高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 28(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（28）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共7小題，共35.0分）

1.在三棱錐P-4BC中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且48=2,PA=PC=的,

PB與底面ABC所成的角的余弦值為竽，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為（）

C.97r

如圖，四棱錐S-ABC。中，底面是正方形，各側(cè)棱都相等，記直

線S4與直線4。所成角為a,直線SA與平面ABC。所成角為/?,

二面角S-4B-C的平面角為y,則

A.a>0>丫K

彳

B.y>a>p

C.a>y>P

D.y>p>a

3.己知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且尸A、PB、PC的長(zhǎng)分別為以a、6、c,又（a+b）2c=

16夜，側(cè)面PA8與底面ABC成45。角，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（）

A.10?rB.407rC.207rD.187r

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱%&

（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”.如圖，三棱柱4BC-4

48傳1為一個(gè)“塹堵”，底面EMBC是以AB為斜邊的直角三角形且/：

AB=5,4c=3,點(diǎn)P在棱BBi上，且PC1PCr當(dāng)13apG的面積：：，'夕

取最小值時(shí)，三棱錐P-ABC的外接球表面積為（

45湘開

C.3077

D.I-lT

5.平面a過(guò)正方體ABCD-4氏加劣的頂點(diǎn)A,BC11a,點(diǎn)E、尸分別為44、CC1的中點(diǎn)，C^G=

2E，若aC平面ABCD=m,an平面EFG=n,則直線機(jī)與直線〃所成角的正切值為（）

6.將直角三角形ABC沿斜邊上的高A。折成12（）的二面角，已知直角邊48=4%，4c=4病，

下面說(shuō)法正確的是（）

A.平面ZBC，平面ACD

B.四面體?！?BC的體積是苧逐

C.二面角4-BC-0的正切值是?

D.BC與平面AC。所成角的正弦值是更

14

7.正方體4BCD—&B1C1D1中，過(guò)點(diǎn)A作平面&B0的垂線，垂足為點(diǎn)H.以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）

A.點(diǎn)，是AAiBO的垂心B.4"_1平面。81。1

C.A”的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)GD.直線A”和BBi所成的角為45。

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共9小題，共36.0分）

8.在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD中，E為BB1的中點(diǎn)，P為四邊形。。口久內(nèi)一點(diǎn)（包含邊

界），若P4〃平面AEC,則下列結(jié)論正確的是

A.P41BD、B.三棱錐&-P&B的體積為定值

C.線段PA1長(zhǎng)度的最小值為等D.N4PD1的最小值是45°

9.如圖1,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，現(xiàn)將△4BC沿對(duì)角線4c折起，連接BD,形成如圖2

所示的四面體A8CD,在圖2中，設(shè)棱AC的中點(diǎn)為M,的中點(diǎn)為N,下列結(jié)論正確的是（）

A.AC1BD

B.若AC=4或，則四面體A8C￡＞的外接球的半徑為2企

C.若AC=4企，則四面體A8CZ）的體積的最大值為16企

D.若力C=4,且四面體A8CZ）的外接球的球心在四面體的內(nèi)部，則線段長(zhǎng)度的取值范圍

為（2,2百）

10.已知直三棱柱ABC-A/iG中，AB1BC,AB=BC=BB「力是AC的

中點(diǎn)，。為41c的中點(diǎn),點(diǎn)P是BG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到Bq中點(diǎn)時(shí)，直線4P與平面41B1G所成的角的正切值為

V5

B.無(wú)論點(diǎn)P在BCi上怎么運(yùn)動(dòng)，都有4P10當(dāng)

C.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到叫中點(diǎn)時(shí)，才有&P與。Bi相交于一點(diǎn)，記為Q,且詈=：

D.無(wú)論點(diǎn)P在BCi上怎么運(yùn)動(dòng)，直線&P與AB所成角都不可能是30°

11.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一.香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲、開竅的功效.因

地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目.圖1的平行四邊

形ABC。由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成.將它沿虛線折起來(lái)，可得圖2所示的六面體形狀的

香囊.那么在圖2這個(gè)六面體中（）

A.AB與CD是異面直線B.AB與CD是相交直線

C.存在內(nèi)切球，其表面積為以D.存在外接球,其體積為野兀

12.在正方體ABCO-AiBiGDi中，AB=2,E、F分別為BB>C。中點(diǎn)，P是BQ上的動(dòng)點(diǎn)，則下

列說(shuō)法正確的有（）

B.三棱錐P-AEDi的體積與點(diǎn)P位置有關(guān)系

C.平面AEDi截正方體4BC。-公&6。的截面面積為1

D.點(diǎn)占到平面AE￡）i的距離為直

13.如圖，在正方體ABCD4B1GD1中，點(diǎn)P在線段&C上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線3D1JL平面&GD

B.三棱錐P&GD的體積為定值

C.異面直線4尸與&D所成角的取值范圍是弓,丹

D.直線C】P與平面所成角的正弦值的最大值為當(dāng)

