重難點突破03 三角形中的范圍與最值問題（十七大題型）-2024年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）（解析版）

重難點突破03三角形中的范圍與最值問題

目錄

題型一：周長問題

題型二：面積問題

題型三：長度問題

題型四：轉化為角范圍問題

■方法技巧總結

1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點、難點.解決這類問題，

通常有下列五種解題技巧：

(1)利用基本不等式求范圍或最值；

(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；

(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；

(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；

(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.

要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函

數(shù)值，轉化為函數(shù)關系，將原問題轉化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形

自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結果的范圍過大.

2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：

(1)求角的最值；

(2)求邊和周長的最值及范圍；

(3)求面積的最值和范圍.

?必考題型歸納

題型一：周長問題

例1.(2023?貴州貴陽?校聯(lián)考模擬預測)記A8C內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

(a2+b2-c2)(?cosB+bcosA)=abc.

⑴求C；

(2)若一43c為銳角三角形，c=2,求.ABC周長范圍.

【解析】(1)在ABC中，由射影定理得acos8+A:osA=c,

則題述條件化簡為儲+b2-c2=ab，

由余弦定理得a2+b2—c2=2?Z?cosC.

可得cosC=g,Ce(0,7t),

所以C=5.

(2)在ABC中，

a_b_c_2_4G

由正弦定理得而=癡=菽=；^=亍’

3

4J34J3與一A

則；ABC周長C=a+b+2=2+-----(siM+sinB)=2+------sin4+sin

ARC33

與一A=屈,。,+1)則C=2+4sin(A+已),

因為sinA+sinABC

因為43c為銳角三角形，A+B=y

兀71，兀712兀

則得Aw,AH---￡

6*26i'T

故sin|A+-,1,CABCe(2+2x/3,6].

例2.（2023?甘肅武威?高三武威第六中學校考階段練習）在銳角△ABC中，”=26，（2b-c）coSA=acosC,

（1）求角A；

（2）求△ABC的周長/的范圍.

【解析】(1)V(2b-c)cosA=acosC,

2Z?cosA=acosC+ccosA,

所以2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,

所以2sin8cosA二sin(A+C),

所以2sinBcosA=sinB,

因為sinBwO,所以cosA=g,

0,5,所以A71

~3

a26，

-------————=4

(2)，sinA6

T

b27r

所以=4,所以。=4sinB,c=4sinC=4sin(--B),

sinBsinC

所以/=a+b+c=2v3+4sinB+4sin(——B)=2-73+6sinB+26cosB

=2e+4石sin(B+馬

6

0<^<—

因為△ABC是銳角三角形，且A=?，所以，02，解得g<B<g,

0<紅_262

32

所以嗚嗚等,所以sin（嗚）代』］,

所以/e(6+2"6同

?Iz~?

例3.（2023?全國?高三專題練習）在①2s=AC；②2cos2r-=l+cos2A：③c=GasinC-ccosA;

在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.

在銳角ABC中，內(nèi)角A、B、C,的對邊分別是。、b、c,且______

（1）求角A的大小；

（2）若°=百，求ABC周長的范圍.

（解析】（1）選①，由2s=GAB?AC可得MsmA=&bcosA,

Aw（0,兀），則sinA=GcosA>0,可得tanA=>/J,A=^

選②，由2cos2W^=l+cos2A可得l+cos（8+C）=l+cos2A,

BPcos（7t-A）=2cos2A-l,即2cos②A+cosA-l=0，

171

0<4<兀，則一1VCOSA<1,故cosA=—,A=—

23

選③，由c=V^asinC-ccos4及正弦定理可得由sinAsinC-sinCcosA=sinC,

A、Ce（O,7t）,則sinC>0,所以，&sinA-cosA=2sin（A—^J=l,

故si””2=5,

2

TT47r5兀.7t7T11.兀

—<A—<—，A—=-因此,A=—.

