高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編平面解析幾何B輯(解析版)

備戰(zhàn)2021年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題匯編(1981-2020)

專題16平面解析幾何B輯

施雷國(guó)氟題:

1.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】在平面直角坐標(biāo)系欠Oy中，圓。經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(2,4),(3,3),則圓Q上的

點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為.

【答案】2V5

【解析】記4(2,4),8(3,3),圓。經(jīng)過點(diǎn)。,4,8.注意到/。氏1=90。(直線OB與AB的斜率分別為1和-1),故OA為圓

0的直徑.從而圓。上的點(diǎn)到原點(diǎn)。的距離的最大值為|0川=2V5.

2.12019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】設(shè)4、B為橢圓廠的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，E、F為「的兩個(gè)焦點(diǎn)，\AB\=4,\AF

|=2+8，P為上一點(diǎn)，滿足|PE|?\PF\=2,則4PEF的面積為.

【答案】1

【解析】不妨設(shè)平面直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程為馬+4=l(a>b>0).

根據(jù)條件得a+yJa2—b2—\AF\—2+V3?可知a=2,b=\,

且由橢圓定義知|PE|+|PQ=2a=4,結(jié)合|PE|?|PF|=2得

\PE\2+\PF\2=(|PE|+|PF|)2-2\PE\■\PF\=12=\EF\2,

所以NEPF為直角，進(jìn)而SMEF=3IP??|PF|=1-

3.12019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】在平面直角坐標(biāo)系中，若以(丹1,0)為圓心、/?為半徑的圓上存在一點(diǎn)

(a,b)滿足〃為小則r的最小值為.

【答案】4

2

【解析】由條件知(Q-r-+標(biāo)="，故4a4b?="一(Q-r-1)2=2r(a-1)-(a-I).

即4—2(r—l)a+2r+140.

上述關(guān)于a的一元二次不等式有解，故判別式[2①-1)]2-4(2丁+1)=4?r-4)》0,解得尼4.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)/=4時(shí)，(a,b)=(3,2右)滿足條件.因此〃的最小值為4.

4.【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，橢圓cW+3=l(a>b>0)的左、右焦

點(diǎn)分別是FI『2，橢圓C的弦ST與L/V分別平行于x軸與y軸，且相交于點(diǎn)P.已知線段PU,PS,PV,PT的長(zhǎng)

分別為1,2,3,6,則△PQB的面積為.

【答案】V15

【解析】由對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，則由條件知句=!(|PT|-|PS|)=2,yp=1(|PV|-\PU\)=

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1,

即P(2,1).進(jìn)而由Xp=|PU|=1,|PS|=2得U(2,2),S(4,1),

代入橢圓C的方程知4*+4*=16*+2=1,

解得a?=20,b2=5.

22

從而SAP&FZ=\,內(nèi)初,\yp\=Va-b-yP=V15.

5.【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】設(shè)拋物線C:)，=2x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)8(—1,0)作一直線/

與拋物線C相切于點(diǎn)K,過點(diǎn)4作/的平行線，與拋物線C交于點(diǎn)M,N,則的面積為.

【答案】：

【解析】設(shè)直線/與MN的斜率為人，則，:x=1—l,MN:x=—

將/與C聯(lián)立，得方程y2-￡y+2=0,由條件知其判別式為零，故卜=±￥.

將MN與C聯(lián)立，得方程y2-；y+2=0,

于是WM-yN\=J8M+y/-4yMyw=J]-4=2,

結(jié)合/與A/N平行，

可知SAKMN=S&BMN=FAB4M—=￡'-1yM-"ll=22=2~

6.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的方程為?+(=1,F為C的上

焦點(diǎn)，4為C的右頂點(diǎn)，P是C上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形OAP尸的面積的最大值為.

【答案】岑

【解析】易知43,0)、F(0,1).設(shè)尸的坐標(biāo)是(30)$0,，1^皿。),86(0,；),

則S四應(yīng)施4PF=S^OAP+SAOFP=；,3?VlOsin0+1-1-3cos0

=|(-/lOsin?+cos0)=尊為叭。+<p).

其中p=arctan

當(dāng)6=arctanVTU時(shí)，四邊形QAPF面積的最大值為蜉.

7.【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次曲線/+。必+

a2=0的焦距為4,則a的值為.

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【解析】二次曲線的方程可以寫成一馬-e=1.

aza

顯然必須有一AO,故二次曲線為雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為2-二=1.

(V-a)2(-a)2

222

則c?=(V—a)+(—a)=a—af

注意到焦距2c-4,可知。2一。=4,又a<0,所以。=上咨.

8.12016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】雙曲線C的方程為"一1=1,左、右焦點(diǎn)分別為尸］,尸2.過點(diǎn)尸2作一直線

與雙曲線C的右半支交于點(diǎn)P、Q,使得NEP0=9O。，則AQPQ的內(nèi)切圓半徑是.

