.30求概率3103二維離散型隨機(jī)變量??例4??注X--車險的免賠額，Y--財險的免賠額32解求概率:03二維離散型隨機(jī)變量3303二維離散型隨機(jī)變量解

一箱子裝有5件產(chǎn)品，其中2件正品，3件次品.??例5次，定義隨機(jī)變量X和Y如下：求(X,Y)的分布律.每次從中取1件產(chǎn)品檢驗質(zhì)量，不放回抽取，連續(xù)抽兩第一次取到次品，第一次取到正品，第二次取到次品，第二次取到正品，01二維隨機(jī)變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機(jī)變量04二維連續(xù)型隨機(jī)變量本講內(nèi)容

3504二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布??定義

使得稱??(??,??)為聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).

在f(x,y)的連續(xù)點處,f(x,y)與F(x,y)3604二維連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)——

(X,Y)落入矩形區(qū)域內(nèi)的概率聯(lián)合概率密度——(X,Y)落入任意區(qū)域內(nèi)的概率??優(yōu)點f(x,y)的性質(zhì)3704二維連續(xù)型隨機(jī)變量

某食品制造商正在研制一種速溶健康飲品，主要成分為花生、芝麻和大豆，假設(shè)配方中所含的花生比例用X表示，芝麻比例用Y表示，若(??,??)的聯(lián)合概率密度為??例6求（1）常數(shù)

A；

（2）花生和芝麻加在一起最多占50%的概率.38（2）花生和芝麻加在一起最多占50%的概率為04二維連續(xù)型隨機(jī)變量解

(1)根據(jù)聯(lián)合概率密度的性質(zhì)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為yoy=x21x3904二維連續(xù)型隨機(jī)變量??例7其他(1)求常數(shù)??；(2)求P{X≥Y}；04二維連續(xù)型隨機(jī)變量（1）由密度函數(shù)的性質(zhì)，得解

隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為40其他yoy=xy=x21x4104二維連續(xù)型隨機(jī)變量(2)P{X≥Y}設(shè)G是平面上的有界區(qū)域,若隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為則稱(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,記作(X,Y)~U(G)4204二維連續(xù)型隨機(jī)變量常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量??二維均勻分布面積為S其他則

D

G,若(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,幾何概型面積之比4304二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)D的面積為設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布.4404二維連續(xù)型隨機(jī)變量??例8解其他其中G由x–y=0,x+y=2,y=0圍成，求P{(X,Y)∈D}.11o2xy面積之比(2)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域B上的均勻分布.4504二維連續(xù)型隨機(jī)變量??例9解(1)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù);其中B由y=2x+1,x=0,y=0圍成的三角形區(qū)域，求y-1/2ox4604二維連續(xù)型隨機(jī)變量4704二維連續(xù)型隨機(jī)變量故(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為若(X,Y)的聯(lián)合概率密度為則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布

4804二維連續(xù)型隨機(jī)變量??二維正態(tài)分布記作常數(shù)4904二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維正態(tài)分布圖5004二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)(??,??)服從二維正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為??例10解利用極坐標(biāo)變換，令

51可得：04二維連續(xù)型隨機(jī)變量上式學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第2講邊緣分布與隨機(jī)變量的獨立性第3章多維隨機(jī)變量及其分布01邊緣分布02隨機(jī)變量的獨立性本講內(nèi)容我們就可以討論隨機(jī)變量X

和Y之間56邊緣分布聯(lián)合分布描述的是二維隨機(jī)變量(X,Y)的整體特性,除此之外還需要考慮隨機(jī)變量X、Y

各自的分布,即

—邊緣分布.利用邊緣分布,例如獨立性.的某種關(guān)系,01

邊緣分布??注邊緣分布也稱為邊沿分布或邊際分布xyxxyy57邊緣分布函數(shù)01

邊緣分布??注由聯(lián)合分布函數(shù)邊緣分布函數(shù),反之不然.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為58（1）求X和Y

的邊緣分布函數(shù)；（2）求??例101

邊緣分布59(1)01

邊緣分布(2)6001

邊緣分布二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律??結(jié)論由聯(lián)合分布律可確定邊緣分布律1x1xi

pi?p1?pi?p?jp?1p?jyjy1XY6101

邊緣分布聯(lián)合分布律及邊緣分布律1001000.200.200.150200250設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為0.100.050.30求邊緣分布律6201