66666f3

bc

（2）由正弦定理可得=2,則/?=2sin8,c=2sinC,

sinAsinBsinC

q+b+c=G+2sinB+2sinC=石+2sin8+2sin[B+y

=3sinB+A/3cos/?+V3=2>/3sinB++>/3,

0<B<-

2

因為ABC為銳角三角形，則〈,可得

A+B>-62

2

所以‘rB+rT,則冬"B+it?,

6

故a+〃+c=26sin（B+t]+6e（3+后,3可

變式L（2023?全國?模擬預測）在銳角A3C中，三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為b,c,且

c-b=acosB-bcosA.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若。=1,求ABC周長的范圍.

【解析】(1)由正弦定理得：sinC-sinB=sinAcosB-sinBcosA,

C=B),sin(A+B)-sinB=sinAcosB-sinBcosA,

/.sinAcosB+sinBcosA—sinB=sinAcosB-sinBcosA,/.2sinBcosA-sin3=0

sin8w0,cosA=—,AG(0?—),A=—

223

⑵由正弦定理：3r裊啦苧acosine,

ABC周長為a+b+c=l+——-sinB+sin容B

3

=1H-----1sinB+sin—cosB—cos—sinB

3I33

=l+^f-sinB+—cosB

3122

=1+2sin(B+^J,

TTTT2允

又銳角,ABC,..0<B<],0<C<5,結合C=-y—8

.-.l+73<l+2sinfB+^>|<3,即周長的范

6236321I6J

圍是（1+6,3].

變式2.（2023?陜西西安?高三西安中學?？茧A段練習）.A3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c且滿足

a-2,acosB=（2c-Z?）cosA.

（1）求角4的大??；

（2）求一/IBC周長的范圍.

【解析】（1）由余弦定理/’「+「一.=（2，_與力+°-”-,^h2+c2-a2=bc,

2ac2bc

所以cosA=1+：=1,因為OvAv兀，所以A=g.

2bc23

bc^2wr-

（2）由正弦定理：sinsinC3，則〃=等血3,c=竺"sinC，

—33

2

*?7T4、6dJ3「

由(1)B+C=-,故a+8+c=2d?——(sinB+sinC)=2+—^sinB+siny-B

=2+—fsinB+—cosB+-sin6>1=2+—4廚f-3sinB+—cosB

2+4sin[B-v—

3I22322)I6

因為0<8(空n工<8+二〈變，則1<sin(B+a兀]41,

36662I6J

所以4<a+A+c46,即周長范圍是（4,6].

題型二：面積問題

例4.（2023?全國?模擬預測）已知在銳角“LBC中,內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為a,b,c,且，n=（2sinx,e）,

n=(cosx,cos2x),f^x^=inn,/(B+C)=0.

⑴求角A的值;

（2）若b=l,求ABC面積的范圍.

【解析】⑴丁m=(2sinx,6),A?=(COSX,COS2X),f(x)=m.",

/(x)=2sinxcosx+>/3cos2x

=sin2x+>/3cos2x=2sinf2x+—j.

"JT

X/(B+C)=O,Asin2(fi+C)+-=0.又4?C為銳角三角形,

2(8+C)+W=2?；?；.2+C=學或工(舍去)，,4=?

3636

（2）由正弦定理知號=3=一二,

smAsinBsinC

TV1

乂二"=1,A=—ci=,

62sinB

sin尋叭正

1cosB百11

H--------------=-------1--------------

S=—absinC88sin388tan3

24sin3

旌嗚

故得到：y<B<|,

’?余

71<3

2

（R

/.ABC面積的范圍為三,一

oo

例5.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預測）如圖，某植物園內(nèi)有一塊圓形區(qū)域，在其內(nèi)接四邊形A5CO內(nèi)種植了

兩種花卉，其中△4?區(qū)域內(nèi)種植蘭花，△BCD區(qū)域內(nèi)種植丁香花，對角線8。是一條觀賞小道.測量可

知邊界AB=60m,BC=20m,4)=C0=4Om.