【答案】V7-1

【解析】由雙曲線的性質(zhì)知，后芻=2XV1T3=4,P&-PF2=QF、-QF2=2.

因/F/Q=90°,故PF：+P磴=F冏

22

因此PE+PF2=42(PF：+P礙)一(PF1一PF?)2=V2x4-2=2a.

從而直角△尸產(chǎn)。的內(nèi)切圓半徑是

r=i(F1P+P(?-F1Q)=i(PR+PF2)-QF2)=V7-1.

912015高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)集K={(x,y)|(|x|+|3y|-6)(囹|+僅|一6

)<0}所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為.

【答案】24

【解析】設(shè)Ki={(x,y)||x|+|3y|-6<0),

先考慮Ki在第一象限中的部分，此時(shí)有x+3y46,

故這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)于圖中的△OCO及其內(nèi)部，由對(duì)稱性知，K對(duì)應(yīng)的區(qū)域是圖中以原點(diǎn)。為中心的菱形A8C。及

其內(nèi)部.

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同理，設(shè)/={(x,y)||3x|+|y|-6<0},

則后對(duì)應(yīng)的區(qū)域是圖中以。為中心的菱形EFG”及其內(nèi)部.

由點(diǎn)集K的定義知，K所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是被K，氏中恰好一個(gè)所覆蓋的部分，因此本題所要求的即為圖中陰

影區(qū)域的面積S

由于直線CD的方程為久+3y=6,直線GH的方程為3x+y=6,

故它們的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(|,|),由對(duì)稱性知S=8SACPG=8X|X4X|=24.

10.12014高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】設(shè)橢圓廠的兩個(gè)焦點(diǎn)是B，F(xiàn),,過點(diǎn)H的直線與「交于點(diǎn)P,Q,若|P

F2\=且3|PFJ==4|QFJ,則橢圓的短軸與長(zhǎng)軸的比值為.

【答案】苧

【解析】不妨設(shè)|PFil=4,|Q&|=3,記橢圓廠的長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)度分別為2”，2b,焦距為2c,則IPF2I=

\FJ2\=2c,

且由橢圓的定義知2a=IQ&I+\QF2\=\PFt\+\PF2\=2c+4,

于是IQF2I=IP&I+\PF2\-\QF1\=2c+1,

設(shè)H為線段PFi的中點(diǎn),則|"H|=2,|QH|=5,

且有F2W±PF|,由勾股定理知|。芻|2-IQ*?==|F#2『一出"2,

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即(2C+1)2-52=(2C)2—22,解得C=5,

進(jìn)而a=7)=2遍，因此橢圓「的短軸與長(zhǎng)軸的比值為2=乎.

a7

11.12013高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】若實(shí)數(shù)x,y滿足x_4后=2jx-y,則x的取值范圍是.

【答案】{0}U[4,20]

【解析】令6=a,J%-y=b(a,b》0),此時(shí)x=y+(x-y)=a?+垓，

且條件中等式化為a2+/-4a=2b,從而a,」?jié)M足方程(a-2尸+(b-=5(a,b>0).

如圖所示，在aOb平面內(nèi)，點(diǎn)(a,3的軌跡是以(1,2)為圓心，石為半徑的圓在a,層0的部分，即點(diǎn)。與弧A

22

因此Va2+/)2e(0}U[2,2y[5],從而x=a+b&{0}U[4,20].

12.12012高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】拋物線)2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且滿足Z4FB=3設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在I上的投影為N,則黑的最大值是____________.

3\AB\

【答案】1

【解析】解法一設(shè)N4BF=e(o<e<g),

則由正弦定理，得焉=譚丁捷

所以這

即鑼=理鏟=2.冶).

如圖，由拋物線的定義及梯形的中位線定理，得|MN|=3普,

所以翳=cos(6冶)，故當(dāng)”押，指取得最大值為1.

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解法二由拋物線的定義及梯形的中位線定理，得|MN|="詈，

在△△尸8中，由余弦定理，得

7T

\AB\2=\AF\2+\BF\2-2\AF\-\BF\cos-=（\AF\+\BF\）2-3\AF\'\BF\

》（MF|+|W-3（1^?）2==\MN\\

當(dāng)且僅當(dāng)|ZF|=|BF|時(shí),等號(hào)成立.

故需的最大值為1.

13.12011高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】直線x—2y—1=0與拋物線產(chǎn)=4x交于A,B兩點(diǎn)，C為拋物線上的一點(diǎn),

ZACB=9O°,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】（1,-2）或（9,-6）

【解析】設(shè)4（X1，丫1）,8（%2，、2），8（產(chǎn),2￡）,

由|/=4x得V-8y-4=0,

貝如］+丫2=8,yiy2=-4.

