高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 第12章 概率論

§12.1隨機事件

一、隨機現(xiàn)象和隨機事件

二、事件間的關(guān)系和運算內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

一、隨機現(xiàn)象和隨機事件自然界和人類社會中出現(xiàn)的種種現(xiàn)象,按照條件和結(jié)果的相互關(guān)系，大致上可分成兩類：(1)確定性現(xiàn)象在一定條件下，必然出現(xiàn)某種結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.1.確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象例如：在標準大氣壓下，水被加熱到100℃(條件)一定沸騰(結(jié)果).確定性現(xiàn)象的特點：條件完全決定結(jié)果,結(jié)果唯一.

（2）隨機現(xiàn)象在一定條件下，可能出現(xiàn)不同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.例如：①投擲一枚均勻的硬幣(條件),可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面(結(jié)果).②投一個骰子(條件),可能出現(xiàn)1點到6點之中的某一個,但不能事先確定出現(xiàn)哪個點(結(jié)果).隨機現(xiàn)象的特點：條件不能決定結(jié)果，結(jié)果不唯一.

當今世界充滿了不確定性，世界政治、經(jīng)濟以及我們生活的各個方面都存在不確定性.（2）隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性（也稱隨機性).或者說，出現(xiàn)哪個結(jié)果“憑機會而定”.（1）隨機現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系

,其數(shù)量關(guān)系無法用普通函數(shù)加以描述.說明2.隨機現(xiàn)象與統(tǒng)計規(guī)律性從表面上看，隨機現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機的,但多次觀察某個隨機現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律.例如：歷史上的幾位數(shù)學(xué)家拋扔硬幣的試驗,觀察出現(xiàn)正面的情況，這些試驗表明：盡管“出現(xiàn)正面”這個結(jié)果具有偶然性，但隨著試驗次數(shù)的增多，“出現(xiàn)正面”這個結(jié)果的頻率越來接近于常數(shù)0.5.這個性質(zhì)稱為“頻率的穩(wěn)定性”.實驗者投擲次數(shù)正面次數(shù)正面頻率De.Ｍorgan204810610.518Buffon404020480.5069K.Person1200060190.5016K.Person24000120120.5005正面頻率

正面出現(xiàn)次數(shù)

/

試驗總次數(shù)又如：大量數(shù)據(jù)表明，生男孩的頻率具有穩(wěn)定性,英語中各英文字母的使用頻率也具有穩(wěn)定.那么如何研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性呢？我們把這種大量重復(fù)試驗下，其結(jié)果所呈現(xiàn)的固有規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性,概率論就是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科.3.隨機試驗隨機現(xiàn)象的規(guī)律性是通過大量試驗呈現(xiàn)出來的，為了研究這種規(guī)律性，我們需要對隨機現(xiàn)象進行調(diào)查、觀察或?qū)嶒?這類工作我們統(tǒng)稱為“隨機試驗”，簡稱為“試驗(experiment)”，用Ｅ表示.隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.如何來研究隨機現(xiàn)象?4.隨機事件

二、事件間的關(guān)系和運算1.事件的包含與相等2.事件的和3.事件的積4.事件的差5.互斥事件6.互逆事件§12.2隨機事件的頻率和概率

一、概率的統(tǒng)計定義

二、概率的古典定義

三、概率的加法公式內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

一、概率的統(tǒng)計定義概率的這種定義，稱為概率的統(tǒng)計定義投籃次數(shù)

1520253035405060投中次數(shù)

1013162023263340頻率

0.6670.650.640.6670.6570.650.660.667投籃次數(shù)

203035404550投中次數(shù)

152226313338頻率

0.750.730.74260.7750.7750.76

二、概率的古典定義例12.2.2保險箱的號碼鎖若由四位數(shù)字組成，問一次能打開保險箱的概率是多少？例12.2.3有一元、五角、二角、一角、五分、二分、一分的紙幣各一張，試求由它們所組成的所有可能的幣值中，其幣值不足一元的概率．口袋中有4個白球6個紅球．從中任取兩個，求取到的兩個球是一白一紅的概率.A課堂練習(xí)解

三、概率的加法公式例12.2.4某集體有6人是1990年9月出生的，求其中至少有2人是同一天生的概率．例12.2.5某設(shè)備由甲，乙兩個部件組成，當超載負荷時，各自出故障的概率分別為0.90和0.85，同時出故障的概率是0.80，求超載負荷時至少有一個部件出故障的概率．例12.2.6

一個電路上裝有甲、乙兩根保險絲，當電流強度超過一定數(shù)值時，甲燒斷的概率為0.85，乙燒斷的概率是0.74，兩根保險絲同時燒斷的概率是0.63．問至少有一根燒斷的概率是多少？概率的定義（1）理解概率的統(tǒng)計定義（2）理解概率的古典定義（3）會求事件的概率2.概率的加法公式（1）理解概率的加法公式（2）會利用加法公式計算概率小結(jié)§12.3