（1）求觀賞小道B。的長及種植區(qū)域ABC。的面積；

（2）因地理條件限制，種植丁香花的邊界8C,C￡＞不能變更，而邊界AB,A?？梢哉{(diào)整，使得種植蘭花的

面積有所增加，請在54。上設計一點P,使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四邊形P8CO）的面積最大，并

求出這個面積的最大值.

【解析】（1）設BD=xcm,則由余弦定理得cosA="*^^

2x40x60

402+202-X2

cosC=

2x40x20

山四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形得A+C=180。,

403+602-X2402+202-X2

故cosA+cosC=0,

2x40x602x40x20

解得X=204（負值舍去），即80=20阮m.

從而cos4=1,所以A=60。，C=120°,

2

故SABCD=/x40X60Xsin60。+gX40X20Xsin120。=8(X)6.

答：觀賞小道BD的長為204m,種植區(qū)域ABC。的面積為8006m2.

(2)由(1)及“同弧所對的圓周角相等"得/P=ZA=60。.

設PD=mcm,尸3=“cm(n〃>0),

則SRDP=—mn-sinP=—^-mn.

BDP24

在中，由余弦定理有

故S的4700G（當且僅當相=〃=20x/7時等號成立）.

而SKD=-x40x20xsin120°=200G,

因此，種植區(qū)域改造后的新區(qū)域PBCD的面積的最大值為900病mL

答：當為等邊三角形時，新區(qū)域PBC。的面積最大，最大值為900Gm豈

例6.（2023?山東青島?高三青島三十九中?？计谥校┰冖佟?2,@a=b=2,③b=c=2這三個條件中任選

一個，補充在下面問題中，求△ABC的面積的值（或最大值）.已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別

為a,b,c,三邊a,b,c與面積S滿足關系式：4S=b2+c2-a2,且,求AABC的面積的值（或最大

值）.

【解析】45=4,bcsinA=26csinA=〃+/-/,

2

,92

.?sinA=--------------=cosA,..tanA=1

2bc

'/4E（0,乃）,A=—

4f

選擇條件①：當”=2時;根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2hccosA=4^*,?b2+c2=4+2bccosA,

Vb2+c2=4+6bc>2bc（a>0,Z?>0）,

，桃&2a5=4+2友（當且僅當h=c="+2及時取等），

???$皿=；（4+2&）-9=&+1;

選擇條件②：當a=b=2時，1a2=b2+c2-2/?ccosA=4+c2-2\[2c=4,

?*-c=2>/2，**?S=—besinA=—?2-2^2?=2；

222

選擇條件③：當b=c=2,S=-hcsinA=--2-2—=>/2.

222

變式3.（2023?江蘇蘇州?高三常熟中學?？茧A段練習）如圖所示，某住宅小區(qū)一側有一塊三角形空地A8。，

其中。l=3km,OB=36km,NAO3=900.物業(yè)管理部門擬在中間開挖一個三角形人工湖OMN,其中M,

N都在邊A8上（M,N均不與AB重合，M在A,N之間），且NMON=30。.

⑴若M在距離A點1km處，求點M,N之間的距離；

⑵設/BON=6,

①求出:.OMN的面積S關于。的表達式；

②為節(jié)省投入資金，三角形人工湖OMN的面積要盡可能小，試確定6的值，使OMN得面積最小，并求出

這個最小面積.

【解析】（1）VAM=\,OA=3,OB=3拒,ZAOB=90°,AB=6,ZA=60°,

Ij_7i_9]o/o

，由余弦定理OM=』9+l-2x3xlx-=>/y,cosZAMO=—j=—=--f=,sinZAMO=^,

V22V7-12V72y/l

../CA"”?/小KC八3+>/311105

..sinZ.ONM=sin(ZAA7O-4MoN)=—尸----1----?—=—,==—f=.