又％i=2yl+I,%2=2%+1，

所以+&=2（%+%）+2=18,xrx2=4yly2+2（%4-y2）+1=1.

因?yàn)橐?08=90°,所以互［?而=0,

即有（尸一%）（戶一%2）+（2t-yi）（2t-y2）=0，

2

即1-+x2）t+xrx2+4產(chǎn)-2（yx+y2）t+yxy2=0,

即d-14產(chǎn)-16t-3=0,即（/+4t+3）（產(chǎn)-4t-1）=0,

顯然產(chǎn)一41—1/0,否則戶一2?2t-l=0,則點(diǎn)。在直線x-2y-1=0上，

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從而點(diǎn)C與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合.

所以f2+4t+3=0,解得t1=—Lt2=—3.

故所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（I，—2）或（9,—6）.

14.12010高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】雙曲線/一丫2=1的右半支與直線戶100圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)

（縱、橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)是.

【答案】9800

【解析】由對(duì)稱性知，只要先考慮x軸上方的情況，

設(shè)y=k（k=1,2,…,99）與雙曲線右半支交于4，交直線x=100于即

則線段4為內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為99—k,從而在x軸上方區(qū)域內(nèi)部整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2：二］（99-fc）=99x49=

4851.

又x軸上有98個(gè)整點(diǎn)，所以所求整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2x4851+98=9800.

15.12009高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】知直線L：x+y—9=0和圓/：2/+2）2—8n一8丫-1=0,點(diǎn)4在直線L上,

B,C為圓M上兩點(diǎn)，在AABC中，N8AC=45。，AB過圓心M,則點(diǎn)A橫坐標(biāo)范圍為.

【答案】3<a<6

【解析】設(shè)4（a,9-a）,則圓心M到直線4c的距離d=|4M|sin45°,

由直線AC與圓M相交，得d4亨，

解得34a46.

16.12009高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】橢圓l（a>b>0）上任意兩點(diǎn)P，Q，若。PLOQ,則乘積|OP

|?|OQ|的最小值為.

【解析】設(shè)P(|OP|cos9,|OP|sin。)，Q(|OQ|cos(e±)|OQ|sin(e±9),

由點(diǎn)P,Q在橢圓上，有

1cos20sin20g

]^P=—+—①

1sin20cos20小

j^p=—+—②

①+②得流+嬴

于是當(dāng)|OP|=|OQ|=電震時(shí)，IOPI?IOQI達(dá)到最小值黑?

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17.12006高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】己知橢圓?+?=1的左右焦點(diǎn)分別為Fi與尸2，點(diǎn)P在直線Lxy+

8+2g=0上.當(dāng)4片尸尸2取最大值，窗的比值為___________.

\PP2\

【答案】V3-1

【解析】由平面幾何知，要使NF/F2最大，則過耳，尸2〃三點(diǎn)的圓必定和直線/相切于點(diǎn)P.設(shè)直線/交X軸于4

(-8-2祗0),則乙4P&=Z.AF2P,

即A4PF1?△AF2P，即料=耨①

又由圓幕定理|AP|2=.IAF2I②

而凡(一2倔0),尸2(2g,0)乂(一8-26,0),從而有|4&|=8,|4尸2|=8+475,

代入式①與②得踹=疆==百一。

18.12005高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】若正方形A8CO的一條邊在直線產(chǎn)2x—17上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線產(chǎn)

N上.則該正方形面積的最小值為.

【答案】80

【解析】設(shè)正方形的邊A8在直線y=2%-17上，而位于拋物線上的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為CQi，%),D(x2,y2),則C

D所在直線/的方程y=2x+b,

將直線/的方程與拋物線方程聯(lián)立，得/=2x+b,所以與,2=1±V^不工

2

令正方形邊長(zhǎng)為ci,則a?=(X1-x2y+(%-y2)

2

=5(萬1—x2)=20(b+1)①

在上任取一點(diǎn)(6,-5),它到直線y=2x+b的距離為a,所以。=等②

將式①與②聯(lián)立解得打=3,與=63,所以標(biāo)=80或^=1280.

故amiM=80.

19.12004高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)M(—1,2)和N(l，4),點(diǎn)P在x軸

上移動(dòng)，當(dāng)NMPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.

【答案】I

【解析】經(jīng)過M,N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3上，

設(shè)圓心為S(a,3—a),則圓S的方程為(x-a)2+(y—3+a)2=2(1+。2).

對(duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減少而角度增大，所以，當(dāng)NMPN取最大值時(shí)，經(jīng)過M,

N,P三點(diǎn)的圓S,必與x軸相切于點(diǎn)尸即圓S的方程中的。值必須滿足2(1+。2)=(a一3產(chǎn)，

解得a-y或a=-7.

