方程組的解題5種常見考法歸類

方程組的解集5種常見考法歸類1、方程組的解集一般地，將多個方程聯(lián)立，就能得到方程組．方程組中，由每個方程的解集得到的交集稱為這個方程組的解集．注意：（1）解方程組常用的方法：消元法．（2）當方程組中未知數(shù)的個數(shù)大于方程的個數(shù)時，方程組的解集可能有無窮多個元素，此時，如果將其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其他未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來．2、二元一次方程組方程組含有兩個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．例如，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,3x－y＝6，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x－3y）＋3＝0，,\f(3x－1,2)－5y＝2))都是二元一次方程組．3、三元一次方程組方程組含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．例如，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,y＋z＝5，,x＋z＝4，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＋z＝4，,2x＋3y－z＝12，,x＋y＋z＝6))都是三元一次方程組．4、二元二次方程組二元二次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)為2，像這樣的方程叫做二元二次方程．二元二次方程組：方程組中含有兩個未知數(shù)，含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)為2，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．注：(1)二元二次方程組有兩種類型：一是由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成；二是由兩個二元二次方程組成，我們主要學習第一種類型．(2)解二元二次方程組的思路是消元和降次．5、用代入消元法解二元一次方程組的步驟(1)變形選取一個系數(shù)比較簡單的二元一次方程進行變形，變形為y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b是常數(shù)，a≠0)的形式．(2)代入把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一個沒有變形的方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．(3)求解解消元后的一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值．(4)回代把求得的未知數(shù)的值代入步驟(1)中變形后的方程，求出另一個未知數(shù)．(5)寫解集用集合表示為{(x，y)|(…，…)}的形式．6、用加減消元法解二元一次方程組的步驟(1)變形根據(jù)同一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值的最小公倍數(shù)，將方程的兩邊都乘適當?shù)臄?shù)，使兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．(2)加減兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時，將兩個方程相加；同一個未知數(shù)的系數(shù)相等時，將兩個方程相減．(3)求解解消元后的一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值．(4)回代把求得的未知數(shù)的值代入方程組中較簡單的方程中，求出另一個未知數(shù)的值．(5)寫解集用集合表示為{(x，y)|(…，…)}的形式．注意：(1)在確定消去哪個未知數(shù)時，要從整體考慮，一般選擇消去后可以使計算量相對較小的未知數(shù)．(2)消去的未知數(shù)一定是同一未知數(shù)，否則就達不到消元的目的．(3)當兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時，用加減消元法較簡單．(4)當兩個方程通過變形用含有一個未知數(shù)的式子來表示另一個未知數(shù)比較復雜時，往往選用加減消元法．7、解三元一次方程組的基本思路8、消元法解三元一次方程組的兩個注意點(1)在確定消去哪個未知數(shù)時，要從整體考慮，一般選擇消去后可以使計算量相對較小的未知數(shù)．(2)消去的未知數(shù)一定是同一未知數(shù)，否則就達不到消元的目的．注；解三元一次方程組時，先觀察三個方程中各未知數(shù)系數(shù)的特點及整個式子的特點，然后確定先要消去的未知數(shù)，再靈活選擇代入消元法或加減消元法將三元化為二元，達到消元的目的．9、“二·一”型的二元二次方程組的基本思想“二·一”型的二元二次方程組的實數(shù)解有三種情況：有一解、兩解和沒有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一個未知數(shù)之后，得到一個一元二次方程．