2V722V724V72V7

y.人A/CA7]MNOMG2>fl17

fl：Z\MON1H------=----------nMN=,7-----x—=—.

sin30°sinZOW525

(2)?'：ZBON=0,：.ZONM=0+-,

6

3月

,4ON36eg~

在△SON中，----=-7-----rnON=-/——

si嗎sin(0+￡)sin^6*+-

3百

_______________3^_____________3A/3

\/3sin2+>/3cos2+4sin^cos0>/3+2sin20

又，ABO中AB邊上的高為任叵=邁"，

62

13627兀

??3=-------------1=------------------=---------}=---------------,0<U<—.

22V3+2sin26?4(>/3+2sin2(9)3

②當sin2。"。=*寸，S&°MN最小且(S°MNL=卷5="2；招)

變式4.（2023?全國?高三專題練習）在一ABC中，SAttC=^BA-BC,BC=3.

（1）。為線段BC上一點，且8=250,4）=1,求AC長度；

（2）若ABC為銳角三角形，求ABC面積的范圍.

【解析】⑴在ABC中，依題意得：-BABCsmB=—BABCcosB,

22

則有Lin8=3cosB，于是得tan8=g,而8e((U),則3=f,

223

又BC=3,CD=2BD,貝」IB￡>=1,CD=2,

在△"￡>中A￡>=1,從而得等邊△ABO,即NADB=(,ZADC=y,

在△ADC中由余弦定理AC?=4^+c￡)2_2AO.CDcosZAOC得AC?=2?+12-221-cosw=7,解得

AC=yfl;

(2)在..ABC中，BC=3,設NBAC=，，由正弦定理處-=-^得:

sinesinA

cos嗚sin0)3(].[)

々「3sin(--0)

AB=3^C=^3:

sin。sin。sin。22tan0

于是得SABC=-B/l-BC-sinB=—?(-+—■—!—),

ABC2422land

rrLTITT

因，ABC是銳角三角形，則0＜〃＜彳，且0＜丁—e＜J,

232

于是有會夕嘮則即。〈熹＜51<1+A_L<2,

222tan。

從而得述＜S.＜唯，

8A/JL2

所以A8C面積的取值范圍是

變式5.（2023?河北?高三校聯(lián)考階段練習）已知在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且

“sin3=G.

bcosA

（1）若（》=2后，6=2,求C的大小;

(2)若6=2,且C是鈍角，求ASC面積的大小范圍.

【解析】(1)/F.ABC1111:‘in：=6,由正弦定理得sinAsinB=GsinBcosA.

AcosA

*/0<B<^,，sin8W0,sinA=V3cosA,

.sinAJ

cosA

又,；0<AV萬，A=y.

在一ABC中，由余弦定理得/=/?2+C2-26CCOSA，BP20=4+C2-4C-^-,

2

解得c=i-JT7(舍去)，c=i+J萬.

；.c=i+Vi7.

(2)由(1)知A=?,

?Fw=；AsinA=*

b2sin

由正弦定理，得一,??bsinC_

sinCsinBc——+1

sinBsinBtanB

=C為鈍角，.?.0<8<9,

36

0<tanB<——■，c>4?

3

??>2百.

即,ABC面積的大小范圍是(2"+8).

題型三：長度問題

例7.(2023?浙江麗水?高三浙江省麗水中學校聯(lián)考期末)已知銳角ABC內(nèi)角AB,C的對邊分別為b,c.

若bsinB一csinC=[b-a)sinA.

⑴求C;

(2)若c=G，求的范圍.

【解析】(1)由正弦定理,teinB-csinC=(b-a)sinA

0b~-c2={b—a)a=^c2=a2+b2-ab

又c2=a2+b2—2abcosC，得cosC

23

(2)因為c=\[3>

「廣"cah-

所以砒=而=藏=2,

a-h=2(sinA-sinB)=2sinA-sin(7t-A-y=2sinA-sin[A+]2sinlA-|j,因為三角形ABC為銳

角三角形,

0<A<-

所以:,解得黃A</

O<B=A_Q62

3

(

令f=所以fw,-l<tz-/?=2sinA-y=2sinr<1,

所以。_匕?7,1).