邊緣分布??例2??注X--車險的免賠額，Y--財險的免賠額11001000.200.200.1502002500.100.050.300.500.500.500.250.25X100250P0.50.5Y0100200P0.250.250.56301

邊緣分布求邊緣分布律:解6401

邊緣分布解設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的可能取值為(0,0),(-1,1),??例3試求X和Y的各自的邊緣分布律.(-1,2),(1,0),且取這些值的概率依次為1/6,1/3,1/12,5/12,由題設(shè)條件，(X,Y)聯(lián)合分布列為

Y

X012

1/31/1201/615/126501

邊緣分布由上面的表格，可得X和Y邊緣分布律

X01

p

5/121/65/12Y012p7/121/31/126601

邊緣分布解把兩封信隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號的3個郵筒內(nèi),設(shè)??例4律和邊緣分布律.X,Y分別表示投入第1,2個郵筒內(nèi)信的數(shù)目，求(X,Y)分布X,Y各自可能取值為0,1,2.由題設(shè)可知(X,Y)取(1,2),(1,2),(2,1),(2,2)均不可能，因此它們的概率均為0.6701

邊緣分布因此，X和Y邊緣分布律

X012p

4/94/91/9

Y012

p

4/94/91/96801

邊緣分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布??結(jié)論已知聯(lián)合密度可以求得邊緣密度6901

邊緣分布解設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

??例5試求邊緣密度函數(shù)pX(x)和pY(y).因為當(dāng)時，有故X的邊緣密度函數(shù)為7001

邊緣分布解設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

??例5試求邊緣密度函數(shù)pX(x)和pY(y).又因為當(dāng)時，有故Y的邊緣密度函數(shù)為7101

邊緣分布解設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

??例6試求邊緣密度函數(shù)pX(x)和pY(y).因為的非零區(qū)域如圖陰影部分，y1x-1Oy=xy=-x17201

邊緣分布故X的邊緣密度函數(shù)為所以，當(dāng)時，有當(dāng)時，有7301

邊緣分布故Y的邊緣密度函數(shù)為當(dāng)時，有747501

邊緣分布1102xy

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域7601

邊緣分布??例8解(X,Y)的概率密度

y=xoyx則y=x27701

邊緣分布??例9解

試求??及??的邊緣密度函數(shù)．(??，??)的聯(lián)合密度函數(shù)為7801

邊緣分布7901

邊緣分布??結(jié)論1二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布??結(jié)論2上述的兩個邊緣分布中的參數(shù)與二維正態(tài)分布中的常數(shù)??無關(guān)

80第一章介紹了兩個事件相互獨立的概念,由此可以引出兩個隨機(jī)變量相互獨立的概念.有了邊緣分布,我們就可以很方便的判斷隨機(jī)變量X和Y

之間的獨立性.第2講

隨機(jī)變量的獨立性01邊緣分布02隨機(jī)變量的獨立性本講內(nèi)容如何判斷兩個隨機(jī)變量獨立的定義設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量,若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.??兩事件A,B獨立定義若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立.8202隨機(jī)變量的獨立性??結(jié)論用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y

是兩個隨機(jī)變量,則稱X,Y

相互獨立.若對任意的x,y,有它表明,兩個隨機(jī)變量相互獨立時,兩聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積.8302隨機(jī)變量的獨立性即離散型X與Y獨立對一切i,j

有8402隨機(jī)變量的獨立性連續(xù)型X與Y獨立對一切x,y

有二維隨機(jī)變量(X,Y)相互獨立,定聯(lián)合分布.則邊緣分布完全確8502隨機(jī)變量的獨立性判斷應(yīng)用隨機(jī)變量的獨立性8602隨機(jī)變量的獨立性判斷??前面例1討論X,Y