由根的判別式可知，解的情況可能是有兩個不相等的實數(shù)解，兩個相等的實數(shù)解或無實數(shù)解，這樣的二元二次方程組的解也就相應地有三種情況．簡言之，有一個二元一次方程的二元二次方程組的實數(shù)解的情況，一般可通過一元二次方程的根的判別式來判斷．10、解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的步驟：解“二·二”型方程組的基本思想解“二·二”型方程組的基本思想仍是“轉(zhuǎn)化”，轉(zhuǎn)化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：(1)當方程組中只有一個可分解為兩個二元一次方程的方程時，可將分解得到的兩個二元一次方程分別與原方程組中的另一個二元二次方程組成兩個“二·一”型方程組．解這兩個“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解．(2)當方程組中兩個二元二次方程都可分解為兩個二元一次方程時，將第一個二元二次方程分解所得到的每一個二元一次方程分別與第二個二元二次方程分解所得的每一個二元一次方程組成方程組，可得到四個二元一次方程組，解這四個二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解．考點一求二元一次方程組的解集考點二求三元一次方程組的解集考點三求二元二次方程組的解集（一）“二·一”型的二元二次方程組（二）“二·二”型的二元二次方程組考點四方程組在實際問題中的應用考點五已知解集求參數(shù)考點一求二元一次方程組的解集1．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級中學?？茧A段練習）方程組的解集是【答案】【分析】通過解方程組和集合的概念即可求解.【詳解】方程組可知，，從而方程組的解集為.故答案為：.2．（2023秋·上海普陀·高一?？茧A段練習）用列舉法表示方程組的解集為．【答案】【分析】解方程組，并用列舉法表示解集.【詳解】，則，兩式相減得，解得，故，∴方程組的解集為.故答案為：.3．（2023·高一課時練習）若關(guān)于x，y的方程組與的解集相等，則a、b的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由解得，再把代入，求解即可.【詳解】由題意聯(lián)立方程為：，解得，把代入得，解得.故選：B4．（2023秋·上海黃浦·高二格致中學?？茧A段練習）解關(guān)于，的方程組：．【答案】見解析【分析】分別討論、、時的解即可.【詳解】（1）當時，，方程組解為；（2）當時，，方程組無解；（3）當時，兩式相加得，兩式相減得，方程組解為.考點二求三元一次方程組的解集5．（2023·高一課時練習）已知非零實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由方程組即可求解的關(guān)系，進而可求解.【詳解】由兩式子相加可得，所以，所以，故選：C6．（2023春·北京海淀·高一?？奸_學考試）已知方程組，則．【答案】【分析】根據(jù)題目中等量關(guān)系代入即可求解【詳解】令，解得，所以.故答案為：.7．（2023秋·全國·高一專題練習）方程組的解集的是（

）A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)}【答案】A【分析】將第一個式子分別與第二、第三個式子相加消去，可得，求解可得，再代入第一個式子，即得解【詳解】由題意將第一個式子分別與第二、第三個式子相加得：代入第一個式子，可得故方程組的解集為：{(1，－2，3)}故選：A8．（2023秋·遼寧大連·高一大連市第二十高級中學校考階段練習）（1）求方程組的解集；（2）求三元一次方程組的解集.【答案】（1），（2）【分析】（1）將第2個方程化簡變形后，利用代入法求解，（2）給第2個方程兩邊同乘以3，再第3個方程相加，消去，得到關(guān)于的方程，再與第1個方程聯(lián)立求解即可【詳解】（1）由，得，得，代入中得，，得，所以，所以方程組的解集為（2）給兩邊同乘以3，得，再與相加，得，由，得，把代入中，解得，所以原方程組的解集為9．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知是非負整數(shù)，且，則的范圍是【答案】【分析】由①×3﹣②得到2x+y＝0，結(jié)合x、y是非負整數(shù)，得到x＝y(tǒng)＝0，z＝10，進而計算結(jié)果.【詳解】∵①×3﹣②得：2x+y＝0，∵x、y是非負整數(shù)，∴x＝y(tǒng)＝0，z＝10，∴x+5y+3z＝30，故答案為：．考點三求二元二次方程組的解集（一）“二·一”型的二元二次方程組10．（2023秋·全國·高一專題練習）方程組的解集是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】解方程組，再將方程組的解用集合表示.【詳解】由，解得，所以方程組的解集是，故選：D11．（2023·高一課時練習）方程組的解集為.【答案】【分析】利用代入消元法，求解方程組的解集即可．【詳解】由②得代入①，得，整理得，因為，所以此方程無實數(shù)解，故方程組的解集為．故答案為：．12．（2023秋·山東日照·高一山東省日照實驗高級中學?？茧A段練習）（1）求方程的解集；（2）求方程組的解集.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）原方程可化為，即可求解集；（2）由方程組可得，即可求y值，再代入求x值，即可得解集.【詳解】（1）由題設，，解得或，∴原方程的解集為.（2）由題設，，整理有，可得，代入，可得，∴方程組的解集為.13．（2023秋·北京·高一校考期中）求下列方程組的解集：(1)