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即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為尸（1,0）和尸（一7,0）

而過點(diǎn)M,N,尸的圓的半徑大于過點(diǎn)M,N,P的圓的半徑，所以NMPN>4MP，N,故點(diǎn)P（l,0）為所求，所

以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1.

20.12003高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】設(shè)鼻,「2是橢圓?+?=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且IPFJlPFzl=

2:1,則APFiFz的面積等于.

【答案】4

【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)及焦距分別為2a,2b,2c,

則由其方程知a=3,b=2,c=V5,故|PF/+\PF2\=2a=6.

又已知|PFJ:IPF2I=2:1,故可得IP&I=4,\PF2\=2.

在△PFiB中，三邊之長(zhǎng)分別為2,4,2遙，而22+42=（2遙產(chǎn)，

可見是直角三角形，且兩直角邊的長(zhǎng)為2和4,

故△PQ3的面積=發(fā)「&|?|PF?|=[X2X4=4.

21.12001高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】橢圓的短軸長(zhǎng)等于

2-COS0

【答案】等

【解析】由e=-=-,p=—=1及爐=a2—c?得b=—,

a2rc3

從而2b=

22.12000高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】在橢圓捺+\=l（a>b>0）中，記左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,短軸上方

的端點(diǎn)為B.若該橢圓的離心率是竽，貝.

【答案】90。

【解析】對(duì)數(shù)據(jù)敏感就會(huì)發(fā)現(xiàn)￡===士生邁亙是方程/+x_1=o的根，

a22X1

代入整理得c?+ac—a2=0,從而ac=b2,恰好符合射影定理，于是乙48F=90°.

23.11999高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】已知點(diǎn)P在雙曲線總-?=1上，并且P到這條雙曲線的右準(zhǔn)線的距離恰

是P到這條雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)，那么，P的橫坐標(biāo)是.

【答案】

【解析】記半實(shí)軸、半虛軸、半焦距的長(zhǎng)分別為a,6,c,離心率為e,點(diǎn)尸到右準(zhǔn)線/的距離為d,則a=4,b

=3,c=5,e=a-=4

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右準(zhǔn)線I為x=『=S

如果P在雙曲線右支，則IPF1I=\PF2\+2a^ed+2a,

從而|PF/+|PF2|=（ed+2a）+ed=2ed+2a>2d,

而這是不可能的.

故P在雙曲線的左支，有IPF2I-IPF/=2a,IPF2I+IP&I=2d,

兩式相加，得2IPF2I=2a+2d,

又|PF2l=ed,所以d=￡=六=16.

4

因此，P的橫坐標(biāo)為藍(lán)一16=-費(fèi).

24.【1999高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】已知直線ar+6y+c=0中的a,b,c是取自集合｛-3,-2,—1,0,I,

2,3｝中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是.

【答案】43

【解析】設(shè)傾斜角為4則tan。=一?>0,

b

不妨設(shè)a>0,所以"0.

（l）c=0,a有3種取法，匕有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)（3）—3），=0,法一2尸0與刀一產(chǎn)0為同一直線），故這樣的直

線有3x3—2=7（條）

（2）存0,則“有3種取法，h有3種取法，c?有4種取法，且其中任意2條直線均不相同，故這樣的直線有3x3x

4=36（條）.

所以符合要求的直線有7+36=43（條）.

25.11998高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】若橢圓/+4（7—砂2=4與拋物線/=2丫有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

【答案】—14Q47

【解析】解法一由一+4（y—a）2=4可設(shè)％=2cos0,y=a+sin。，

代入/=2y得4cos2。=2（a+sin。），

所以Q=2cos2。-sin6=2-2s\n20—sin6=-2（sin?+（）+￡,

2

因?yàn)?1<sin?41?所以。《（sin。+［）<從而—14Q<—.

解法二題目條件等價(jià)于方程2y+4（y-a）2=4有非負(fù)解.

此即方程方一（2Q-3y+彥一1=0有非負(fù)解.

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故有d=卜?！?)—4(Q2—1)=?-2Q>0,2a—14-—2Q>0,

解得—14Q(J

26.11997高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】雙曲線/-1=1的右焦點(diǎn)作直線/交雙曲線于A,8兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)入使

得|48|=4的直線/恰有3條，則;1=.

【答案】4

【解析】首先，應(yīng)注意到下列結(jié)論：過雙曲線/-9=1的右焦點(diǎn)且與右支交于兩點(diǎn)的弦，

當(dāng)且僅當(dāng)該弦與x軸垂直時(shí)，取得最小長(zhǎng)度等=4.