例8.(2023?福建莆田?高三?？计谥?在；ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，b=2?

(2c-a)sinC=伊+c2-叫

⑴求角5;

⑵求2a-c的范圍.

【解析】(1)(2c=a)sinC=(〃+/-a2)^^=(2c-4)c=〃+，一c/=。2+/一82=〃,，又

8S§/+c2J所以cosB=J,因為5?0,萬)，所以B=f.

lac23

b_a_c_2-73_

(2)在ABC114,111(1)及b=26,得sinBsinAsinCy/3，

T

故。=4sinA,c=4sinC,2t/-c=8sinA-4sinC=8sinA-4sin(當一A]=8sinA一26cosA-2sinA

=6sinA一2百cosA=46sin(A一

因為0<A<生，則一工<A—工<工，

3662

一；<"4一看)<1,一26<4氐m[4一看)<40.

所以2a—c的范圍為卜2^,46).

例9.(2023?重慶江北?高三?？茧A段練習)在71BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別。，b,。，且

(2c2A),、、3

I6FC0Sy+CCOS—\(a+c-b)=-ac.

(1)求角3的大??；

(2)若b=2百，c=x(x>0),當ABC僅有一解時，寫出犬的范圍，并求。一。的取值范圍.

.-,、(2A、7、(6r(l+cosC)c(l+cosA)A.

【解析】(1)[〃cos—+ccos—\(a+c—h)=\----------1----------\(a+c—b)

a+c+(acosC+ccosA)/入、(a+c+b)(a+c-b)a2+c2-h2+2ac3

=---------------------(a+c-b)=-----------------=----------------=—ac,un|nJar2+c~2-Zr=ac,

2222

_a2+c2-h21

二.cosB=---------=—,

lac2

0〈B〈冗,

3

(2)根據(jù)題意，由正弦定理得一c^=「h；，則sinC=xJ,

sinCsinB4

ABC僅有一解，

sinC=1或sinCWsin8,即t=1或0<±W—，

442

二.x=4或0<2G,

當x=4時，C=-,/l=-,所以c=4,a=2,所以〃_0=_2；

26

b

當0<xW2G時，由正弦定理得=4,

sinAsinCsinB

:.a-c=4(sinA-sinC)=4sinIC+—j-sinC

3

=4sinC+—cosC=-4sinfC-—7t,

22I3J

0<C<-,

3

兀萬4,c

—<C——<0

33

,_V|<sin(C——j0?

1,~T

/.-4sinC一即a-ce[0,2石),

綜上，?-ce{-2}[0,25/3).

變式6.(2023?全國?高三專題練習)已知ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為mb,c,且滿足條件;=4,

sin2A+sinBsinC=sin2J5+sin2C.

(I)求角A的值;

(II)求2b-c的范圍.

【解析】(I)山siMA+sinBsinC=sin2B+sin2C?

利用正弦定理可得a2+bc=b2+c2,即bc=b2+c2-a2

故c°sA="^=生」

2bc2bc2

又Ae(0,;r),A=。

hc48g

(11)a=4,A=5，利用正弦定理嬴彳-嬴萬一百高一五一個

2

故H隨sinB,c=述sinC=逋sin《+B)

3333

1

2b-c=2x—sinB--sin(-+B)=sinB-cosB+—sinB

33332

-迪

=^^sin8-4cos8sin8=46sin8-4cos8=8sin[B-^

33

在.ABC中，A=y,故0<B售

--<B--<—,<sin[Z?--<1,-4<8sin(B--<8

6622I6jI6J

所以幼-C的范圍是(T,8)

變式7.(2023?全國?高三專題練習)在AABC中，。，仇c分別是角A,B,C的對邊(“+0+c)(a+〃-c)=3".