14.已知圖1中，A,B,C,。是正方形EFG”各邊的中點(diǎn)，分別沿著AB,BC,CD,D4把△A8F,

△BCG,△CDH,AaDE向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面ABCQ垂直，再順次

連接EFGH,得到一個(gè)如圖2所示的多面體，貝女）

A.A4EF是正三角形

B.平面AEF_L平面CGH

C.直線CG與平面AEF所成角的正切值為企

D.當(dāng)4B=2時(shí)，多面體ABC。-EFG，的體積為|

15.如圖，在正方體ABC。一43修1。1中，點(diǎn)P在線段BQ上運(yùn)動(dòng),

則下列判斷中正確的有

A.平面PBi。_L平面力CD】

B.4P〃平面力CD】

C.異面直線公尸與所成角的取值范圍是（0,外

D.三棱錐久-4PC的體積不變

16.我國(guó)古代仇章算術(shù)少中將上、下兩個(gè)面為平行矩形的六面體成為芻童.如圖芻童4BCD-EFGH

有外接球，且AB=5,AD=>f7,EF=4,EH=2.平面A8CD與平面EFGH的距離為1,則下列

說(shuō)法中正確的有（）

A.該芻童外接球的體積為36兀

B.該芻童為棱臺(tái)

C.該芻童中AC,EG在一個(gè)平面內(nèi)

D.該芻童中二面角B—AD—H的余弦值為更

5

三、填空題（本大題共7小題，共35.0分）

17.在梯形ABCD中，AD//BC,AB1BC,AD=2AB=2BC=2,

將么ABC沿對(duì)角線AC翻折到△力MC,連結(jié)MD.當(dāng)三棱錐M-ACD的

體積最大時(shí)，該三棱錐的外接球的表面積為

——

18.分別為菱形ABC。的邊BC,CD的中點(diǎn)，將菱形沿對(duì)角線AC折BL------得

起，使點(diǎn)。不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過(guò)程中,以下命題正確的是___________.（寫出所有正

確命題的序號(hào)）

D

Ozz

AA

①M(fèi)N〃平面ABD；②異面直線4C與所成的角為定值：③在二面角D-4C—8逐漸漸變

小的過(guò)程中，三棱錐。-4BC的外接球半徑先變小后變大；④若存在某個(gè)位程，使得直線

與直線BC垂直，則的取值范圍是（0《）.

19.如圖是一正方體的表面展開圖.B、N、。都是所在棱的中點(diǎn).則在原正方體中①M(fèi)N與CD異面;

②MN〃平面PQC；③平面MPQ1平面CQN；④EQ與平面AQB形成的線面角的正弦值是|；⑤

二面角M—BQ—E的余弦值為:其中真命題的序號(hào)是.

20.如圖，已知在正方體ABC。一冬當(dāng)加為中，4B=4,點(diǎn)E為棱CG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面BE%與

棱4公交于點(diǎn)尸，給出下列命題：

①無(wú)論E在CG如何移動(dòng)，四棱錐/-BE/F的體積恒為定值；

②截面四邊形BED/的周長(zhǎng)的最小值是84；

③當(dāng)E點(diǎn)不與C,G重合時(shí)，在棱AO上恒存在點(diǎn)G,使得CG〃平面BE。1；

④存在點(diǎn)E,使得&D1平面ADiE；

其中正確的命題是.

21.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著仇章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱

）稱之為“塹堵”.如圖，三棱柱ABC—aBiG為一個(gè)“塹堵”，底面ZL4BC是以AB為斜邊的直

角三角形，且48=5,4c=3,點(diǎn)P在棱B區(qū)上，且PC1PG，當(dāng)ZL4PG的面積取最小值時(shí)，

三棱錐P-4BC的外接球的表面積為.

22.如圖是一正方體的表面展開圖8、N、Q都是所在棱的中點(diǎn).則在原

正方體中(1)MN與CD異面；(2)MN〃平面PQC；(3)平面MPQ1平

面CQM(4)EQ與平面AQB形成的線面角的正弦值是|；(5)二面

角M-BQ-E的余弦值為，其中真命題的序號(hào)是

23.下列四個(gè)命題正確的是

(X)a//b,b〃c=Q〃C(2)a1b,b工c0alic

(3)a//a,bua=Q〃匕(4)a//6,b//aa//a

四、解答題(本大題共7小題，共84.0分)

24.如圖，在四棱錐尸一48CD中，底面ABCO為直角梯形，其中=PC=AD=

2CD=^AB=2,點(diǎn)E在線段4。上，DE=ADA(O<A<1),CEJL平面PBC.

p

(1)求;l的值；

(2)求點(diǎn)B到平面PCE的距離.

如圖，已知多面體，均垂直于平面

25.ABC&BiGArA,B$,QCABC,AABC=120%41A=4,

CrC=1,AB=BC=B]B=2.