是否獨立？故X,Y相互獨立8702隨機(jī)變量的獨立性0.500.30不獨立判斷??前面例211001000.200.200.1502002500.100.050.500.500.250.2588(X,Y)的聯(lián)合與邊緣分布律02隨機(jī)變量的獨立性討論X,Y是否獨立？故X,Y不獨立1102xy判斷89??前面例7設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)?服從區(qū)域G上的均勻分布．其他其他其他02隨機(jī)變量的獨立性應(yīng)用??例1090設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合分布律為02隨機(jī)變量的獨立性試確定常數(shù)

，使得隨機(jī)變量X與Y相互獨立．91解由表，可得隨機(jī)變量X與Y的邊緣分布律為如果隨機(jī)變量X與

Y

相互獨立，則有02隨機(jī)變量的獨立性92由此得由此得??結(jié)論因此當(dāng)

,

時,X與Y相互獨立.02隨機(jī)變量的獨立性因此當(dāng),時,X與Y相互獨立.93??例11設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立,且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布,求解其他02隨機(jī)變量的獨立性證對任何x,y有取相互獨立94??命題1必要性02隨機(jī)變量的獨立性故將代入即得95充分性02隨機(jī)變量的獨立性設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布求96??例12解X~N(1,1),Y~N(0,1)且獨立02隨機(jī)變量的獨立性在左轉(zhuǎn)車道上，每個信號周期內(nèi)的私家車數(shù)量記為X，97

X

Y

0120123450.0250.0150.0100.0500.0300.0200.1250.0750.0500.1500.0900.0600.1000.0600.0400.0500.0300.020問隨機(jī)變量X和Y是否相互獨立？公交車數(shù)量??例13且(X,Y)的聯(lián)合分布見下表：記為Y

，X與Y都是隨機(jī)變量，02隨機(jī)變量的獨立性Y的分布律為：98故隨機(jī)變量X和Y是相互獨立的.Y012P0.5000.3000.200可以驗證，隨機(jī)變量(X,Y)的任意一點都滿足由邊緣分布律的定義可得X的分布律為：X012345P0.0500.1000.2500.3000.2000.100解02隨機(jī)變量的獨立性9902隨機(jī)變量的獨立性??例14解利用獨立性可得試求P(X=Y).

且10002隨機(jī)變量的獨立性

??例15解問X與Y是否相互獨立.等于聯(lián)合密度函數(shù).為此先求邊際密度函數(shù).

有10102隨機(jī)變量的獨立性因此由此得所以X與Y不獨立.

有學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第3講條件分布第3章多維隨機(jī)變量及其分布104在前面的幾講中,除此以外,有時會用到條件分布.我們介紹了聯(lián)合分布與邊緣分布,??何為條件分布？設(shè)有二維隨機(jī)變量(X,Y),在X

取某個固定值的條件下,求Y

的概率分布,這就是條件分布.例如：居民的收入和支出分別為隨機(jī)變量X和Y,我們希望了解在收入固定時支出的分布規(guī)律,例如當(dāng)X=5000元時,Y的分布,即條件分布.第3講

條件分布01二維離散型隨機(jī)變量的條件分布02二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布本講內(nèi)容實際上即條件概率二維離散型隨機(jī)變量的條件分布??定義

稱稱01二維離散型隨機(jī)變量的條件分布106

為

為已知聯(lián)合分布律求：當(dāng)X=1時,Y的條件分布律.??例1解01二維離散型隨機(jī)變量的條件分布107??結(jié)論所以,離散型隨機(jī)變量的條件分布實際上即條件概率當(dāng)X=1時,Y條件分布律為：01二維離散型隨機(jī)變量的條件分布108109

X

Y0

120120.100.040.020.080.200.060.060.140.30??例2當(dāng)X=1時，求Y的條件分布律.布律見下表：一個加油站既有自助服務(wù)，也有人工服務(wù).在一次加令X表示特定時間內(nèi)自助加油使用的油槍數(shù)量,Y表示人工加油使用的油槍數(shù)量.隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分01二維離散型隨機(jī)變量的條件分布油中，110Y012由聯(lián)合分布律可以求出：所以，當(dāng)X=1時，Y條件分布律為：01二維離散型隨機(jī)變量的條件分布以X記某醫(yī)院一天內(nèi)誕生嬰兒的個數(shù)，以Y記其中求條件分布律??例3解01二維離散型隨機(jī)變量的條件分布111其中男嬰的個數(shù).設(shè)X與Y的聯(lián)合分布列為先求X的邊際分布律所以X服從參數(shù)為14的泊松分布，由此得01二維離散型隨機(jī)變量的條件分布112這是二項分布01二維離散型隨機(jī)變量的條件分布02二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布本講內(nèi)容？連續(xù)型變量是什么狀況？??例4求概率分析02連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布114設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為其他P(X=x)=0,P(Y=y)=0需要引入條件概率密度的概念.01由于本題中(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,所以不能直接代入條件概率公式.01二維離散型隨機(jī)變量的條件分布115連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布??定義02連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布116