(事實(shí)上，該雙曲線的極坐標(biāo)方程為P=T~F，又設(shè)AB是過右焦點(diǎn)F僅與右支相交的弦，A(,e),8(02，兀

1—V3COSaP1

+6)3>0,p2>0),

則|4B|=/9I+P2=—J--d---J--=---上后>4,當(dāng)。=￡時(shí)，等號(hào)成立).

11l-^3cos01+V3cos01-3COS202'

其次，滿足題設(shè)條件的宜線恰有三條時(shí)，只有兩種司.能：

(1)與雙曲線左、右兩條都相交的只有一條，而僅與右支相交的有兩條.此時(shí)，與雙曲線左右兩支都相交的必是X

軸，而其兩交點(diǎn)的距離為%=2,但僅與右支相交的兩條弦的長(zhǎng);1>4,這不滿足題設(shè)條件；

(2)與雙曲線左、右兩支都相交的有兩條，而僅與右支相交的只有一條，且這條弦必與x軸垂直(否則，由對(duì)稱性

知僅與右支相交的有兩條弦)，此時(shí)|48|=4=4且與雙曲線左、右兩支都相交的弦長(zhǎng)也可滿足這個(gè)條件，所以；I

=4.

27.11996高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】曲線C的極坐標(biāo)方程是p=1+cos。，點(diǎn)4的極坐標(biāo)是(2,0).曲線C在它

所在的平面內(nèi)繞4旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過的圖形的面積是.

【答案】yrr

【解析】f(6)=1+cos。.由于2=14-cosO,

第11頁共24頁

所以點(diǎn)A在曲線。上，為求所掃過的面積，關(guān)鍵算出。上一點(diǎn)到A的最大距離.對(duì)C上一點(diǎn)8(l+cos。,。)，有

\AB\2=(1+cos0)2+4—2x2(1+cos0)cos0

2

=5—2cos6—3cos2。=y—3(cos8+0<y.

當(dāng)COS。=-i,等號(hào)成立.所以H8I最大值是J],

那么掃過的面積是以A為圓心，半徑為住的圓，面積為97r.

y33

28.11994高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】己知點(diǎn)集4={(x,y)|Q-3產(chǎn)+(y-4)24(|)},8=((久,y)|(x-4

)2+(y-5)2>(I),},則點(diǎn)集AB中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為.

【答案】7

【解析】如圖所示，圓E,尸交于M,N兩點(diǎn)，整個(gè)圖形關(guān)于

連心線EF成軸對(duì)稱圖形，其中AC8是左下靠近

原點(diǎn)。的一個(gè)月形S,S中整點(diǎn)橫坐標(biāo)x可以是

1,2,3,4,縱坐標(biāo)y可以是2,3,4,5,對(duì)稱軸EF穿

過新月形S,經(jīng)計(jì)算可知僅通過一個(gè)整點(diǎn)CM2,3).

新月形S中橫坐標(biāo)為I的格點(diǎn)有3個(gè)6(1,5),。2(1,4),。3(1，3).

這三點(diǎn)的軸對(duì)稱點(diǎn)順次是。5(2,2),。6(3,2)，3(4,2).

故共有7個(gè)整點(diǎn).

29.【1992高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】函數(shù)/'(x)=*一3/一6%+。3-*一產(chǎn)+1的最大值是

【答案】V10

【解析】由/(%)=Vx4—3x2—6x+13-Vx4—%24-1=y/(x—3)2—(x2—2)2—yjx2+(%2—l)2,

可知函數(shù)y=/(x)的幾何意義是：

在拋物線產(chǎn)c2上的P(x,/)分別到點(diǎn)4(3,2)和點(diǎn)8(0,1)的距離之差.

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因點(diǎn)4在拋物線下方，點(diǎn)8在拋物線上方，故直線A8和拋物線相交，

(y=X2

交點(diǎn)由方程組3=0決定，

G-013-0

消去y得方程3/—無—1=o.

由于該方程常數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故方程必有負(fù)根.

因三角形兩邊之差小于第三邊，所以，當(dāng)點(diǎn)P位于負(fù)根所對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)C時(shí)，次的有最大值|48|=何.

30.11990高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】設(shè)A(2,0)為平面上的一定點(diǎn)，P(s加(2f-60°),cos(2f—60°))為動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)

f由15。變到45。時(shí)，線段4P所掃過的圖形的面積是.

【答案】

【解析】因。產(chǎn)=1,故點(diǎn)尸在單位圓上變動(dòng)，始點(diǎn)Pi(-：,冬，終點(diǎn)外

圖中陰影部分面積是所求面積.

因?yàn)镾/1P104=S4P204，所以SA%OB—^^P2BA-

故所求面積為:5扇施吩2=”卷建

31.11987高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】已知集合4={(x,y川x|+|y|=a,a>0},B={(x,y川切+1=田+|訓(xùn)}.

若4nB是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則a的值為.