條件概率和事件的獨立性

一、條件概率

二、乘法公式

三、全概率公式內(nèi)容提要

四、事件的獨立性第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

一、條件概率由此引出條件概率的定義．解課堂練習(xí)

二、乘法公式例12.3.3已知盒子中裝有10只電子元件，其中6只正品，從其中不放回地任取兩次，每次取一只，問兩次都取到正品的概率是多少？例12.3.4某人有5把鑰匙，但分不清哪一把能打開房間的門，逐把試開，試求（1）第三次才打開房間門的概率．（2）三次內(nèi)打開房門的概率．已知某廠產(chǎn)品的合格品率為98%，而合格品中的一等品率為75%，試求該廠產(chǎn)品的一等品率。解設(shè)A=“產(chǎn)品是合格品”，B=“產(chǎn)品是一等品”，因為一等品必然是合格品，所以AB=B。由題意知，，由乘法公式有即一等品率約為73.5%。課堂練習(xí)

三、全概率公式

計算中往往希望從已知的簡單事件的概率推算出未知的復(fù)雜事件的概率．為了達到這個目的，經(jīng)常把一個復(fù)雜事件分解成若干個互斥的簡單事件之和的形式，然后分別計算這些簡單事件的概率，最后利用概率的可加性得到最終結(jié)果，這就用到了全概率公式．例12.3.5設(shè)袋子中共有10個球，其中2個帶有中獎標志，兩人分別從袋中任取一球，問第二個人中獎的概率是多少？注：第二人中獎的概率與第一人中獎的概率是相等的．例12.3.6某廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%，35%，各流水線的次品率分別為0.05，0.04，0.03，0.02，現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中隨機抽取一件，求此產(chǎn)品為次品的概率是多少？

四、事件的獨立性1.事件的獨立性例12.3.8甲，乙兩人考大學(xué)，甲考上的概率是0.8，乙考上的概率是0.9，

（1）甲乙兩人都考上大學(xué)的概率是多少？

（2）甲乙兩人至少一人考上大學(xué)的概率是多少？2.伯努利概型例12.3.10某射手每次擊中目標的概率是0.6，如果射擊5次，試求至少擊中兩次的概率.解課堂練習(xí)1.條件概率（1）理解條件概率（2）會條件概率的計算2.乘法公式（1）理解乘法公式（2）會利用乘法公式計算概率小結(jié)3.全概率公式（1）理解全概率公式（2）會利用全概率公式計算概率4.事件的獨立性（1）會利用事件的獨立性計算概率§12.4隨機變量及其分布

一、隨機變量

二、離散型隨機變量及其概率分布

四、幾種常用隨機變量的分布內(nèi)容提要

三、連續(xù)型隨機變量及其概率密度第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、隨機變量定義

用來描述實驗結(jié)果的變量叫作隨機變量，隨機變量習(xí)慣上用希臘字母

或

等表示。例如事件A=｛恰有一件次品｝，可用“”來描述或記作A={

}．B=｛次品數(shù)少于3件｝，可用“

”來描述或記作B={

}．第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction§12.5隨機變量的數(shù)字特征

一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望

二、隨機變量的方差

三、常用隨機變量分組的數(shù)學(xué)期望和方差內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction隨機變量的概率分布比較完整地描述了隨機變量的分布．但在實際問題中，確定一個隨機變量的概率分布常常是比較困難的．在某些情況下，有時并不需要完全確定它的分布，而只要了解它的一些統(tǒng)計特征．隨機變量的統(tǒng)計特征可以概括地反映出隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，這些統(tǒng)計特征通常用數(shù)字來描述，所以又叫做隨機變量的數(shù)字特征．隨機變量的數(shù)字特征中最重要和最常用的是數(shù)學(xué)期望和方差．例如，要比較兩個工廠生產(chǎn)的電視機顯像管的質(zhì)量，一方面要比較它們的平均使用壽命，另一方面不要比較每個廠的產(chǎn)品壽命對平均值的分散程度，分散程度大說明產(chǎn)品質(zhì)量不夠穩(wěn)定，分散程度小則說明質(zhì)量比較穩(wěn)定．在概率論中我們把表示隨機變量平均狀況和分散程度的數(shù)字特征分別叫作數(shù)學(xué)期望和方差．

一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

二、隨機變量的方差隨機變量的數(shù)學(xué)期望描述了其取值的平均狀況，但這只是問題的一個方面，我們還應(yīng)知道隨機變量在其均值附近是如何變化的，其分散程度如何，這里我們有必要研究隨機變量的方差．有可能產(chǎn)品的壽命均集中在950~1050小時！有可能一半產(chǎn)品的壽命集中在700小時，另一半產(chǎn)品的壽命集中在1300小時！例：為評估一批燈泡的質(zhì)量好壞，從某種途徑已知其平均壽命為1000小時，即，但不能完全肯定質(zhì)量的好壞！質(zhì)量穩(wěn)定！質(zhì)量相對不穩(wěn)定！有必要找一個量，能夠度量隨機變量相對于的偏離程度。什么量，能夠度量隨機變量相對于E(ξ)的偏離程度