B

⑴證明:平面為B1G；

⑵求直線4G與平面ABB1所成的角的正弦值.

26.如圖，四棱錐P-4BCC的底面為正方形，PZ)，底面4BCD.設(shè)平面與平面P8C的交線為

(1)證明：11平面PDC;

(2)已知P0=4C=l,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面QCQ所成角的正弦值的最大值.

27.如圖(1)所示，在直角梯形2CEF中，BFHCE,Z.FBC=90°,CE=2BF=4,BC=L點(diǎn)A,

。分別是線段BF和CE上的動(dòng)點(diǎn)，且4D//BC.將四邊形AOEF沿AO翻折后成多面體A8CCEF,

如圖(2)所示.

(1)求證：BF〃平面CCE；

(2)若平面4DEF_L平面ABCD,多面體4BCDE尸的體積為點(diǎn)求C￡＞的長(zhǎng).

28.如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)(異于A,B),已知48=2,AE=小，四邊形BEDC

為矩形，平面ABC1平面BCDE.設(shè)平面EAD與平面ABC的交線為I.

AB

(1)證明：11平面AC。；

(2)當(dāng)三棱錐4-BCE的體積最大時(shí)，求平面AOE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

29.如圖，在四邊形48CZ）中，AB//CD,4ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE1平面A8CD,

EF//BD,ELBD=2EF.

(I)求證：平面ADE，平面BDEF；

(II)若二面角C-BF-。的大小為60。，求CF與平面ABCD所成角的正弦值.

30.如圖所示，直角梯形ABC。中，AD//BC,4014B,AB=BC=2AD=2,四邊形EDCF為矩

形，CF=V3.平面EDCF1平面ABCD.

(/)求證：DF〃平面ABE；

(〃)求平面A8E與平面EFB夾角的余弦值.

(〃/)在線段。尸上是否存在點(diǎn)P,使得直線8P與平面A8E所成角的正弦值為手，若存在，求出

線段8P的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、球的體積計(jì)算公式、余弦定理、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理，

考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于較難題.

如圖所示，取AC的中點(diǎn)。，連接BO,PD.由BC=4C,PA=PC,利用等腰三角形的性質(zhì)，線面垂

直的判定定理即可得出：4cL平面P2D,進(jìn)而得出：平面PBD_L平面A2C,可得為PB與底

面48c所成的角，其余弦值為苧.在APBD中，設(shè)PB=x,利用余弦定理可得：X.由PB=3,取PB

的中點(diǎn)0,連接0。，利用余弦定理可得00，可得點(diǎn)0為三棱錐P-ABC的外接球的球心，即可得

出外接球的體積V.

解：如圖所示，取AC的中點(diǎn)。，連接B。，PD.

■：BC=AC,PA=PC,

■■■AC1BD,AC1PD.BDHPD=D,BD,PDu平面P8O,

AC1平面PBD,又ACu平面ABC,

???平面PBO_L平面ABC,

LPBD為PB與底面48c所成的角，其余弦值為也.

3

AC==2V2?

PD=yjPA2-AD2=W，

在4PBD中，設(shè)PB=x,由余弦定理可得：cos乙PBD=—=>+（尤*（叫

32V2x

解得x=3,即PB=3,取尸B的中點(diǎn)。，連接?！?gt;,則0。2=（@2+（|）2-2X/X|X￥=[,

解得。D=

0D2+DB2=OB2,OD1DB.

可得點(diǎn)。為三棱錐P—ABC的外接球的球心，其外接球的半徑r=|,體積昨等x(|)3=等.

故選A.

2.答案：C

解析：

【試題解析】

本題考查異面直線所成角、直線和平面所成角和二面角的概念和計(jì)算，屬于中檔題.

過(guò)S作SO,平面ABC。，過(guò)。分另I］作F,連接。4,SE,SF,貝U

ZS.4Fn,ZS.4O3、￡SEO二7,應(yīng)用正切函數(shù)知識(shí)求解，而后比較大小，即可得出答案.

解：如圖，過(guò)S作SO_L平面4BCD,過(guò)。分別作OE_LAB.OF_L.4O于E、F,連接O4,SE,SF,

則ZSAF=a,￡SAO=卅NSEO=7，

因?yàn)閠an￡=當(dāng)<tany=巳所以0<y,

UAUt,

因?yàn)閠any=能Vtana=彩所以yVa,

OEAr

綜上可得，a>y>p,

故選C.

3.答案：A

解析：

本題考查基本不等式：a2+b2>2ab,三棱錐的體積公式，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，

二面角的平面角.屬于中檔題.