01??例4設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為02連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布117其他

當(dāng)0<x<1時,01解02連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布118其他其他其他其他0102連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布其他??例5求條件概率解02連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布120設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為故先求當(dāng)02連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布121當(dāng)由此得122??例6解(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：02連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布其他設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布，其中G是由x–

y=0,x+y=2與y=0所圍成的三角形區(qū)域，如圖所示，求條件概率密度123因此Y的邊緣概率密度為02連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布其他其他其他

02連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布

已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為??例7解在給定Y=y條件下，隨機(jī)變量X的條件密度函數(shù)為125本節(jié)我們介紹的條件分布屬于選學(xué)內(nèi)容,同學(xué)們可以根據(jù)實際需求和課時安排靈活選擇.第3講

條件分布學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第4講二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布第3章多維隨機(jī)變量及其分布128二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布,求Z=g(X,Y)的概率分布將Z的事件轉(zhuǎn)化為(X,Y)的事件第4講

二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布上一章我們已討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,現(xiàn)在進(jìn)一步討論二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題,然后將其推廣到多維隨機(jī)變量的情形.??問題??方法01二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布本講內(nèi)容當(dāng)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量時,二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布Z也為離散型隨機(jī)變量01二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布130設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為XY-112-10求的概率分布??例101二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布131根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布可得：P(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)

-2

-1

0

1

1

2

故得P-2-1012解01二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布132故得P-2-101P(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)

1

0

-1

0

-2

001二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布133134Y

X-213-111/253/2512/252/254/253/25??例2求：（1）Z=X+Y的分布律；（2）Z=X2+Y的分布律（1）Z可能的取值為-3，-1，0，2，4.解01二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為135Z-3-1024P1/252/253/2516/253/2501二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

136

Z-124P3/257/2515/2501二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布137??例3解01二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

因此

138求Z=X+Y的分布律．解

01二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布??例4

故

設(shè)

X~P(

1),Y~P(

2),且獨立,X~P(

1),Y~P(

2),Z=X+Y

的可能取值為0,1,2,…則X+Y~P(

1+

2)

二項式定理則X+Y~P(

1+

2)則13901二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布??例5若隨機(jī)變量相互獨立若隨機(jī)變量X與Y相互獨立第4章用到常用離散型隨機(jī)變量的可加性01二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布140剛剛我們討論了二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題,下面將其推廣到多維離散型隨機(jī)變量的情形.01二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布141－1010.13440.73120.1344??例601二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布142且同分布.

設(shè)隨機(jī)變量相互獨立，設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨立同分布,且X的概率分布為求的概率分布X12P2/31/301二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布143??例7解型144UV1214/94/9201/901二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布01二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布本講內(nèi)容146回憶：一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般方法從分布函數(shù)出發(fā)二維類似??問題設(shè)X是連續(xù)性隨機(jī)變量，第4講

二維連續(xù)型變量函數(shù)的分布1

147(2)再求Z的密度函數(shù):已知隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù),

(1)先求Z的分布函數(shù)：二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布??問題??方法求Z=g(X,Y)的密度函數(shù).02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布?z?zx+y=z和的分布：Z=X+Y

型設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),則或14802二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布特別地,或或稱之為函數(shù)

fX

(z)與fY

(z)的卷積

若X,Y相互獨立,則14902二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布（卷積公式法）設(shè)X與

Y相互獨立，都服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布，其他??例8解1由題意,可知15002二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布其他求Z=X+Y的密度函數(shù).