(1)求角C的值；

(2)若c=2,且AA8C為銳角三角形，求2a-%的范圍.

【解析】(1)由題意知3+：+c)(a+力-c)=3cb,a1+b2—c2=ab?

由余弦定理可知，cosC=土土二U=

2ab2

TT

又?.?Ce(0,乃)，AC=-.

3

工二工二工二&C

(2)由正弦定理可知，sinAsin8"3，

sin—

3

即々二百百5由A,b=±6sin8,

33

/.2a-h=-\/3sinA-->/3sinB=->/3sinA--V3sin(--A)=?§^sinA—2cosA-^^sinA

3333333

=^^sinA-2cosA=4(^-sinA--cosA)=4sin(A--),

3226

0<A<—

又：八鉆。為銳角三角形，：，則即0<A—￡<W，

CD2乃.16263

所以，0<sin(A-&)V走即0<4sin(A-J)<2g,

626

綜上2a-b的取值范圍為(0,26).

變式8.(2023?山西運城?統(tǒng)考模擬預測)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c.

sin(A-B)_a-b

(1)求證:

sinA4-sinBc

TT

(2)若一43c是銳角三角形，A-B=-,a-h=2f求c的范圍.

sin(A-B)sinAcos8-cosAsinB

【解析】(1)由兩角差的正弦公式，可得

sinA+sin8sinA+sinB

又由正弦定理和余弦定理，可得

?4.a~+c2—.b~c~-cr

smAAcosBD-cosAsin6Da------------------b----------------

2ac2bc

sinA+sinB

a+b

2a2-2b2(a^b)(a-b)a-b

2c(a+b)c(a+b)

sin(A-B)ci-b

所以

sin/A+sinBc

(。一8)(sinA+sinB)4

(2)由(1)知。二(sinA+sinB)

sin(A-B)飛

旦。s.

2J

因為ABC是銳角三角形，所以A=B+g<W，可得0<8<夕,

326

又由A+8吟可得8+尹8>?所以8唱，所以:B+巳音,

所以日

<sin(B+［卜—,可得2點<c<2后，符合c>a-b=2.

2

所以實數(shù)C的取值范圍是(20,26).

變式9.(2023?安徽亳州?高三統(tǒng)考期末)在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知

asinC=ccos(A-看).

(1)求角A的大小;

(2)設//為A43C的垂心，且A"=l,求的范圍.

【解析】(1)由asinC=ccos(A-?

,結合正弦定理得

sinA=cos

IA-6j-.

整理得sin(A-撲0,

又A為銳角，故A=?.

(2)由A記C是銳角三角形，則垂心，必在AABC內(nèi)部,

不妨設Z.BAH=a,

TF

由〃為A4BC的垂心，則NAB"=NAC”=一.

6

在A48〃中使川正弦定理得,

AHBH

,整理得:B"=2sina.

sinZABHsinZBAH

同理在AAC"中使用正弦定理得，CH=2sin^1-a

BH+CH=2sincr+2sin^-6z^=2sin^y+?j,

結合a

可得8"+CH￡(6,2].

題型四：轉化為角范圍問題

例10.(2023?全國?高三專題練習)在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃,b,c,且

(a+/?)(sinA—sin8)=(c—b)sinC.

⑴求A；

(2)求cosB-cosC的取值范圍.

【解析】(1)因為僅+3(sinA-sinB)=(c-Z?)sinC,

所以(a+〃)(a-〃)=(c-Z?)c,即/=b2+c2-hc.

因為a2=b2+c2-2反osA,所以cosA=1.

2

因為A{0卷)，所以A=？.

(2)由(1)知cosB-cosC=cos3-cos(^-8

=cosB+—cosB-----sinB=二cosB-----sinB=>/3cosB+—

2222I6

八2九■八萬

0<------B<一

因為3‘2，所以717T

c,、兀62

因為R+H，所以c°s,+￡|eV

所以C0S8-COS。G

2'2/

(G右、

即cosB—cosC的取值范圍是—~

例U.(2023?全國?高三專題練習)已知ABC的內(nèi)角A、B、。的對邊分別為。、b、c,且

a-h=c(cosB-cosA).