V=3abc(Lx“a+b)2c="=*,當(dāng)a=b時(shí)取”="，即a=b時(shí)，三棱錐的體積最大.過(guò)戶

664243

作底面4BC的垂線，垂足為0,連接C。并延長(zhǎng)交AB于。，并連接PO,能夠說(shuō)明NPDC是側(cè)面P4B

和底面ABC所成二面角的平面角，所以NPDC=45。.在直角三角形中，根據(jù)邊角的關(guān)系可求得c=熠,

2

由體積求得。的值，再求出外接球的半徑，利用表面積公式求解.

解：如圖，

因?yàn)?a+b)2=a2+2ab+爐》4a6(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))，

根據(jù)已知條件得：V=|abc<|xi(a+b)2c=噤=苧(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))，

過(guò)戶作底面A8C的垂線，垂足為0,連接C。并延長(zhǎng)交AB于。：

???PC1PA,PC1PB,PAQPB=P；

PC_L平面PAB,ABu平面PAB；

???PC1AB,BP/IF1PC；

又PO1底面ABC,ABu底面ABC-,

???POLAB,即AB_LP。，PCnP0=P；

AB1,平面PCO,COu平面PC0-.

???ABLCO,即4BJ.CD,連接PC,???4B1PO,AB1.CD,CDnPO=0；

AB_L平面PCD,PDu平面PCD；

ABLPD,"DC是側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，；.乙PDC=45°；

.,?在RtaPCD中，/.CPD=90°,Z.PDC=45°,

_yj2ay/2a

PC=c=PDtan450=——?tan45°=——

22

?1.V~-abc=—a3=—，解得：a=b=2,c=V2.

6123

???外接球的半徑為，az+bz+cl=卜+22+兩=叵,

2~2-2

???外接球的表面積為47rx（乎）IOTT.

故選A.

4.答案：D

解析：

本題考查幾何體外接球的表面積計(jì)算，注意根據(jù)幾何體的特征，合理確定球心的位置，屬于較難題.

令4PCB=e=4CiPBi，則C/=白，CP=^-,4P=卜+d)2=+$

11sm0coseykcos077cos20

2

可得SAAPC=-C1P-AP=/164+^-+64tan0,當(dāng)且僅當(dāng)盧聶=64taM9時(shí),

22

△A尸52iqtan0tan0

SMPQ取最小值，42=36.可得42為外接球直徑，即可求解；

解：令乙PCB=8=cC\PBi，

則GP=T—r,CP=——r,AP-)9+(――r)2=19H—

smOCOS。yj、cos6，7COS20

又因?yàn)锳C_L平面CBBiG，GPu平面CBBiG

所以ACiqP,

又CPICiP,ACQCP=C,AC,CPu平面ACP

所以GP_L平面ACP,-：APu平面ACP,

所以4C1PA=90°.

/4(sin20+cos2^)/g16(sin20+cos20)J(4+^^)(25+16tan261)=J164++64tan26(

{sin20dcos20

當(dāng)且僅當(dāng)熱=64tan2。時(shí)，S^pq取最小值，

此時(shí)tan。=—，

2

AP=卜+^；=V25+16tan20=3通.

yjcos20

在三棱錐P-ABC中，因?yàn)镹ACP=Z71BP=90。，取AP中點(diǎn)為O,

則OC=OB=|/IP=OA=OP,

故0為三棱錐P-ABC的外接球的球心,

所以AP為外接球直徑，

S球=4nR2=71Ap2=457r.

故選D

5.答案：B

解析：

本題考查異面直線所成角的求法以及正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

取aDi的三等分點(diǎn)N,使得以N=可補(bǔ)正方體4B/K-4B/H,作平面EFG與正方體

ABiQDi-ABCD的截面，畫出圖形，設(shè)4B=3,判斷出機(jī)、〃所成角，通過(guò)計(jì)算求解即可

解：如圖，取公。1的三等分點(diǎn)M使得5N=：N4，

可補(bǔ)正方體AB/K-a/i/H,如圖，作平面EFG與正方體4道16。1-4BC。的截面，設(shè)4B=3

而D[N=|41D1=1

又點(diǎn)E、尸分別為44、eq的中點(diǎn)

則AKi=Ah=A”=2

BCi1BI,BG1AB

又B/CAB=B

：.8cl1平面ABIH,

則平面ABIH即為平面a,

因此直線M/i為直線〃，直線4B為直線機(jī)

則N4/1M為直線m與直線n所成角

設(shè)AM=a,MH=b

由△HKIMSAHMN得

(a+b=3>/2

I

U5

解得Q=迎

7

在Rt△句iM中，tan4VlM=絲=越.

A/17

故選&

6.答案：D

解析：

本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查二面角，線面角，棱錐的體積，考查空間想象能

力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于較難題.

A,由題意可知NBDC為B-力。-C的平面角，即NBDC=120。，即可判斷；

B,四面體D-ABC的體積V=：XSABCDX4。；

C,根據(jù)題意先利用直角三角形求出AO,BD,DC,再利用余弦定理求出8C,利用面積法求出。F,

利用定義證明445。為二面角4-BC-。的平面角，在三角形AZ)F中求出此角即可；

D,BC與平面4。所成的角是NBCC,解得其正弦值計(jì)算即可.