15102二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布其他若或若若的密度函數(shù)為x+y=z1yx1解2分布函數(shù)法當(dāng)z<0時,15202二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布yx11x+y=z?z?z當(dāng)0

z<1時,15302二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布x+y=zz-11yx1?z?z當(dāng)1

z<2時,15402二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1yx1x+y=z22當(dāng)2

z時,15502二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布或??例9解根據(jù)公式其中

15602二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為其他求Z=X+Y的概率密度fz(z)157因此，Z的概率密度為02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布其他正態(tài)分布的可加性

15802二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布如果隨機(jī)變量X與Y相互獨立,一般地,為實常數(shù),如果隨機(jī)變量相互獨立,且獨立15902二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)相互獨立的隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布和則??例10160解

設(shè)X,Y是相互獨立的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)??例11下面求Z=2X+Y的分布函數(shù)02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求Z=2X+Y的概率密度.由X,Y是相互獨立的隨機(jī)變量，則(X,Y)的概率密度為分別為16102二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布當(dāng)

時，當(dāng)

時，當(dāng)

時，因此??例12解根據(jù)公式得16202二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求Z=(X+Y)/2的概率密度fz(z).

從而16302二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

從而得Z=(X+Y)/2的概率密度為例11和12屬于Z=aX+bY型，也可用下列公式計算特別地,若X,Y相互獨立,則16402二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布165*積的分布和商的分布02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

問：獨立？（公式法）166設(shè)X與Y相互獨立，都服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布，求??=????的密度函數(shù)．??例13解102二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布其它其它16702二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布其它（分布函數(shù)法）當(dāng)z<0時,1yx1當(dāng)0

z<1時,當(dāng)1

z時,z168解202二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布其它169??例14

解

02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求??=??/??的概率密度.即時，設(shè)隨機(jī)變量??與??獨立同分布，其概率密度為因其它其它170

所以，02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布由公式其它171??問題設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

、Y

相互獨立,X、Y的分布函數(shù)分別為FX(x)、FY(y).求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布172??結(jié)論對于連續(xù)型隨機(jī)變量,求出最大值、最小值的分布函數(shù)后,再對分布函數(shù)求導(dǎo),就可以求出其概率密度函數(shù).02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布173??推廣設(shè)n個隨機(jī)變量相互獨立,其分布函數(shù)為則和的分布函數(shù)分別為和特別地,當(dāng)隨機(jī)變量獨立同分布時,分布函數(shù)均為F(x),則M和N的分布函數(shù)為02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布174??例15設(shè)系統(tǒng)??是由3個相互獨立的同種元件連接而成,

其概率密度為分別求??在串聯(lián)和并聯(lián)方式下系統(tǒng)壽命的概率密度．

02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布其它其它

(1)串聯(lián)的情況因為有一個損壞時,則N

的分布函數(shù)于是,得N的密度函數(shù)175解系統(tǒng)L就停止工作,所以L的壽命為02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布其它其它(2)并聯(lián)的情況因為當(dāng)且僅當(dāng)都損壞時,M的分布函數(shù)M的密度函數(shù)176解系統(tǒng)L才停止工作,所以L的壽命為02二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）本章小結(jié)第3章多維隨機(jī)變量及其分布01知識點歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議本講內(nèi)容180分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律邊緣分布律連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度常用二維分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量及其分布離散型變量函數(shù)的分布連續(xù)型變量函數(shù)的分布二維均勻分布二維正態(tài)分布條件分布律邊緣概率密度條件概率密度聯(lián)合分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)隨機(jī)變量的獨立性01

知識點歸納01知識點歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議本講內(nèi)容182理解二維隨機(jī)變量的概念,理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的概念、性質(zhì)；理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布,理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度,會求與二維隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率；理解隨機(jī)變量獨立性的概念,掌握隨機(jī)變量相互獨立的條件；掌握二維均勻分布,了解二維正態(tài)分布；會求兩個隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布,會求多個相互獨立隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布.（1）（2）（3）（4）（5）02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議183工具——掌握使用——熟練轉(zhuǎn)換——靈活02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律邊緣分布律連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度常用二維分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量及其分布離散型變量函數(shù)的分布連續(xù)型變量函數(shù)的分布二維均勻分布二維正態(tài)分布條件分布律邊緣概率密度條件概率密度聯(lián)合分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)隨機(jī)變量的獨立性學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）習(xí)題課第3章

多維隨機(jī)變量及其分布186??例1袋中有1個紅球、2個黑球與3個白球.