(1)判斷ABC的形狀并給出證明；

(2)若a】b,求sinA+sinB+sinC的取值范圍.

【解析】(1)ABC為等腰三角形或直角三角形，證明如下：

由a-/?=c(cosS-cosA)及正弦定理得，sinA-sinB=sinC(cosB-8sA),

即sin(B+C)-sin(A+C)=sinC(cosB-cosA),

即sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCeosB-sinCeosA,

整理得sinBcosC-sinAcosC=0,所以cosC(sinB-sinA)=0,

故sinA=sinB或cosC=0,

乂A、8、C為ABC的內(nèi)角，所以。=%或。=],

因此43c為等腰三角形或直角三角形.

（2）由（1）及疝8知為直角三角形且不是等腰上角形,

且A+8=三，C=g故8=X-A,且Aw巳，

2224

所以sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+1=sinA+cosA+1=&sinA+—+1,

...7V

因為A,故A+x

2'4

得sin（A+?Jey-,1,所以應sin（A+?J+le（2,&+l）,

因此sinA+sinB+sinC的取值范圍為+.

例12.（2023?河北保定?高一定州一中校考階段練習）設,ABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,0,c,已知

1-sinA_l-cos2B

cosAsinIB

⑴判斷的形狀（銳角、直角、鈍角三角形），并給出證明；

（2）求4“要的最小值.

C

【解析】（1）ABC是鈍角三角形.

由題意可知，-inA上（1二2把嘰sin8,得cosB-sinA-cosB=sinB-cosA,

cosA2sin8cos8cos8

所以cos5=sin(A+3),于是有sinB)=sin(4+B),得］-B=4+B或］-8+4+8=兀，即A+2B=］或

jrrr

又COSAHO,A^-,C=n-(A+B)=-+B>0,

所以ABC是鈍角三角形.

TT7C

(2)由<I)知,C=—+B,A=——2B,WsinC=cosB,sinA=cos2B,

22

4sin2(^-2B)+5sin2B

4a*2+5b24sin2A+5sin?8

所以

sin2C

4cos228+50-cos?8)4(2cos2B-l)?+5(1-cos2B)

cos2Bcos2B

16cos43-21cos之3+9,9

=16cos~9B+--5----21

cos~2Bncos2B

>2J16COS2B?———21=3.

Vcos2B

當且僅當=即COSB=^(3為銳角)，等號成立,

42

所以"二史的最小值為工

C

變式10.(2023?廣東佛山?高一大瀝高中校考階段練習)已知.A8C的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,

c,S.ABAC+BABC=2CACB;

(1)若字=厘，判斷一ABC的形狀并說明理由；

ba

(2)若-ABC是銳角三角形，求cosC的取值范圍.

【解析】(1).ABC是等邊三角形.理由如下:

在,ABC中，由A8.4C+BA-8C=2cA得：cbcosA+cacosB=2bacosC,

由余弦定理得“+廠一"-+礦+廣-少=a2+b2-c2,即/+/=2c2,

22

P0cAp0cR

由正弦定理及一:—=—:—,得sinA-cosA=sinB-cosB,即sin2A=sin2B,

ba

而ABe(O,7t)及A+B€(0,7t),則2A=23或2A+28=兀，

當2A=25時，即A=B,有a=6,此時a=/?=c,所以“LBC是等邊三角形;

TT7T

當2A+28=萬，即4+8=金時，NC=］，有Y+Z/.,與標+心？。?矛盾，

所以ABC是等邊三角形.

(2)由(1)知，a2+h2=2c2,由余弦定理得cosC=里也~>0,C為銳角,

lab4ah

而,ABC是銳角三角形，則cosA=Z±三工