解：沿4。折后如圖，

由題易得40_LC0,AD1BD,CDCBD=D,

AD_L平面BCD,BCu平面BCD,

所以AD1BC,

且易知NCDB是二面角C一4。-B的平面角,

故NCDB=120°,CD=8,BD=4,AD=4位.

在ACDB中，由余弦定理得=CD2+BO2-2CD-BDCOS120。，可得BC=4近,

過(guò)點(diǎn)。作。F1BC于凡連接A凡則/尸J.BC,

由面積相等得:「。-3。曲112。lDFBC,可得。F=犯紅.

227

①易知平面A8C與平面AC。不垂直，A錯(cuò)；

②由于力-ABC=^A-BCD~^SRBCD，人。

="(；x8x4xsin1200)x4V

2B錯(cuò);

3

③易知乙4尸。為二面角4-BC-。的平面角,

ttuiAAFD=—

DF

4V2V42…

=亙=虧，c錯(cuò)；

7

④BC與平面ACD所成的角是NBCD,

sinNBC。=—=—.。正確.

CD14

故選：D.

7.答案：D

解析：

【試題解析】

本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定和性質(zhì)，異面直線所成的角，屬于較難題.

由線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直，說(shuō)明，是三角形&BD的垂心，判斷A的正誤；由面4BD,

平面4BD〃平面可得4Hl平面CBiDi；由過(guò)一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條，可得

A4與4G重合，判斷C正確；通過(guò)解三角形求得直線A”與所成的角，即可判斷Q.

解：依題意，作出圖形，如圖所示，

因?yàn)?H1平面BCu平面&BD,

所以BDLAH,

因?yàn)樗?，平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以8。1441，

又4"n441=4,AH,441u平面A4iH,

所以BD_L平面441H,又41Hu平面441H,

所以41H1BD,

同理可證BH_L4i。，

所以點(diǎn)H是AAiBD的垂心，A正確；

正方體ABCD-Z/iGDi中，

易知B15//B0,Bi。1C平面4iBD,BDu平面41BD,

所以回。1〃平面

同理〃平面4BD,

又皿03也=。1，CD1，B15u平面CB1D1，

所以平面4BD〃平面CB/i，

所以AH1平面CB15，B正確;

在正方體4BCC—4B1GD1中，可知BDJ.4C,BD1CCr,

5LACnCCi=C,AC、CCiu平面"。出，

所以BD_1平面4CG&,又4Gu平面ACC1人,

所以AQ1BD,

同理可得，力C114D,

又BOn&D=D,BD、&Du平面&BD,

所以4cl，平面4/。，

因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，

所以ZG和重合，故C正確；

因?yàn)?41//8當(dāng),

所以NaAH為直線AH和SB1所成的角或其補(bǔ)角，

設(shè)正方體力BCD-的棱長(zhǎng)為1,則=1,

△4BD是邊長(zhǎng)為魚的等邊三角形，點(diǎn)〃為△A/D的垂心，即為重心，

則A/=9，sinN&AH—智=日，

所以乙414H豐45°,所以直線A4和BBi所成的角不是45。，

故。錯(cuò)誤.

故選D

8.答案：BCD

解析：

本題主要考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，棱錐體積的求法，點(diǎn)到線的距離問(wèn)題，以及運(yùn)用基本

不等式求最值問(wèn)題，屬于中檔題；取中點(diǎn)為G,易得平面aCG〃平面從而得

P4〃平面也就明確點(diǎn)P在線段GG上，進(jìn)而取特殊情況點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，顯然不符合A；

運(yùn)用等體積法，易得B正確；由題意知線段P4長(zhǎng)度的最小值為點(diǎn)4到線段GG的距離人，運(yùn)用等面

積法，易得h；在RtAAP"中，根據(jù)8s=布=&干=了有，結(jié)合基本不等式即可求得

乙4$Di的最小值.

解析：

對(duì)于A：取。5中點(diǎn)為G,連接&G,易得小G〃平面AEJ,又.1|C〃平面AEC,

且4GC41cl=A\,A\G,A\CiC平面4GG,所以平面AiGG〃平面AEC,

又P是四邊形。CC15內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），PA〃平面AEC,

所以點(diǎn)尸在線段CiG上，

當(dāng)點(diǎn)P在G處時(shí)，顯然P4與不垂直，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：咚拗一尸人/=咚椅推戶-從山場(chǎng)=咚掩=QXQX2X2X2=Q,故5正確;

JN?5

對(duì)于C：線段P4長(zhǎng)度的最小值為點(diǎn)兒到線段QG的距離上在△&GG中，

易得41G=GG=低41cl=2近，

故由等面積法得］xV5x/l=1x2V2xJ（伺2一（匈2,

所以線段P①長(zhǎng)度的最小值％=等，故C正確；

對(duì)于。：設(shè)￡）iP=x,x€［誓,21易得&P=7x2+%

所以COSN&P。］=訴=忘<三，

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),等號(hào)成立，又N&PD16［0°,180°］,

所以乙4/5的最小值是45°,故。正確.