【答案】2+/或近

【解析】點(diǎn)集A是由頂點(diǎn)為(。，0),(0,A),(-a,0),(0,一。)的正方形的四條邊構(gòu)成(如圖).

將優(yōu)y|+1=+|y|變形為(|二一l)(|y|-1)=0.

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所以，集合8是由四條直線x=±Ly=±1構(gòu)成.

欲使AAB為正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成，只有a>2或1<?<2這兩種情況.

(1)當(dāng)。>2時(shí)，由于正八邊形的邊長(zhǎng)只能為2,顯然有&a-2&=2,故a=2+a.

⑵當(dāng)1<?<2時(shí)，設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為1,則，cos45°=W，1=242-2.

這時(shí)，a=V2.

綜上所述，a的值為2+四或魚(圖中4vL0),B(2+V2,0)).

32.11984高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】如圖，AB是單位圓的直徑.在4B上任取一點(diǎn)。，作。C_LAB,交圓周于

C.若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,0),貝IJ當(dāng)xe.時(shí)，線段A。，BD,8可構(gòu)成銳角三角形.

【答案】(2-石，遙一2)

【解析】因?yàn)槎l線段4D,BD,CO構(gòu)成銳角三角形的充要條件是其中最大線段的平方小于另兩條線段的平方

和.由對(duì)稱性，不妨假設(shè)0<x<1,則三條線段中AD為最大.所以它們必須滿足AU<BD2+CD2

因?yàn)镃O是4),8。的比例中項(xiàng)，PJfl^CD2=AD-BD.

又因?yàn)?D=1+x,BD-1-x,于是得(1+x)2<(1—x)2+(1+x)(l—x).

化簡(jiǎn)得/+4x-1<0.

所以0《％<-2+迷，所以xe(2-病，6一2).

蹦麓際題園頌編

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1.與雙曲線J—卷=1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)（-3,2遮）的雙曲線方程是.

【答案】竺！一些=1

94

【解析】

設(shè)9一卷=上將（一3,2/）代入求得;I=;?雙曲線方程是殍一?=1.

2.圓心在拋物線/=2y上，并且和該拋物線的準(zhǔn)線及y軸都相切的圓的方程為.

【答案】（%+1）2+（7_}2=1和（＞_1）2+3_}2=1

【解析】

拋物線/=2y的準(zhǔn)線方程為y=-1.

設(shè)所求圓的圓心為（Xo，y（））,則四=2y0,且|比|=y0+|?解得卅=±1.y0=p

故所求圓的方程為(x±I)2+(y-1)2=1.

故答案為：。+I)2+(y-1)2=1和(x-I)2+(y-J)2=1

3.雙曲線1一馬=1的右焦點(diǎn)為F,離心率為e,過點(diǎn)尸且傾斜角為g的直線與該雙曲線交于點(diǎn)A、B,若A8的

2

a2b3

中點(diǎn)為M，且下M等于半焦距，則。=.

【答案】V2

【解析】

設(shè)點(diǎn)4（%1，%）8（%2，%）,時(shí)（%0，%）,則意-差=1舂-曰=L

圖（工1+%2）（%1-％2）_（力+，2）（九一段）=0,

兩式相減,1號(hào)得便

所以48的斜率為人瑞=合3

又|FM|=c,ZxFM=p所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(|c,*).

所以與=包2=1,所以e=￡=|1+?=壺.

aX。ayja2

故答案為：V2.

4.若AQAB的垂心恰是拋物線V=4x的焦點(diǎn)，其中。是原點(diǎn)，A、B在拋物線上，則AOAB的面積5=

【答案】10V5

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【解析】

拋物線的焦點(diǎn)為F(l,0).因尸為△048的垂心，則。尸JLA8,

故可設(shè)4、B的坐標(biāo)為A(a2,2a),B(a2,-2a)(a>0).

于是OA的方程為ay=2x,k0A=

B尸的斜率據(jù)〃BF-/COA=—1,得a=病，

因此4B=4V5.h=a2=5,所以加祁=10%/5.

故答案為：10遍.

5.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知拋物線)TuaQO)與圓(x-a)?+(y-b)2=產(chǎn)至少有3個(gè)公共點(diǎn)，其中一個(gè)是

原點(diǎn)，另外兩個(gè)在直線產(chǎn)上，那么實(shí)數(shù)b的最小值是.

【答案】2

【解析】

由已知。2+》2=/，｛,二""人得AM—kx-b=0①

y=kx+b

由｛0~a)2y=^=產(chǎn)得印2/“kb-l)z-2a]=0.②

由于①的解均是②的解，所以有k/一kx-b\k2x3~(2kb-l)x-2a,

故6=卜+?》2,當(dāng)仁1時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：2.