解（1）因為是有放回地取球,故（2）求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布.（1）求;別表示兩次取球所取得的紅球、黑球和白球的個數(shù).回地從袋中取球兩次,每次取一個球,以X、

Y、Z分現(xiàn)有放187（2）根據(jù)題意,X、Y可能的取值為0,1,2,{X=1,Y=0}、{X=1,Y=1}、{X=2,Y=0}.

當(dāng)(X,Y)的取值為{X=0,Y=0}時,表示取到了兩個白球,則(X,Y)可能的取值有{X=0,Y=0}、{X=0,Y=1}、{X=0,Y=2}、則二維隨機(jī)變量188同理可得，189因此，(X,Y)的聯(lián)合概率分布為XY01201/41/31/911/61/9021/3600

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立,且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分??例2190解布,Y的概率分布為

.機(jī)變量Z=XY的分布函數(shù),則函數(shù)

的間斷點個數(shù)為().A.0B.1C.2D.3記

為隨191由于

x與

y相互獨立，故

（1）若z<0,則

所以z=0為間斷點，故有一個間斷點，應(yīng)選B.192??方法歸納本題求間斷點的個數(shù)，實際上就是要求分布函數(shù)代入，寫出的表達(dá)式,再對中z的取值進(jìn)行討論，進(jìn)而確定間斷點的個數(shù)。首先將離散型隨機(jī)變量Y的不同取值分別隨機(jī)變量。的表達(dá)式，其中X為連續(xù)型隨機(jī)變量，Y為離散型??例3193

設(shè)隨機(jī)變量相互獨立,其中X1與X2的概率分布為均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,X3

（1）求二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示.（2）證明隨機(jī)變量Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.解（1）

由二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義，可得194因為，則可將離散型隨機(jī)變量不同取值分情況代入，即

又因為X1，X2，X3相互獨立,故195（2）證明：196因此，Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.197??方法歸納本題也是一個即含有連續(xù)型隨機(jī)變量，又含有離散型隨機(jī)變量的混合表達(dá)式的隨機(jī)變量分布函數(shù)問題，對于此類問題有效的方法是：值代后展開，利用概率的計算公式，獲得僅含有連續(xù)型隨機(jī)變量的表達(dá)，再利用連續(xù)型隨機(jī)變量的已知條件求按照離散型隨機(jī)變量不同取解即可.??例4198解

設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域

上服從均勻分布，令求二維隨機(jī)變量

的概率分布.

因為（X,Y）為區(qū)域D上的均勻分布,如圖所示,199區(qū)域D的面積為,故二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為

根據(jù)

的定義,將分以下四種情況討論:200①②③④201因此,的概率分布為

Z1Z20101/4011/21/4??例5

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立,且分別服從參數(shù)為1和4的指數(shù)分布,則___.

A.B.C.D.202解

又因為X與Y相互獨立,故

故應(yīng)選A.??例6203

設(shè)（X,Y）是二維隨機(jī)變量,X的邊緣概率密度為在給定X=x(0<x<1)的條件下，Y的條件概率密度為（1）求（X,Y）的概率密度

；（2）Y的邊緣概率密度

；（3）求.204解

（1）由題意知,（2）Y的邊緣概率密度為.當(dāng)0<y<1時,.

故，Y的邊緣概率密度為205（3）??例7.如果隨機(jī)變量Z的定義如下

設(shè)X與Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，且,求Z的分布律.206解

因X與Y兩個相互獨立，其聯(lián)合概率密度為

由此可得，;.Z01P因此,Z的分布律為??例8207解

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布,令（1）寫出(X,Y)的概率密度函數(shù);.

（1）由題意知，(X,Y)的聯(lián)合概率密度為（3）求Z=U+X的分布函數(shù)（2）問U與X是否相互獨立?208（2）設(shè)t為常數(shù)，且0<t<1,則因為

，所以

U與

X不相互獨立.209（3）當(dāng)z<0時，

；

210綜上所述，Z的分布函數(shù)為211??方法歸納本題是一個綜合性的題目,考察