故選BCD.

9.答案：ABD

解析：

本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理，四面體的外接球的體積，屬于較難題.

利用面面垂直的判定與性質(zhì)判斷4先確定球心為何，再求出半徑判斷B；當(dāng)平面BAC與平面4。

垂直時(shí)，體積最大，判斷G利用球心與三棱錐的底面的外心垂直于底面確定出球心的位置，再利

用已知的數(shù)據(jù)分析出線段的取值范圍.

解：4連接BM,DM,因?yàn)榱庑蜛BC。，

所以力C_LBM,4clOM,BMCtDM=M,BM,DMu平面8cM,

所以4CJ_平面8OM,8。<=平面3?！ǎ?/p>

所以ACLBD,故A正確；

8.若4c=4近，因?yàn)?2+42=（4立）2,所以NCB4=乙4。。=90。，所以M為外接球的球心，則四

面體ABCD的外接球的半徑為|AC=1X4V2=2近，故B正確；

C若4c=4近，若平面BAC與平面ACC垂直，則四面體ABCD的體積的最大,

此時(shí)四面體ABCD的體積為!x|x4V2x2V2x2V2=

則四面體A8CD的體積的最大值為處2故C錯(cuò)誤.

3

D由題意△ABC的外心01在中線8M上，過(guò)01作直線及，平面A8C,垂足為0「

同理，△4DC的外心。2在中線。M上，過(guò)。2作直線GJ■平面ADC,垂足為外，

由題意得，2u平面BDM,

由對(duì)稱性得，1，L的交點(diǎn)。在MN上，

根據(jù)外接球的性質(zhì)得。是四面體A-BCD的外接球的球心，

???四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為4的菱形，其對(duì)角線4C=4,

DM=BM=4x?=2遍，CMAM=2,0rM=痘,

設(shè)4BMN=0,()</?<；*,

MN=BMcosG=2\p3cos6<2V3>

CMN0M

vcos0=——=1,

BMOM

OM-MN=0rM?BM=4,

OM<MN,MN2>14,MN>2.

綜上，線段MN長(zhǎng)度的取值范圍為(2,2b).故。正確.

故選ABD.

10.答案:ABD

解析：

本題考查了異面直線所成角，直線與平面所成的角的求法，也考查了空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等應(yīng)用問(wèn)題，考查了空間想象能力、運(yùn)算求解能力，屬于較難題.

根據(jù)題意，分別對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.

解：設(shè)AB=BC=BB1=2,

對(duì)于A,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BG的中點(diǎn)時(shí)，取BiG的中點(diǎn)N,

則PN〃BiB,B/l平面814C1，

所以PN_L平面BMiCi，連接&N,

直線4P與平面4B1G所成的角是NP4N,

2

PN=1,&N=131T81cly=V5.

tan/PAiN=言=t=學(xué)所以A正確：

對(duì)于B,補(bǔ)形成正方體ABCM-

則。Bi與正方體對(duì)角線BiM重合，

MC，面為8。。1，BC]u面B1BCC1，

所以MC1BG，

又BGJ.B1C,MCnBrC=C,MC,&Cu面/MC,

所以BG_1_面/”。，

因?yàn)锽IMu面B】MC,所以BG1

同理BGCiBA】=B,BCX,u面&GB,

所以J?面4QB,即O&l面&BG，

又41Pu面4BC1，

所以AJLOBi，因此B正確；

對(duì)于C,P為BG的中點(diǎn)時(shí)，有4P與OB1相交于一點(diǎn)。,

在AAiBiC中，P也是&C的中點(diǎn)，Q是A/liBiC的重心,

PQ1

由重心性質(zhì)可知方7~所以C不正確;

對(duì)于D,A^J/AB,直線&P與A8所成角即直線4P與4/1所成角,

當(dāng)點(diǎn)P從8運(yùn)動(dòng)到G時(shí)，異面直線&P與&Bi所成角由大到小再到大，

且P為BQ的中點(diǎn)時(shí)角最小，其正切值為整=">￡,最小角大于30。，所以。正確;

Al%23

故選：ABD.

11.答案：BC

解析:

本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查球的表面積，題目較難.

折起后，根據(jù)各點(diǎn)的位置，即可判斷選項(xiàng)A、8；點(diǎn)。到六個(gè)面的距離相等，因此O即為六面體的

內(nèi)切球的球心，根據(jù)條件求出球半徑，即可判斷C；△48。的中心為。，點(diǎn)0到頂點(diǎn)M、Q的距離

與點(diǎn)。到點(diǎn)A、B、。的距離不等，可判斷D.