6.若直線2x+y-2=0與直線x+my-1=0互相垂直，則點(diǎn)P(m,m)到直線x+y+3=0的距離為

___.

【答案】史

2

【解析】

直線2x+y-2=0的斜率為kt=-2,直線x+my-\=O的斜率為心=一3

因?yàn)閮芍本€互相垂直，所以(-2)x(-5)=-1，解得加=2

故P(-2,-2),所以點(diǎn)尸到直線x+y+3=0的距離為白色=烏

V22

故答案為:烏

2

7.已知aABC為橢圓注+些=1的內(nèi)接三角形，且AB過點(diǎn)P(l,0),則△A8C的面積的最大值為.

94

【答案】2

3

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【解析】

提示：經(jīng)伸縮變換得△A'B'C內(nèi)接于圓X2+?=l,Ab過點(diǎn)〃(；,0).

S4ABe=65“B，C，，設(shè)。'到Ab的距離為t,

則04t([,M'B'I=2VT^,S“，B，C，(VF7?7?(1+t),

易知當(dāng)t=g時(shí)，S“8，c，有最大值為竽，所以%tBC的最大值為胃.

故答案為：

3

8.設(shè)。是實(shí)數(shù)，關(guān)于z的方程(z2-2z+5)(z2+2az+l)=0有4個(gè)互不相等的根，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)共

圓，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

【答案】{a|-l<a〈l}U{-3}

【解析】

由z2—2z+5=0,得Z]=1+212=1—2j.

因?yàn)閦2+2az+l=0有兩個(gè)不同的根，所以△=4(。2—1)#),故存±1.

若△=4(〃2—1)<0,即一1<°<1時(shí)，Z3,4=—a±VT^-因?yàn)閆1，Z2，Z3，Z4在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成等腰梯形或者矩

形，此時(shí)四點(diǎn)共圓，所以，—l<a<l滿足條件.

若△=4(/-1)>0,即同>1時(shí)，z3,4=-a土是實(shí)根，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，僅當(dāng)大、Z2對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)在以Z3，Z4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為直徑的圓周上時(shí)，四點(diǎn)共圓，此圓方程為。-學(xué))2+y2=(專1),

整理得/-⑵+zjx+Z3Z4+y2=0,即爐+2辦+1+)2=0,將點(diǎn)(1,±2)代入得a=-3.

綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是{。|一1<“<1)U(-3).

故答案為：{a|TQ<l}U{-3}.

9.若實(shí)數(shù)x、y滿足x-4后—2jx-y,則x的取值范圍是.

【答案】{0}U[4,20]

【解析】

令柄=a,Jx-y=b(a、b>O'),此時(shí)，x=y+(x-y)=a2+b2,

且題設(shè)等式化為a?+〃-4。=2b.

于是，a、b滿足方程(a-2尸+(b-1)2=5(a、b>0).

如圖，在aOb平面內(nèi)，點(diǎn)(a,b)的軌跡是以。(1,2)為圓心、病為半徑的圓在a、匕20的部分，即點(diǎn)。與弧旭8并

集.

故舊+爐e{0}U[2,275].

第17頁共24頁

從而，x=a2+b2e{0}U[4,20].

10.已知P為拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B、C在y軸上，（為一1尸+/=i是4PBC的內(nèi)切圓.則叢詠?zhàn)钚≈?/p>

為?

【答案】8

【解析】

設(shè)P?），%）、8（0,辦C（0,c）,

不妨設(shè)b>c,lpB：y一b=今上》，即（7o-b）x-x（）y+x（）b=0.

\yo-b+xob\_[

又圓心（1,0）到PB的距離為1,即卜-―.

）（））2

故仇-b2+就=y0-b2+2xob（yo-b4-x^b.

易知x（）>2,上式化簡(jiǎn)得（%o-2）爐+2yob-x0=0.

同理，Oo-2”2+2y（）c-&=0.

所以，b+c=含阮/則"）2=哨落

因?yàn)镻（Xo，y。）是拋物線上的點(diǎn)，所以，%=2x0.則@-c）2=Tj=b-c=2?

（和孫-2

故SAPBC=[3-c）&=-p--x=（x-2）+-^―+4>2a+4=8.

2XQ-20XQ-02

當(dāng)（x（）—2）2=4時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)，x0=4,yQ=±2V2.

因此，S“BC的最小值為8.

11.若點(diǎn)PQo,%）對(duì)橢圓E:立+*=1與雙曲線從/一叱=1的切點(diǎn)弦互相垂直，則各=________。

44人。

【答案】±1

【解析】

點(diǎn)P（xo，y。）對(duì)橢圓E與雙曲線H的切點(diǎn)弦所在直線方程分別為華+yy0=1,xx0-^=i.

由這兩條直線垂直知G，%）,=o=瑤一據(jù)=o=自=±1.