；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用加減消元法求得正確結(jié)果.（2）利用代入消元法求得正確結(jié)果.(1)，①得：③，③②得：，代入①，，所以方程組的解集為.(2)由①得代入②，，，或，當時，，當時，，所以方程組的解集為.14．（2023·高一課時練習）求方程組的解集.【答案】【分析】利用消元法即可解出方程組.【詳解】由得，代入得：，解得或，當時，；當時，.所以方程組的解為或，其解集為.15．（2023秋·全國·高一專題練習）求下列方程組的解集：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）中由第一個式子可得代入第二個、第三個式子，再作差求解即可；（2）中由第一個式子可得代入第二個式子求解即可；（3）由第一個式子可得代入第二個式子求解即可.【詳解】（1）由第一個式子可得代入第二個、第三個式子可得：，兩個式子作差可得代入可得故方程組的解集為（2）由第一個式子可得代入第二個式子可得解得代入，可得故方程組的解集為（3）由第一個式子可得代入第二個式子可得即解得代入可得故方程組的解集為（二）“二·二”型的二元二次方程組16．（2023·高一課時練習）已知矩形的面積為，對角線長，則該矩形的周長為.【答案】34【分析】設出矩形的長與寬，由題意列出等量關(guān)系求解即可.【詳解】設矩形的長為，寬為.由題意可得：，則，所以，所以該矩形的周長為.故答案為：34.17．（2023秋·高一課時練習）解方程組【答案】{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.【分析】化簡可得x＋y＝0或x－y－5＝0，然后分別與聯(lián)立解方程即可.【詳解】由x2－y2－5(x＋y)＝0?(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0?(x＋y)(x－y－5)＝0，所以x＋y＝0或x－y－5＝0，所以原方程組可化為兩個方程組：或用代入法解這兩個方程組，得原方程組的解是：或或或，所以原方程組的解集為{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.【點睛】本題主要考查解方程組，重在考查計算，屬基礎(chǔ)題.18．（2023·高一課時練習）已知實數(shù)，滿足，，則．【答案】或2或【分析】對分，兩種情況討論得解.【詳解】當時，由題得所以或，所以或2；當時，實數(shù)，是方程的兩個實數(shù)根，所以，綜合得或2或.故答案為：或2或19．（2023·全國·高三專題練習）若相異兩實數(shù)x，y滿足，則之值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得所求表達式的值.【詳解】兩式作差消元得：，反代回去得：，同理可得：，由同構(gòu)及韋達定理有：繼而有：.故選：D考點四方程組在實際問題中的應用20．（2023秋·全國·高一專題練習）某商店有方形、圓形兩種巧克力，小明如果購買3塊方形和5塊圓形巧克力，他帶的錢會差8元，如果購買5塊方形和3塊圓形巧克力，他帶的錢會剩下8元．若他只購買8塊方形巧克力，則他會剩下多少錢（

）A．8元 B．16元 C．24元 D．32元【答案】D【解析】設方形巧克力每塊x元，圓形巧克力每塊y元，小明帶了a元錢，根據(jù)題意得，解得8x＝a－32，由此得解.【詳解】設方形巧克力每塊x元，圓形巧克力每塊y元，小明帶了a元錢，則，兩式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a，∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋(3x＋3y)＝a－8，∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，即他只購買8塊方形巧克力，則他會剩下32元，故選：D.21．（2023秋·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學?？茧A段練習）我國古代書籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”專講盈虧問題及其解法，其中有一題為：“今有（人）共買物，（每）人出八（錢），盈（余）三（錢），人出七（錢），不足四（錢），問人數(shù)、物價各幾何”，請你回答本題中的人數(shù)是，物價是（錢）．【答案】【分析】設人數(shù)為，物價是（錢），根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，即可得解.【詳解】設人數(shù)為，物價是（錢），則，解得.故答案為：；.22．（2023秋·全國·高一專題練習）x人，組數(shù)為y組，則列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，若每組7人，余3人；若每組8人，則缺5人，即可列出兩個方程，即可得答案.【詳解】根據(jù)組數(shù)×每組7人＝總?cè)藬?shù)－3人，得方程；根據(jù)組數(shù)×每組8人＝總?cè)藬?shù)＋5人，得方程，列方程組為故選：C【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用.找出本題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.考點五已知解集求參數(shù)23．（2023·高一課時練習）關(guān)于的方程組的解集為，則.【答案】4【分析】根據(jù)