解：如圖所示：

折起后，4c重合，BP重合，ND重合，因此AB與相交，A錯(cuò)誤，B正確；

折起后，設(shè)等邊三角形ABD的中心為。，取AB中點(diǎn)T,連接QT,0T,在RHOTQ中，作OEJL7Q于

點(diǎn)、E.

由4BL0T,AB10Q,且OQ、0T為平面0T。中的兩條相交直線，所以4B_L平面07Q.

又OEu平面0T。，所以AB10E.又7。、AB為平面AB。中的兩條相交直線，所以0E1平面ABQ.所

以0E即為六面體的內(nèi)切球的半徑.

因?yàn)槠叫兴倪呅魏印Ｓ闪鶄€(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成，所以。A=OB=OC=^OT=*QT=今

因此。Q=J(3-(剪罟

在RtAOTQ中，可求得0E=互算=當(dāng)所以內(nèi)切球的表面積為:

若該六面體有外接球.根據(jù)。4=。8="=爭(zhēng)0Q號(hào)可知，點(diǎn)。不是六面體的外接球的球心.

所以不存在點(diǎn)到頂點(diǎn)M、Q的距離與到點(diǎn)A、B、。的距離相等，因此，該六面體沒(méi)有外接球.故。

錯(cuò)誤.

故選BC.

12.答案：AC

解析：解：A選項(xiàng)，取AB中點(diǎn)G,連接FG,4G,記4G與4E交點(diǎn)為0,

在正方體ABC。-Z1B1GD1中，AAr=AB,^ArAG=/.ABE=p

因?yàn)镋,F分別為BB],CQ中點(diǎn)，所以AG=BE,FG//AD,

HiltRtAAXAG=Rt△ABE,所以NAAiG=NB4E,/.A^GA=Z.AEB,

因此NtMG+40GA=/BAE+Zu41G4=],因止匕4A0G=],BPAE].AXG,

又在正方體ABC。-?力道傳1。1中，ADJ_平面ABB12,所以FGJ■平面ABB14,

因?yàn)榱u平面ABB14，所以尸G14E,

又4GCFG=G,FG,&GU平面&FG,即4E_L平面/hFG,

所以4/14E,故A正確.

8選項(xiàng)，因?yàn)樵谡襟w中4B〃Ci5，且4B=CiD「

所以四邊形ABC1。1為平行四邊形，

因此BCJ/ADi，又BG，平面AEDi，ADru平面AED「

所以Bq〃平面AE。].

因此棱BQ上的所有點(diǎn)到平面AECi的距離都相等，

又P是棱BQ上的動(dòng)點(diǎn)，

所以三棱錐P-AEDi的體積始終為定值，故B錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，取BiG的中點(diǎn)M,連接EM,MD1，則EM〃BC「且￡”=加6，

則EM//AD1,

又正方體中，AB=2,所以MD】=4E=72?+M=一,

BCi=ADr=2傳

因此EM=|BCX=V2,

所以平面AEDi截正方體ABCD-&B1GD1所得截面為等腰梯形EM^A,

因此該等腰梯形的高為闖用一蘆聲悔=6|=竽.

所以該截面的面積S="力。1+EM)?h=￡故C正確.

。選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)4到平面AEDi的距離為以

因?yàn)锽B"/平面441。山，

所以點(diǎn)E到平面4415。的距離為AB=2,

即點(diǎn)E到平面的距離為2,

所以'f.LhDj；S△乩415X2=；；2?2；,

222

在△AECi中，ADr=2V2,AE=V5.ED1=V2+2+I=3.

所以cos?。］=墨亳=噂，因此sin/Eg=罌,

所以SEAD.=g?AD】?AE?sm^EAD1=/2夜?6?警=3，

'又=匕1-4ED1=3'SAAEDI,d=§,所以d=g,

即點(diǎn)&到平面AED1的距離為%故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

A選項(xiàng)，取AB中點(diǎn)為G,連接FG,&G,記&G與AE交點(diǎn)為O,根據(jù)線面垂直的判定定理,可得AE1

平面&FG,進(jìn)而可得&F1AE.

B選項(xiàng)，證明BG〃平面AEDi，即可判定B錯(cuò).

C選項(xiàng)，補(bǔ)全截面，得到平面AE/截正方體ABC。-4BiGA所得的截面為等腰梯形，進(jìn)而可根據(jù)

題中條件，求出截面積.

。選項(xiàng)，根據(jù)等體積法，由=以「4￡5,求出點(diǎn)到的距離，即可判定.

本題考查立體幾何中，直線與直線位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，體積，截面積，解題中注意等體積

法的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.答案：ABD

解析：

本題考查線面垂直的判定，異面直線所成角，線面角，考查空間想象能力及邏輯推理能力，屬于較

難題.