故答案為：±1

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12.己知雙曲線冬―，=l（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為4（一1,0）,5（1,0）,過點(diǎn)B的直線I與該雙曲線的右支交

于M、/兩點(diǎn)，且4AMN是以N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.

［答案J2J85+34?

17

【解析】

由雙曲線定義知—|BM|=2a,①

|4N|-\BN\=2a.②

由題設(shè)得14Ml=V2\AN\=V2\MN\=V2(|BM|+|BN|).

結(jié)合式①、②得|AM|=4a,\BM\=2a.

在4AMB中，由余弦定理得

222222

\AB\=\AM\+\MB\-2\AM\\MB\COS450=4=16a+4a-8V2a

,_1_5+2A/2?2仆5+34在

=a^2a=——

13.平面直角坐標(biāo)系中，直線Z過雙曲線/一y2=i的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線交于4、B兩點(diǎn).若以48為直徑的圓

與y軸相切，則|AB|=.

【答案】2+2V2

【解析】

易知，雙曲線/-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為（±&,0）.

不失一般性，設(shè)直線，過右焦點(diǎn)（夜,0）.

（1）當(dāng)48與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線，的方程為y=k（x—&），將其代入雙曲線方程并整理得（1一/）/+2四42

x-（2/c2+1）=0.

顯然，k*±1.

設(shè)4（Xi，yi）,8（X2,丫2）?則小、&是上述一元二次方程的兩根.

由韋達(dá)定理知X1+%2=姜1，X/2=翟孑

故由弦長(zhǎng)公式得|AB|=?^后出一超1-"2）2+4（1*）（2/+5=辛舒

另一方面，線段4B的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離d=|華|=離.

若以AB為直徑的圓與y軸相切,則|48|=2d,

即^^=2?離=必=1+企=|4B|=^^=2+2V1

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（2）當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，直線2的方程為x=&,點(diǎn)4、8的坐標(biāo)為（誼,±1）,48的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離4=

我>1,不符合相切的條件.

綜上，線段AB的長(zhǎng)為2+2VT

14.己知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線*=2px（p>0）上，且△4BC的重心恰為拋物線的焦點(diǎn).若邊BC所在直線方

程為4x+y—20—0,則p=.

【答案】p=8

【解析】

設(shè)4篇,女）、B篇,曠2）、C篇,丫3）.

由4.二案o=2y2+py-2op=o.

%+為=一々①

由已知得篙+^+號(hào)3={^3=-10P@

%+為+丫3=°yi++乃=°③

yl+yl+yl=3P?④

由式①、③得力=今

代入式④與①、②聯(lián)立解得p=8.

15.設(shè)4（0"））是橢圓搐+，=l（a>b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)，已知直線y=》一3與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且4APQ

的重心是橢圓的右焦點(diǎn)。則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為。

【答案】（文浮,0）

【解析】

如圖，設(shè)「6，%）、Q（x2,y2）,橢圓的右焦點(diǎn)F（c,0）。

則由44PQ的重心公式有c=空，0=齒匕

從而，%1+%2=3c,%+丫2=一氏①

將看+4=1,岑+空=1,相減得gf）片次）+佻二鋁"出=0。

a2b2a2b2a2b2

又洛=1,則1+空=0=與+?=o=a2=3阮.②

a2bzazb2

第20頁共24頁

由式①知PQ的中點(diǎn)一9。

因?yàn)辄c(diǎn)M在直線PQ上，所以，一^=募一3=6+3c=6.③

由a2=b2+c2及式②、③消去a、b得

(6-3c尸+c2=3(6-3c)c=>19c2-54c+36=0。

解得c=淮!。

19

但由式③有c<2,則°=生辿。

19

故右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(號(hào)立,0).

16.設(shè)過點(diǎn)M(2,0)的直線，與拋物線y2=軌交于點(diǎn)兒B,與圓(X—4.5產(chǎn)+y2=知交于點(diǎn)c、D。若|4C|=|BD|

且|4B|H|C0|,則直線(的方程為。

［答案］x=2,y—2x+4=0,y+2x—4=0

【解析】

在4、B、C、。的24中排列中,同時(shí)滿足14cl=|BD|且|AB|叩|CO|的有如下8種:A,C,D,B;A,D,C,B；B,C,

D,A；B,D,C,A；C,A,B,D；D,A,B,C；C,B,A,D；D,B,A,C.

它們的共同特點(diǎn)是，線段48與線段CD的中點(diǎn)重合。

設(shè)直線l:x=my+2.①

將直線2與拋物線y2=4x聯(lián)立，消去x得關(guān)于y的一元二次方程必一4my一8=0。

于是，48中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為尢=2mo

同理，CD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y'0=而翟石。

由48與CD的中點(diǎn)重合得27n=就不。

從而，m(4m2-1)=0=>m=0,±1,,

所以，滿足條