在選項(xiàng)A中，推導(dǎo)出為C11BD1，DCJBDi，從而直線8劣_L平面&的。；在選項(xiàng)B中，由&C〃平

面4GD,得到P到平面4GD的距離為定值，再由△4GD的面積是定值，從而三棱錐P-4G。的

體積為定值；在選項(xiàng)C中，可得異面直線AP與4。所成角的取值范圍是1.J；在選項(xiàng)。中，以力

為原點(diǎn)，D4為x軸，DC為），軸，。名為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可.

解：在選項(xiàng)A中，

也，AiG_LBBi，B1D1nBB1=Br,

4G1平面BB1D1，BQu平面BBiA，&Ci_LBO】，

同理，DC11BDi，

???4GnDg=G，.?.直線BQ1平面AiGD,故A正確；

在選項(xiàng)B中，

VA\D〃B\C,AXDU平面&Cl。,B￡平面&G。，

???BiC〃平面&Ci。，：點(diǎn)P在線段BiC上運(yùn)動(dòng)，

P到平面4G。的距離為定值，又△4G。的面積是定值，

???三棱錐P-&GD的體積為定值，故B正確；

在選項(xiàng)C中，

???41?！?傳，.?.異面直線AP與4。所成角為直線AP與直線&C的夾角.

易知△AB】C為等邊三角形，

當(dāng)P為B]C的中點(diǎn)時(shí)，4P1B1C；

當(dāng)戶與點(diǎn)名或C重合時(shí)，直線AP與直線BiC的夾角為二.

故異面直線AP與乙。所成角的取值范圍是；.不，故C錯(cuò)誤；

在選項(xiàng)。中，

以。為原點(diǎn)，D4為x軸，力C為y軸，DQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABCD—4B1GD1的棱長(zhǎng)為1,P{a,\,a),則G(O,1,1),8(1,1,0),。式0,0,1)，

守=(a,0，a-1)，D^B=(1,1,-1).

由A選項(xiàng)正確：可知而=(1,1,一1)是平面的一個(gè)法向量，

\C[PD^B\_1_1

???直線C[P與平面&C1。所成角的正弦值為：|物.函I=Ja2+(a-l產(chǎn)於=點(diǎn)/2(即字+?

???當(dāng)a=：時(shí)，直線QP與平面&C1。所成角的正弦值的最大值為亭故。正確.

故選ABD.

14.答案：AC

解析：

本題考查幾何體的體積、線面垂直的性質(zhì)、異面直線所成角，屬于難題.

對(duì)于A,利用折疊之后圖形變換即可判斷，對(duì)于B和C,利用空間直角坐標(biāo)系，求得平面法向量,

即可得到答案，對(duì)于。，根據(jù)空間幾何體的體積公式可得答案.

解：因?yàn)镋,尸在平面ABC。的射影分別為A￡>,AB中點(diǎn)，所以在圖2中，

H

EF=：BD,由圖1可知，AF=AE=^BD,故A正確;

對(duì)于8和C,可建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AC=4,

則有4(2,0,0),C(-2,0,0),遮)，F(xiàn)(1,1,V2),夜)，H(-1,-1,V2)

可知，CG=(1,1,72)，CH=(1,-1,V2),

設(shè)平面CGH的法向量元=(x,y,z),

則g.旦=0,易得平面CGH的一個(gè)法向量元=(V2,0,-1)，

同理可得，平面AE尸的一個(gè)法向量沅=(夜,0,1),

平面CG”的一個(gè)法向量元=(四m.n=10,

所以平面AEF和平面CG”不相互垂直，所以B錯(cuò)誤；

記直線CG與平面AEF所成角為仇

sin”|cos畫洞1=禺儒=爭(zhēng)

所以tan6=V^,故C正確；

對(duì)于。，當(dāng)48=2時(shí)，下底面面積為4,上底面面積為2,高為1,

所以所求多面體的體積為V=4x1-gx(4-2)x1=與，故O錯(cuò)誤.

故選AC.

15.答案：ABD

解析：

本題主要考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判

定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想.利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.

連結(jié)。8,容易證明OB】上平面AC%,從而可以證明面面垂直；連接&B,&G容易證明平面B41cJ/

平面從而由線面平行的定義可得；分析出41P與4歷所成角的范圍，從而可以判斷真假

；VD1-APC=VP-AD1C＞尸到平面4。住的距離不變，且三角形4/C的面積不變，從而可以判斷真假.

解：對(duì)于A,連結(jié)。8,因?yàn)檎襟w中，BBil平面ABC。，AC在平面ABC。內(nèi)，所以BaIAC,

又因?yàn)镈B1AC,DB,BBi為平面內(nèi)兩條相交直線，所以AC_L平面。,因?yàn)樵谄矫鍻BB1

內(nèi)，所以DB1J.4C,同理可得J.4D1，4么、AC為平面AC以內(nèi)兩條相交直線，可得_L平面

ACDr,OB1在平面PBi。內(nèi)，從而平面PBi。J_平面AC。1，A正確；

對(duì)于8,連接48,4